基本初等函数讲义

一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质图像定义域 (),-∞+∞对称轴 2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域24,4ac b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a-+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a -=．三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象2b x a =-2b x a =-过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数（1）根式的概念如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么x a①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式=a子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、求二次函数的解析式例1. 抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+C. ()2312y x =+-D. ()2312y x =-+-例3.抛物线y=222x mx m -++的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1例4.已知二次函数()f x 同时满足条件： （1）()()11f x f x +=-； （2）()f x 的最大值为15； （3）()0f x =的两根立方和等于17 求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -=例10. 讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11. 计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ）AB 、12 CD 、—12例12.44等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2a 例13. 若53,83==ba ，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|x M y y P y y ====，则M∩P （ ）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a -例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（ ） A 、41B 、4C 、1D 、4或1例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、 C D例21.2log 13a<，则a 的取值范围是（ ）A、()20,1,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C、2,13⎛⎫⎪⎝⎭D、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）A、12log(1)y x=+B、2logy=C、21logyx=D、2log(45)y x x=-+例23.函数2lg11yx⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（）A、x轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线y x=对称例23. 函数)()lgf x x=是（奇、偶）函数。

课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )2.对抛物线y=22(x2AC3. 二次函数y=x-A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2ax bx +的图像是（ ）5．如果抛物线y=26x x c ++的顶点在x 轴上，那么c 的值为（ ）A ．0B ．6C ．3D ．96.一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )7.在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx ＋c 与函数y=(a b)x 的图象可能是（ ）8．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数9．已知函数y ＝x2－2x ＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2] 10、使x2＞x3成立的x 的取值范围是 （ ）A 、x ＜1且x≠0B 、0＜x ＜1C 、x ＞1D 、x ＜111、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝dx 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是 （ ） A 、d ＞c ＞b ＞a B 、a ＞b ＞c ＞d C 、d ＞c ＞a ＞b D 、a ＞b ＞d ＞c12．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定 13．若点(),A a b 在幂函数()n y x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩14．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞)15、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（ ）A 、∅B 、TC 、SD 、有限集 16、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞17、设1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >>18、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a的取值范围是（ ）A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a << 19、计算lg52lg2)lg5()lg2(22•++等于（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 20、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a表示是（ ）A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、 231a a --21、已知幂函数f(x)过点（2，），则f(4)的值为（ ）A 、12B 、 1C 、2D 、8二、填空题1.抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.2.函数23-=x y 的定义域为___________.3.设()()12m f x m x +=-，如果()f x 是正比例函数，则m=____ ,如果()f x 是反比例函数，则m=______,如果f(x)是幂函数，则m=____．4.若14(1)x --有意义，则x ∈___________．5.当35x y <=___________．6.若25525x x y ⋅=，则y 的最小值为___________．7、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。