八年级上教案全等三角形辅助线作法
全等三角形中常见辅助线的作法
全等三角形中常见辅助线的作法一、倍长中线法。
1. 作法。
- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。
- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。
延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。
2. 原因。
- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。
- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。
二、截长补短法。
1. 截长法。
- 作法。
- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。
- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。
在AB上截取AE = AC，然后连接DE。
- 原因。
- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。
这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。
2. 补短法。
- 作法。
- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。
- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。
- 原因。
- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。
三、作平行线法。
1. 作法。
- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。
- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。
过D作DF∥AC交BC于F。
2. 原因。
- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。
人教版八年级上册第十二章全等三角形经典题型辅助线作法
全等三角形常见辅助线作法【例1】．已知：如图6，△BCE 、△ACD 分别是以BE 、AD 为斜边的直角三角形，且BE AD =，△CDE 是等边三角形．求证：△ABC 是等边三角形．【例2】、如图，已知BC > AB ，AD=DC 。
BD 平分∠ABC 。
求证：∠A+∠C=180°.一、线段的数量关系: 通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。
1、倍长中线法【例. 3】如图，已知在△ABC 中，90C ︒∠=，30B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D . 求证：2BD CD =证明：延长DC 到E ，使得CE=CD,联结AE ∵∠ADE=60°∵∠C=90° ∴△ADE 为等边三角形 ∴AC ⊥CD ∴AD=DE ∵CD=CE ∵DB=DA∴AD=AE ∴BD=DE ∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC ∴∠BAC=60° ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=30°∴DB=DA ∠ADE=60°DCBADCB EA【例4.】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
证明：延长AE 到点F,使得EF=AE 联结DF在△ABE 和△FDE 中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDABE =DE∵∠ABE=∠FDE∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF ∴△ABE ≌ △FDE （SAS ） 在△ADF 和△ADC 中 ∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD ∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC ∴ FD = DC DF =DC∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF ≌ ADC(SAS) ∵ADB BAD ∠=∠ ∴AF=AC ∴AC=2AE【变式练习】、 如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.【小结】熟悉法一、法三“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法，倍长中线，或者倍长过中点的一条线段以后的对于解决含有过中点线段有很好的效果。
2024八年级上《全等三角形》常见辅助线作法总结
全等三角形是初中数学中的重要概念，掌握全等三角形的判断和性质是解决三角形问题的关键。
常用的辅助线作法可以帮助我们更好地理解和应用全等三角形的知识。
下面将对2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法进行总结。
一、三角形内部的辅助线作法：1.外切圆：对于一个三角形，可以在它的外面作出三个外接圆，然后通过外接圆的协调定理来判断和证明两个三角形全等。
2.角平分线：对于一个角，可以作出它的角平分线，然后利用角平分线的性质来判断和证明两个三角形全等。
3.中位线：对于一个三角形，可以连接它的两个顶点和中点，得到两条中位线。
根据中位线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
4.高线：对于一个三角形，可以分别作出它的三条高线，然后根据高线的性质来判断和证明两个三角形全等。
5.角高线和中线：对于一个锐角三角形，可以连接其中一个角的顶点和对边的中点，得到一条角高线和一条中线。
根据角高线和中线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
二、三角形外部的辅助线作法：1.外接圆和割线：对于一个三角形，可以通过外接圆和割线的性质来判断和证明两个三角形全等。
2.正弦定理和余弦定理：对于一个三角形，可以通过正弦定理和余弦定理来判断和证明两个三角形全等。
3.对称性和重叠法：对于一个三角形，可以利用对称性和重叠法来判断和证明两个三角形全等。
4.平移法和旋转法：可以通过平移法和旋转法来判断和证明两个三角形全等。
以上仅是2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法的总结，实际问题中可能还会有其他的辅助线作法。
在解决三角形问题时，选择合适的辅助线作法可以简化问题，提高解题效率。
同时，还需要对全等三角形的基本知识进行深入理解和掌握，不仅要掌握判断全等三角形的条件，还要熟练运用全等三角形的性质和定理。
全等三角形辅助线教案
全等三角形辅助线教案教案标题：全等三角形辅助线教案教案目标：1. 理解全等三角形的概念和性质；2. 掌握使用辅助线证明两个三角形全等的方法；3. 能够应用辅助线的方法解决与全等三角形相关的问题。
教学准备：1. 教学工具：黑板、白板、彩色粉笔/马克笔；2. 教学材料：教科书、练习册、作业纸；3. 教学媒体：投影仪/电脑。
教学步骤：引入：1. 引导学生回顾并复习全等三角形的概念和性质。
2. 提问学生：如何证明两个三角形全等？是否有其他方法可以证明？教学主体：3. 介绍辅助线的概念和作用：辅助线是指在图形中添加额外的线段或线条，以帮助我们更好地理解和解决问题。
4. 解释使用辅助线证明全等三角形的方法：a. 通过添加辅助线构造相应的相等角；b. 通过添加辅助线构造相应的相等边；c. 通过添加辅助线构造相应的相等角和相等边。
5. 演示使用辅助线证明全等三角形的具体步骤，并进行相关示例的讲解。
练习与巩固：6. 学生进行练习，完成相关练习册上的题目。
7. 鼓励学生互相交流、讨论解题思路和方法。
8. 随堂检查学生的练习情况，及时给予指导和帮助。
拓展与应用：9. 提供一些与全等三角形相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
10. 学生进行小组或个人讨论，分享解题思路和结果。
11. 鼓励学生展示解题过程和答案，进行互动和交流。
总结：12. 总结使用辅助线证明全等三角形的方法和要点。
13. 强调辅助线在解决几何问题中的重要性和应用价值。
作业布置：14. 布置相关作业，要求学生练习使用辅助线证明全等三角形的方法，并解答相关问题。
15. 鼓励学生在作业中思考和应用辅助线的方法解决其他几何问题。
教学反思：本节课通过引入辅助线的概念和作用，帮助学生理解和掌握使用辅助线证明全等三角形的方法。
通过示例讲解和练习，加深学生对该方法的理解和应用能力。
同时，通过拓展与应用环节，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
在教学过程中，要注重学生的参与和互动，鼓励他们思考和讨论，提高他们的学习兴趣和主动性。
新人教版数学八年级上册第12章第7课时证全等的辅助线作法(教师版)
新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法导学案一、学习目标1．掌握全等三角形中常见辅助线的添加方法；2．提高解决实际问题的能力．二、知识回顾找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能相等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可以从条件和结论综合考虑，看他们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形．三、新知讲解三角形中常见辅助线的作法：（1）连接两点构造全等三角形例如：已知，AC、BD相交于O点，且AB=DC，AC=BD，求证：∠A=∠D．分析：要证∠A=∠D，可证它们所在的三角形△ABD和△DCO全等，而只有AB=DC和对顶角．两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如连接BC，则△ABD和△DCO全等，所以，证得∠A=∠D．（2）作倍长中线构造全等三角形若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形．利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．例如：如下图：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD．分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+ BD+CD> AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去．因此，可作辅助线：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE．（3）截长补短构造全等三角形在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．例如：如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC．解析：（截长法）在AB上取中点F，连FD．△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知：DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC（SAS）∠ACD＝∠AFD＝90°，即：CD⊥AC．（4）平移法过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．例如：如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于点D，若EB=CF．求证：DE=DF．分析：因为DE，DF所在的两个三角形△DEB与△DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换，过点E作EG∥CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．连接两点证全等（连公共边构造全等）【例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：DC=AB，AD=BC．总结：四边形问题通常要转化成三角形问题求解，常作辅助线是连接对角线．练1．已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．2．倍长中线证全等（利用中点、中线构造全等）【例2】如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________．D CBA总结：“倍长中线”的实质是用“SAS”构造全等，其中延长中线得到相等的边和对顶角．在遇到中点或中线时，通常用这种方法．练2．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小．E DF C B A 3．截长法或补短法证全等【例3】如图，已知在△ABC 内，∠BAC=60°，∠C=40°，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是∠BAC ，∠ABC 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．P QC BA总结：1.截长法：①在长边上截取一条与某一短边相同的线段；②证剩下的线段与另一短边相等． 2. 补短法：①延长短边；②通过旋转等方式使两短边拼合在一起．练3．如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AD+BC ． EDC B A五、课后小测 一、解答题1．如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE ．ED CBA2．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°．DCBA3．如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证：AB-AC＞PB-PC．P2 1D CBA4．如图2，AD为△ABC的角平分线，AB>AC，求证：AB-AC>BD-DC．图221 ED CBA5．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．典例探究答案：【例1】【解析】可连接BD ，证明△ADB ≌△CBD ，进而获得结论． 证明：如图，连接BD ．∵AB ∥CD ， AD ∥BC ，∴∠1=∠2，∠3=∠4．在△ADB 和△CBD 中，12,,34,BD DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADEB ≌△CBD （ASA ）．∴DC=AB ，AD=BC ．练1．【解析】根据已知条件证不出全等三角形，也证不出∠A=∠D ． 连接BC ，在△ABC 和△DBC 中，AB=CD （已知），AC=BD （已知），BC=BC （公共边），∴△ABC ≌△DBC ．∴∠A=∠D ．【例2】【解析】延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连接BE ，CE ．AD=DE（作图）∠ADC=∠EDB（对顶角）CD=BD（D是中点）∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE=AC=3由三角形三边关系知：AB-BE <2AD<AB+BE ，即2＜2AD＜8，故AD的取值范围是1<AD<4．练2．【解析】(倍长中线)延长FD至G使FG＝2DF，连BG，EG；由SAS可证：△FCD≌△GBD，∴FD＝GD，在△EFD和△EGD中，ED=ED（公共边）∠EDF=∠EDG=90°（DE⊥DF）FD＝GD（已证）∴△EFD≌△EGD∴EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE，故：EF<BE+FC ．【例3】【解析】证明：(补短法)延长AB 至D ，使BD=BP ，连接DP ，在等腰三角形BPD 中，可得∠BDP=40°，从而∠BDP=40°=∠ACP ，在△ADP 和△ACP 中，D C DAP CAP AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ADP ≌△ACP(AAS)．∴AD=AC ，又∠QBC=40°=∠QCB ，故BQ=QC ．∵BD=BP ，∴BQ+AQ=AB+BP ．练3．【解析】证明：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE ，△ADE ≌△AFE （SAS ）∠ADE ＝∠AFE ，∠ADE+∠BCE ＝180°∠AFE+∠BFE ＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE（AAS）故有BF＝BC从而：AB＝AD+BC．课后小测答案：一、解答题1．【解析】证明：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG，显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD，由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB与△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG，故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE．2．【解析】（补短法）延长BA至F，使BF＝BC，连FD，△BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB，FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD 中∠DFB ＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD ＝180°．3．【解析】（补短法）延长AC 至F ，使AF ＝AB ，连PD ，△ABP ≌△AFP （SAS ）故BP ＝PF ，由三角形性质知：PB －PC ＝PF －PC < CF ＝AF －AC ＝AB －AC ．4．【解析】可在AB 上截取AE=AC ，易得△ADE ≌△ADC ，从而将AB-AC 转化为AB-AE ，BD-DC 转化为BD-DE ，在△BDE 中即可解决问题．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，则BE=AB-AC ．在△ADE 和△ADC 中，,12,,AE AC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC （SAS ）．∴ DE=DC ．又∵BE>BD-DE ，∴AB-AC>BD-DC ．点评：本题借助角平分线，在角的两边截取相同的线段构造“SAS”形式的全等三角形，使得问题顺利得解．对线段和差问题，常用截长补短法．5．【解析】(图形补全法， “截长法”或“补短法”， 计算数值法) AC 的延长线与BD 的延长线交于点F ，在线段CF 上取点E ，使CE ＝BM∵△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，DM=DE∠MDN=∠EDN=60°DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，DM=DE∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF (∠CDE=∠BDM)∠DAM=∠DFE=30°∴△DMN≌△DEN (AAS)，∴MA=FE△AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6．。
教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点DC B A 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD 的取值范围是1<AD<4ED F CB A例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG,显然DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG 故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 应用：1、（09崇文二模）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．ABC ∆EDCBA二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD △ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90° △ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF ＝AD ，连FE △ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°PQCBA∠AFE+∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
第十二章第三讲全等的构造-巧添辅助线(教案)
1.教学重点
-核心知识：全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及其在实际问题中的应用。
-巧添辅助线的方法及其应用，包括延长两边、构造平行线、利用特殊线段（中点、角平分线、高线）等。
-典型例题的分析与解答，强化全等三角形构造的解题技巧。
举例解释：在讲解全等三角形判定方法时，重点强调SAS判定法中，两边及其夹角必须一一对应相等。通过具体例题，如“已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，证明三角形ABD全等于三角形ACD”，让学生直观理解SAS判定法的应用。
其次，我发现学生们在分组讨论和实验操作环节，表现得非常积极。他们通过互相交流、探讨，不仅提高了自己的思考能力，还学会了如何团队合作。这一点让我深感欣慰，也证明了我的教学方法是有效的。
然而，我也注意到，在小组讨论过程中，有些学生较为内向，不愿意发表自己的观点。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中，多关注这部分学生，鼓励他们大胆表达自己的看法，提高他们的自信心。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法以及巧添辅助线的技巧。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等构造的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到教学反思的重要性。通过反思，我可以发现自己在教学过程中的不足，及时调整教学方法，以便更好地满足学生的需求。同时，我也将继续学习，提高自己的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学。
此外，对于教学难点和重点的把握，我认为自己在课堂上还需要进一步加强。在讲解全等三角形的判定方法和巧添辅助线的过程中，我应该更加明确地指出每个方法的关键点，并通过更多典型的例题来帮助学生巩固知识点。
几种证明全等三角形添加辅助线的方法
几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。
以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。
方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。
例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。
通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。
由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。
通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。
通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。
方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。
假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。
我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。
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全等三角形常用辅助线作法
一、倍长中线（或类中线）法：
若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。
1、基本模型：
（1）
△ABC中AD是BC边中线
方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE
方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE
E
D F C
B
A
D C B
A
方式3：延长MD到N，使DN=MD，连接CD
经典例题
例1、（核心母题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
A
E
D C
B
变式练习
1、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。
2、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。
求证：AF=EF。
B
4、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。
二、截长补短法
截长补短法：若遇到证明线段的和、差、倍、分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。
①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。
例1、（核心母题）如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ， 求证：AB=AD+BC ．
例2、已知：如图，ABC ∆是等边三角形，120BDC ο
∠=， 求证：AD BD CD =+
.
第 1 题图
A
B
F
D
E
C
A
例3、在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB+BP=BQ+AQ 。
变式练习
1、已知四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC ο
∠=°，P 为四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且120APD ο
∠=，求证：PA PD PC BD ++=
2、如图，在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，AD ，CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线，求证：
AC=AE+CD
P
B
D
C
A
A
B C
D
E
O
3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60° 求证：BD+DC=AB
4、已知：如图在△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－2
1
∠BDC ，求证：AB=BD ＋DC 。
三、角平分线、中垂线法
角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。
例1、（核心母题）
在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点． 求证：AB AC PB PC ->-．
C
D B P
A
例2、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线， 过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ． 求证：BF=CG ．
例3、已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD=2CE ．
变式练习
1、如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由．
D
P
C B A
2、如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，BE 平分∠ABC 交AC 于E 、AD ⊥BE 于D ，求证： （1）AC-BE=AE ； （2）AC=2BD ．
3、如图，在ABC
∆中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF AD
∥交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG CF
=，求证：AD为BAC
∠的角平分线．
F
G
E D C
B
A
四、角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法
角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。
例1、（核心母题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF.
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且2∠EAF=∠BAD，
（1）求证：EF=BE+FD
（2）如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明
理由。
例3、如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°求证：AD平分∠CDE.
变式练习
1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAQ=45°，AH⊥EF，求证：AH=AB.
2、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN=BM +DN ，
求证：①.∠MAN=ο45②.AB C CMN 2=∆③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.
3、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，K 、N 分别是AB 、BC 上的点，若△BKN 的周长是AB 的2倍，求∠KDN 的度数？
4、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE 的面积．。