高中数学双基限时练21
人教B版高中数学必修二双基限时练21.docx
双基限时练(二十一)基 础 强 化1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析 d ＝|－5|5＝ 5.答案 D2．已知点(3，m )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则m 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C ．－33D.3或－33 解析 |3＋3m －4|2＝1，∴|3m －1|＝2. ∴m ＝3，或m ＝－33. 答案 D3．两条平行线l 1：3x －4y －1＝0，与l 2：6x －8y －7＝0间的距离为( )A.12B.35C.65D ．1解析 l 1：6x －8y －2＝0，∴d ＝|－2＋7|62＋82＝510＝12.答案 A4．点P (m －n ，－m )到直线x m ＋yn ＝1的距离为( ) A.m 2±n 2 B.m 2－n 2 C.－m 2＋n 2 D.m 2＋n 2解析 直线方程可变为nx ＋my －mn ＝0， ∴d ＝|n (m －n )＋m (－m )－mn |m 2＋n 2＝m 2＋n 2. 答案 D5．设直线l 经过点(－1,1)，当点(2，－1)到直线l 的距离最远时，直线l 的方程是( )A ．3x －2y ＋5＝0B ．2x －3y －5＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 当直线l 与点(2，－1)最远时，直线l 与过点(－1,1)和(2，－1)的直线垂直．过(－1,1)和(2，－1)的直线的斜率为1－(－1)－1－2＝－23，∴直线l 的斜率为32，∴l ：y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 答案 A6．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离等于2，则P 坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)答案 C7．点A (－4,2)到直线3x ＋4y ＝2的距离为________． 解析 d ＝|3×(－4)＋4×2－2|5＝65. 答案 658．过点A (－1,2)，且与原点距离等于22的直线方程为________________________________．解析 设直线方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0， ∴d ＝|k ＋2|k 2＋1＝22，∴k ＝－1，或k ＝－7.∴所求直线方程为x ＋y －1＝0，或7x ＋y ＋5＝0. 答案 x ＋y －1＝0，或7x ＋y ＋5＝0能 力 提 升9．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析 由题意知，所求直线斜率必存在， 设为直线y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0. 由d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1， d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝53.答案 两条10．设点P 在直线x ＋3y ＝0上，且点P 到原点的距离与点P 到直线x ＋3y －2＝0的距离相等，求点P 的坐标．解 ∵点P 在直线x ＋3y ＝0上，∴设P (－3y 0，y 0)， ∴(－3y 0)2＋y 20＝|－3y 0＋3y 0－2|12＋32， ∴|y 0|＝15，即y 0＝±15，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15. 11．已知直线l 过点P (1,2)，并且与点A (2,3)、B (0，－5)的距离相等，求出直线方程．解 若l 斜率存在， 设其方程为y －2＝k (x －1)，由题意得|2k －3＋2－k |k 2＋1＝|5＋2－k |k 2＋1，得k ＝4. ∴l 的方程为y ＝4x －2.若l 斜率不存在，则其方程为x ＝1. 易知A 、B 到l 的距离相等．综上所求l的方程为y＝4x－2或x＝1.12．已知分别过P(－2，－2)，Q(1,3)的直线l1和l2，分别绕点P，Q旋转，且保持l1∥l2，求两条直线的距离d的取值范围．解∵P∈l1，Q∈l2，l1∥l2，∴d＝|PQ|为l1和l2间距离最大值而当l1和l2无限趋近重合时，d无限趋近0.又∵|PQ|＝(－2－1)2＋(－2－3)2＝34，∴0＜d≤34.品味高考13．与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线m 的方程为________．解析设所求直线为5x－12y＋c＝0，则由两平行直线间的距离公式得2＝|c－6|52＋(－12)2，解得c＝32，或c＝－20.故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.答案5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。
人教版高中数学全套试题双基限时练21(2)
双基限时练(二十一)1．设z ＝x －y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0.则z 的最小值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析 作出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x ＝2y ，得交点A (2,1)．当直线x －y ＝0平移过点A (2,1)时，z 有最小值1. 答案 A2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23解析 不等式表示的平面区域如图所示．当z ＝2x ＋3y 过点A 时取得最小值，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，取得A (2,1)．将点A 坐标代入z ＝2x ＋3y 中得z min ＝7.答案 B3．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A 点时，z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0)．z 最小值＝2，z 无最大值．答案 B4．某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、 B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元解析 设该企业在一个生产周期内生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获得利润z 万元，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝5x ＋3y ，画出不等式组表示的平面区域及直线l 0：5x ＋3y ＝0，易知当平移l 0经过点(3,4)时，z 取得最大值为5×3＋3×4＝27，故选D.答案 D5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费用为200元，设备乙每天的租赁费用为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析 设租赁甲、乙两种设备x ，y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .目标函数z ＝200x ＋300y ，画出可行域知目标函数在点(4,5)处取得最小值，故目标函数的最小值为2300.答案 23006．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1)． 易知当直线2x ＋y ＝0平移经过点A 时，z 取得最大值． 答案 4,17．某工厂制造A 种仪器45台，B 种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m 2，每张可作A 种仪器外壳3个和B 种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m 2，每张可作A 种仪器外壳6个和B 种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解 设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N *，3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，钢板总面积z ＝2x ＋3y .作出可行域，如图所示．由图可知当直线z ＝2x ＋3y 过点P 时，z 最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋6y ＝45，5x ＋6y ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．8．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．由表可知x ，y 满足的线性条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且z ＝320x ＋504y .作出线性区域，如图所示．可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(5,2)是最优解．这时z min ＝320×5＋504×2＝2608(元)，即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为8×320＝2560(元)， 只用B 型车，成本费为18030×504＝3024(元)．9．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，问该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为多少？解 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，共可获利z 万元，则z ＝0.4x ＋0.6y .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，y ≥5，x ≥23y ，x ＋y ≤60.作出可行域如图，由图可以看出，当直线经过可行域上的点A (24,36)时，z 取得最大值．z ＝0.4x ＋0.6y ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.即该公司正式投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为31.2万元．。
北师大版高中数学必修一双基限时练21.docx
双基限时练(二十一)对数的运算及其性质基础强化1．log63＋log62等于()A. 6B. 5C. 1D. log65解析log63＋log62＝log66＝1.答案 C2．对于a>0，a≠1，下列说法中，正确的是()①若M＝N，则log a M＝log a N②若log a M＝log a N，则M＝N③若log a M2＝log a N2，则M＝N④若M＝N，则log a M2＝log a N2A. ①③B. ②④C. ②D. ①②③④解析①当M＝N＝0时，不成立；②正确；③log a M2＝log a N2，若M，N>0，可得2log a M＝2log a N，故M＝N，若M，N异号，则不正确，故③不正确；④若M＝N＝0，也不正确，故只有②正确．答案 C3．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12等于( ) A ．a 2＋b B ．b ＋2a C ．a ＋2bD ．a ＋b 2解析 lg12＝lg4＋lg3＝2lg2＋lg3＝2a ＋b . 答案 B4．已知lg a ＝2.4310，lg b ＝1.4310，则ba 等于( ) A.1100 B.110 C ．10D ．100解析 lg b a ＝lg b －lg a ＝－1，∴b a ＝10－1＝110. 答案 B5．已知a ，b ，c 为正实数，且lg a ＋12lg b ＋13lg c ＝1，则a 6b 3c 2等于( )A. 10B. 106C. 1012D. 1解析 由lg a ＋12lg b ＋13lg c ＝1，得lg ab12 c 13＝1，即ab12 c 13＝10，故a 6b 3c 2＝106. 答案 B6．如果方程(lg x )2－(lg2＋lg3)lg x ＋lg2lg3＝0的两根为x 1，x 2，那么x 1x 2的值为( )A. 5B. 6C. lg2lg3D. lg2＋lg3解析 由题意得lg x 1＋lg x 2＝lg2＋lg3＝lg6，∴x 1x 2＝6. 答案 B7．已知a23 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝__________.解析 方法一：∵a23 ＝49，∴log a 49＝23，∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13， ∴1log a 23＝3，∴log 23 a ＝3. 方法二：∵a23 ＝49，∴a 2＝64729，∴a ＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，∴log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.答案 3能 力 提 升8．已知：x ，y ∈R ，且(2x －1)2＋(y －128)2＝0，则log 2x 3y12的值为________．解析 由(2x －1)2＋(y －128)2＝0，得x ＝12，y ＝128，log 2x 3y12 ＝3log 2x ＋12log 2y ＝－3＋12log 227＝－3＋72＝12.答案 129．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝4，则f (2014)＝________.解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12014＝a log 212014＋b log 312014＋2＝4.得－a log 22014－b log 32014＝2. ∴a log 22014＋b log 32014＝－2.∴f (2014)＝a log 22014＋b log 32014＋2＝－2＋2＝0. 答案 010．求下列各式的值．(1)lg5(lg8＋lg1000)＋(3lg2)2＋lg 16＋lg0.06；(2)(lg5)2＋lg2·lg50.解 (1)lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－2 ＝3lg2＋3lg5－2＝1. (2)(lg5)2＋lg2(1＋lg5) ＝lg5＋lg2＝1.11．设a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17，b ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋149，用a ，b 表示lg2和lg7.解析 a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋17＝lg 87＝lg8－lg7＝3lg2－lg7. b ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋149＝lg 5049＝lg 1002×49＝2－lg2－lg49＝2－lg2－2lg7. 由上述两式联立方程组，解得： lg2＝17(2a －b ＋2) lg7＝17(－a －3b ＋6)12．已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg a ＋lg b ＝1，lg a lg b ＝m ，又x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(lg a )2＋4(1＋lg a )＝0， lg a ＝－2，∴a ＝1100.又lg a ＋lg b ＝1，∴lg b ＝3，∴b ＝103. 即m ＝lg a ·lg b ＝－6.考 题 速 递13．已知2x＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．6B ．8C ．4D ．log 48解析 由2x ＝9，得log 29＝x ， ∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283 ＝log 29＋log 2649 ＝log 264 ＝6. 答案 A。
高中数学 双基限时练21 新人教B版必修4
双基限时练(二十一)基 础 强 化1．下列命题中，不正确的是( ) A ．相等的向量的坐标相同B ．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标C ．平面直角坐标系中，一个坐标对应唯一的一个向量D ．平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．解析 两个向量相等，它们的坐标相同，∴A 正确；给定一个向量，它的坐标是唯一的，给定一对实数，由于向量可以平移，所以以这个实数对为坐标的向量有无数个，∴B 正确，C 错误；当向量的起点为原点时，向量的坐标与其终点坐标相等，∴D 正确．答案 C2．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →与CD →互为相反向量，则D 点坐标为( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)解析 AB →＝(1,1)，∴CD →＝(－1，－1)，∴D (1，－1)． 答案 C3．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a ＝( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝2，4，a ＋b ＝4，－10，将两式相加，∴3a ＝(6，－6)，∴a ＝(2，－2)． 答案 D4．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ＋b ＋c 可表示为( )A ．3e 1－2e 2B ．－3e 1－3e 2C ．3e 1＋2e 2D ．2e 1＋3e 2答案 C5．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则AB →等于( ) A ．(8,1) B ．(－8,1) C.⎝⎛⎭⎪⎫4，－12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 解析 AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)． 答案 B6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 解析 由题意可知，4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0， ∴d ＝－6a －4b ＋4c .∴d ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)． ∴d ＝(－2，－6)． 答案 D7．平面上有三个点，分别为A (2，－5)，B (3,4)，C (－1，－3)，D 为线段BC 的中点，则向量DA →的坐标为______．解析 ∵D 是线段BC 的中点，∴由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，再由向量的坐标公式，得DA →＝(2，－5)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－112. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，－1128．已知点A (3,7)，AB →＝(－2,8)，则点B 的坐标为___________． 解析 设B (x ，y )，则(x －3，y －7)＝(－2,8)， ∴x ＝1，y ＝15. 答案 (1,15)能 力 提 升9．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝________.解析 过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA→＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案 2310．已知三点A (8，－7)，B (－16,20)，C (4，－3)．求向量2AB →＋3BC →与CB →－2AC →的坐标．解析 AB →＝(－24,27)，BC →＝(20，－23)， AC →＝(－4,4)，CB →＝(－20,23)．∴2AB →＋3BC →＝(－48,54)＋(60，－69)＝(12，－15)． CB →－2AC →＝(－20,23)－(－8,8)＝(－12,15)．11．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M 、N 的坐标和MN →的坐标．解析 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，由CM →＝3CA →，得(x ＋3，y ＋4)＝3(1,8)＝(3,24)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，即M (0,20)．同理可得N (9,2)．所以MN →＝(9，－18)．12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 解析 (1)由已知得OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． (1)若点P 在x 轴上， 则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上， 则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2)解法1：若四边形OABP 为平行四边形，则必有OP →＝AB →，即：(3t ＋1,3t ＋2)＝(3,3)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1＝3，3t ＋2＝3，无解，故四边形OABP 不能为平行四边形．解法2：OP →＝OA →＋tAB →＝OA →＋t (OB →－OA →)＝(1－t )OA →＋tOB →. 由直线的向量参数方程式知，A 、B 、P 三点共线． ∴OAPB 不能为平行四边形．品 味 高 考13．若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)解析 BC →＝AC →－AB →＝－CA →＋BA → ＝(－4，－7)＋(2,3)＝(－2，－4)． 答案 A。
人教版高中数学全套试题双基限时练21
双基限时练(二十一)1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( ) A ．23 B ．7 C ．－23D ．－7解析 a ·b ＝－3×5＋4×2＝－7，故选D. 答案 D2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1解析 由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 答案 D3．若非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 C4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确 解析 AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，BC →＝(－4，－2)， ∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →|＝20.∴|AB →|＝|AC →|，且|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2＝20. ∴△ABC 为等腰直角三角形，应选C. 答案 C5．已知a ＝(0,1)，b ＝(33，x )，向量a 与b 的夹角为π3，则x 的值为( )A ．±3B ．±3C ．±9D ．3解析 cos π3＝a ·b |a |·|b |＝x 27＋x2， ∴2x ＝27＋x 2，且x >0，∴3x 2＝27，∴x ＝3. 答案 D6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )． 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0， ∴m ＝－79，n ＝－73. 答案 D7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.解析∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，∴a－c＝(3－k，－1)．又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，∴(a－c)·b＝0，即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.∴k＝0，故应填0.答案08．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析a·b＝2－2λ，|a|＝5，|b|＝4＋λ2，由a与b的夹角为锐角，得a·b|a||b|＝2－2λ5·4＋λ2>0，即2－2λ>0，∴λ<1.当2－2λ5·4＋λ2＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．答案(－∞，－4)∪(－4,1)9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．解析a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．又|a|＝5，|b|＝5，a·b＝0，∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.∴|a－2b|＝5.答案 510．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．(用数字作答)解析 由题意知|a |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则 b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝0， ∴b 2＝b ·a ，∴|b |2＝|a ||b |cos θ.∴|b |(|b |－cos θ)＝0，∴|b |＝0，或|b |＝cos θ. ∵θ∈[0，π]，∴|b |∈[0,1]． 答案 [0,1]11．已知点A (－1,1)，点B (1,2)，若点C 在直线y ＝3x 上，且AB →⊥BC →.求点C 的坐标．解 设C (x,3x )，则AB →＝(2,1)，BC →＝(x －1,3x －2)， 所以2(x －1)＋3x －2＝0，所以x ＝45，所以C ⎝⎛⎭⎪⎫45，125.12.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)． (1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值； (2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0， ∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )， a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )， ∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，∴k ＝－12.13．已知点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．解 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， 由AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， 得AB →⊥AD →.∴AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，又AB →＝(1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C (0,5)． 从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25， |BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设〈AC →，BD →〉＝θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.。
北师大版高中数学必修四双基限时练21.docx
双基限时练(二十一) 从力做的功到向量的数量积一、选择题 1．下列命题①a ＋(－a )＝0；②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )；③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；④(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .其中正确命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 正确的有②④. 答案 C2．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 解析 ∵a ∥b ，则b ＝λa ，λ∈R . ∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝c·a (1＋2λ)． ∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.∴c ·(a ＋2b )＝0. 答案 D3．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝AB →·AC →－AB →2＝－|AB →|2＝－1. 答案 B4．平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12解析 (a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝4＋4＋4×2×1×12＝12.∴|a ＋2b |＝2 3.答案 B5．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则a 与b 的夹角θ为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°解析 |a |＝|b |＝|c |且a ＋b ＝c ，得|a ＋b |＝|b |，平方得：|a |2＋|b |2＋2ab ＝|b |2⇒2ab ＝－|a |2⇒2|a |·|b |·cos θ＝－|a |2⇒cos θ＝－12⇒θ＝120°.6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则|a |2－4a·b ≥0.设向量a ，b 的夹角为θ，所以cos θ＝a·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12.所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B.答案 B7．在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OD →是AB 边上的高，若AD →＝λAB →，则λ等于( )A.a ·(b －a )|a －b |2B.a ·(a －b )|a －b |2C.a ·(b －a )|a －b |D.a ·(a －b )|a －b |解析 由题意知OD →·AB →＝0，即AB →·(OA →＋AD →)＝0， ∴AB →·(OA →＋λAB →)＝0，∴λ＝－AB →·OA→AB →2＝－(OB →－OA →)·OA →(OB →－OA →)2＝|a －b |2，故选B. 答案 B 二、填空题8．已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析 由a ·b ＝0，得k －2＋(1－2k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝54. 答案 549．已知|a |＝3，a ·b ＝2，则b 在a 方向上的射影为________． 解析 a ·b |a |＝23.答案 2310．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为________三角形． 解析 由AB →·BC →＋AB →2＝0，得AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →，故三角形为直角三角形．答案 直角 三、解答题11．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直．解 要使向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则要满足(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即(a ＋k b )·(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝|a |2－k 2|b |2＝9－16k 2＝0，解得k ＝±34.∴当k ＝±34时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直． 12．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |与|a －b |.解 (1)设a 与b 的夹角为θ， 由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4a 2－3b 2－4a ·b ＝61， 即64－27－4×4×3cos θ＝61， 得cos θ＝－12，又θ∈[0，π]，∴θ＝23π. (2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝16＋9－2×4×3×12＝13；|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝16＋9＋2×4×3×12＝37.13．如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明 因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →， 所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →) ＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →)＝12[|AC →|·|AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|·cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →， 即AM ⊥EF .。
高中数学人教A版选修2-1双基限时练2.docx
双基限时练(二)1．命题：“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有()A．3个B．2个C．1个D．0个解析∵ac2>bc2，则a>b为真命题，∴它的逆否命题为真命题．而逆命题“若a>b，则ac2>bc2”为假命题，∴否命题为假命题．因此，真命题有两个．答案 B2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题答案 B3．“若x，y∈R，且x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是() A．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R，且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R，且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R，且xy≠0，则x2＋y2≠0答案 B4．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”和这个命题互为逆否命题的为()A．若一个数是负数，则它的平方是正数B．若一个数的平方不是正数，则它不是负数C．若一个数的平方是正数，则它是负数D．若一个数不是负数，则它的平方是非负数答案 C5．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠0)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数答案 A6．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析∵原命题为真命题，它的逆命题“函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题．∴逆否命题是真命题，否命题是假命题．答案 C7．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________，逆否命题是________．答案若A∪B≠B，则A B若A B，则A∪B≠B8．“若不等式x2＋px＋q>0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题为________________；否命题为____________________；逆否命题为______________________．答案若p2－4q≤0，则不等式x2＋px＋q>0的解集为R若不等式x2＋px＋q≤0的解集为R，则p2－4q>0若p2－4q>0，则不等式x2＋px＋q≤0的解集为R9．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．答案②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤10．命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解原命题的逆否命题为真命题．∵m>0，∴Δ＝9＋8m>0.∴方程2x2＋3x－m＝0有实根．故原命题为真命题．又原命题与其逆否命题等价．∴命题“若m>0，则2x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题．11．判断命题“已知a，x∈R，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x ＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．解原命题的逆否命题为：已知a，x∈R，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真．12．证明：若x2＋y2＝2，则x＋y≤2.证明把命题“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”视为原命题，其逆否命题是“若x＋y>2，则x2＋y2≠2”．∵x＋y>2，则x2＋y2≥(x＋y)22>12×4＝2，∴x2＋y2≠2.∵原命题与其逆否命题等价，又逆否命题为真命题，∴原命题“若x2＋y2＝2，则x＋y≤2”也是真命题．。
【高三】2021届高考数学双基突破训练试题(含答案和解释)
【高三】2021届高考数学双基突破训练试题(含答案和解释)2021届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (4)一、1．若f(x)＝1x的定义域为，g(x)＝x的值域为N，令全集I＝R，则∩N＝( )A．B．NC．∁I D．∁IN【答案】A【解析】由题意知：1x>0⇒x>0，N：x≥0，所以∩N＝.故选择A.2．已知函数y＝f(x)(a≤x≤b)，则集合{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}∩{(x，y)x＝0}中含有元素的个数为( )A．0 B．1或0C．1 D．1或2【答案】B【解析】＝{(x，y)y＝f(x)，a≤x≤b}表示y＝f(x)在x∈[a，b]时的图像，N＝{(x，y)x＝0}表示y轴，根据函数的定义，至多有一个交点．故选择B.3．用in{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝in{x，x＋t}的图像关于直线x＝－12对称，则t的值为( )A．－2 B．2C．－1 D．1【答案】D【解析】方法1：由图像关于直线x＝－12对称得，－12＝－12＋t，解得t＝0或t＝1，当t＝0时，f(x)＝x，不符合题意，故t＝1，选D.方法2：验证答案，将四个答案分别代入题中，通过数形结合，作出函数y＝x与y＝x＋t的图像，得出函数f(x)的图像，然后由对称性排除A，B，C，故选D.4．已知U＝{yy＝log2x，x>1}，P＝yy＝1x，x>2，则∁UP＝( )A.12，＋∞B.0，12C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪12，＋∞【答案】A【解析】因为函数y＝log2x在定义域内为增函数，故U＝{yy>0}，函数y＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P＝y0<y<12，所以∁UP＝yy≥12.故选择A.二、题5．已知f(x)＝3([x]＋3)2－2，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]＝3，则f(－3.5)＝.【答案】1【解析】∵[－3.5]＝－4，∴f(－3.5)＝3(－4＋3)2－2＝1.6．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，函数f1x＋2的定义域为.【答案】－∞，－13∪12，＋∞.【解析】由题设条件知：－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，因此，－1≤1x＋2≤4，解得x≤－13或x≥12.7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)131x123g(x)321则f[g(1)]的值为；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是.【答案】1,2【解析】g(1)＝3，f(3)＝1，∴f[g(1)]＝1.x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不符合题意．x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，符合题意．x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不符合题意．8．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当a≥b时，a b＝a；当a<b时，a b＝b2.则函数f(x)＝(1 x)•x－(2 x)(x∈[－2,2])的最大值等于.(“•”和“－”仍为通常的和减法)【答案】6【解析】当x∈[－2,1]时，f(x)＝1•x－22＝x－4，f(x)ax＝－3；当x∈(1,2]时，f(x)＝x2•x－2＝x3－2，f(x)ax＝6.三、解答题9．已知扇形的周长为10，求此扇形的半径r与面积S的函数关系及其定义域．【解析】设扇形的弧长为L，则有L＝10－2r，得S＝12Lr＝(5－r)•r＝－r2＋5r，又r>0，0<L<2πr，⇒r>0，0<10－2r<2πr，⇒5π＋1<r<5.∴所求函数的解析式为S＝－r2＋5r，其定义域为5π＋1，5.10．已知函数y＝f(x)的定义域A＝{1,2,3，k}，值域B＝{4,7，a4，a2＋3a}(a，k∈N)，对应法则“f：x→y＝3x＋1”(x∈A，y∈B)，能否求出a、k的值，是否可以确定集合A、B.【解析】因为A中的元素1与2的象已经确定，所以首先应确定3的象，求出a值，最后再求k.∵f：x→y＝3x＋1，∴A中的元素1与2的象分别是4和7.设A中元素3的象是a4，则：a4＝3×3＋1＝10，∵a∈N，∴此时a不存在．设3的象是a2＋3a，则有a2＋3a＝3×3＋1＝10，即a2＋3a－10＝0，解得 a＝2，a＝－5∉N(舍去)，当a＝2时，k的象即为a4，即 a4＝3k＋1,16＝3k＋1，∴k＝5.∴a＝2，k＝5，A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,16,10}．11．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ13＝16，φ(1)＝8.(1)求φ(x)的解析式，并指出定义域；(2)求φ(x)的值域．【解析】(1)设f(x)＝ax，g(x)＝bx，a、b为比例常数，则φ(x)＝f(x)＋g(x)＝ax＋bx，由φ13＝16，φ1＝8.得13a＋3b＝16，a＋b＝8.解得a＝3，b＝5.∴φ(x)＝3x＋5x其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由y＝3x＋5x，得3x2－yx＋5＝0(x≠0)．∵x∈R且x≠0，∴Δ＝y2－60≥0，∴y≥215或y≤－215，∴φ(x)的值域为(－∞，－215]∪[215，＋∞)．12．在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点E，如图所示，沿折线BCDA由起点B 向终点A移动，设点E移动的路程为x，△ABE的面积为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)作出函数y＝f(x)的图像．【解析】(1)当点E在BC边上，即0≤x≤4时，S△ABE＝12×4×x＝2x；当点E在CD边上，即4<x≤8时，S△ABE＝12×4×4＝8；当点E在DA边上，即8<x≤12时，S△ABE＝12×4(12－x)＝24－2x.综上y＝f(x)＝2x 0≤x≤48 4<x≤824－2x 8<x≤12 (2)图像如图所示感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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双基限时练(二十一)
1．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b ＝( ) A ．23 B ．7 C ．－23
D ．－7
解析 a ·b ＝－3×5＋4×2＝－7，故选D. 答案 D
2．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12
D ．1
解析 由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a·b ＝2－x ＝1，故x ＝1. 答案 D
3．若非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
答案 C
4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上均不正确 解析 AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，BC →
＝(－4，－2)， ∴|AB →|＝10，|AC →|＝10，|BC →
|＝20.
∴|AB →|＝|AC →|，且|AB →|2＋|AC →|2
＝|BC →
|2＝20. ∴△ABC 为等腰直角三角形，应选C. 答案 C
5．已知a ＝(0,1)，b ＝(33，x )，向量a 与b 的夹角为π
3，则x 的值为( )
A ．±3
B ．±3
C ．±9
D ．3
解析 cos π3＝a ·b |a |·|b |＝x 27＋x
2， ∴2x ＝27＋x 2，且x >0，∴3x 2＝27，∴x ＝3. 答案 D
6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7
3，－79 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7
9，－73 解析 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，
对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )． 又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0， ∴m ＝－79，n ＝－7
3. 答案 D
7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,2)，若(a －c )⊥b ，则k ＝________.
解析∵a＝(3,1)，c＝(k,2)，
∴a－c＝(3－k，－1)．
又b＝(1,3)，且(a－c)⊥b，
∴(a－c)·b＝0，
即1×(3－k)＋(－1)×3＝0.
∴k＝0，故应填0.
答案0
8．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析a·b＝2－2λ，|a|＝5，|b|＝4＋λ2，由a与b的夹角为锐
角，得a·b
|a||b|＝
2－2λ
5·4＋λ2
>0，即2－2λ>0，
∴λ<1.
当
2－2λ
5·4＋λ2
＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合
题意．
∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．
答案(－∞，－4)∪(－4,1)
9．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．
解析a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．
又|a|＝5，|b|＝5，a·b＝0，
∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.
∴|a－2b|＝5.
答案 5
10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．(用数字作答)
解析 由题意知|a |＝1，设a 与b 的夹角为θ，则 b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝0， ∴b 2＝b ·a ，∴|b |2＝|a ||b |cos θ.
∴|b |(|b |－cos θ)＝0，∴|b |＝0，或|b |＝cos θ. ∵θ∈[0，π]，∴|b |∈[0,1]． 答案 [0,1]
11．已知点A (－1,1)，点B (1,2)，若点C 在直线y ＝3x 上，且AB →⊥BC →
.求点C 的坐标．
解 设C (x,3x )，则AB →＝(2,1)，BC →
＝(x －1,3x －2)， 所以2(x －1)＋3x －2＝0，
所以x ＝4
5，所以C ⎝
⎛⎭
⎪⎫45，125.
12.已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)． (1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值； (2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值． 解 (1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，
∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)． ∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0， ∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1.
(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )， a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )， ∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，
∴k ＝－1
2.
13．已知点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；
(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．
解 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →
＝(－3,3)， 由AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， 得AB →⊥AD →
.∴AB ⊥AD .
(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →
.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，又AB →
＝(1,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝5，
∴C (0,5)． 从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →
|＝25， |BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设〈AC →，BD →
〉＝θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|
＝1620＝4
5.
∴矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值为4
5.。