4.7非对心碰撞
球的对心碰撞及其实例分析
球的对心碰撞及其实例分析碰撞问题既是高中教学的重点和难点，也是高考命题的热点。
分析研究碰撞问题，对于解决力学中打夯、锻压、击球等问题，解决热学中气体分子间及气体分子与器壁间的彼此作用问题，解释生活自然中的一些常见现象，和较好地解答高考中的力学综合题等，都有十分重要的作用。
下面以球的对心碰撞为例，对碰撞现象作一些分析。
（一） 完全弹性碰撞在碰撞中，一种简单的情形是，两个等大而不同质量的小球，碰撞前后处在同一水平直线上运动，这就是球的对心碰撞。
若碰撞前后系统的动能不发生转变，就叫完全弹性碰撞。
用m 1和m 2别离表示两球的质量， 用v 10和v 20别离表示两球碰撞前的速度，用v 1和v 2别离表示两球碰撞后的速度，据动量守恒定律有m 1 v 10+ m 2 v 20= m 1v 1+m 2v 2……①由于是完全弹性碰撞，故碰撞前后动能守恒：21 m 1v 102+ 21m 2v 202= 21m 1v 12+ 21m 2v 22……② 联立①②两式可求得两小球碰撞后的速度别离为v 1= (2121m m m m +-)v 10 + (2122m m m +)v 20……③ v 2= (2122m m m +)v 10 +(2112m m m m +-) v 20……④ 按照③④式咱们可做以下讨论：讨论1：当m 1=m 2，即对心碰撞的两球质量相等时可得v 1=v 20, v 2=v 10，即二球通过碰撞彼此互换速度。
若v 20=0，则v 1=0 ，v 2=v 10，即m 1以必然的速度去碰撞静止的m 2，结果m 1会突然停止，而m 2“接过”m 1的速度前进。
这就是在儿童打弹子或成人打台球中常常看到的现象。
讨论2：当m 1<<m 2 且v 20=0，即用小质量的球去碰专门大质量且静止的球时先将v 20=0代入③④式取得 v 1= (2121m m m m +-)v 10 ， v 2= (2122m m m +)v 10 再将条件m 1<<m 2代入上述两式取得 v 1 ≈-v 10 ， v 2≈0这说明球2仍然静止不动，而球1则以碰撞前等大的速度反向弹回。
碰 撞
(2)若m1≪m2,v1≠0,v2=0,则二者弹性正碰后,v1′= _-_v_1 ,v2′=0。表明m1被反向以_原__速__率__弹回,而m2仍 静止。
(3)若m1≫m2,v1≠0,v2=0,则二者弹性正碰后,v′1= _v_1 ,v′2=_2_v_1 。表明m1的速度不变,m2以2v1的速度被撞 出去。
【解析】设滑块质量为m,A与B碰撞前A的速度为vA,由
题意知,碰后A的速度vA′=
1 8
v0,B的速度vB=
3 4
v0,由
动量守恒定律得mvA=mvA′+mvB
①
设碰撞前A克服轨道阻力所做的功为WA,由功能关系得
WA=
1 2
mv02
1 2
mv A 2
②
设B与C碰撞前B的速度为vB′,B克服轨道阻力所做的功
考查角度2 宏观多物体碰撞问题分析
【典例2】两块质量都是m的木块A和B在光滑水平面上
均以速度 v0 向左匀速运动,中间用一根劲度系数为k的
2
轻弹簧连接着,如图所示。现从水平方向迎面射来一颗
子弹,质量为 m
4
,速度为v0,子弹射入木块A并留在其
中。求:
(1)在子弹击中木块后的瞬间木块A、B的速度vA和vB的 大小。 (2)在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的最大弹性势 能。
(2)如果碰前两物体是相向运动,则碰后两物体的运动 方向不可能都不改变,除非两物体碰撞后速度均为零。 若碰后沿同向运动,则前面物体的速度大于或等于后面 物体的速度,即v前≥v后。
【典题通关】 考查角度1 宏观物体的碰撞过程 【典例1】(多选)两个小球A、B在光滑水平面上相向运 动,已知它们的质量分别是m1=4 kg,m2=2 kg,A的速度 v1=3 m/s(设为正),B的速度v2=-3 m/s,则它们发生正 碰后,其速度可能分别是 ( )
3 对心碰撞
打桩时,要求 Ek 0, 即m1>>m2 .
第四章 动能和势能
例题2 冲击摆可用于测子弹速率. 长度为 l 的线绳悬挂质量为m 的木块，子弹质量为m0，沿水平方向射入木块，子弹最后嵌在木
块内一定位置，且测得木块摆过角度 ，m m0
求: 子弹射入的速率v.
l m0 m
(a)
(b) O
(c) x
解：（1）全过程可分为：A下降、A与B碰撞和A、B下落。
（2）设A与B碰撞前的速 A
度为VA0，碰后它们的速度分 别为VA和VB，则
mAvA0
mAvA
mBvB
1 2
mAv
2 A0
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
B P
O LA A B LB
第四章 动能和势能
可解出：
VA
mA mA
v1 y v10 sin
v1 y
（m1
em2 )v10 sin
m1 m2
v2 y
（1
e）m1v10 m1 m2
sin
v10 cos
v10 cos
ev10 sin
v10
v10 sin
O
y
第四章 动能和势能
§4.7.2 完全弹性碰撞的几种特殊情况
已知mN = 14mp
m
vNmN vpmp vp vN
1.16mp
现代精确测量表明, m=1.01 mp
第四章 动能和势能
例题1 如图所示，质量为 mA的小球沿光滑的弧形轨道下滑，与 放在轨道水平面端点P处的静止的小球B发生弹性碰撞，B的质 量为mB, A、B两球碰后同时落在水平地面上。如果A、B两球的 落地点距P点正下方O点的距离之比LA/LB=2/5，求它们的质量比 mA/mB.
碰撞
反思：多过程——类似于完全非弹性碰撞， 选定初未状态，明确过程。
课外练习
（ AC ）（2000春招）
课外练习
质量为M的小车静止在光滑的水平面上，质量 为m的小球用长为R的细绳吊在小车上O点，将小球 拉至水平位置A点静止开始释放（如图所示），求 小球落至最低点时速度多大？（相对地的速度） 分析: 摆到最低点的过程中水平 分向动量守恒有
散射(scattering)
课外阅读：科学足迹——中子的发现
思考与讨论
试根据动量守恒定律，大致画出下图 中A球碰撞后的速度。 v1’
进行分解，x和y方向上 分别动量守恒。
总结:
碰撞的分类 按碰撞前后速度方向的关系分 按能量损失的情况分 斜碰
正碰
弹 性 碰 撞 ： 动量守恒，动能没有损失 非 弹 性 碰 撞 ： 动量守恒，动能有损失
思考与讨论
质量不等 A、B两球在光滑水平桌面上沿同一直线， 同一方向运动，A球的动量是 5 kg· m/s，B 球的动量是 7 kg· m/s，当 A 球追上B 球发生碰撞，则碰撞后两球的动 BC 量可能值是（ ） A. pA‘=6kg· m/s，pB'=6kg· m/s B. pA‘=3kg· m/s，pB'=9kg· m/s C. pA‘=－2kg· m/s，pB'=14kg· m/s D. pA‘=－5kg· m/s，pB'=17kg· m/s
B球速度的最大值发生在弹性碰撞时 2mv v max 0.5v m 3m
只有0.4v 是速度可能值
对心碰撞(direct impact)和非对心碰撞
1、正碰，也叫对心碰撞：如图所示，一个运动的 小球与一个静止的小球碰撞，碰撞之前，运动小球 的速度与两球的球心连线在同一条直线上，碰撞之 后两球的速度仍沿这一条直线。
高中人教物理选择性必修一(学案)弹性碰撞和非弹性碰撞
弹性碰撞和非弹性碰撞【学习目标】1．了解弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞；会应用动量、能量的观点综合分析解决一维碰撞问题。
2．加深对动量守恒定律和机械能守恒定律的理解，能运用这两个定律解决碰撞问题。
【学习重难点】用动量守恒定律、机械能守恒定律讨论碰撞问题。
【学习过程】一、弹性碰撞和非弹性碰撞问题1：质量m1=10g的小球在光得的水平面上以v1=30cm/s的速度向右运动，恰遇上质量m2=10g的静止的小球。
碰撞后，小球m1恰好静止。
那么碰撞后小球m2的速度多大？方向如何？思考：碰撞前后机械能变化吗？问题2：质量m1=10g的小球在光得的水平面上以v1=30cm/s的速度向右运动，恰遇上质量m2=50g的小球以v2=10cm/s的速度向左运动。
碰撞后，小球m2恰好静止。
那么碰撞后小球m1的速度多大？方向如何？思考：碰撞前后机械能变化吗？总结：1．弹性碰撞：系统在碰撞前后动能___________。
2．非弹性碰撞：系统在碰撞后动能___________。
二、弹性碰撞的实例分析1．对心碰撞与非对心碰撞观察这两种碰撞的不同，总结：（1）对心碰撞：碰撞前后的速度_________________________，也称__________。
（2）非对心碰撞：碰撞前后的速度_______________________，也称__________。
2．弹性碰撞已知：如图，地面光滑，物体m1以速度v1与原来静止的物体m2发生弹性碰撞，碰后它们的速度分别为v1′和v2′，求v1′和v2′。
请分析几下几种情况下的速度情况：（1）若m1=m2生活实例：________________________________（2）若m1≫m2生活实例：________________________________（3）若m1≪m2生活实例：________________________________【例题1】两球做相向运动，碰撞后两球变为静止，则碰撞前两球（）A．质量一定相等B．动能一定相等C．动量大小一定相等D．以上均不正确【例题2】在光滑水平面上相向运动的??、??两小球发生正碰后一起沿??原来的速度方向运动，这说明原来（）A．??球的质量一定大于??球的质量B．??球的速度一定大于??球的速度C．??球的动量一定大于??球的动量D．??球的动能一定大于??球的动能【例题3】在光滑水平面上，两球沿着球心连线以相等速率相向而行，并发生碰撞下列现象中不可能发生的是（）A.若两球质量相等，碰后以某一相等速率相互分开B.若两球质量相等，碰后以某一相等速率同向而行C.若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开D.若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行【例题4】甲、乙两球在光滑水平轨道上运动，它们的动量分别是5kg∙m/s和7kg∙m/s，甲追上乙并发生碰撞，碰撞后乙球的动量变为10kg∙m/s，则两球质量m甲与m乙的关系可能是（）A.m乙=m甲B.m乙=2m甲C.4m甲=m乙D.m乙=6m甲【课堂练习】1．在气垫导轨上，一个质量为400g的滑块以15cm/s的速度与另一质量为200g，速度为10cm/s并沿相反方向运动的滑块迎面相撞，碰撞后两个滑块粘在一起。
16.4碰撞(精品)
代入数值得： v共=0.05m/s
0.05m/s或5cm/s
思考与讨论
质量为m速度为v的A球，跟质量为3m的静止B球发 生正碰，碰撞可能是弹性，也可能非弹性，碰后B 球的速度可能是以下值吗？ （A）0.6v (B) 0.4v (C) 0.2v
课堂练习
6、抛出的手雷在最高点时水平速度 为10m/s，这时突然炸成两块，其中 大块质量300g仍按原方向飞行，其速 度测得为50m/s，另一小块质量为 200g，求它的速度的大小和方向。
课外练习
1、小车AB静置于光滑的水平面上，A端固定一个轻质弹簧， B端粘有橡皮泥，AB车质量为M，长为L，质量为m的木块C放 在小车上，用细绳连结于小车的A端并使弹簧压缩，开始时 AB与C都处于静止状态，如图所示，当突然烧断细绳，弹簧 被释放，使物体C离开弹簧向B端冲去，并跟B端橡皮泥粘在
例3. 质量为1kg的小球A以速度8m/s沿光滑水平面运
动，与质量为3kg的静止小球B发生正碰后，A、B两
小球的速率v1,v2可能为
A.v1＝1m/s B.v1＝3m/s
C.v2＝1m/s
D.v2＝/s
分析与解:此例中两球的碰撞类型没有明确，不妨取
两种极端的情况来计算.
若碰撞是弹性的，碰后两球的速度分别为
(AD )
A、若两球质量相同，碰后以某一相等速率互相分开 B、若两球质量相同，碰后以某一相等速率同向而行 C、若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开 D、若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行
反思：考虑弹性碰撞和非弹性碰撞两种可能。
课后练习1. 在气垫导轨上,以质量为600g的滑块一15cm/s的 速度与另一个质量为400g速度为10cm/s并沿反方 向运动的滑块迎面相撞,碰撞后黏在一起,求碰撞后 的速度和方向。
4.7非对心碰撞
v10 2v1 v2
v120
(1)
弹性碰撞，动能守恒,有
1 2
m v12
1 2
m v22
1 2
m v120
得
v12 v22 v120
(2)
式(1)与(2)对比得
2v1 v2 0
即
v1 v2
可见，碰撞后两个质子将成直角地离开。
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v1x v10 cos
v1 y v10 sin
v10 cos
v10 cos
ev10 sin
v10
v10 sin
O
y
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第四章 动能和势能
(3)
m1 m2
, 碰后两小球的运动方向彼此垂直.
[证明]
m1v1
m2v2
m1v10
第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
§4.7 1. 非对心碰撞基本公式 §4.7.2 完全弹性碰撞的几种特殊情况
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第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
§4.7 1. 非对心碰撞基本公式
非对心碰撞(又称斜碰)——两球相碰之前的速 度不沿它们的中心连线.
斜碰一般为三维问题，较复杂.
v2 y
m2
y
m1v10x m1v1x m2v2 x
m1v10 y m1v1 y m2v2 y
v10 ye v2 y v1 y
v1 x
v1 y
v10x v10 cos v10y v1 sin
小球光滑 v2 x 0
§3.6 气体分子平均自由程
E 的质心不 在圆柱体内,
不被碰撞
C 的质心在圆柱体 内被碰撞
Z n d 2 v12
其中 n 是气体分子数密度，式中最后一个因子是 A
分子相对于其他分子运动的平均速率,称为相对运动平
均速率。 对于同种分子 v12 2 v
平均碰撞频率为 Z 2nv
其中 π d 2
p nkT, v 8kT , πm
v 6.9 10 8 m
Z •空气分子有效直径 d = 3.5 10-10 m 。
•可见标准状况下 200 d
讨论理想气体基本假定时的一个问题
§3.6 气体分子平均自由程
• 气体的输运过程来自分子的热运动。
• 气体分子运动过程经历十分频繁的碰撞。 • 碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子行
进的轨迹十分曲折。 碰撞使分子间不断交换能量与动量。 • 系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。 本节将介绍一些描述气体分子间碰撞特征的物理量：
碰撞截面、平均碰撞频率及平均自由程。
§3.6.1 碰撞（散射）截面
第二章曾经对分子碰撞过程利用下图作较为直观而又 十分简单的定性分析， 在分析中假定两分子做对心碰撞。 实际上两分子做对心碰撞的概率非常小, 大量发生的是非对心碰撞。 下面讨论非对心碰撞。
引入碰撞截面概念:
下图表示视作质点的 B 分子束平行射向静止的 A 分
表示对于同种气体，平均自由程与n成反比，而与平均
速率无关。
kT 2p
表示同种气体在温度一定时，平均自由程与压强成 反比。
平均自由程公式应用于日光灯,显像管
•[例3.1] 试求标准状况下空气分子的平均自由程。 •[解] 标准状况下空气分子的平均速率为446 m.s-1，平 均碰撞频率为,
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m 1 v 10 y m 1 v 1 y m 2 v 2 y
v 10 y e v 2 y v 1 y
v 10 x v 10 cos
v1 y
v 10 y v 1 sin
小球光滑
v2x 0
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第四章 动能和势能
特例 m1 m2 m2始终不动
v 1 x v 10 cos
第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
1.非对心碰撞基本公式 2.完全弹性碰撞的几种特殊情况
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第四章 动能和势能
§4.7 非对心碰撞
1.非对心碰撞基本公式 非对心碰撞(又称斜碰)——两球相碰之前的速
度不沿它们的中心连线.
斜碰一般为三维问题，较复杂.
这里讨论特殊情况，设小球光滑，碰撞前一个 小球处在静止状态，即 v 20 0 则这种碰撞是二维问题. 在碰撞中动量守恒. 动画演示
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第四章 动能和势能 令接触面法线方向为y 轴正方向
m 1 v 10 m 1 v 1 m 2 v 2
e v 2 y v1 y v 10
y
v1
m1
v2 y
x v10
m2
分量式
m 1 v 10 x m 1 v 1 x m 2 v 2 x
y
v1 x
v 1 y v 10 sin
v 10
ev 10 sin
v 10 cos cos v 10
v 10 sin
O
y
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第四章 动能和势能
(3) m1 m2 , 碰后两小球的运动方向彼此垂直. m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 v 10 [证明] v 1 v 2 v 10 2 2 2 (1) 两边平方 v 1 v 2 2 v 1 v 2 v 10
弹性碰撞，动能守恒,有
1 2 mv
2 1
2
1 2
mv
2
2 2
2
1 2
mv
2 10
得
式(1)与(2)对比得 2 v 1 v 2 0 v1 v 2 即
v 1 v 2 v离开。
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