高中数学完整讲义——复数
高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点
高二数学复数知识点整理_高中数学复数知识点复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，某轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程某2=-1的一个根，方程某2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
《复数的概念》 讲义
《复数的概念》讲义一、什么是复数在我们的数学世界中，数的概念不断发展和扩充。
从最初的自然数，到整数、有理数，再到实数。
而复数的出现，则为数学的领域打开了一扇新的大门。
那么，究竟什么是复数呢？简单来说，复数是形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，并且满足 i²＝－1。
这里的 a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 就变成了实数 a；当 a ＝ 0 且b ≠ 0 时，复数就变成了纯虚数 bi。
二、复数的表示方法1、代数形式正如前面所提到的，复数的代数形式就是 a ＋ bi，这是我们最常见也是最常用的表示方法。
2、几何形式在平面直角坐标系中，我们可以用点（a, b）来表示复数 a ＋ bi。
其中，横坐标 a 表示实部，纵坐标 b 表示虚部。
这样，复数就与平面上的点建立了一一对应的关系。
这个平面我们称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。
3、三角形式复数还可以表示为 r（cosθ ＋isinθ）的形式，其中 r ＝√（a²＋ b²) 称为复数的模，θ 称为复数的辐角。
这种表示方法在涉及复数的乘除运算时非常有用。
三、复数的运算1、加法和减法两个复数相加（或相减），就是实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如：（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i2、乘法复数的乘法按照多项式乘法的法则进行，同时要记住 i²＝－1。
例如：（a ＋ bi)×（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi²＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i3、除法为了进行复数的除法运算，我们通常先将分母实数化。
例如：（a ＋ bi)÷（c ＋ di) ＝（a ＋ bi)（c di)÷（c ＋ di)（c di)＝ ac ＋ bd ＋（bc ad)i÷（c²＋ d²)＝（ac ＋ bd)÷（c²＋ d²) ＋（bc ad)÷（c²＋ d²)i四、复数的应用1、在物理学中的应用在电学中，交流电路中的电压、电流等都可以用复数来表示，从而方便计算和分析。
高中复数知识点
高中复数知识点高中复数知识点复数是高中数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。
在高中数学中学习复数的知识要点主要有以下几个方面。
一、复数的定义和表示复数由实部和虚部构成，一般表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的实部和虚部都可以是实数，当虚部为0时，复数就是一个实数。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实数加法和减法的运算规律。
实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i。
三、复数的乘法和除法复数的乘法和除法遵循实数乘法和除法的运算规律。
即实部与实部相乘，虚部与虚部相乘，虚部的平方等于-1。
例如：(a+bi)·(c+di) = ac+adi+bci+bdi^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i。
四、复数的模和幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以用公式|a+bi| =√(a^2+b^2)来计算。
复数的幅角表示复数与实轴正半轴的夹角，可以用反三角函数来计算。
例如：复数a+bi的幅角为arctan(b/a)。
五、复数的乘方和开方对复数进行乘方，可以按照实数的乘方规则进行运算。
开方时，复数的开方有两个解，其中一个解是取正号，另一个解是取负号。
例如：开方公式为：√(a+bi) = ±√(r)e^(it/2)，其中r是模，t是幅角。
六、复数的共轭和商复数的共轭是将复数的虚部改为相反数得到的复数，表示为a-bi。
复数的商是对复数进行除法得到的值，其中分子和分母都可以为复数。
七、复数方程复数方程指的是含有复数未知数的方程。
解复数方程时，可以根据方程的形式进行变形和求解。
例如：线性复数方程的解是一个复数；二次复数方程的解可以用求根公式进行计算。
八、复数函数复数函数指的是函数的定义域和值都是复数。
复数函数包括代数函数和三角函数。
对于代数函数，其运算规则和实数函数一样。
对于三角函数，可以用欧拉公式将三角函数表示为指数函数的形式。
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2. 减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 b2)i
3. 乘法：z1 * z2 = (a1 * a2 - b1 * b2) + (a1 * b2 + a2 * b1)i
4. 除法：z1 / z2 = (a1 * a2 + b1 * b2) / (a2^2 + b2^2) + (b1 * a2 a1 * b2) / (a2^2 + b2^2)i
控制系统中的传递函数和稳定 性分析也涉及到复数，是工程 和科学领域的重要数学工具。
04
复数的历史和发展
复数的发展历程
01
02
03
复数概念的产生
起源于16世纪，数学家试 图解决方程的根的问题， 发现了虚数单位i。
复数的早期应用
在电气工程、流体力学等 领域开始使用复数。
复数的普及
19世纪，数学家开始广泛 地研究复数及其性质，并 应用于数学、物理和工程 等领域。
复数的共轭和模长
01
定义
复数的共轭定义为若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。复数的模长定义为
|z|=sqrt(a^2+b^2)。
02
性质
复数的共轭具有共轭的共轭等于自身、共轭的加法运算等于减法运算等
性质；复数的模长具有模长的平方等于实部和虚部的平方和等性质。
03
计算方法
计算复数的共轭和模长时，可以利用共轭和模长的性质进行计算。
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contents
目录
• 复数的基本概念 • 复数的三角形式 • 复数的应用 • 复数的历史和发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
复数的定义
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
(完整版)高中数学复数讲义.教师版
复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
高中数学课件：复数
[易错矫正] 解题时易出现的错误是忽视复数相等的条件．第 1 题是实 系数方程，直接利用复数相等可得方程组；第 2 题中 a 是复数， 必须设出复数 a 的代数形式后才满足复数相等的条件，才可以 列方程组求解．
二、结论通通用(与复数运算有关的结论) [二级结论]
复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i； (2)11＋ －ii＝i，11＋ －ii＝－i； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z )；
四、“基本活动体验”不可少 欧拉公式 eix＝cos x＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家 欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三 角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的 地位．特别是当 x＝π 时，eix＋1＝0 被认为是数学上最优美的公 式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可 知，e4i 表示的复数在复平面中位于第几象限？ 解： 因为 e4i＝cos 4＋isin 4，cos 4<0，sin 4<0，所以 e4i 表示的 复数在复平面中位于第三象限．
高中数学课件： 复数
第四节 复数
一、“基础知识”掌握牢 1．复数的定义及分类 (1)复数的定义： 形如 a＋bi(a，b∈R )的数叫做复数，其中实部是 a ，虚部是 b . (2)复数的分类：
实数 b＝0， 复 a，数bz∈＝Ra＋ bi虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠00，.
2．复数的有关概念
[一“点”就过] 复数代数形式运算问题的解题策略
复数 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同 的加 类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与 减法 虚部相加减)计算即可 复数 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将 的乘 含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的
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题型一：复数的概念【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．1-【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．或【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）A ．()15，B ．()13，C ．()15，D ．()13，【例4】若复数(2)i bi ⋅+是纯虚数，则实数b = ．【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部为 ．【例6】复数321i +=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．1-D ．3【例7】计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位）2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析复数【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）A ．z 的对应点Z 在第一象限B ．z 的对应点Z 在第四象限C ．z 不是纯虚数D ．z 是虚数【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；①若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±；①z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ①若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ①z ∈R 的一个充要条件是z z =．①1z =的充要条件是1z z=．A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：复数的几何意义【例10】复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例12】在复平面内，复数200921i (1i)+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例13】在复平面内，复数sin2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例14】在复平面内，复数21i+对应的点与原点的距离是（ ） A ． 1 B ．2 C ．2 D ． 22【例15】若复数z 满足(1)1i z ai -=+，且复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或【例16】已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为，把依逆时针旋转θ得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是（ ）A ．3iB ．4iC ．5iD ．－5i【例17】复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例18】若35ππ44θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例19】设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平 面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例20】如果复数z 满足i i 2z z ++-=，那么i 1z ++的最小值是（ ）A ．1B 2C ．2D 5【例21】满足1z =及1322z z +=-的复数z 的集合是（ ） OZ uuu r OZ uuu r1OZ u u u r 1OZ u u u rA ．131322⎧⎫⎪⎪-+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭， B ．1111i i 2222⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭， C ．2222⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭， D ．131322⎧⎫⎪⎪+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，【例22】已知复数(2)i()x y x y -+∈R ，3yx的最大值为_______．【例23】复数z 满足条件：21i z z +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【例24】复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．【例25】已知复数1z ，2z 满足171z =，271z =，且124z z -=，求12z z 与12z z +的值．【例26】已知复数12z z ，满足121z z ==，且122z z -=，求证：122z z +=【例27】已知12z z ，∈C ，121z z ==，123z z +=12z z -．【例28】已知复数z 满足(23i)(23i)4z z -++-=，求d z =的最大值与最小值．题型三：复数的四则运算【例29】复数31i i ⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．8B ．8-C ．8iD ．8i -【例30】设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．1±B ．1C ．0D ．1-【例31】已知复数1z i =-，则221z zz -=-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-【例32】设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z ⋅=，则zz 等于（ ） A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±【例33】已知集合(3)(3)2i i z i+-=-，则||z =（ ）A 5B ．25C 5D ．25【例34】已知复数12232i23i ,(2i)z z +=-=+，则12z z =（ ）A ． 49B ．7C ． 25D ． 5【例35】若将复数11ii+-表示为a bi +（a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a b += ．【例36】若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．4 C ．6- D ．6【例37】i 是虚数单位，若，则乘积的值是（ ） A ．15- B ．3- C ．3 D ．15【例38】设且，若复数是实数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【例39】若a 为实数，i iai 2212-=++，则a 等于（ ）17(,)2ia bi ab R i+=+∈-ab a b ∈R ，0b ≠3()a bi +223b a =223a b =229b a =229a b =A ． 2B ．－ 2C ．2 2D ．－22【例40】若复数z=i a 3)2(+- （R a ∈）是纯虚数，则aiia ++1=【例41】定义运算(,)(,)a b c d ac cd ⊗=-，则符合条件(,12)(1,1)0z i i i +⊗+-=的复数z 的所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例42】定义运算a b ad bc c d=-，则符合条件120121z i ii+=--的复数z 对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(i)(i)m n n m +-为实数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【例44】已知复数z 满足01,120082009=++=z z z ，则复数z ＝_____________【例45】已知m ∈R ，若6(i)64i m m +=-，则m 等于（ ）A ．2-B ．2C ．2-D ．4【例4645(13i)-等于（ ）A ．13i +B ．13i -C ．13iD ．13i --【例47121009100(23i)(13i)(123i)-+-++．131416112【例48】已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ⋅的最大值为（ ）A ．32B 2C ．6 D ．3【例49】若复数1i z =+，求实数a b ，使22(2)az bz a z +=+．（其中z 为z 的共轭复数）【例50】设x 、y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y +=________．【例51】对任意一个非零复数z ，定义集合{|}n z M w w z n ==∈N ，． ①设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求其和为零的概率P ；①若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．【例52】解关于x 的方程256(2)i 0x x x -++-=．【例53】已知2211z x i x =++，22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．【例54】关于x 的方程2(2)i 10x a i x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围．【例55】设方程220x x k -+=的根分别为α，β，且22αβ-=k 的值．【例56】用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．【例57】若cos isin αα+是方程121210n n n n n x a x a x a x a ---+++++=L （12n a a a ∈R L ，，，）的解， 求证：12sin sin 2sin 0n a a a n ααα+++=L ．【例58】已知1zz -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．【例59】设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中5A =，求12z A z A +⋅+的值．【例60】设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值．【例61】若()23i f z z z =+-，()63i f z i +=-，试求()f z -．【例62】已知虚数ω为1的一个立方根， 即满足31ω=，且ω对应的点在第二象限，证明2ωω=，并求23111ωωω++与211ωω++的值．【例63】若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=L （0122132n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，）， 求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L【例64】设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<．①求z 的值及z 的实部的取值范围； ①设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； ①求2w u -的最小值．【例65】对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，． ⑴ 设σ是方程12x x+的一个根，试用列举法表示集合M σ； ①设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【例66】已知复数01i(0)z m m =->，i z x y =+和i w x y ''=+，其中x y x y ''，，，均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0w z z =⋅，2w z =．⑴ 试求m 的值，并分别写出x '和y '用x y ，表示的关系式；①将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；①是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．。