对心碰撞
球的对心碰撞及其实例分析
球的对心碰撞及其实例分析碰撞问题既是高中教学的重点和难点，也是高考命题的热点。
分析研究碰撞问题，对于解决力学中打夯、锻压、击球等问题，解决热学中气体分子间及气体分子与器壁间的彼此作用问题，解释生活自然中的一些常见现象，和较好地解答高考中的力学综合题等，都有十分重要的作用。
下面以球的对心碰撞为例，对碰撞现象作一些分析。
（一） 完全弹性碰撞在碰撞中，一种简单的情形是，两个等大而不同质量的小球，碰撞前后处在同一水平直线上运动，这就是球的对心碰撞。
若碰撞前后系统的动能不发生转变，就叫完全弹性碰撞。
用m 1和m 2别离表示两球的质量， 用v 10和v 20别离表示两球碰撞前的速度，用v 1和v 2别离表示两球碰撞后的速度，据动量守恒定律有m 1 v 10+ m 2 v 20= m 1v 1+m 2v 2……①由于是完全弹性碰撞，故碰撞前后动能守恒：21 m 1v 102+ 21m 2v 202= 21m 1v 12+ 21m 2v 22……② 联立①②两式可求得两小球碰撞后的速度别离为v 1= (2121m m m m +-)v 10 + (2122m m m +)v 20……③ v 2= (2122m m m +)v 10 +(2112m m m m +-) v 20……④ 按照③④式咱们可做以下讨论：讨论1：当m 1=m 2，即对心碰撞的两球质量相等时可得v 1=v 20, v 2=v 10，即二球通过碰撞彼此互换速度。
若v 20=0，则v 1=0 ，v 2=v 10，即m 1以必然的速度去碰撞静止的m 2，结果m 1会突然停止，而m 2“接过”m 1的速度前进。
这就是在儿童打弹子或成人打台球中常常看到的现象。
讨论2：当m 1<<m 2 且v 20=0，即用小质量的球去碰专门大质量且静止的球时先将v 20=0代入③④式取得 v 1= (2121m m m m +-)v 10 ， v 2= (2122m m m +)v 10 再将条件m 1<<m 2代入上述两式取得 v 1 ≈-v 10 ， v 2≈0这说明球2仍然静止不动，而球1则以碰撞前等大的速度反向弹回。
对心碰撞特例检验动量守恒定律
碰 撞一．目的要求1．用对心碰撞特例检验动量守恒定律；2．了解动量守恒和动能守恒的条件；3．熟练地使用气垫导轨及数字毫秒计。
二．原理1．验证动量守恒定律动量守恒定律指出：若一个物体系所受合外力为零，则物体的总动量保持不变；若物体系所受合外力在某个方向的分量为零，则此物体系的总动量在该方向的分量守恒。
设在平直导轨上，两个滑块作对心碰撞，若忽略空气阻力，则在水平方向上就满足动量守恒定律成立的条件，即碰撞前后的总动量保持不变。
22112211v m v m u m u m +=+ (6.1) 其中，1u 、2u 和1v 、2v 分别为滑块1m 、2m 在碰撞前后的速度。
若分别测出式(6.1)中各量，且等式左右两边相等，则动量守恒定律得以验证。
2．碰撞后的动能损失只要满足动量守恒定律成立的条件，不论弹性碰撞还是非弹性碰撞，总动量都将守恒。
但对动能在碰撞过程中是否守恒，还将与碰撞的性质有关。
碰撞的性质通常用恢复系数e 表达：2112u u v v e --= (6.2) 式(6.2)中，12v v -为两物体碰撞后相互分离的相对速度，21u u -则为碰撞前彼此接近的相对速度。
(1)若相互碰撞的物体为弹性材料，碰撞后物体的形变得以完全恢复，则物体系的总动能不变，碰撞后两物体的相对速度等于碰撞前两物体的相对速度，即2112u u v v -=-，于是1=e ，这类碰撞称为完全弹性碰撞。
(2)若碰撞物体具有一定的塑性，碰撞后尚有部分形变残留，则物体系的总动能有所损耗，转变为其他形式的能量，碰撞后两物体的相对速度小于碰撞前的相对速度，即21120u u v v -<-<于是，10<<e ，这类碰撞称为非弹性碰撞。
(3)碰撞后两物体的相对速度为零，即012=-v v 或v v v ≡=12，两物体粘在一起以后以相同速度继续运动，此时0=e ，物体系的总动能损失最大，这类碰撞称为完全非弹性碰撞，它是非弹性碰撞的一种特殊情况。
3 对心碰撞
打桩时,要求 Ek 0, 即m1>>m2 .
第四章 动能和势能
例题2 冲击摆可用于测子弹速率. 长度为 l 的线绳悬挂质量为m 的木块，子弹质量为m0，沿水平方向射入木块，子弹最后嵌在木
块内一定位置，且测得木块摆过角度 ，m m0
求: 子弹射入的速率v.
l m0 m
(a)
(b) O
(c) x
解：（1）全过程可分为：A下降、A与B碰撞和A、B下落。
（2）设A与B碰撞前的速 A
度为VA0，碰后它们的速度分 别为VA和VB，则
mAvA0
mAvA
mBvB
1 2
mAv
2 A0
1 2
mAvA2
1 2
mBvB2
B P
O LA A B LB
第四章 动能和势能
可解出：
VA
mA mA
v1 y v10 sin
v1 y
（m1
em2 )v10 sin
m1 m2
v2 y
（1
e）m1v10 m1 m2
sin
v10 cos
v10 cos
ev10 sin
v10
v10 sin
O
y
第四章 动能和势能
§4.7.2 完全弹性碰撞的几种特殊情况
已知mN = 14mp
m
vNmN vpmp vp vN
1.16mp
现代精确测量表明, m=1.01 mp
第四章 动能和势能
例题1 如图所示，质量为 mA的小球沿光滑的弧形轨道下滑，与 放在轨道水平面端点P处的静止的小球B发生弹性碰撞，B的质 量为mB, A、B两球碰后同时落在水平地面上。如果A、B两球的 落地点距P点正下方O点的距离之比LA/LB=2/5，求它们的质量比 mA/mB.
弹性碰撞和非弹性碰撞-[新]高中物理选修第一册
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后,仅最左边的球被弹起,摆至最大高度后落下来再次碰撞,致使最
右边钢球又被弹起。硕大钢球交替弹开,周而复始,情景蔚为壮观。
上述现象如何解释?
要点提示:质量相等的两物体发生弹性正碰,碰撞中的动量、动
能都守恒,碰后二者交换速度。
问题一
问题二
当堂检测
为零。
点燃爆竹后木块陷入沙中深5 cm,若沙对木块运动的阻力恒为58 N,不计爆竹中火药质量和空气阻力。
vA'=1 m/s,vB'=1 m/s
光滑水平地面上有两个静止的小物块a和b,a的质量为m,b的质量为M,可以取不同的数值。
解析:斜碰也满足动量守恒定律。
m1v1'+m2v2'
(4)速度不同的两小球碰撞后粘在一起,碰撞过程中没有能量损
mv0=(m+mB)v
设碰撞过程 A、B 系统机械能的损失为 ΔE,则
1
1
1
ΔE=2m(2)2+2mB(2v)2-2(m+mB)v2
1
联立②③④式得 ΔE= 0 2 。
答案:(1)
2
1
(2) 0 2
6
6
③
④
⑤
问题一
问题二
当堂检测
规律方法 处理碰撞问题的几个关键点
(1)选取动量守恒的系统:若有三个或更多个物体参与碰撞时,要
(4)位移特点:碰撞过程时间极短,在物体发生碰撞瞬间,可忽略物体的位移,认为物体在碰撞前后仍在原位置。
若两球质量相同,碰后以某一相等速率同向而行
炸裂的过程中,a、b中受到的爆炸力的冲量大小一定相等
例题3一辆质量m1=3.
两球弹性对心碰撞中的V-m图象
1两球弹性对心碰撞中的“V'—m 1”图象在高中力学动量守恒定律的教学中，两个球体发生完全弹性碰撞是一个典型的例子。
分析问题的方法常常采用解析法，本文试图运用描点作图法拓展问题的研究，使碰撞问题能够在图象上获得直观的分析。
下面就简单的碰撞情况进行分析：如图一所示，设质量为m 1和质量为m 2的两个弹性球发生对心碰撞，碰撞前m 1的速度为V 1，m 2的速度V 2=0，碰撞后两个球的速度分别为V 1'和V 2'。
根据动量守恒定律和碰撞前后总动能不变有m 1V 1=m 1V 1'+m 2V 2'12 m 1V 12= 12 m 1V 1'2+12m 2V 2'2 联立两式得V 1' =12121V m m m m +- V 2' = 12112V m m m +图一2由碰撞后两球的速度公式可知：如果碰撞前入射球速度V 1一定，那么两球碰撞后的速度决定于两球的质量关系，在被碰撞球质量m 2也一定时，则碰撞后两球的速度V 1'和V 2'，将是入射球质量m的函数。
列表如下：1211212V 1'→V 1，V 2'→2V 1。
根据表中数据可以描出“V 1'--m 1 ”图象和“V 2'--m 1 ”图象。
“V 1'--m 1 ”图象13“V 2'--m 1 ”图象由列表和图象可知：(1)当入射球质量远小于被碰球质量时，入射球几乎按原速率弹回，被碰球几乎不动。
球质量恰好等于被碰球质量的三分之一时，两球将等速率弹开；如果入射球质量小于被碰球质量的三分之一，则入射球的弹回速率总大于被碰球的速率。
(3)当入射球质量恰好等于被碰球质量时，两球将彼此交换速度。
(4)当入射球质量大于被碰球质量的三分之一时，被碰球的速率总大于入射球的速率。
(5)当入射球质量远远大于被碰球质量时，入射球几乎保持原来速度不变，而被碰球获得的速度几乎是入射球碰前速度的二倍。
球的对心碰撞及其实例分析
球的对心碰撞及其实例分析碰撞问题既是高中教学的重点和难点，也是高考命题的热点。
分析研究碰撞问题，对于解决力学中打夯、锻压、击球等问题，解决热学中气体分子间及气体分子与器壁间的相互作用问题，解释生活自然中的一些常见现象，以及较好地解答高考中的力学综合题等，都有十分重要的作用。
下面以球的对心碰撞为例，对碰撞现象作一些分析。
（一） 完全弹性碰撞在碰撞中，一种简单的情形是，两个等大而不同质量的小球，碰撞前后处在同一水平直线上运动，这就是球的对心碰撞。
若碰撞前后系统的动能不发生变化，就叫完全弹性碰撞。
用m 1和m 2分别表示两球的质量， 用v 10和v 20分别表示两球碰撞前的速度，用v 1和v 2分别表示两球碰撞后的速度，据动量守恒定律有m 1 v 10+ m 2 v 20= m 1v 1+m 2v 2……①由于是完全弹性碰撞，故碰撞前后动能守恒：21 m 1v 102+ 21m 2v 202= 21m 1v 12+ 21m 2v 22……② 联立①②两式可求得两小球碰撞后的速度分别为v 1= (2121m m m m +-)v 10 + (2122m m m +)v 20……③ v 2= (2122m m m +)v 10 +(2112m m m m +-) v 20……④ 根据③④式我们可做以下讨论：讨论1：当m 1=m 2，即对心碰撞的两球质量相等时可得v 1=v 20, v 2=v 10，即二球经过碰撞相互交换速度。
若v 20=0，则v 1=0 ，v 2=v 10，即m 1以一定的速度去碰撞静止的m 2，结果m 1会突然停止，而m 2“接过”m 1的速度前进。
这就是在儿童打弹子或成人打台球中经常看到的现象。
讨论2：当m 1<<m 2 且v 20=0，即用小质量的球去碰很大质量且静止的球时先将v 20=0代入③④式得到 v 1= (2121m m m m +-)v 10 ， v 2= (2122m m m +)v 10 再将条件m 1<<m 2代入上述两式得到 v 1 ≈-v 10 ， v 2≈0这说明球2仍然静止不动，而球1则以碰撞前等大的速率反向弹回。
4.6对心碰撞
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结束
第四章 动能和势能 而
m1 − m 2 2m 2 v1 = v10 + v 20 m1 + m 2 m1 + m2
v 20 = 0
m1 − m 2 v1 = ( )v 10 m1 + m 2
第四章 动能和势能
三、 非完全弹性碰撞
非完全弹性碰撞 (0 < e < 1)——小球碰撞后 小球碰撞后 彼此分开，而机械能又有一定损失的碰撞 根据前 彼此分开，而机械能又有一定损失的碰撞.根据前 面的结论， 面的结论，有：
m2 v1 = v10 − (1 + e )(v10 − v 20 ) m1 + m 2
v1 = v 20 , v 2 = v10
质量相等的两球碰撞后，相互交换速度 质量相等的两球碰撞后，相互交换速度.
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结束
第四章 动能和势能 (2) 若m2静止，即v20 = 0 静止，
m1 − m 2 v1 = v10 m1 + m 2
v2 =
2m1 v10 m1 + m 2
若m1 << m2 , 则： v1 ≈ −v10 , v2 ≈ 0
F F12 O F21 v v10 v20 O v2 v1 t t
m1v1 + m 2 v 2 = m1v10 + m 2 v 20
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 + m 2 v 2 = m1v10 + m 2 v 20 2 2 2 2
v2 − v1 =1 恢复系数 e = v10 − v20
高中物理正碰特点
正碰，亦称对心“碰撞”，是指物体在相互作用前后都沿着同一直线（即沿着两物体球心连线）运动的碰撞。
在原子或原子核的碰撞中，把碰撞后入射粒子和靶沿同方向或相反方向运动的碰撞或者把在碰撞后沿入射方向运动的碰撞也称为正碰。
正碰的特点可以总结为以下几点：
1. 两物体碰撞的接触面均为曲面，且碰撞时两物体的质心都位于通过其首先接触点所作的公法线上。
2. 碰撞前后，物体沿着这条公法线作直线运动，也就是说，碰撞前后的速度都在这条直线上。
3. 根据系统内耗散力是否做功，正碰可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞。
在弹性碰撞中，碰撞前后的机械能守恒，即碰撞前后的动能和势能之和保持不变。
在非弹性碰撞中，机械能不再守恒，但动量守恒定律仍然成立。
请注意，以上特点主要适用于宏观物体的正碰。
在微观领域，如原子或原子核的碰撞，由于量子效应的影响，正碰的特点可能会有所不同。
在原子或原子核的碰撞中，即使碰撞后的粒子沿入射方向运动，也被视为正碰。
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对心碰撞问题的描述
对心碰撞问题的描述
摘要：本文从能量角度出发，分析了质心坐标系下两体对心碰撞前后系统能量变化。
讨论了恢复系数的物理意义，通过对恢复系数的分析和动能图示法分析了各种碰撞过程，得出恢复系数为系统碰撞之后和之前质心系中相对动能之比的平方根，从中总结出了处理对心碰撞问题的通用方法。
关键字：两体碰撞恢复系数质心系相对动能动量守恒
The central impact hits the question the description Abstract: Around this article embarked from the energy angle, analyzes the center of mass coordinate。
Discussed restored the coefficient the physics significance, through to restored the coefficient the analysis and the kinetic energy graphic interpretation has analyzed each kind of collision process, obtains restored the coefficient after the system collision and before in center of mass ratio of relative kinetic energy square root, summarized the processing central impact to hit the question the general method.
Key words:Two body collisions. Restores the coefficient. Center of mass. Relative kinetic energy. Conservation of momentum
1.引言
碰撞问题是物理学研究的对象，在所有自然界中的碰撞有两个特点，首先，碰撞在短暂时间类相互作用很强，在一般研究中通常不考虑外界影响；其次碰撞前后状态变化突然且明显，适合于用守恒律研究运动状态的变化，而在研究碰撞的理想模型中有两种碰撞——若有两球碰撞前的速度矢量连线与沿着两球球心的连心线平行，这样的碰撞在力学上我们通常将其称为对心碰撞或正碰。
相反则称之为非对心碰撞或斜碰。
我们在通常研究碰撞时可以将非对心碰撞进行处理，从而可以使用对心碰撞的研究方式进行处理，本文在此针对对心碰撞进行分析。
2.对心碰撞的理想模型
在光滑水平面上，两球体和分别以初速度和发生正碰，碰撞之后各自速度为和。
由于外力矢量和为零，故动量守恒，有
（2-1）
在气垫轨道上或在气桌上做对心碰撞试验，可测出。
以各种不同初速度实验，牛顿总结了各种碰撞实验结果表明，对于材料一定的球，碰撞后分开的相对速度
与碰前接近的相对速度成正比。
碰前靠近的相对速度为，碰后的分离的相对速度为，于是有
（2-2）
比例常数牛顿将其定义为恢复系数，由两球材料的弹性而决定。
由于初始速度为已知，在此将（2-1）和（2-2）联立求解，碰撞后的速度为
（2-3）
（2-4）
针对对心碰撞我们在此引入质心系。
由柯尼希定理可知质点组的动能为质心的动能和各质点对质心的动能之和，则质心系的相对动能，质心整体的平动动能。
将柯尼希定理应用于对心碰撞问题，则在对心碰撞问题中碰前相对速度为，碰后的分离的相对速度为。
则两球体碰撞前后的动能为
（2-5）
其中为折合质量 ,为质心的速度
（2-6）
对于此系统碰撞前后系统动量守恒，则由（2-1）和（2-6）可得，故整个碰撞过程中质心平动动能不变。
在此我们将（2-2）与（2-5）式结合可得：
（2-7）
由上式可以说明恢复系数等于碰撞后与之前质心系中相对动能之比的平方。
3.碰撞的描述及其分类
3.1以恢复系数对碰撞的描述
3.1.1
，即碰撞前后两球的相对速度大小不发生变化
（ 3-1-1）
将上式可以写作
（3-1-2)
将（3-1-1）与（3-1-2）相乘可得
（3-1-3）
由3-1-3式我们可以发现碰撞前后系统总动能不变，即机械能无损失。
将（2-1）与（3-1-3）式联立可得碰撞后速度为：
（3-1-4）
现就上进行讨论：
（1）.
此时可得，即两球碰撞之后只是进行了速度交换。
如果碰撞前静止，即，则和发生碰撞之后，以的初速度继续前行，而又保持静止。
由此可以发现的初动能完全转化为的末动能。
（2）.时，相当于用一个很小的球去碰一个很大的球，因，故
因为，因此，此时即用质量很小的球去碰一个质量相对庞大的球，大球丝毫未动，而小球却被碰得按原路返回。
（3）.时，相当于用质量很大的球去碰一个质量很小的球，因，则，表明大球在发生碰撞前后运动状态几乎没有发生变化，而小球则以2倍于大球的速度被撞出去。
结合以上我们通常将这类的碰撞称之为完全弹性碰撞。
3.1.2.
，则，即两球碰撞之后并未分开，而且以同一速度运动。
由此可得
（3-2-1）
由上式解
（3-2-2）
碰撞后动能损失为：
（3-2-3）
在，在此种特殊情况下，其中为初始动能。
若，则动能完全损失；，则动能几乎没有损失。
对于这类碰撞我们称之为完全非弹性碰撞。
3.1.3 .
对于此类碰撞通过2-7式可以得出系统在碰撞之后两球分开，且有一部分动能损失，与3-1-2相比，此类碰撞机械能损失较小，由于自然界当中一切形式的过程均满足能量守恒定律，因此对于此类碰撞其损失的动能最终转化为其他形式能量，例如内能，声音等。
3.1.
4.
通过对（2-7）式分析，我们发现系统的机械能有所增加，则可以断定此类碰撞过程中一定伴随着能量的释放，这种碰撞例如两枚炮弹相撞并发生爆炸的过程。
对于和的两种过程我们通常称之为一般非完全弹性碰撞。
3.2以能量图像对碰撞的描述
结合2-5式我们由柯尼希定理得系统总动能为（3-2-1），又因为我们由上可知对一个给定系统而言，其质心的平动动能为一个不变量，只有相对动能发生变化，则碰撞系统末状态所对应的点只能在如图所示的抛物线上。
根据系统取值的不同我们对此进行如下讨论：
（1）完全弹性碰撞
系统末状态在b点取值与初状态d点的总动能相等，即初末状态的相对动能也相等，此时有，这就是通常所说的完全弹性碰撞。
（2）完全非弹性碰撞
系统末状态在c点取值，则两球碰撞之后粘在一起，相对运动速度为0，此时系统末动能达到最小，说明系统在此能量损失最为严重，相对动能没有转化为动能，即有，这就是严格的完全非弹性碰撞。
（3）一般碰撞
若系统的末状态在段（不包含b,c）取值，通过通过图可以看出，系统有一定的相对动能损失，同时又有一部分相对动能被转化为系统末状态的相对动能，且碰撞小球的末速度小于小球的末速度。
（4）击穿碰撞
若系统末状态在抛物线段（不包含此c,d）上取值，则由此可得，小球发生击穿，相对动能有一定的损失，有一部分动能没有发生转换。
可见，击穿碰撞与一般非弹性碰撞并无本质上的不同，击穿碰撞只是一般非弹性碰撞的一种特殊形式，是一种广义上的一般非弹性碰撞。
（5）放能碰撞
若系统的末状态在抛物线的段（不含b点）上取值，则可知碰撞后系统的总动能比碰撞前大，因而可以说明碰撞过程伴随有能量释放，因而称之为放能碰撞。
例如爆炸。
（6）击穿放能碰撞
若系统的末状态在抛物线段（不含d）上取值，则可知碰撞后系统的总动能比碰撞前大，且，此过程中不仅发生击穿而且还伴有放能。
在此我们将其称作击穿放能碰撞，这种例子如军事上的穿甲弹。
4.总结
由以上的分析可知，恢复系数等于碰撞后与之前质心系中相对动能之比的平方。
从碰撞前后的恢复系数角度来看，将的碰撞称之为完全弹性碰撞。
对于这类碰撞我们称之为完全非弹性碰撞。
对于和的两种过程我们通常称之为一般非弹性碰撞。
从碰撞前后动能变化的角度来看，完全弹性碰撞对应于动能无变化的情况，完全非弹性碰撞对应的动能损失最大。
对于一般非弹性碰撞、击穿碰撞、放能碰撞以及击穿放能碰撞，其都有共同的特点就是碰撞前后动能都有一定的变化，但变化没有达到极大。
从另一层面我们可以将碰撞分为：完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞，一般非弹性碰撞。
5.学习中的应用
对于以上所分类的各种碰撞情况通常在中学物理中令许多学生非常容易发生混淆，很难分清在各种碰撞情况中该如何使用动量定理或机械能守恒定律，通过上文的分析我们可以很容易的找到各种碰撞过程的区别，而从中可以得出在各种理想碰撞过程中系统始终满足动量守恒定理，而只有在完全弹性碰撞过程中满足机械能守恒定律。
参考文献
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理论力学教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1986:94-95.
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从动能变化特点考察一维两体对心碰撞[J],大学物理，2004-5第23卷第5期.
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从能量角度讨论质心系中的两体碰撞问题[J].安庆师范学院学报（自然科学版）2007-11，第13卷第4期。