专题14：导数中的单调性及极值最值问题高考真题(理科)(原卷版)
专题14：导数中的单调性及极值最值问题高考真题（理科）（原卷版）
1．已知函数2()e x f x ax x =+-.
（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；
（2）当x ≥0时，f （x ）≥
12x 3+1，求a 的取值范围.
2．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷） 已知函数1()ln f x x a x x
=-+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：
()()1212
2f x f x a x x -<--．
3．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题
已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；
4．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）
已知函数()2
ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e
f x --<<.
设函数2()e mx f x x mx =+-．
（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．
6．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）
已知函数()f x =2x x e e x ---.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；
（3）已知1.4142 1.4143<
<，估计ln2的近似值（精确到0.001）
7．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
已知函数32()2f x x ax b =-+.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.
设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中α＞0，记 ()f x 的最大值为A ． （Ⅰ）求()'
f x ； （Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明()2f x A '≤.
9．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） (1)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
(2)证明：当
时，函数 有最小值.设g （x ）的最小值为，求函数
的值域.。
高考数学(理)函数与导数 专题14 恒成立及存在性问题(解析版)
函数与导数14 导数及其应用 恒成立及存在性问题一、具体目标： 1.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。
考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述： 一）函数的单调性：1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数， 但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定．4. 讨论可导函数的单调性的步骤： （1）确定)(x f 的定义域；【考点讲解】（2）求)(x f '，令0)(='x f ，解方程求分界点； （3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(x f '在每个开区间内的符号，即可确定)(x f 的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有h '(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立． 二）函数的极、最值： 1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x )的极小值． (2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f(x)在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b ]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b ]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>； 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>； 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>； 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>；结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空.1. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥【真题分析】在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【答案】C2.【优选题】设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令()()()21,xg x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方.()()21'=+xg x ex ，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --.当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭a e . 【答案】D3.【2019年高考北京】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【答案】(]1,0--∞4.【优选题】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ，若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时，显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故只需Δ>0，即1－8m >0，解得m <18.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，18 5.【优选题】若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【解析】 由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞. 【答案 】 (,0)-∞ 6.【2018年江苏卷】若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()∞+，0内有且只有一个零点，则()x f 在[]11，-上的最大值与最小值的和为________．【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用. 由题意可求得原函数的导函数为()0262=-='ax x x f 解得3,0ax x ==，因为函数在()∞+，0上有且只有一个零点，且有()10=f ，所以有03,03=⎪⎭⎫⎝⎛>a f a，因此有3,0133223==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a ，函数()x f 在[]01，-上单调递增，在[]10，上单调递减，所以有()()10max ==f x f ，()()41min -=-=f x f ，()()3min max -=+x f x f .【答案】–37.【2018年理新课标I 卷】已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是_____________．【解析】本题考点是函数的单调性、最值与三角函数的综合应用. 由题意可()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+='21cos 1cos 42cos 2cos 42cos 2cos 22x x x x x x x f ，所以当21cos <x 时函数单调减，当21cos >x 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,352ππππ，函数的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππ，所以当()Z k k x ∈-=,32ππ时，函数()x f 取得最小值，此时232sin ,23sin -=-=x x ，所以()23323232min-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f ，故答案是233-. 【答案】233-8.【优选题】已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 . 【解析】由题意可知()'2af x x x=+≥（x ＞0）恒成立，∴22a x x ≥-恒成立， 令()()22211g x x x x =-=--+则()max x g a ≥，∵()22g x x x =-为开口方向向下，对称轴为x =1的抛物线，∴当x =1时，()22g x x x =-取得最大值()11=g ，∴1≥a 即a 的取值范围是[1，+∞）．【答案】[)1,+∞9. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l ]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．10.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-+=()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x ≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==. 故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„． 由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…． 由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.1.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．)31,0( B ．]45,31( C ．]23,31( D ．]23,45(【解析】当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意.【答案】B2.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【解析】 ()0(21)xf x e x ax a <⇔-<-，记()(21)xg x e x =-，则题意说明存在唯一的整数0x ，使()g x 的图象在直线y ax a =-下方，【模拟考场】'()(21)x g x e x =+，当12x <-时，'()0g x <，当12x >-时，'()0g x >，因此当12x =-时，()g x 取得极小值也是最小值21()22g e --=-，又(0)1g =-，(1)0g e =>，直线y ax a =-过点（1,0）且斜率为a ，故1(0)1(1)3a g g e a a-->=-⎧⎨-=-≥--⎩，解得312a e≤<． 【答案】D3.若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A.()1,3- B.()3,1- C.()3,+∞ D.(),1-∞- 【解析】考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x x g x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=， 当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10x a ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<， 当0x >，10x a -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln xg x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，)由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点， 结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 【答案】A 4. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[]1,2x ∈-时()f x m <恒成立，求m 的取值范围 【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数()f x 的最大值，可通过导数求解.试题解析：（1）由()'2320fx x x =--> 得1x >或()1,+∞（2上递减，在区间[]1,2上递增，又，所以在区间[]1, 2-上max 7f =要使()f x m <恒成立，只需7m >即可.【答案】（1，()1,+∞ 2）7m >5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x在)+∞单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 6.已知函数()ln 2a xf x x x =++． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x af x x x x +-'=-+=，令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时，即12a >-，方程两根为11x ==--2x =-122x x +=-，122x x a =-，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞；②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+，令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．7.已知函数f (xln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【解析】（Ⅰ）函数f （x）的导函数1()f x x '=-，由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+==≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=， 所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <)a n k n --≤)n k -<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ， 所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得k =设()h x =22ln )1)((12x ag x x x a x h '=-+--+=，其中(n )l g x x -=． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln 2+a ≤0， 所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln 2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 8.【优选题】已知函数21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为2y x b =+，求2a b +的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设函数()(2)g x a x =-+，若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】本题是函数的综合问题.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()(2)'=-++a f x x a x， ∴1(1)(2)22f a b =-+=+，(1)1(2)22'=-++=f a a ， 解得132,2a b ==-，∴210a b +=-．（2）2(2)2(2)()()-++--'==x a x a x x a f x x x，当2a =时，()0(0,)'≥⇒∈+∞f x x ，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当02a <<时，由'()0(0,)(2,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞由'()0(,2)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(,2)a .当2a >时，由'()0(0,2)(,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞由'()0(2,)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(2,)a .综上所述：当2a =时，'()0(0,)f x x ≥⇒∈+∞，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，当02a <<时，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞，()f x 的单调减区间为(,2)a 当2a >时，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞，()f x 的单调减区间为(2,)a .（3）若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >，∴212ln 02x a x +>， 当[,4]x e ∈时，ln 1x >，∴2122ln xa x>-有解，令212()ln x h x x=-，∴min 2()a h x >.2'22111ln (ln )22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x -⋅-=-=-<， ∴()h x 在[,4]e 上单调递减，min 4()(4)ln 2h x h == ∴42ln 2a >得，2ln 2a >． 9.【2018山东模拟】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率.（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f > 恒成立，求m 的取值范围.【解析 】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力. （1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2） 12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。
2024高考数学课件 导数与函数的单调性、极值和最值讲解册
例1
设函数f(x)=aln
x+x
x
1 1
,其中a为常数.讨论函数f(x)的单调性.
解析
函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f
'(x)=
a x
+
(
x
2 1)2
=
ax2
(2a 2)x x(x 1)2
a
,
当a≥0时, f '(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
3
3
3
, 1
1 3
3a
∪
1
1 3a ,+∞
3
时, f '(x)>0,当x∈
1 1 3a, 1 1 3a 时, f '(x)<0,所
3
3
以f(x)在 ,1
1 3
3a
和
1
1 3
3a
,
上单调递增,在
1
1 3a 1
3,
1 3a 3
上单调
递减.
(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(x0,y0),则切线的斜率为f '(x0)=3x02-2x0+a,故
a
a
即练即清
1.(2024届湖南长沙一中基础测试,8)若函数g(x)=ln x+ 1 x2-(b-1)x存在单调递减区间,则
2
实数b的取值范围是 ( B ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,3]
题型2 利用导数研究函数的极(最)值 1.解决函数极值问题的一般思路
高三复习：导数与函数的单调性、极值最值(含解析答案)
3.2导数与函数的单调性、极值、最值知识梳理：1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) _____0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：3．函数的最值试一试：1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________．2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点二 利用导数求函数的极值例2 设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．变式1 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．考点4 含有参数的分类讨论例4：已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．课堂练习：1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间； (3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值后作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．10．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．导数与函数的单调性、极值、最值教师版知识梳理 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 试一试1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是________． 答案 (0,1)解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．答案(－1，＋∞)解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．考点一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，令e x－a≥0，则e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝e x－e3<0在x∈(－2,3)上恒成立，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 考点二 利用导数求函数的极值 例2设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．(2014·福建三 利用导数求函数的最值例3已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．变式已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.例4：已知函数f(x)＝ln x－ax (a∈R)．(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[2分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[4分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[6分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．[12分] 又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当12<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[14分] 综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是ln2－2a .[16分]1．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1， 由f ′(x )>0，得e x －1>0，即x >0. 答案：(0，＋∞)2．(2014·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析：因为f (x )在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f (1)≥4，f (e)≥4，解得m ≤－3e.又f ′(x )＝x ＋mx 2，且x ∈[1，e]，所以f ′(x )<0, 即f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－me＝4，即m ＝－3e. 答案：－3e3．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴Δ＝4－12 m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 4.(创新题)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×⎝⎛⎭⎫23－1，解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . 则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)， 列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. (3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立． 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 作业1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________． 答案 (－3,1)解析 y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝e x (－x 2－2x ＋3)， 由y ′>0⇒x 2＋2x －3<0⇒－3<x <1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.答案 3解析 因为f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，因为函数f (x )在x ＝1处取得极大值，所以f ′(1)＝3－a4＝0，所以a ＝3.3．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 1<a ≤2解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________． 答案 －13解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ， 易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下， 且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9. 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．6．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间．解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )的极小值为1，无极大值． f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 单调递减区间为(0,1)．7．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________． 答案 {x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]． 由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0， 所以g (x )为R 上的增函数； 又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0， 所以e x ·f (x )>e x ＋1， 即g (x )>0的解集为{x |x >0}．8．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )． 若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 即实数m 的取值范围为(－∞，2－e 2)．)9．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．10．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x ) ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增． 所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减， 故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增． 故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点． 当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.。
专题：导数与单调性、极值(答案)
专题：导数应用之单调性、极值※知识要点1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)> 0，那么f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)< 0，那么f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f (x0)是极值的方法：①如果在x0左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．※考点自测1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是()A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)答案 A2．设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值答案 C3．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)答案 B4．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)5．设f(x)＝e x1＋ax2，其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数，则a的取值范围是________．答案(0,1]※题型讲练题型一利用导数研究函数的单调性【例1】已知定义域为R的函数f(x)＝f′(1)2·e2x－2＋x2－2f(0)x，函数g(x)＝f()x2－14x2＋(1－a)x＋a.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)的单调区间．解：(1)f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，即f(0)＝1.又f(0)＝f′(1)2·e－2，∴f′(1)＝2e2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x. (2)∵f(x)＝e2x＋x2－2x，∴g(x)＝f ()x2－14x2＋(1－a)x＋a＝e x－a(x－1)，∴g′(x)＝e x－a.①当a≤0时，g′(x)＞0，函数g(x)在R上单调递增；②当a＞0时，由g′(x)＝e x－a＝0得x＝ln a，∴x∈(－∞，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．综上，当a≤0时，函数g(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，函数g(x)的单调递增区间为(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a)．变式训练1：1．设函数f(x)＝13x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1，则f(x)的单调减区间为___________________．答案(2，2a)2．已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝1x－ln x－ke x，又f′(1)＝1－ke＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x.设h(x)＝1x－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－1x2－1x＜0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．题型二导数与单调性的应用问题【例2】1．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是________．答案a≥342．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1所示，则导函数y＝f′(x)可能为()答案 D变式训练2：1．函数f(x)定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x＋1的解集是()A．{x|x>0} B．{x|x<0}C．|x|x<－1或x>1| D．{x|x<－1或0<x<1}答案 A2．若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．答案(－∞，－1]3．若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在[)23，＋∞上存在单调递增图1区间，则a 的取值范围是________．答案：()－19，＋∞题型三 利用导数求函数的极值【例3】1．已知函数f (x )＝13ax 3＋ax 2＋x ＋3，则有f (x )极值的充要条件是________． 答案 a ＞1或a ＜02．讨论函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)的极值．解：由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．变式训练3：1．函数f (x )的定义域为区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图2所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极小值的个数为( )图2A.1B.2C.3D.4 答案 A2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图3所示，且与y ＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，求a ，b ，c 的值. 解：∵函数的图象经过(0,0)点，∴c ＝0.又图象与x 轴相切于(0,0)点，且f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∴f ′(0)＝0，即0＝3×02＋2a ×0＋b ，得b ＝0. ∴f (x )＝x 3＋ax 2.∴当x ＝－23a 时，函数有极小值－4.即()－23a 3＋a ()－23a 2＝－4，解得a ＝－3.∴a ＝－3，b ＝0，c ＝0.A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D ．(－3,1) 答案 D2．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图 所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )答案 C3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e答案 A4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a ≤2 B ．a ≥4 C ．a ≤2 D ．0<a ≤3 答案 A5．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．()0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞) 答案 B6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．答案 (0,1]7．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________.答案 [)1，328．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．10．已知函数f (x )＝x －1＋aex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．图3②当a＞0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，即x＝ln a．x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x ＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，f(x)在x＝ln a 处取得极小值ln a，无极大值．。
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。
若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。
A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。
2021年高考数学高分套路 利用导数求函数的单调性、极值、最值(原卷版)
利用导数求函数的单调性、极值、最值【套路秘籍】---千里之行始于足下一．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．二．函数的极值(1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．三．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-；（2）2()ln f x x x =-.（3）)f (x )＝2x －x 2.【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间①求函数的定义域D②求导'()f x ③解不等式'()f x ＞()<0得解集P ④求D P ,得函数的单调递增（减）区间。
2024高考数学习题 导数与函数的单调性、极值和最值
4.2导数与函数的单调性、极值和最值五年高考考点1导数与函数的单调性1.(2014课标Ⅱ文,11,5分,易)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是() A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)答案D2.(2023新课标Ⅱ,6,5分,中)已知函数f(x)=a e x-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为() A.e2 B.e C.e-1 D.e-2答案C3.(2023新课标Ⅰ,19,12分,中)已知函数f(x)=a(e x+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+32.解析(1)由已知得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=a e x-1.①当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在R上单调递减;②当a>0时,令f'(x)=0,则x=ln1,当x<ln1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在−∞,,在ln1,+∞上单调递增.(2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)在−∞,,在ln1,+∞上单调递增,则f(x)min=f=+−ln1=1+a2+ln a.要证明f(x)>2ln a+32,只需证明1+a2+ln a>2ln a+32,即证a2-ln a-12>0.令g(x)=x2-ln x-12(x>0),则g'(x)=2x-1=22−1.当0<x,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>22时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)min==12−12=−=ln2>0,∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即a2-ln a-12>0,∴f(x)>2ln a+32.4.(2023全国甲文,20,12分,中)已知函数f(x)=ax-sin cos2,x∈0,(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=x-sin cos2,x∈0,f'(x)=1-cos3r2sin2voscos3cos4=cos3Kcos2K2sin2=cos3rcos2K2cos3<0,所以函数f(x)在.(2)令g(x)=sin cos2−sin=sinKsinvos2cos2=sinKsino1−sin2pcos2=sin3cos2,则g'(x)=3cos3Lin2r2sin4voscos3,cos4=3cos2Lin2r2sin4因为x∈0,所以3cos2x sin2x+2sin4x>0,cos3x>0,则g'(x)>0,所以函数g(x)在,g(0)=0,当x→π2时,g(x)→+∞,因为f(x)+sin x<0恒成立,所以sin cos2−sin>B在0,,即直线y=ax在0<x<π2时恒在g(x)的图象下方,如图所示,由图及g'(0)=0可得a≤0,即a的取值范围为(-∞,0].5.(2015课标Ⅱ文,21,12分,中)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-a.若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈,f'(x)>0;当x+∞时,f'(x)<0.所以f(x)在,+∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f ln1+1−a+a-1.因此f a-2等价于ln a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,a>0,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).考点2导数与函数的极(最)值1.(多选)(2023新课标Ⅱ,11,5分,中)若函数f(x)=a ln x++2(a≠0)既有极大值也有极小值,则() A.bc>0 B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0答案BCD2.(多选)(2022新高考Ⅰ,10,5分,中)已知函数f(x)=x3-x+1,则()A.f(x)有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线答案AC3.(2021新高考Ⅰ,15,5分,中)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为.答案14.(2022全国乙理,16,5分,难)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x-e x2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是.答案15.(2021北京,19,15分,中)已知函数f(x)=3−22+.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,并求其最大值与最小值.解析(1)当a=0时,f(x)=3−22,∴f(1)=1,f'(x)=2K63,故f'(1)=-4,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-4(x-1)+1,即4x+y-5=0.(2)由题意得f'(x)=22−6K2(2+p2,且f'(-1)=0,故8-2a=0,解得a=4,故f(x)=3−22+4,x∈R,则f'(x)=22−6K8(2+4)2=2(r1)(K4)(2+4)2,令f'(x)>0,得x>4或x<-1;令f'(x)<0,得-1<x<4,故函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(4,+∞),单调减区间为(-1,4).所以f(x)的极大值为f(-1)=1,f(x)的极小值为f(4)=-14.又当x∈(-∞,-1)时,3-2x>0,故f(x)>0;当x∈(4,+∞)时,3-2x<0,故f(x)<0,∴f(x)max=f(-1)=1,f(x)min=f(4)=-14.6.(2019课标Ⅲ文,20,12分,中)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.解析(1)第一步:求函数的定义域和导函数,并因式分解求出导函数的零点.由题意知x∈R,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=3.第二步:讨论a的取值,比较根的大小关系,写出单调区间.①若a>0,则当x∈(-∞,0)+∞时,f'(x)>0;当x∈,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0+∞单调递增,在;②若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;③若a<0,则当x∈−∞,(0,+∞)时,f'(x)>0;当x,0'(x)<0.故f(x)在−∞,0,+∞)单调递增,0.(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在0,,1单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f=−327+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.当0<a<2时,f(1)>f(0),最大值为f(1)=4-a.所以M-m=2-a+327,0<a<2,对于函数y=327-a+2,y'=2-1,当0<a<2时,y'<0,从而y=327-a+2单调递减,此时827<327-a+2<2,即M-m2.(构造函数,利用函数单调性求值域)当2≤a<3时,f(1)<f(0),最大值为f(0)=2,所以M-m=327,而函数y=327单调递增,所以M-m的取1.综上,M-m2.易错警示解题时,易犯以下两个错误:①对参数a未讨论或对a分类讨论不全面,尤其易忽略a=0的情形而导致失分;②当a>0时,f(x)在(-∞,0+∞单调递增,将这两个区间合并表示为f(x)在(-∞,0)+∞单调递增导致错误,从而失分.7.(2023新课标Ⅱ,22,12分,难)(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sin x<x;(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.解析(1)证明:令g(x)=x-x2-sin x,0<x<1,则g'(x)=1-2x-cos x,令G(x)=g'(x),得G'(x)=-2+sin x<0在区间(0,1)上恒成立,所以g'(x)在区间(0,1)上单调递减,因为g'(0)=0,所以g'(x)<0在区间(0,1)上恒成立,所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,所以g(x)<g(0)=0,即当0<x<1时,x-x2<sin x.令h(x)=sin x-x,0<x<1,则h'(x)=cos x-1<0在区间(0,1)上恒成立,所以h(x)在区间(0,1)上单调递减,所以h(x)<h(0)=0,即当0<x<1时,sin x<x.综上,当0<x<1时,x-x2<sin x<x.(2)函数f(x)的定义域为(-1,1).当a=0时,f(x)=1-ln(1-x2),f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,x=0不是f(x)的极大值点,所以a≠0.当a>0时,f'(x)=-a sin ax+21−2,x∈(-1,1).(i)当0<a≤2时,取m,1,x∈(0,m),则ax∈(0,1),由(1)可得f'(x)=-a sin ax+21−2>−y+21−2=o22+2−2)1−2,因为a2x2>0,2-a2≥0,1-x2>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,m)上单调递增,不合题意.(ii)当a>2时,取x∈0,⊆(0,1),则ax∈(0,1),由(1)可得f'(x)=-a sin ax+21−2<-a(ax-a2x2)+21−2=1−2(-a3x3+a2x2+a3x+2-a2),设h(x)=-a3x3+a2x2+a3x+2-a2,x∈则h'(x)=-3a3x2+2a2x+a3,因为h'(0)=a3>0,a3-a>0,且h'(x)的图象是开口向下的抛物线,所以∀x∈0,均有h'(x)>0,所以h(x)在0,.因为h(0)=2-a2<0,,所以h(x)在0,n.当x∈(0,n)时,h(x)<0,又因为x>0,1-x2>0.则f'(x)<1−2(-a3x3+a2x2+a3x+2-a2)<0.即当x∈(0,n)⊆(0,1)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,n)上单调递减.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在(-n,0)上单调递增,所以x=0是f(x)的极大值点.综合(i)(ii)知a>2.当a<0时,由于将f(x)中的a换为-a所得解析式不变,所以a<-2符合要求.故a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).三年模拟综合基础练1.(2023山东烟台开学考,3)函数f(x)=-2ln x-x-3的单调递增区间是()A.(0,+∞)B.(-3,1)C.(1,+∞)D.(0,1)答案D2.(2023吉林长春六中月考,9)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]上的最小值、最大值分别为() A.-π2,π2 B.−3π2,π2C.-π2,π2+2D.−3π2,π2+2答案D3.(2024届江苏无锡期中,5)当x=2时,函数f(x)=x3+bx2-12x取得极值,则f(x)在区间[-4,4]上的最大值为() A.8 B.12 C.16 D.32答案C4.(2024届湖南师大附中第4次月考,6)已知x=0是函数f(x)=x2e x-2x e x+2e x-3x3的一个极值点,则a的取值集合为() A.{a|a≥-1} B.{0}C.{1}D.R答案C5.(2024届河北石家庄二中月考,5)已知函数f(x)=x3-3mx2+9mx+1在(1,+∞)上为单调递增函数,则实数m的取值范围为() A.(-∞,-1) B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,3]答案D6.(2024届重庆长寿中学期中,7)已知函数f(x)=2x-2-a ln x,则“a>5”是“函数f(x)在(1,2)上单调递减”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A7.(多选)(2024届福建福州联考,10)设函数f (x )=x 3-12x +b ,则下列结论错误的是()A.函数f (x )在(-∞,-1)上单调递增B.函数f (x )在(-∞,-1)上单调递减C.若b =-6,则函数f (x )的图象在点(-2,f (-2))处的切线方程为y =10D.若b =0,则函数f (x )的图象与直线y =10只有一个公共点答案ABD8.(2024届江苏苏州中学模拟,14)已知函数g (x )=2x +ln x -在区间[1,2]上不单调,则实数a 的取值范围是.答案(-10,-3)9.(2024届河南省实验中学月考,15)若函数f (x )=x 3-12x 在区间(a ,a +4)上存在最大值,则实数a 的取值范围是.答案(-6,-2)10.(2024届湖北武汉二中测试,15)已知函数f (x )=ax 4-4ax 3+b ,x ∈[1,4],f (x )的最大值为3,最小值为-6,则a +b 的值是.答案103或−19311.(2023重庆八中入学考,18)已知函数f (x )=ax +b +cos x (a ,b ∈R ),若曲线f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =12x +2.(1)求f (x )的解析式;(2)求函数f (x )在[0,2π]上的值域.解析(1)因为f (x )=ax +b +cos x (a ,b ∈R ),所以f '(x )=a -sin x ,由题意得o0)=+cos0=2,'(0)=−sin0=12,即+1=2,=12,所以=12,b =1,则f (x )=12x +1+cos x.(2)由(1)得f (x )=12x +1+cos x ,f '(x )=12-sin x ,由f '(x )≥0且x ∈[0,2π]可得0≤x ≤π6或5π6≤x ≤2π,函数f (x )在区间和2π上单调递增,由f'(x)<0且x∈[0,2π]可得π6<5π6,函数f(x).因此当x=π6时,函数取得极大值f=12×π6+1π6=1+π12当x=5π6时,函数取得极小值f=12×5π6+1+cos5π6=1+5π12又f(0)=2,f(2π)=12×2π+1+cos2π=1+π+1=2+π,1+5π12<2<1+π12+,所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值为2+π,最小值为1+5π12所以f(x)在[0,2π]上的值域为1+5π12−2+π.综合拔高练11.(2024届湖南长沙长郡中学月考,4)若0<x1<x2<1,则()A.e2−e1>l y−ln xB.e2−e1<ln x2-ln x1C.x2e1>xe2D.ye1<xe2答案C2.(多选)(2024届广东东莞月考,11)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x存在极值点,则实数a的值可以是() A.0 B.-e C.12 D.1e答案ABD3.(2024届山东泰安月考,15)设a∈R,若函数y=e x+ax,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是.答案(-∞,-1)4.(2024届辽宁辽东教学共同体期中,19)已知函数f(x)=e x,g(x)=e.(1)直接写出曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公共点坐标,并求曲线y=f(x)在公共点处的切线方程;(2)已知直线y=a分别交曲线y=f(x)和y=g(x)于点A,B,当a∈(0,e)时,设△OAB的面积为S(a),其中O是坐标原点,求S(a)的最大值.解析(1)易得曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公共点坐标为(1,e).因为f'(x)=e x,所以f'(1)=e,所以曲线y=f(x)在公共点处的切线方程为y-e=e(x-1),即y=e x.(2)因为直线y=a分别交曲线y=f(x)和y=g(x)于点A,B,所以A(ln a,a),.S(a)=12b|A|=12ln,a∈(0,e).因为a∈(0,e)时,e>1,ln a<1,所以e>ln a,所以S(a)=e2−12a ln a,a∈(0,e),求导得S'(a)=-12(1+ln a),令S'(a)=0,得a=1e,所以S'(a),S(a)的变化情况如表:因此,S(a)5.(2024届湖南长沙南雅中学开学考,21)已知函数f(x)=ax-1-(a+1)ln x(a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)既有极大值又有极小值,且极大值和极小值的和为g(a),解不等式g(a)<2a-2.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),对f(x)求导得f'(x)=a+12−r1=B2−(r1)r12=(B−1)(K1)2,令f'(x)=0,则x1=1,x2=1.当a<0时,ax-1<0,令f'(x)>0,解得0<x<1,令f'(x)<0,解得x>1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当a>0时,①当1=1,即a=1时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当1>1,即0<a<1时,令f'(x)>0,解得0<x<1或x>1,令f'(x)<0,解得1<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在1,,+∞上单调递增;③当1<1,即a>1时,令f'(x)>0,解得0<x<1或x>1,令f'(x)<0,解得1<x<1,所以f(x)在,1上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.综上所述:当a<0时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当0<a<1时,f(x)在(0,1)上单调递增,在1,,+∞上单调递增;当a=1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>1时,f(x)在0,,1上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)由(1)知:a>0且a≠1,且g(a)=f f(1)=1-a+(a+1)ln a+a-1=(a+1)ln a.g(a)<2a-2等价于(a+1)ln a<2a-2(a>0且a≠1),等价于解不等式ln a-2(K1)r1<0,令m(a)=ln a-2(K1)r1(a>0),(构造函数m(a),结合函数的单调性以及特殊值m(1)=0,从而解得不等式的解集)m'(a)=1−4(r1)2=(K1)2or1)2>0,所以m(a)在(0,+∞)上单调递增,且m(1)=0,所以m(a)<0=m(1),即不等式的解集为{a|0<a<1}.6.(2024届北京一零一中学测试,18)已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=2处取得极值-14.(1)求a,b的值;(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(3)求函数f(x)在[-3,3]上的最值.解析(1)因为f(x)=ax3+bx+2,所以f'(x)=3ax2+b,又函数f(x)在x=2处取得极值-14,所以'(2)=12+=0,4+=−8,解得=1,=−12,o2)=8+2+2=−14,即12+=0,经检验,a=1,b=-12符合题意,故a=1,b=-12.(2)由(1)知:f(x)=x3-12x+2,f'(x)=3x2-12,故f(1)=-9,f'(1)=-9.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-9)=-9(x-1),即9x+y=0.(3)由(1)知:f(x)=x3-12x+2,f'(x)=3x2-12,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2,x∈[-3,3]时,随x的变化f'(x),f(x)的变化情况如表:x-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,3)3f'(x)+0-0+f(x)11↗18↘-14↗-7由表可知:当x=-2时,函数f(x)有极大值f(-2)=18;当x=2时,函数f(x)有极小值f(2)=-14;因为f(-2)=18>f(3)=-7,f(2)=-14<f(-3)=11,故函数f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-14,最大值为f(-2)=18.综合拔高练21.(多选)(2024届湖北宜昌中学阶段练,12)已知函数f(x)=ax+e+En1在∈2上有三个单调区间,则实数a的取值可以是() A.-e B.-2e C.−e22 D.−72答案BD2.(多选)(2024届安徽池州一中阶段练,10)已知函数f(x)=x3-2x2+ax,则下列说法正确的是()A.函数f(x)的极值点个数可能为0,1,2B.若函数f(x)有两个极值点,则a<43C.若a=1,则函数f(x)2上的最小值为18D.若a=1,则函数f(x)2上的最大值为2答案BD3.(2024届湖北黄冈中学月考,14)定义在R上的函数f(x)=13x3-x+3.①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.②y='(p在(0,+∞)上存在极小值.③f(x)的图象在x=0处的切线与直线y=2x+2垂直.④设g(x)=4ln x-m,若存在x∈[1,e],使得g(x)<f'(x),则m>5-e2.以上描述中正确的是.(填序号)答案①④4.(2024届北京海淀北大附中校考,20)已知函数f(x)=e ax(x-1)2.(1)若a=1,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)求f(x)的极大值与极小值.解析(1)当a=1时,f(x)=e x(x-1)2,f'(x)=e x(x2-1),所以f'(0)=e0(02-1)=-1,又f(0)=e0(0-1)2=1,所以切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.(2)f'(x)=a e ax(x-1)2+2e ax(x-1)=e ax(x-1)(ax-a+2),当a=0时,令f'(x)=2(x-1)=0,解得x=1,故x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故x=1时,f(x)的极小值为f(1)=0,无极大值.当a>0时,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=1-2,故当x<1-2或x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当1-2<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)的极大值为f1−=4e K22,极小值为f(1)=0.当a<0时,令f'(x)=0,解得x1=1,x2=1-2,故当x<1或x>1-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当1<x<1-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)的极大值为f1−=4e K22,极小值为f(1)=0.综上,当a=0时,f(x)的极小值为f(1)=0,无极大值;当a≠0时,f(x)的极大值为f1=4e K22,极小值为f(1)=0.5.(2024届江苏镇江一中校考,19)已知函数f(x)=e x-x2-1.(1)判断f(x)在定义域上是否存在极值,若存在,求出其极值;若不存在,说明理由.(2)若f(x)≥ax在x∈[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.解析(1)∵f(x)=e x-x2-1,∴f'(x)=e x-2x,记h(x)=e x-2x,∴h'(x)=e x-2,当x>ln2时,h'(x)>0;当x<ln2时,h'(x)<0,则f'(x)在(-∞,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,∴f'(x)min=f'(ln2)=2-2ln2>0,∴f(x)在R上单调递增,即在定义域R上不存在极值.(2)因为f(x)=e x-x2-1≥ax在x∈[0,+∞)上恒成立,所以e x-x2-ax-1≥0在x∈[0,+∞)上恒成立.显然当x=0时不等式成立,当x>0时,a≤e−2−1恒成立,令g(x)=e−2−1,x>0,则g'(x)=(K1)(e−K1)2,记F(x)=e x-x-1,x>0,∴F'(x)=e x-1,当x>0时,F'(x)>0,F(x)单调递增,故F(x)>F(0)=0,故当x>0时,e x-x-1>0,当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,g(x)min=e-2,所以a≤e-2.故实数a的取值范围是(-∞,e-2].。
导数与函数的单调性、极值、最值问题的真题与解析
导数与函数的单调性、极值、最值问题A级基础一、选择题1．(2019·武邑中学第二次调研)函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是()A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0，1] D．[－1，0)∪(0，1]2．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()3．(2019·广东六校联考)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－xx－2，则函数在x＝－1处的切线方程是()A．2x－y－1＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－2＝04．(2019·深圳调研)已知f(x)＝a ln x＋12x2(a>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2>2恒成立，则a的取值范围为()A．(0，1] B．(1，＋∞)C ．(0，1)D ．[1，＋∞)5．(2019·华南师大附中检测)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为( )A ．－3eB ．－2eC ．eD ．2e二、填空题6．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．7．已知奇函数f (x )＝⎩⎨⎧e xx －1，x >0，h （x ），x <0，则函数h (x )的最大值为________．8.在平面直角坐标系内任取一个点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，则点P落在曲线y ＝1x 与直线x ＝2，y ＝2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为________．三、解答题9．(2018·天津卷节选)设函数f (x )＝(x －t 1)·(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极值．10．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1. 证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．B 级 能力提升11．若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数12．(2019·长郡中学调研)已知函数f (x )＝x －a ln x －1. (1)若函数f (x )的极小值为0，求a 的值； (2) ∀t >0且a ≤1，求证：f (e t)>a 2t 2.A级基础一、选择题1．解析：f′(x)＝2x－2x＝2x2－2x(x>0)，令f′(x)≤0，即2x2－2x≤0，解得0<x≤1.答案：A2．解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．答案：D3．解析：因为f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝－xx－2.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝xx＋2(x<0)．则f′(x)＝2（x＋2）2，则切线斜率k＝f′(－1)＝2.又切点坐标为(－1，－1)，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案：C4．解析：对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)＝ax＋x≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a≥(2x－x2)max＝1.答案：D5．解析：由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，因为f′(x)为偶函数，所以m＝0，故f(x)＝13x3＋nx＋2，因为f(1)＝13＋n＋2＝－23，所以n＝－3.所以f(x)＝13x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝e x(x2－3)，则g′(x)＝e x(x2－3＋2x)＝e x(x－1)(x＋3)，所以g(x)在[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增．故g(x)有唯一极小值g(1)＝－2e，则g(x)min＝－2e.答案：B二、填空题6．解析：因为y＝3(x2＋x)e x，所以y′＝3(x2＋3x＋1)e x. 令x＝0，得切线的斜率为k＝y′|x＝0＝3.又切点坐标为(0，0)，所以切线方程为y＝3x.答案：y＝3x7．解析：当x>0时，f(x)＝e xx－1，f′(x)＝e x（x－1）x2，所以当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以x＝1时，f(x)取到极小值e－1，即f(x)的最小值为e－1.又f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)＝h(x)，所以h(x)的最大值为－(e－1)＝1－e.答案：1－e8. 解析：由⎩⎨⎧y ＝2，y ＝1x ，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝2， 所以阴影部分的面积为∫212⎝⎛⎭⎪⎫2－1x d x ＝(2x －ln x )⎪⎪⎪212＝(2×2－ln2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12－ln 12＝3－2ln 2. 因此所求概率为3－2ln 22×2＝3－2ln 24.答案：3－2ln 24三、解答题9．解：(1)由题设，f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)＝x 3－x ， 故f ′(x )＝3x 2－1，因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，即x ＋y ＝0.故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3)＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )的极小值为f (t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.10．证明：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x.因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 因此，f (x )存在唯一的极值点．(2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0. 所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f （α）α＝0，故1α是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根． 综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．B 级 能力提升11．解析：f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点．又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点， 又e －2≠3(－2)＋2＝－4.所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数． 答案：C12．(1)解：因为f (x )＝x －a ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝x －ax，当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在定义域上递增，不满足条件； 当a >0时，函数f (x )在(0，a )上递减，在(a ，＋∞)上递增， 故f (x )在x ＝a 取得极小值0， 所以f (a )＝a －a ln a －1＝0，令p (a )＝a －a ln a －1，p ′(a )＝－ln a ，所以p (a )在(0，1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减， 故p (a )≤p (1)＝0，所以f (a )＝0的解为a ＝1，故a ＝1. (2)证明：法1：由f (e t)>a 2t 2⇔e t －at －1>a 2t 2⇔e t －1>a 2t 2＋at ，因为a ≤1，所以只需证当t >0时，e t －1>12t 2＋t 恒成立．令g (t )＝e t －12t 2－t －1，g ′(t )＝e t －t －1，由(1)可知x －ln x －1≥0，令x ＝e t 得e t －t －1≥0， 所以g (t )在(0，＋∞)上递增，故g (t )>g (0)＝0， 因此f (e t)>a 2t 2成立．法2：f (e t )>a 2t 2⇔e t －at －1>a 2t 2⇔e t －a2t 2－at －1>0，设g (t )＝e t－a 2t 2－at －1(t >0)，则g ′(t )＝e t －at －a ，则g ″(t )＝e t －a ，又e t >e 0＝1，a ≤1，得g ″(t )>0， 所以g ′(t )单调递增，得g ′(t )>g ′(0)＝1－a ≥0， 所以g (t )单调递增，得g (t )>g (0)＝0，得证． 故f (e t )>a2t 2成立．。
高考理科数学真题练习题函数的单调性与最值理含解析
高考数学复习 课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2019·潍坊市统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( B )A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A ，C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( B ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 的值域为( C )A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，即1x 2＋1∈(0,1]，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1 ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.4．(2019·洛阳高三统考)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( B ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数． 对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.5．函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( B )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.6．已知a >0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( D )A ．2 017B ．2 019C ．4 032D ．4 036解析：由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x＋1.∵y ＝2 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴f (x )＝2 019－22 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a＋1＝4 036. 二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．8．(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f (x )＝sin x (答案不唯一)．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，且函数f (x )在[0,2]上不是增函数即可．如f (x )＝sin x ，答案不唯一．9．若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围为a ≥－12.解析：若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上单调递增，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立．当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图象的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上单调递增，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图象的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12. 10．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为[－2，－12]．解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即[－2，－12]．三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明：f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述知a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a ＝1a＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.13．(2019·湖北八校联考)已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ln x 2＋a ln x ＋b ，x >0，e x ＋12，x ≤0，若f (e 2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数f (x )的值域为(12，32]∪[2，＋∞)． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋b ＝b ，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，∴当x >0时，f (x )＝(ln x )2－2ln x ＋3＝(ln x －1)2＋2≥2；当x ≤0时，12<e x ＋12≤e 0＋12＝32，则函数f (x )的值域为(12，32]∪[2，＋∞)．14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0.故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0.因此f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)． 而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·河南郑州一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2e)＝－f (x )(其中e ＝2.718 2…)，且在区间[e,2e]上是减函数，令a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系(用不等号连接)为( A )A ．f (b )>f (a )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (a )>f (b )>f (c )D ．f (a )>f (c )>f (b )解析：∵f (x )是R 上的奇函数，满足f (x ＋2e)＝－f (x )，∴f (x ＋2e)＝f (－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝e 对称，∵f (x )在区间[e,2e]上为减函数，∴f (x )在区间[0，e]上为增函数，又易知0<c <a <b <e ，∴f (c )<f (a )<f (b )，故选A.16．(2019·湖南湘东五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为[－1,3]．解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0,6]，当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 单调递增，得f (x )∈[－2,1]，综上，f (x )∈[－2,6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6，即－1≤a 2－2a ≤3⇒－1≤a ≤3.。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(导数与函数的单调性、极值、最值)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（导数与函数的单调性、极值、最值）练习一、 基础小题练透篇1.[2023ꞏ宁夏石嘴山市高三期中]f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数 f (x )的图象最有可能是图中的( )2．若函数f (x )＝x 2－ax ＋ln x 在区间(1，e)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3] C ．[3，e 2＋1] D ．[e 2＋1，3]3．[2023ꞏ浙江省嘉兴市第一中学考试]若函数f (x )＝a ln x ＋bx 在x ＝1处取得极值2，则a －b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．24．已知函数f (x )的定义域为(x 1，x 2)，导函数f ′(x )在(x 1，x 2)内的图象如图所示，则函数f (x )在(x 1，x 2)内极值点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．[2023ꞏ山东省聊城市高三上学期期中]已知a ＝1.11.1，b ＝e 0.11，c ＝1＋1.1ln 1.1，下列说法正确的是( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．b >a >cD ．a >c >b6．[2023ꞏ内蒙古自治区赤峰二中月考]已知函数f (x )＝()x 2＋a 2x ＋1 e x ，则“a ＝2 ”是“函数f (x )在x ＝－1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．[2023ꞏ江西省赣州市五校期中]函数f (x )＝e x －x －6的零点所在区间为(n ，n ＋1)(n ∈N )，则n ＝__________．8．若函数f (x )＝2x 2＋ln x －ax 在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为________．二、能力小题提升篇1.[2023ꞏ云南师范大学附属中学考试]已知函数f (x )＝13 x 3－mx 2＋mx ＋9在R 上无极值，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．(0，1)D ．[0，1] 2．[2023ꞏ内蒙古自治区赤峰二中月考]已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋1.若函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．[2023ꞏ河北省沧州市模拟]已知函数f (x )＝ln xx －x ，则( ) A ．f (x )的单调递减区间为(0，1) B ．f (x )的极小值点为1 C ．f (x )的极大值为－1 D ．f (x )的最小值为－14．[2023ꞏ河南省名校联盟高三联考]函数f (x )＝cos x －cos 3x 的最大值是( )A ．1B ．839 C ．2 D ．225．[2023ꞏ陕西省宝鸡市、汉中市部分校联考]已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2－nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则mn ＝________ .6．[2023ꞏ陕西省咸阳中学高三质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >112x ＋12，x ≤1 ，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的最小值是________．二、 高考小题重现篇1.[浙江卷]函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．[2022ꞏ全国甲卷]已知a ＝3132 ，b ＝cos 14 ，c ＝4sin 14 ，则( )A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．a >c >b 3．[江苏卷]若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.4．[全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________.5．[山东卷]若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ②f (x )＝3－x ③f (x )＝x 3 ④f (x )＝x 2＋2.6．[2022ꞏ全国乙卷]已知x ＝x 1和x ＝x 2分别是函数f (x )＝2a x －e x 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点．若x 1<x 2，则a 的取值范围是________．四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ安徽省合肥高三模拟]已知函数f(x)＝12x2－ax ln x＋ax.(1)当a＝1时，判断f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点，求实数a的取值范围．2．[2023ꞏ湖北省部分省级示范高中期中联考]已知函数f(x)＝3－2x x2＋a.(1)若a＝0，求y＝f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x＝－1处取得极值，求f(x)的最大值和最小值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：A答案解析：由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的减小量越来越大，且高度h 的变化率小于0，所以f （t ）在区间[]t 0－Δt ，t 0 ，[]t 0，t 0＋Δt （Δt >0）上的平均变化率由大变小，即k 1>k 2.故选A. 2．答案：B答案解析：由f （x ）＝mx 2＋ln x ＋1⇒f ′（x ）＝2mx ＋1x，f ′（1）＝2m ＋1，f （1）＝m ＋1，则函数在()1，f （1） 处的切线方程为y ＝()2m ＋1 （x －1）＋m ＋1， 将()2，8 代入切线方程可得m ＝2.故选B. 3．答案：B答案解析：由f （x ）＝2xf ′（1）＋ln x ，可得f ′（x ）＝2f ′（1）＋1x，所以 f ′（1）＝2f ′（1）＋1，则f ′（1）＝－1 .故选B. 4．答案：C答案解析：对于A ，⎝⎛⎭⎪⎫sin π5 ′＝0，故A 不正确； 对于B ，（x 2sin 3x ）′＝（x 2）′sin 3x ＋x 2（sin 3x ）′＝2x sin 3x ＋3x 2cos 3x ，B 错误．对于C ，（tan x ）′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos x ·cos x －sin x ·()－sin x cos 2x ＝1cos 2x ，C 正确．对于D ，[]ln ()2x －1 ′＝12x －1 ×2＝22x －1，D 错误．故选C. 5．答案：D答案解析：由题意知，f ′（x ）＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线斜率为f ′（x 0）＝3x 20 ＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且 3x 20 ＋2ax 0＝－1x 0＋x 30 ＋ax 20 ＝0 ，解得a ＝±2，x 0＝－a 2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1a ＝－2 时，点P 的坐标为（1，－1）；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1a ＝2 时，点P 的坐标为（－1，1）.6．答案：A答案解析：y ′＝－ex（e x ＋1）2 ＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1e x ＝2（当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号），则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14 （当x ＝0时取等号）.当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，切线的方程为y －12 ＝－14（x －0），即x ＋4y －2＝0.7．答案：y ＝x ＋1答案解析：由lim Δx →0 f （1＋2Δx ）－f （1－Δx ）Δx ＝3lim Δx →0 f （1＋2Δx ）－f （1－Δx ）3Δx＝3，得f ′（1）＝1，而f ′（x ）＝a －1x，所以a ＝2，f （x ）＝2x －ln x ，f （1）＝2，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. 8．答案：2x －y －2π－2＝0答案解析：因为f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＋f ′⎝ ⎛⎭π2 sin x ＝2cos x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 sin x ， 所以f （π）＝2cos π＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 sin π＝2×（－1）＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ×0＝－2，切点为（π，－2）.而f ′（x ）＝－2sin x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 cos x ， 令x ＝π2 ， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝－2sin π2 ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 cos π2 ＝－2×1＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ×0＝－2，所以f ′（x ）＝－2sin x －2cos x ，所以曲线y ＝f （x ） 在点 （π，－2） 处的切线的斜率为 f ′（π）＝－2sin π－2cos π＝－2×0－2×（－1）＝2，所以曲线y ＝f （x ） 在点 （π，－2） 处的切线方程为y －（－2）＝2（x －π）.即 2x －y －2π－2＝0.二 能力小题提升篇1．答案：D答案解析：因为f （x ）＝a e x ＋x 2，所以f ′（x ）＝a e x＋2x ，因此切线方程的斜率k ＝f ′（1）＝a e ＋2，所以有a e ＋2＝2e ＋2，得a ＝2，又切点在切线上，可得切点坐标为（1，2e ＋2＋b ），将切点代入f （x ）中，有f （1）＝2e ＋1＝2e ＋2＋b ，得b ＝－1，所以ab ＝－2. 2．答案：A答案解析：∵f （x ）＝ax ln x ＋b 过点（1，1），∴f （1）＝a ln 1＋b ＝1，解得b ＝1.∵f ′（x ）＝a （ln x ＋1），∴f ′（1）＝a （ln 1＋1）＝a ， 则f （x ）在点（1，1）处的切线方程为y ＝a （x －1）＋1. ∵y ＝a （x －1）＋1过点（3，5），∴a ＝2，∴f （x ）＝2x ln x ＋1，∴f ′（x ）＝2（ln x ＋1）.令f ′（x ）>0，得x >1e ；令f ′（x ）<0，得0<x <1e ，∴f （x ）在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 上单调递增． ∴f （x ）的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2eln 1e ＋1＝1－2e .3．答案：A答案解析：由y ＝x 2＋2ln x ，得y ′＝2x ＋2x，由2x ＋2x＝4，解得x ＝1()x >0 ，则直线y ＝4x ＋m 与曲线y ＝x 2＋2ln x 相切于点()1，4＋m ， ∴4＋m ＝1＋2ln 1＝1，得m ＝－3，∴直线y ＝4x －3是曲线y ＝x 3－nx ＋13的切线，由y ＝x 3－nx ＋13，得y ′＝3x 2－n ，设切点为()t ，t 3－nt ＋13 ，则3t 2－n ＝4，且t 3－nt ＋13＝4t －3，联立可得3t 2－t 2－16t＋4＝4，解得t ＝2，所以n ＝8. ∴n －m ＝8－()－3 ＝11. 故选A. 4．答案：B答案解析：①f （x ）＝x 2，f ′（x ）＝2x ，x 2＝2x ，x ＝0，x ＝2，有“巧值点”；②f ′（x ）＝－e －x ，－e －x ＝e －x，无解，无“巧值点”；③f （x ）＝ln x ，f ′（x ）＝1x ，ln x ＝1x ，令g （x ）＝ln x －1x，g （1）＝－1<0，g （e ）＝1－1e>0.由零点存在性定理，所以在（1，e ）上必有零点，f （x ）有“巧值点”；④f （x ）＝tan x ，f ′（x ）＝1cos 2x ，1cos 2x＝tan x ，sinx cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，所以f （x ）无“巧值点”．所以有“巧值点”的是①③.5．答案：（－∞，e]答案解析：设f （x ）＝e x ，切点为（x 0，e x 0），则f ′（x ）＝e x，所以k ＝e x 0，b ＝e x 0－kx 0＝e x 0（1－x 0），所以k ＋b ＝e x 0＋e x 0（1－x 0）＝e x 0（2－x 0）.令g （x ）＝e x（2－x ），则g ′（x ）＝e x （2－x ）－e x ＝e x（1－x ），当x ∈（－∞，1）时，g ′（x ）>0，g （x ）单调递增；当x ∈（1，＋∞）时，g ′（x ）<0，g （x ）单调递减．所以g （x ）的最大值为g （1）＝e ，又x →－∞时，g （x ）→0，x →＋∞时，g （x ）→－∞，所以k ＋b 的取值范围是（－∞，e].6．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－7e 4，0 答案解析：设切点坐标为（x 0，y 0），则y 0＝f （x 0）＝（x 0＋2）e x 0.由f （x ）＝（x ＋2）e x ，可得f ′（x ）＝（x ＋3）e x， 所以切线方程为y －y 0＝（x 0＋3）e x 0（x －x 0），整理得y －（x 0＋2）e x 0＝（x 0＋3）e x 0（x －x 0），将M （1，t ）代入可得，t ＝（－x 20 －x 0＋5）e x 0＝h （x 0），h ′（x 0）＝（－x 20 －3x 0＋4）e x 0＝－（x 0＋4）（x 0－1）e x 0，则h （x 0）在（－∞，－4）和（1，＋∞）上单调递减；在（－4，1）上单调递增．所以，h ()x 0 在x 0＝－4处有极小值h ()－4 ＝－7e4 ，在x 0＝1处有极大值h （1）＝3e.易知当x 0<－1＋212时，h ()x 0 <0（如图所示）所以当－7e 4 <t <0时，函数t ＝h ()x 0 有3个零点，即当－7e4 <t <0时，过点M ()1，t 可作3条与曲线y ＝f （x ）相切的直线．三 高考小题重现篇1．答案：B答案解析：f ′（x ）＝4x 3－6x 2，则f ′（1）＝－2，易知f （1）＝－1，由点斜式可得函数f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线方程为y －（－1）＝－2（x －1），即y ＝－2x ＋1.2．答案：D答案解析：方法一 因为函数f （x ）＝x 3＋（a －1）x 2＋ax 为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），所以（－x ）3＋（a －1）（－x ）2＋a （－x ）＝－[x 3＋（a －1）x 2＋ax ]，所以2（a －1）x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f （x ）＝x 3＋x ，所以f ′（x ）＝3x 2＋1，所以f ′（0）＝1，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，0）处的切线方程为y ＝x .方法二 因为函数f （x ）＝x 3＋（a －1）x 2＋ax 为奇函数，所以f （－1）＋f （1）＝0，所以－1＋a －1－a ＋（1＋a －1＋a ）＝0，解得a ＝1，经检验满足题意，所以f （x ）＝x3＋x ，所以f ′（x ）＝3x 2＋1，所以f ′（0）＝1，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，0）处的切线方程为y ＝x .3．答案：D答案解析：方法一 在曲线y ＝e x 上任取一点P ()t ，e t ，对函数y ＝e x 求导得y ′＝e x，所以，曲线y ＝e x 在点P 处的切线方程为y －e t ＝e t ()x －t ，即y ＝e t x ＋()1－t e t，由题意可知，点()a ，b 在直线y ＝e t x ＋()1－t e t 上，可得b ＝a e t ＋()1－t e t＝()a ＋1－t e t ，令f （t ）＝()a ＋1－t e t ，则f ′（t ）＝()a －t e t. 当t <a 时，f ′（t ）>0，此时函数f （t ）单调递增， 当t >a 时，f ′（t ）<0，此时函数f （t ）单调递减，所以，f （t ）max ＝f ()a ＝e a，由题意可知，直线y ＝b 与曲线y ＝f （t ）的图象有两个交点，则b <f （t ）max ＝e a， 当t <a ＋1时，f （t ）>0，当t >a ＋1时，f （t ）<0，作出函数f （t ）的图象如图所示：由图可知，当0<b <e a时，直线y ＝b 与曲线y ＝f （t ）的图象有两个交点．方法二 画出函数曲线y ＝e x的图象如图所示，根据直观即可判定点()a ，b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0<b <e a.4．答案：1答案解析：f ′（x ）＝（x ＋a －1）e x（x ＋a ）2 ，则f ′（1）＝a e（a ＋1）2 ＝e 4 ，解得a ＝1.5．答案：5x －y ＋2＝0答案解析：因为y ＝2x －1x ＋2 ，所以y ′＝2（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）2 ＝5（x ＋2）2 .当x ＝－1时，y ＝－3，y ′＝5，所以所求切线方程为y ＋3＝5（x ＋1），即5x －y ＋2＝0.6．答案：y ＝x e y ＝－xe答案解析：当x >0时，y ＝ln x ，y ′＝1x.假设此时直线与曲线y ＝ln x 相切于点（x 1，ln x 1）（x 1>0），则此时切线方程为y －ln x 1＝1x 1（x －x 1）.若该切线经过原点，则ln x 1－1＝0，解得x 1＝e ，此时切线方程为y ＝xe .当x <0时，y ＝ln （－x ），y ′＝1x.假设此时直线与曲线y ＝ln （－x ）相切于点（x 2，ln （－x 2））（x 2<0），则此时切线方程为y －ln （－x 2）＝1x 2（x －x 2）.若该切线经过原点，则ln （－x 2）－1＝0，解得x 2＝－e ，此时切线方程为y ＝－xe.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）因为f （x ）＝12 x 2－4ln x －12，所以f ′（x ）＝x －4x .令x －4x＝－3，即x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－4（舍去）.因为f （1）＝0，所以切点是（1，0），代入3x ＋y －a ＝0，得a ＝3.（2）f ′（x ）＝x －4x，x >0.令f ′（x ）>0，得x >2；令f ′（x ）<0，得0<x <2.所以f （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增， 即f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，＋∞）.2．答案解析：（1）方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74 x －3，当x ＝2时，y ＝12 .又因为f ′（x ）＝a ＋b x2 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，所以f （x ）＝x －3x .（2）证明：设P （x 0，y 0）为曲线y ＝f （x ）上任一点，由y ′＝1＋3x2 知曲线在点P （x 0，y 0）处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20 （x －x 0），即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20 （x －x 0）.令x ＝0，得y ＝－6x 0，所以切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0 .令y ＝x ，得y＝x ＝2x 0，所以切线与直线y ＝x 的交点坐标为（2x 0，2x 0）.所以曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0 |2x 0|＝6.故曲线y ＝f （x ）上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.。