一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

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关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数。

二次函数与一元二次方程不等式

【练习2】(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A( －1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是 _______x_＜__－__1_或__x_＞__4____．
| 练习 | 1. [2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为
-1 .
2. [2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称 [答案] x1=2,x2=4
轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5
(2)(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0) 与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有
两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜ 4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________②．⑤(只填写序号)
【例2】(1)(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1
时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有（） B
A．1个 B．2个 C (2)点C(0，3)，点D(1，4)．
(3)设点P(x，y)(x＞0，y＞0)，S△COE＝12×1×3＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。

首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。

与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。

但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。

其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。

一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。

与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。

最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。

一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。

与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。

综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。

深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。

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一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.过程与方法：1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.2. 强调数形结合的解题方法.情感态度与价值观：1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.二教学重点与难点教学重点：1.一元二次函数的图像.2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：1. 数形结合的方法.三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.五教学过程【新课导入】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】例4 已知二次函数223y x x =--(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：(2) 由y =0，得 2-2-30xx =解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.(3) 由图可知，当-1<x <3时，二次函数图像在x 轴的下方. ∴当-1<x <3时，y <0.(此时，2230xx --<)(4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2-2-30x x >)提问：不等式2230x x --<的解集是？不等式2230xx -->的解集是？例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：28230x x -->解不等式对应的二次函数为2823y x x =--令y=0,对应方程28230x x --=的根为： 121324x x =-=，当12x <-或 34x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例6 解不等式：22-20x x -+>解二次项系数为负，∴原不等式两边同乘以-1，得：2220x x -+<对应方程: 2220xx -+=的判别式()2241240∆=--⨯⨯=-<对应二次函数：222y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆<，图像位于x 轴上方；∴不等式222<0x x -+的解集为φ.即原不等式22-20x x -+>的解集为φ.例7 解不等式：2440x x -+>解对应方程: 244=0xx -+的判别式()244140∆=--⨯⨯=对应二次函数:244y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆=，图像与x 轴有一个交点；∴不等式2440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞.【双基讲解】一元二次不等式的解法：解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是：(1)计算判别式24b ac ∆=-；(2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示：例8 解不等式：(1) 22520x x -+≤；(2) ()()841x x x +>-；(3)()()2124x x +-<-.解 (1) 解不等式: 22520x x -+≤()254229∆=--⨯⨯=方程22520xx -+=的两个根为：12122x x ==，∴不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2) 解不等式: ()()841xx x +>-解原不等式化简得：2440x x ++>244140∆=-⨯⨯=方程2440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==-∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞.(3) 解不等式：()()2124x x +-<-解原不等式化简得： 22320x x -+<()2342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程22320x x -+=没有实数根，∴原不等式的解集为φ.【巩固练习】课堂练习2.2(3)1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 23100xx -->； (2) ()()2130x x -+<；(3)251360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-.2. 已知二次函数2-3-10y x x =(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 27120xx -+>； (2) 22530x x +-<；(3)22150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-.六课堂小结1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式；2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.七布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：周芸辉。

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为【】（A ）{}52>-<x x x 或（B ）{}25>-<x x x 或（C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是【】（A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或（D ）{}44>-<a a a 或分析本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是【】（A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是【】（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析（1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。

一元二次不等式与二次函数

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程注意：（1）不等式解集规律：“>”取两边，”<”取中间，前提：0a >。

即c bx ax x f ++=2)(的图象与X 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点 ⇔02=++c bx ax 的二实根为21,x x⇔当0>a 时 02<++c bx ax 的解集为{}12x x x x <<02>++c bx ax 解集为{}12x x x x x <>或（2）解一元二次不等式步骤：1、把二次项的系数变为正的。

（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。

（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。

（根据一元二次方程的根及不等式的方向）练习：1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x一．一元二次不等式解的端点值为对应一元二次方程的根Eg1．若不等式ax ２+5x+b ＞0的解集为｛x ｜31＜x ＜21}．则a, b 的值分别为（A ）A.－6，－１B.１，6C.－１，－6D.－１，－１Eg ．若不等式220ax bx ++>的解集为｛x ｜12-＜x ＜13}．则a= ，b = 。

二．恒成立问题1．一般地，()a f x >恒成立，()f x 的最大值为M ，则a M >；()a f x <恒成立，()f x 的最小值为m ，则a m <。

2．02>++c bx ax （)0≠a 恒成立 ⎩⎨⎧<∆>⇔00a)0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a注意: 要单独考虑0a =时的情况。

二次函数与一元二次不等式的关系

二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式都是数学中重要的概念。

它们在实际问题的建模和解决中经常被使用，并且彼此之间有着密切的联系。

本文将探讨二次函数与一元二次不等式之间的关系，并探讨如何使用二次函数的性质来解决一元二次不等式。

1. 二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数的图像为抛物线，开口的方向由a的正负确定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数还具有对称轴、顶点、零点等重要的性质。

2. 一元二次不等式的定义和解法一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0）的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。

解一元二次不等式的关键是确定不等式的解集，即使不等式成立的x的取值范围。

3. 二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式之间存在密切的联系。

当二次函数的值大于0时，即f(x) > 0时，对应的区间可以表示为一元二次不等式的解集。

同样地，当二次函数的值小于0时，即f(x) < 0时，对应的区间也可以表示为一元二次不等式的解集。

4. 利用二次函数的性质解一元二次不等式利用二次函数的性质可以更方便地解一元二次不等式。

首先，找到二次函数的顶点，顶点的纵坐标即为二次函数的最值。

当一元二次不等式是大于或小于的形式时，可以通过比较函数值与最值的关系来确定解集。

当一元二次不等式是大于等于或小于等于的形式时，需要考虑函数值等于最值的情况。

5. 实际问题的应用二次函数与一元二次不等式的关系在实际问题的建模和解决中应用广泛。

例如，求解一个区间内的一元二次不等式可以通过对应的二次函数图像的查看得到。

又如，在优化问题中，构建二次函数模型后可以通过一元二次不等式的解集来确定最优解的取值范围。

总结：二次函数与一元二次不等式之间存在紧密的关系，二次函数可以通过其性质帮助我们解决一元二次不等式。

二次函数与一元二次方程及不等式(课件)

记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
随堂检测
(1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}.
(2) x2-3x+4≥0的解集是

R
.
(3) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2 } .
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
y
x1 x2
y
x
x1(x2) x
y x
⊿=b2-4ac
⊿>0
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两个不等实根 x1,x2(x1<x2)
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
⊿=0 有两个相等实根x1=x2
高考见真章
（2014 课标卷理 2）设集合M={x∣x2-3x-4<0} ，N={x∣0≤x<5} ，则M∩N=（B ）.
A． (0,4] B． [0,4) C．[-1,0) D．(-1,0]
（2015 课标卷理 1）已知集合A={-2，-1,0,1,2} ，B={x∣（x-1）（x+2）<0} ，则
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
感谢各位聆听
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双基讲解
解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像
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双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
0
有两不相等实根 .设为x、x，且x x
计算判别式
求根
画图
写出不等式解集
ax bx c 的解集 , x x , ax2 bx c 0的解集 x1 , x2
一元二次方程二次函数一元=0
的解当Δ ＞0 时，有两个不相等的实数根
y =ax +bx+c
的图像
2
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c＜0
(x1，x2)
y x1 o y x2 x
x1， x2
当Δ =0 时，有两个相等的实数根 b
x1=x2=
o x1=x2
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示范例题
例4 解 (1) 图像如下图所示：
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示范例题
例5 对应的二次函数 y=8x²-2x-3 对应的一元二次方程 8x²-2x-3=0 y
x
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示范例题
例6
二次项系数为负
对应的二次函数 y=x²-2x+2
对应的一元二次方程 x²-2x+2=0
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示范例题
例7 对应的二次函数 y=x²-4x+4 对应的一元二次方程 x²-4x+4=0
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一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
任意一个一元二次不等式，都可以找到与它对应的二次函数和一元二次方程. 一般的，一元二次不等式ax²+bx+c＞0 （或＜0）对应的二次函数为 y= ax²+bx+c；对应的一元二次方程为 ax²+bx+c=0 例如：一元二次不等式 x²-2x-3＞0 对应的二次函数 y=x²-2x-3 对应的一元二次方程 x²-2x-3=0
2.2 一元二次不等式的解法
Solving Quadratic Inequalities with One Unknown ——一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
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一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，彻底解决一元二次不等式的解的问题.
y
x
2a
当Δ ＜0 时，无实数根
o
x
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示范例题
例8
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示范例题
例8
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示范例题
例8
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巩固练习
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本课小结
知识要点
1
利用二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式.
2
利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.
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布置作业
习题册P19
习题2.2（3）/A组全部
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双基讲解
0
方程ax bx c , (其中a ) 没有实根 .
计算判别式
求根
画图
写出不等式解集
,，即R
ax2 bx c 0的解集
ax2 bx c 0的解集是空集
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一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的相互关系及其解法：
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双基讲解
0
方程ax bx c , (其中a ) b 有两相等实根 .设为x x a
计算判别式
求根
画图
写出不等式解集
ax2 bx c 0的解集 b b , , 2a 2a
ax2 bx c 0的解集是空集
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