2019-2020年高中数学 第二章数列 §2.4等比数列第三课时教案 新人教A版必修5
高中数学 第二章 数列 24 等比数列学案(无答案)新人教A版必修5 学案
2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。
人教A版高中数学《高中数学第二章《数列》教材分析
学段及学科
高中数学
教材版本
人教A版
单元名称
《高中数学第二章《数列》教材分析》
单元教材主题内容与价值作用
主题内容:数列的概念和简单表示法、等差数列、等比数列
价值作用:承前启后的作用，过去学过的方程、函数等知识在本章得到延
伸，为高考数列求和作了铺垫。
第三课时：等比数列
第四课时：数列的通项公式和求和公式
说明
本章主要学习了数列的初步知识，包括数列的概念、表示和通项公式，等差数列和等比数列等。本章内容的呈现，充分考虑到学生的认知规律，在数列概念的呈现过程中，从学生最熟悉的例子入手，并通过旁白，鼓励学生自己举例，整个设计为学生和教师的积极活动提供了空间和可能。
单元目标
数列核心概念及思想方法的研究
重点、难点与关键
2.1节的重点是使学生理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型，掌握数列的几种简单表示(图象、列表、通项公式)。难点是认识数列是.一类特殊的函数及根据数列前几项的特点，探索规律，写出数列可能的一个通项公式;根据数列的首项和递推公式写出它的前几项，并归纳出通项公式。2.2节的重点是使学生掌握等差数列的概念及通项公式、等差中项，用通项验证数列{an}为等差数列，并能用来解决有关问题。难点是等差数列“等差”性的特点、等差数列性质的应用。2.3节的重点是使学生掌握等差数列的前n项和公式。难点是推导等差数列前n项和公式思路的获得。2.4节的重点是使学生掌握等比数列的概念、通项公式、等比中项、等比数列的性质。难点是等比数列的判定方法，等比数列性质的应用。2.5节的重点是使生掌握等比数列的前n项和公式及错位相减的思想。难点是用错位相减法推导等比数列前n项和公式思路的获得。
高中数学 第一部分 第二章 2.3 第三课时 等比数列的前n项和课件 苏教版必修5
(1)列方程组求出a1和q即可．
(2)bn可以转化为两个等比数列的通项公式和一个
常数数列通项公式相加，求和时重新组合即可．
[精解详析]
(1)设等比数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1，
1 1 a1＋a1q＝2a1＋a1q， 由已知 a1q2＋a1q3＋a1q4＝64 1 2＋ 1 3＋ 1 4， a1q a1q a1q
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
x1－xn ＋ ＝ －nxn 1， 1－ x x ∴ Sn＝ [nxn＋1－(n＋1)xn＋1]， 2· 1－x nn＋1 2 ∴Sn＝0 x＝0 x n＋1 [ nx －n＋1xn＋1] 2 1－x x＝1
1 1 2 2 2 2 2n－1 ①－②得：2Sn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－ n＋1 2
2n－1 1 1 1 1 ＝2＋2＋22＋…＋ n－1－ n＋1 2 2 1 1 1 － n－1· 2 2 2 2n－1 3 2n－1 1 1 ＝2＋ 1 － 2n＋1 ＝2－2n－1－ 2n＋1 1－ 2 3 2n＋3 ＝2－ n＋1 ， 2 2n＋3 ∴Sn＝3－ 2n .
2 a1q＝2， 化简得 2 6 a1q ＝64.
又 a1>0，故 q＝2，a1＝1. 所以 an＝2n－1.
1 2 1 1 2 n－1 (2)由(1)知 bn＝(an＋a ) ＝an＋a2 ＋2＝4 ＋ n－1＋2. 4 n n 因此 Tn＝(1＋4＋…＋4
n－1
1 1 )＋(1＋4＋…＋ n－1)＋2n 4
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得
2 2 a ＋ a q ＝ 10 a 1 ＋ q ＝10 1 1 1 3 5 ，即 3 5 5 2 a q ＋a1q ＝4 a q 1＋q ＝4 1 1
第2课时等比数列的判定与性质2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
结题总结： 三个数成等比数列的设法： 设为aq，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…， qa2，aq，a，aq，aq2，…
三、课堂练习
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( C )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
二、讲授新知
（四）等比数列性质的简单应用
例 4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216，后三个数成等差
数列，且它们的和为 12，求这四个数．
解 方法一：设前三个数分别为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216， 所以 a3＝216.所以 a＝6. 因此前三个数为6q，6,6q.由题意知第 4 个数为 12q－6. 所以 6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23.故所求的四个数为 9,6,4,2.
二、讲授新知
(1)解 由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)，
（一）等比数列的判定与证明
∴a1＝－12.又 S2＝13(a2－1)，
例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， 即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
Sn＝13(an－1)(n∈N*)．
(2)证明 当 n≥2 时，
第2课时 等比数列的判定与性质
一、复习引入
1.等比数列的定义； 2.等比中项； 3.等比数列的通项公式（含推广公式）.
二、讲授新知
（一）等比数列的判定与证明 1．定义法： an ＝q(n∈N*且n≥2，常数q 不为0)； an－1 2．等比中项法：a2n＝an－1an＋1(n∈N*且 n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1＝aq1·qn＝A·qn(A≠0)．
2020高中数学等比数列教案设计大全
2020高中数学等比数列教案设计大全2020高中数学等比数列教案设计大全一教学目标知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。
过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。
情感态度与价值观：在传授知识培养能力的同时，培养学生勇于探求，敢于创新的精神，同时帮助学生树立克服困难的信心，培养学生良好的学习习惯意志品质。
教学重点和难点教学重点：等比数列的概念的形成与深化;等比数列通项公式的推导及应用。
教学难点：等比数列概念深化：体现它是一种特殊函数，等比数列的判定、证明及初步应用。
教学过程(一)等比数列的概念1、创设情境，引入概念引例1：国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，直到第64个格子放满为止。
” 国王慷慨地答应了他。
你认为国王有能力满足上述要求吗?所构成的数列：1，2，4，8，16，32，…引例2：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为：引例3：《庄子·天下篇》曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”看成单位”1”，你能用一个数列来表达这句话的含义吗?“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”等比数列：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
(q≠0且an ≠0 )2、抓住本质，理解概念试判断下列数列是不是等比数列，如果是求出公比。
等比数列教学案
等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。
授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。
教学难点：等比数列通项公式的探求。
教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，?（２）8，16，32，64，128，256，?（３）1，1，1，1，1，1，1，?（４）1，2，4，8，16，?263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，?，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，3.递推公式：an?1∶an?q(q?0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0.（4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。
等比数列的概念和通项公式课时教学设计-高中数学人教A版2019选择性必修第二册教案
第1课时等比数列的概念和通项公式（一）教学内容等比数列的概念、等比数列的通项公式（一）教学目标1.通过具体实例,能归纳出等比数列的概念,并形成符号化定义;能根据定义探索归纳出等比数列的通项公式,能解释公式的含义和限制条件;能根据等比中项的概念写出出对应等式，发展数学抽象素养.2.通过解析式、图象等,能说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异;会用函数的观点解释等比数列,发展数学抽象、逻辑推理素养.3.通过解方程组求等比数列的基本量,能得出等比数列的一些性质,会利用通项公式解决一些简单问题,着重提升数学运算素养.（三）教学重点及难点1.重点：等比数列的定义及通项公式.2.难点：等比数列通项公式的推导.（四）教学过程设计问题1：在前面我们已经学习了等差数列，我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究呢？师生活动：（1）独立思考后,让学生代表回答.类比等差数列的概念,从加、减、乘、除运算的角度,学生回答的可能有三种数列:等和、等积和等商(比)数列(仿照等差数列命名)。
（2）教师追问1：你能举岀相应的例子吗?（3）学生举例,如:1，4，1，4，1;0，1，0，3，0，5，…;1，2，4，8，…等数列.教师引学生了解:相对于等和与等积数列,等比数列的性质更为丰富,在生活中的应用更广泛,本节课我们将要研究等比数列.（4）教师追问2：类比差数列研究路径，你认为应该研究等比数列的哪些内容?按怎样的路径展开研究?主要的研究方法有哪些?（5）师生共研：提出本单元的研究路径:背景→概念一通项公式→性质→前n项和公式→应用.设计意图：学生利用常用的四则运算类型，可以类比等差数列得出等和、等积与等商(比)数列的名称,通过对比分析确定将要研究的对象.这样的设计可以避免先入为主，体现了研究逻辑的完整性，能提升学生发现和提出问题的能力.为了不冲淡主题,等和与等积数列可作为例1：若等比数列n 的第4项和第6项分别为48和12，求n 的第5项．例2：已知等比数列{}n a 的公比为q ，试用{}n a 的第m 项m a 表示n a ．例3：数列{}n a 共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．设计意图：让雪学生学会等比数列基本量的求解运算，体会等比数列的独特性，归纳出等比数列运算的方法以及策略.（五）目标检测设计当堂检测1．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=．求1a 和公比q ．2．对数列{}n a ，若点(),*()n n a n N ∈都在函数x y cq =的图象上，其中c ，q 为常数，且0c ≠，0q ≠，1q ≠，试判断数列{}n a 是否是等比数列，并证明你的结论．课后作业1．判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．（1）3，9，15，21，27，33；（2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641；（3）13，16，19，112，115，118；（4）4，8-，16，32-，64，128-．2．已知{}n a 是一个公比为q 的等比数列，在下表中填上适当的数．n 是等比数列．（1）3a ，5a ，7a 是否成等比数列？为什么？1a ，5a ，9a 呢？（2）当1n >时，1n a -，n a ，1n a +是否成等比数列？为什么？当0n k >>时，n k a -，n a ，n k a +是等比数列吗？设计意图：检测和巩固等比数列的概念和通项公式。
人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述
1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。
教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。
作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。
等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。
三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。
通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。
教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。
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2019-2020年高中数学 第二章数列 §2.4等比数列第三课时教案 新人教A
版必修5
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0）
2.等比数列的通项公式: ， )0(≠⋅⋅=-q a q
a a m m n m n 3．｛｝成等比数列=q （,q ≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±（a ,b 同号）
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G
b a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G =ab ,则，即a ,G ,b 成等比数列。
∴a ,G ,b 成等比数列G =ab （a ·b ≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n 项与第n+1项分别为：
n n n
n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)
()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以是一个以q 1q 2为公比的等比数列
拓展探究：
对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？
探究：设数列{}与{}的公比分别为，令，则
1
111112()()n n n n n n n n n n a c b a b q a c a b q b +++++∴===，所以，数列{}也一定是等比数列。
课本P59的练习4
已知数列{}是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？
（2）是否成立？你据此能得到什么结论？
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则
在等比数列中，m+n=p+q ，有什么关系呢？
由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 1
1
--⋅==k p p q a a q a a ，则
Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q ，
2、若是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列 Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A 组的3、5题
●板书设计
●授后记。