高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.2.2直线方程的两点式和一般式课件北师大版必修2
由两点式方程, 得 BD 所在直线的方程为 =
������+2 ,即 -4+2
2x-y+10=0.
故 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x-y+10=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
直线方程的一般式
【例2】 根据下列条件写出直线方程,并化为一般式方程. (1)斜率为2,且在y轴上的截距为1; (2)经过P1(-2,1),P2(3,2)两点; (3)在x轴、y轴上的截距分别为3,-5; (4)经过点P(4,-3),且垂直于x轴. 分析:根据题意灵活选择直线方程的形式:(1)斜截式;(2)两点式;(3) 截距式;(4)数形结合求解.
解:(1)由两点式方程, 得
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.已知两点的坐标,求过此两点的直线方程时,可首先考虑两 点式方程;若两点所在直线的斜率存在时,也可利用点斜式表示方 程,但不论用何种方式,最后结果通常化为一般式. 2.因为直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直 线,所以在用待定系数法设直线的截距式方程求解时,要注意这一 局限性,避免造成丢解.一般地,当直线在两坐标轴上截距相等、互 为相反数、或在x轴上的截距是y轴上截距的k倍时,经过原点的直 线均符合这些要求,求方程时应分类讨论.
3 -5
5x-3y-15=0. (4)由题意知,直线方程为x=4,化为一般式方程为x-4=0. 反思要学会直线方程的一般式与特殊式之间的相互转化,在求直 线方程时,并不一定要设一般式,根据题目条件选择恰当形式,但最 终结果要用一般式方程来表示,题目有特殊要求的除外.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6, 根据下列条件分别确定m的值. (1)l在x轴的截距是-3; (2)l的斜率是-1.
-3 -1
整理, 得 x+3y+3=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
直线方程的两点式和截距式
【例 1】 求满足下列条件的直线方程: (1)过点 A (-2,3),B(4,-1); (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 8, -6.
������-3 ������+2 = 4+2, 化简得 2x+3y-5=0. -1-3 ������ ������ (2)由截距式方程, 得 + =1,化简得 3x-4y-24=0. 8 -6
【做一做】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式. (1)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (2)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
解:(1)由两点式方程, 得
������-5 -1-5
=
������-(-1) , 2-(-1)
整理, 得 2x+y-3=0. ������ ������ (2)由截距式方程, 得 + =1,
������2 -2������-3 - 2 = 2������ +������-1
③
-1,④
由 ④得 m=-1 或 m=-2,分别代入 ③检验得 m=-2.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
直线方程的综合应用
【例3】 已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)求证:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围. 分析:(1)把直线方程变形为点斜式,根据点斜式的定义求解; (2)根据直线不经过第四象限,建立不等式组求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 已知△ABC的顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0), 求边AC上的中线BD所在直线的方程.
解:设 D(x0 , y0 ), 由中点坐标公式得, x0 =
������-6 2-6 0- 8 4+0 =4, y =2, 即 0= 2 2
D(-4,2).
第2课时 直线方程的两点式和一般式
1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化. 2.了解在直角坐标系中平面内的直线与关于x,y的二元一次方程 的对应关系(难点).
1.直线方程的两点式和截距式
名称 已知 条件 示意图 方程 适用 范围 y-y1 x-x1 = y2 -y1 x 2 -x1 x1≠x2,y1≠y 2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)由题意知,直线的斜截式方程为y=2x+1,化为一般式方程为 2x-y+1=0.
(2)由题意知 ,直线的两点式方程为
������-1 2-1
=
������+2 ,化为一般式方程为 3+2
x-5y+7=0. ������ ������ (3)由题意知 ,直线的截距式方程为 + =1,化为一般式方程四
������2 -2������-3 ≠ 0, 解 :(1)由题意 ,得
2������-6 = -3,② ������2 -2������-3 5 由 ②得 m=3 或 m=- , 3 5 分别代入 ①检验 ,可知 m=- . 3
①
2������2 + ������-1 ≠ 0, (2)由题意 ,得
2.直线的一般式方程 把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0叫作直线的一般式方程, 简称一般式.其中系数A,B满足A,B不同时为0. 名师点拨直线的一般式方程的系数和常数项对直线位置的影响 (1)当A=0,B≠0,C≠0时,方程表示的直线与x轴平行; (2)当A≠0,B=0,C为任意实数时,方程表示的直线与x轴垂直; (3)当A=0,B≠0,C=0时,方程表示的直线与x轴重合; (4)当A≠0,B=0,C=0时,方程表示的直线与y轴重合; (5)当C=0,A,B不同时为0时,方程表示的直线过原点.
x a
两点式 P1(x1,y 1),P2(x 2,y 2), 其中 x1≠x 2,y 1≠y 2
截距式 在 x,y 轴上的截距分 别为 a,b,且 ab≠0
+ =1
b
y
ab≠0
名师点拨点斜式与斜截式的联系及区别 (1)联系: ①直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式, 它们都可以看成直线上任意一点(x,y)的横坐标x和纵坐标y之间的 关系等式,即都表示直线. ②直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,它们都不能表示 斜率不存在的直线. (2)区别: ①直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一点的坐标 (x0,y0)来表示的,同一条直线的点斜式方程有无数个. ②直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b 来表示的,同一条直线的斜截式方程是唯一的.
高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
北师大版数学高一-课堂新坐标14-15数学必修2讲义 第2章 解析几何初步(144页)
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．过程与方法通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．情感、态度与价值观通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．●重点难点重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正课标解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).直线的倾斜角和斜率【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？ 2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l 1，l 2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，通常用α表示．(2)范围：0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝{ tan α，α≠90°，不存在，α＝90°. 4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系倾斜角α 直线特点 斜率k 的变化0° 垂直于y 轴 k ＝00°<α<90° 由左向右上升 随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为正值α＝90° 垂直于x 轴 k 不存在90°<α<180°由左向右下降随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率k 也逐渐增大，且恒为负值 5.过两点的直线斜率的计算公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.求直线的倾斜角 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°【思路探究】倾斜角的取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°【自主解答】由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.【答案】 D1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．图2－1－1【解】设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.求直线的斜率(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．【思路探究】(1)利用过两点的直线的斜率公式求得．(2)利用斜率的定义求．【自主解答】(1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k ＝7－32－1＝4.(2)因为直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的倾斜角为45°，所以直线l ′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l ′的斜率k ′＝tan 135°＝－1.1．熟记斜率公式是解答本题的关键．2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．将本题中的两点改为(1,1)，(－1，－2)其余不变． 【解】 k ＝－2－1－1－1＝32.直线的倾斜角、斜率的综合应用 已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (3,1)，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．【思路探究】 欲使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率与直线PA ，PB 的斜率有必然的关系，通过画图可知．【自主解答】 设直线l 的斜率为k ，当l 与线段AB 相交时，k PB ≤k ≤k PA ， 又∵k PA ＝1＋33－2＝4，k PB ＝1＋23＋3＝12，∴12≤k ≤4， 即直线l 的斜率的取值范围为12，433，3－12，3)．1．2直线的方程第1课时直线方程的点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．过程与方法通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．情感、态度与价值观培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．●重点难点重点：直线方程的点斜式．难点：直线方程的应用．给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．(教师用书独具)●教学建议本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的点斜式(重点)．2．了解直线在y轴截距的概念(易混点)．3．了解斜截式与一次函数的关系(难点).直线方程的点斜式【问题导思】若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．2．直线方程的点斜式和斜截式利用点斜式求直线方程根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．【思路探究】解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解．【自主解答】(1)y－4＝－3，即y＝－3x＋1，图形如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3； 当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.利用斜截式求直线方程 (1)写出斜率为2，在y 轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m .把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.点斜式、斜截式方程的综合应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0，求证：不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． 【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m ， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程． 【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．【错因分析】未考虑m与3的关系导致错误的出现．【防范措施】当m＝3时斜率不存在，故应该讨论m与3的关系．【正解】当m＝3时，直线斜率不存在，∴直线方程为x＝3，当m≠3时，k＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)【解析】由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．【答案】 D2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3【解析】由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.【答案】 D3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．【解析】∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2 ∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4)C ．y －(－2)＝33(x －4)D ．y －2＝33(x ＋4)【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)．【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－(－1)2－(－1)＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．【答案】 C 5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2， 令y ＝0，x ＝2＋aa .由已知得a ＋2＝2＋aa .∴(a ＋2)(1－1a )＝0.∴a ＝－2或a ＝1.【答案】 D 二、填空题 6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5. ∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2.【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2. (2)k ＝tan 30°＝33. ∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1. 10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程．【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0，∴m＝4，即P(3,4)．又∵已知直线方程可化为y＝x＋1，∴k＝1＝tan 45°，即倾斜角为45°.如图，易知已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 60°＝3，∴所求直线方程为y －4＝3(x －3)．11．经过点A (－2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程． 【解】 设直线为y －2＝k (x ＋2)，交x 轴于点(－2k－2,0)，交y 轴于点(0,2k ＋2)，S ＝12×|2k ＋2|×|2k ＋2|＝1，|4＋2k ＋2k |＝1， 得2k 2＋3k ＋2＝0或2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－12或k ＝－2，∴x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求．(教师用书独具)如图所示，已知△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，点C 在直线AB 上方． 求：(1)线段AB 的方程；(2)AC 所在直线的方程及在y 轴上的截距．【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解． 【自主解答】 (1)由A (1,1)，B (5,1)，得AB ∥x 轴， ∴k AB ＝0，∴线段AB 的方程为y ＝1(1≤x ≤5)． (2)k AC ＝tan 60°＝3，∴直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，整理得y ＝3x ＋1－3，令x ＝0得y ＝1－3， ∴在y 轴上的截距为1－ 3.1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k＝0时，y＝b表示与x轴平行的直线，当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在y轴上截距为3.【解】由直线y＝－33x＋5，得k＝－33，即tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，即y＝33x－3－4. (2)∵l在y轴上截距为3，则由斜截式方程得：y＝33x＋3.第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)．2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点).直线方程的两点式【问题导思】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．直线方程的一般式【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．直线方程的两点式和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.直线方程的一般式 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.直线方程的应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．(2)如图，直线OA的斜率k＝35－015－0＝3，∵l不经过第二象限，∴a≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 {m －1＜0，1－2m ＜0，∴12＜m ＜1. 【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等．【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －(a ＋1)＞0，a －2≤0，或{－(a ＋1)＝0，a －2≤0.10分∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1x －(－35)－2,2－1,1－12，120,2 C ．－3，3－33，33－33，33(x －1)2＋y 2－1 B ．(13，34 D ．512，＋∞)【思路点拨】 根据图形的特点求解．【解析】 先作出已知曲线y ＝1＋4－x 2的图形，再根据直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)． 如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r ＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线．由图形中关系可求得k PC ＝512. 【答案】 D点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．12，114，1 D ．(14，1)【解析】 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和(x ，y )的直线斜率，显然k AD 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈(14，1)． 【答案】 D。
(人教课标版)普通高中课程标准实验教科书《数学》目录(B版)
（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算本章小结阅读与欣赏聪明在于学习，天才由于积累第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法本章小结阅读与欣赏函数概念的形成与发展第三章基本初等函数（Ⅰ）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）本章小结阅读与欣赏对数的发明必修二第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积实习作业1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系本章小结阅读与欣赏散发着数学芳香的碑文第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式本章小结阅读与欣赏笛卡儿必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2基本算法语句1.2.1赋值、输入和输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3中国古代数学中的算法案例本章小结阅读与欣赏我国古代数学家秦九韶附录1解三元一次方程组的算法、框图和程序附录2Scilab部分函数指令表第二章统计2.1随机抽样2.1.2系统抽样2.1.4数据的收集2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关本章小结阅读与欣赏蚂蚁和大象谁的力气更大附录随机数表第三章概率3.1事件与概率3.1.1随机现象3.1.2事件与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3.2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3.4概率的应用本章小结阅读与欣赏概率论的起源必修四第一章基本初等函数（Ⅱ）1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系式1.2.4诱导公式1.3三角函数的图象与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角教学建模活动本章小结阅读与欣赏三角学的发展第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用本章小结阅读与欣赏向量概念的推广与应用第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3.3三角函数的积化和差与和差化积本章小结阅读与欣赏和角公式与旋转对称必修五第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例本章小结阅读与欣赏亚历山大时期的三角测量第二章数列2.1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2.2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2.3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和本章小结阅读与欣赏级数趣题无穷与悖论第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3.2均值不等式3.3一元二次不等式及其解法3.4不等式的实际应用3.5二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划本章小结选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线级其标准方程2.3.2抛物线的几何性质本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想选修1-2第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析本章小结“回归”一词的由来附表相关性检验的临界值表第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法本章小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想数学证明的机械化——机器证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法和减法3.2.2复数的乘法和除法本章小结复平面与高斯第四章框图4.1流程图4.2结构图本章小结阅读与欣赏冯·诺伊曼选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题1.1.2量词1.2基本逻辑联结词1.2.1“且”与“或”1.2.2“非”（否定）1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件本章小结阅读与欣赏什么是数理逻辑第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线本章小结阅读与欣赏圆锥面与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离（选学）本章小结阅读与欣赏向量的叉积及其性质选修2-2第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常数函数与冥函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理本章小结阅读与欣赏微积分与极限思想第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例本意小结阅读与欣赏《原本》与公理化思想第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法本章小节阅读与欣赏复平面与高斯选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3二项式定理1.3.2杨辉三角本章小结第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布本章小结阅读与欣赏关于“玛丽莲问题”的争论第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析本章小结阅读与欣赏“回归”一词的由来附表选修3-1第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身选修3-2暂缺选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2引言第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2基本不等式1．3绝对值不等式的解法1．4绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1数学归纳法原理3．2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式本章小结阅读与欣赏附录部分中英文词汇对照表后记选修4-6引言第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7引言第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9引言第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例说明：A版适用于文件生使用，B版适用于理科生使用，B 版比A版略难。
高中数学 第2章 直线和圆的方程 2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程教案 新人教A版选
2.2.2 直线的两点式方程学习目标核心素养1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用X围．(重点)2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用X围．(重点)3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标. 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养.2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养.某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如下图．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？1．直线的两点式和截距式方程名称两点式方程截距式方程条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0.示意图直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用X围斜率存在且不为零斜率存在且不为零，不过原点思考：方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)的适用X 围相同吗？ [提示] 不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线．2．线段的中点坐标公式假设点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)直线的两点式方程也可以用y －y 1x －x 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)表示．( ) (2)任何直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出．( ) [提示] (1)× (2)× (3)√2．过点A (3,2)，B (4,3)的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0D [由直线的两点式方程，得y －23－2＝x －34－3，化简，得x －y －1＝0.]3．假设直线l 经过点A (2,5)，B (2,7)，那么直线l 的方程为________．x ＝2 [因为两点的横坐标相等，都是2，所以直线方程是x ＝2.]4．直线y ＝3x ＋2在x 轴上的截距是________． －23 [令y ＝0得x ＝－23，即在x 轴上的截距为－23.]直线的两点式方程(2)假设点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，那么m ＝________.(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2， 即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， 那么m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.]由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．假设满足，那么考虑用两点式求方程．[跟进训练]1．求经过两点A (2，m )和B (n,3)的直线方程． [解] 当m ＝3时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝3， 当n ＝2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝2. 当m ≠3且n ≠2时，由两点式得直线方程为y －m 3－m ＝x －2n －2.直线的截距式方程[例2] 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程． [思路探究][解] 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b .①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1，假设a ＝b ，那么a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．[变条件]本例中把“截距相等〞改为“截距互为相反数〞，求直线l 的方程． [解] 当截距均为零时，设直线方程为y ＝kx ，把点(4，－3)代入得－3＝4k ，解得k ＝－34，所求的直线方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0. 当截距均不为零且相反时，可设直线方程为x a ＋y －a ＝1，把点(4，－3)代入得4a ＋－3－a＝1，解得a ＝7，所求直线方程为x 7＋y－7＝1，即x －y －7＝0，故所求l 的方程为x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.2．[变条件]本例中把“相等〞改为“绝对值相等呢？〞 [解] 当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括： ①两截距均为零，即3x ＋4y ＝0 ②两截距均不为零且相等即x ＋y －1＝0. ③两截距均不为零且相反即x －y －7＝0.故所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.利用截距式求直线方程的须知(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0. ①假设a ＝0，b ≠0，那么直线方程为x ＝0； ②假设a ≠0，b ＝0，那么直线方程为y ＝0； ③假设a ＝0，b ＝0，那么直线方程为y ＝kx (k ≠0)． (2)截距相等且不为零，可设x ＋y ＝a ； 截距相反且不为零，可设x －y ＝a ；截距相等且均为零，可设y ＝kx .直线方程的灵活应用[探究问题]1. 假设直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？ [提示] 点斜式. 假设直线过两定点可选择两点式或点斜式． 2．假设直线的斜率，选哪种形式的方程？ [提示] 可选择斜截式．3．假设直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？ [提示] 选择截距式较好．[例3] A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．[思路探究] (1)B ，C 两点坐标――→两点式求方程 (2)求中点坐标――→两点式求直线方程[解] (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，由两点式，得y －－4－2－－4＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边的方程是2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (a ，b )，那么a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋－22＝－3，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －－352－－3，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.1．本例中条件不变，试求AB 边上的高线所在直线的方程．[解] 设AB 边上的高线所在直线斜率为k ， ∵k AB ＝2－－4－3－5＝－34，∴k ＝43，又高线过点C (0，－2)，∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y ＋2＝43(x －0)，即4x －3y －6＝0.2．本例中条件不变，试求与AB 平行的中位线所在直线的方程．[解] 由探究1知k AB ＝－34，即中位线所在直线斜率为－34，由例题知BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y ＋3＝－34⎝⎛⎭⎪⎫x －52，即6x ＋8y ＋9＝0.直线方程的选择技巧(1)一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．(2)假设直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)假设两点坐标，一般选用直线的两点式方程，假设两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A ．x 3＋y 2＝0 B ．x 2＋y3＝0 C ．x 2＋y3＝1 D ．x 3＋y2＝1 C [由条件可知，直线在x 轴、y 轴上的截距分别为2,3，所以方程为x 2＋y3＝1.]2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________．－32 [由两点式得y －19－1＝x ＋13＋1，即y －1＝2(x ＋1)，令y ＝0得x ＝－32，所以直线在x 轴上的截距为－32.]3．经过点(－1,5)，且与直线x 2＋y6＝1垂直的直线方程是________．x －3y ＋16＝0 [直线x 2＋y 6＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是13，所以所求直线方程是y －5＝13(x ＋1)，即x －3y ＋16＝0.]4．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． [解] 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya＝1. 那么6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1， 那么直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.。
北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》2.1《直线与直线的方程(5)》教案
第五课时 直线的一般式方程一、教学目标1、知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法：学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学方法：探析交流法 四、教学过程问 题设计意图 师生活动1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？使学生理解直线和二元一次方程的关系。
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。
对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。
为此要对B 分类讨论，即当0≠B 时和当B=0时两种情形进行变形。
然后由学生去变形判断，得出结论：关于y x ,的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示；同时，任何一个关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）.2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？使学生理解直线方程的一般式的与其他形 学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是：问 题设计意图 师生活动式的不同点。
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x 轴垂直的直线。
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
问题导学
当堂检测
解:(1)由于������������1 =2,������������2 =1,������������1 ≠ ������������2 , ∴ 两直线相交. 2������-������ + 4 = 0, ������ = 1, 解方程组 得 ������ = 6. ������-������ + 5 = 0, ∴ 两条直线的交点坐标为(1,6). (2)由方程组 5������ + 4������-2������-1 = 0, 解得 2������ + 3������-������ = 0,
2������+3 ������-2 , 7 7
2������+3 ������ = , 7 ������-2 ������ = . 7
∴ 两条直线的交点坐标为
.
∵ 此交点在第四象限,∴
3 2
2������+3 > 0, 7 ������-2 < 0, 7
解得- <m<2.故所求 m 的取值范围是 - ,2 .
)
故两条直线的交点坐标为(2,3). 答案:B
问题导学
当堂检测
1
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3.直线 2x+y+m=0 和 x+2y+n=0 的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定,与 m,n 取值有关 解析:两条直线的斜率分别是 k1=-2,k2=- . ∵ k1·k2≠-1 且 k1≠k2,∴ 两条直线相交但不垂直. 答案:C
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若直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,当两条直线相交于 点 P(x0,y0)时,试判断直线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中 λ∈R) 是否经过点 P. 提示:经过.因为 l1 与 l2 交于 P(x0,y0),所以 A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,于是(A1x0+B1y0+C1)+λ(A2x0+B2y0+C2)=0+λ×0=0,故直 线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 必过点 P,该方程就是经过两相交直 线交点除 l2 外的直线系方程.
高二人教版数学目录
高二人教版数学目录第一章：立体几何初步
1.1 空间几何体的结构
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.3 空间几何体的表面积与体积
第二章：平面解析几何初步
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.2 直线的方程
2.3 直线的交点
2.4 圆的方程
2.5 椭圆的标准方程和性质
2.6 双曲线的标准方程和性质
2.7 抛物线的标准方程和性质
第三章：复数
3.1 复数的概念
3.2 复数的几何表示
3.3 复数的代数形式的四则运算
3.4 实系数一元二次方程的复数根
第四章：排列与组合
4.1 排列
4.2 组合
4.3 二项式定理
第五章：二项式定理
5.1 二项式定理的展开式
5.2 二项式系数的性质
5.3 二项式定理的应用
第六章：随机变量及其分布
6.1 随机变量的概念
6.2 离散型随机变量及其分布
6.3 连续型随机变量及其分布
6.4 随机变量的数学期望与方差
第七章：统计案例
7.1 独立性检验
7.2 回归分析
7.3 案例分析
第八章：推理与证明
8.1 合情推理
8.2 演绎推理
8.3 直接证明与间接证明
8.4 数学归纳法
请注意，这只是一个基本的目录结构，具体的内容和章节划分可能会根据具体的教材版本和教学大纲有所调整。
解析几何的基本概念与性质总结
解析几何的基本概念与性质总结解析几何是数学的一个重要分支，它研究的是平面和空间中的点、线、面以及它们之间的关系。
在解析几何中，有一些基本概念和性质是我们必须要了解和掌握的。
本文将对解析几何的基本概念和性质进行总结。
1. 基本概念1.1 点：解析几何中最基本的概念是点，它是没有大小和形状的，只有位置。
点可以用坐标表示，如在平面直角坐标系中，一个点可以由它在横坐标轴上的值和纵坐标轴上的值确定。
1.2 线：线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度，只有长度。
在解析几何中，我们通常用直线和曲线来表示。
直线可以用线段两个端点坐标来表示，曲线则需要更多的点来确定。
1.3 面：面是由无数个线组成的，它有长度和宽度，但没有厚度。
平面是最常见的面，它可以用平面直角坐标系来表示。
在平面直角坐标系中，平面上的点可以用它们在横坐标轴和纵坐标轴上的值表示。
2. 基本性质2.1 距离：在解析几何中，我们可以通过计算两点之间的距离来刻画它们之间的远近关系。
在平面上，两点之间的距离可以用勾股定理来计算，即：√((x2-x1)²+(y2-y1)²)；在空间中，距离的计算需要用到三维坐标。
2.2 斜率：斜率是用来刻画一条直线的倾斜程度的量。
在平面直角坐标系中，我们可以通过计算直线上两个点的纵坐标差与横坐标差的比值来得到直线的斜率。
斜率的计算公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
2.3 直线的方程：在解析几何中，直线的方程可以用不同的形式来表示。
最常见的有点斜式方程、截距式方程和一般式方程。
点斜式方程形式为：y-y1=k(x-x1)，其中k为斜率，(x1,y1)为直线上的一点；截距式方程形式为：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距；一般式方程形式为：Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
2.4 相交和平行：在解析几何中，我们经常需要确定两条直线的关系，如是否相交或平行。
对于两条直线，如果它们的斜率相等，则它们平行；如果斜率相乘为-1，则它们垂直；如果两条直线的方程组有唯一解，则它们相交；如果方程组无解，则它们平行且不相交。
第2章 平面解析几何初步
第2章 平面解析几何初步2.1 直线与方程如图2—1—2（1），已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12x x ≠，那么直线PQ 的斜率（slope)为211221()y y k x x x x -=≠-.例 1 如图2—1—3，直线123,,l l l 都经过点(3,2),P 又123,,l l l 分别经过点123(2,1),(4,2),(3,2)Q Q Q ----，试计算直线123,,l l l 的斜率.例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为： （1）34；（2）45-.在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination)，并规定： 与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0︒由定义可知，直线的倾斜角α的取值范围是0180α︒≤<︒.当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角（图2—1—5（1）），此时，tan .y BNk x ANα∆===∆当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（图2—1—5（2）），此时，tan tan(180).y BNk x ANθα∆===-=-︒-∆-练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（2，3），（4，5）；（2）（－2，3），（2，1）；（3）（―3，―1），（2，―1）；（3）（―1，3），2.根据下列条件，分析画出经过点P ，且斜率为k 的直线： （1）(1,2),3P k =； （2）3(2,4),4P k =-； （3）(1,3),0P k -=；（3）(2,0),P -斜率不存在.3.设过点A 的直线的斜率为k ，试分别根据上列条件写出直线上另一点B 的坐标（答案不惟一）：（1）4,(1,2);k A =（2）2,(2,3);k A =--- （3）3,(2,4);2k A =--（4）4,(3,2).3k A =- 4.分别判断下列三点是否在同一直线上： （1）（0，2）（2，5），（3，7）； （2）（―1，4），（2，1），（―2，5）.若直线l 经过点(1,3)A -，斜率为2-，点P 在直线l 上运动，那么点P 的坐标(,)x y 满足什么条件（图2—1—6）？一般地，设直线l 经过点111(,)P x y ，斜率为k ，直线l 上任意一点P 的坐标是(,)x y . 当点(,)P x y （不同于点1P ）在直线l 上运动时，1PP的斜率恒等于k ，即 11y y k x x -=-， 故11()y y k x x -=-.可以验证：直线l 上的每个点（包括点1P ）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上.这个方程就是过点1P ，斜率为k 的直线l 的方程.方程11()y y k x x -=-叫做直线的点斜式方程.当直线l 与x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示.但因为l 上每一点的横坐标都等于1x ，所以它的方程是1x x =例1 已知一直线经过点(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程.例2 已知直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程. 练习1.根据下列条件，分别写出直线的方程： （1）经过点(4,2)-，斜率为3；（2）经过点(3,1)，斜率为12； （3）斜率为2-，在y 轴上的截距为2-；（4，与x 轴交点的横坐标为7-. 2.直线(1)(0)y k x k =+>的图象可能是（ ）.3.若一直线经过点(1,2)P ，且斜率与直线23y x =-+的斜率相等，则该直线的方程是 .4.任一条直线都可以用点斜式方程表示吗？斜截式方程可以改写成点斜式方程吗？ 思考（1）方程121121y y y y x x x x --=--的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图表？ （2）方程121121y y y y x x x x --=--和方程112121y y x x y y x x --=--表示同一图形吗？ 例1 已知直线l 经过两点(,0),(0,)A a B b ，其中0ab ≠，求直线l 的方程（图2—1—8）.例2 已知三角形的顶点是(5,0),(3,3),(0,2)A B C --（图2—1—9），试求这个三角形三边所在直线的方程.1.分别写出经过下列两点的直线的方程： （1）（1，3），（－1，2）；（2）（0，3），（－2，0）.2.已知两点(3,2),(8,12)A B . （1）求出直线AB 的方程；（2）若点(2,)C a -在直线AB 上，求实数a 的值.3.求过点(3,4)M -，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.4.回答下列问题：（1）任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？（2）如果两条直线有相同的斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？（3）如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？（4）任一条直线都可以用截距式方程表示吗？ 思考平面内任意一条直线是否都可以用形如0Ax By C ++=（,A B 不全为0）的方程来表示？例1 求直线:35150l x y +-=的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距，并作图.例2 设直线l 的方程为260x my m +-+=，根据下列条件分别确定m 的值： （1）直线l 在x 轴上的截距是3-； （2）直线l 的斜率是1.1.如果直线326x y +=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，那么有（ ）.A.3,32k b =-=B.2,33k b =-=- C.3,32k b =-=-D.2,23k b =-= 2.直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则（ ）. A.2,5a b ==B.2,5a b ==-C.2,5a b =-=D.2,5a b =-=-3.设直线l 的方程为0Ax By C ++=（,A B 不同时为0），根据下列条件，求出,,A B C 应满足的条件：（1）直线l 过原点；（2）直线l 垂直于x 轴； （3）直线l 垂直于y 轴；（3）直线l 与两条坐标轴都相交.4.写出下列图中各条直线的方程，并化为一般式：习题2.1（1）1.根据下列条件，分别写出直线的方程：（1）过点(3,2)-，斜率为3； （2）过点(3,0)-，且与x 轴垂直； （3）斜率为4-，且在y 轴上的截距为7；（4）经过点(1,8),(4,2)--.2.写出过点(3,1)P ，且分别满足下列条件的直线l 的方程； （1）直线l 垂直于x 轴； （2）直线l 垂直于y 轴； （3）直线l 过原点.3.分别求下列直线与两坐标轴围成的三角形的面积： （1）2360x y --=；（2）5320x y ++=.4.一根弹簧挂4kg 的物体时，长20cm.在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg ，弹簧伸长1.5cm.试写出弹簧的长度l （cm ）和所挂物体质量m （kg ）之间的关系.5.一根铁棒在40℃时长12.506m ，在80℃时长12.512m.已知长度l （m ）和温度t （℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度.6.已知菱形的两条对角线长分别为8和6，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.7.直线l 经过点(3,1)-，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线l 的方程. 8.设直线l 的方程为2(3)260(3)x k y k k +--+=≠，根据下列条件分别确定k 的值； （1）直线l 的斜率为－1；（2）直线l 在x 轴、y 轴上截距之和等于0.9.设直线l 的方程为3(2)y k x -=+，当k 取任意实数时，这样的直线具有什么共同的特点？10.已知两条直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=都过点(1,2)A ，求过两点111222(,),(,)P a b P a b 的直线的方程.11.“坡度”常用来刻画道路的倾斜程度，这个词与直线的斜率有何关系？坡度为4%的道路很陡吗？调查一些山路或桥面的坡度，并与同学交流.例1 求证：顺次连结7(2,3),5,,(2,3),(4,4)2A B C D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭四点所得的四边形是梯形（图2—1—12）.例2 求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线的方程. 思考如果两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？例3 （1）已知四点(5,3),(10,6),(3,4),(6,11)A B C D --，求证：AB CD ⊥； （2）已知直线1l 的斜率134k =，直线2l 经过点，且12l l ⊥，求实数a 的值.例4 如图2—1—14，已知三角形的顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --，求BC 边长的高AD 所在直线的方程.例5 在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩轴线与灯杆垂直.当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ） 习题1.分别判断下列直线AB 与CD 是否平行： （1）(3,1),(1,1)A B --；(3,5),(5,1)C D -；（2）(2,4),(4)A B --； (0,1),(4,1).C D 2.已知17(4,2),(1,1),(5,5),(,)32A B C D ----，求证：四边形ABCD 是梯形. 3.以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是（ ）. A.锐有三角形B.直角三角形C.钝角三角形4.求过点(2,3)A ，且分别适合下列条件的直线的方程：（1）平行于直线2530x y +-=； （2）垂直于直线20x y --=.例1 分别判断下列直线1l 与2l 是否相交，若相交，求出它们的交点： （1）1:27,l x y -=2:3270;l x y +-= （2）1:2640,l x y -+= 2:41280;l x y -+=（3）1:4240,l x y ++= 2:2 3.l y x =-+例2 直线l 经过原点，且经过另两条直线2380,10x y x y ++=--=的交点，求直线l 的方程.例3 某商品的市场需求量1y （万件）、市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：1270,220y x y x =-+=-.当12y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. （1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？思考已知直线1:10l x y ++=和2:240l x y -+=，那么方程1(24)0x y x y λ+++-+=（λ为任意实数）表示的直线有什么特点？ 习题1.与直线230x y --=相交的直线的方程是（ ）. A.4260x y --= B.2y x = C.25y x =+D.23y x =-+2.若三角直线2380,10x y x y ++=--=和102x ky k +++=相交于一点，则k 的值等于（ ）A .－2B.12-C.2D.123.已知直线l 经过两条直线2330x y --=和20x y ++=的交点，且与直线310x y +-=平行，求直线l 的方程.4.在例3中，求当每件商品征税3元时新的平衡价格. 习题2.1（2）1.分别求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点(3,2)A ，且与直线420x y +-=平行； （2）经过点(3,0)B ，且与直线250x y +-=垂直；（3）经过点(2,3)C -，且平行于过两点(1,2)M 和(1,5)M --的直线. 2.三角形三个项点是(4,0),(6,7),(0,3)A B C ，求AB 边上高所在直线的方程. 3.根据下列条件，求直线的方程：（1）斜率为－2，且过两条直线340x y -+=和40x y +-=的交点；（2）过两条直线230x y -+=和290x y +-=的交点和原点；（3）过两条直线22100x y -+=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=；（4）过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=.4.三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=相交于一点，求a 的值.5.已知(1,3),(3,2),(6,1),(2,4)A B C D ---，求证：四边形ABCD 为平行四边形.6.已知两条直线210ax ay ++=和(1)(1)10a x a y --+-=互相垂直，求垂足的坐标.7.已知两条直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=，当m 为何值时，1l 与2l ：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 8.已知三条直线10,280x y x y ++=-+=和350ax y +-=共有三个不同的交点，求实数a 满足的条件.9.试证明：如果两条直线斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直.10.（1）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线1//l l ，求证：直线1l 的方程总可以写出110()Ax By C C C ++=≠；（2）已知直线:0l Ax By C ++=，且直线2l l ⊥，求证：直线2l 的方程总可以写成20Bx Ay C -+=.11.直线1l 和2l 的方程分别是1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，其中11,A B 不全为220,,A B 也不全为0.试探求：（1）当12//l l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当12l l ⊥时，直线方程中的系数应满足什么关系？例1 （1）求(1,3),(2,5)A B -两点间的距离；（2）已知(0,10),(,5)A B a -两点间的距离是17，求实数a 的值.例2 已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)A B C ---，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在直线的方程.例3 已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC =.习题1.求线段AB 的长及其中点的坐标：（1）(8,10),(4,4)A B -； （2）((A B .2.已知ABC ∆的顶点坐标为(3,2),(1,0),(2A B C ，求AB 边上的中心CM 的长.3.已知两点(1,4),(3,2)P A -，求点A 关于点P 的对称点B 的坐标.思考你还能通过其他途径求点P 到直线l 的距离吗？例1 求点(1,2)P -到下列直线的距离：（1）2100x y +-=；（2）32x =.例2 求两条平行直线340x y +-=与2690x y +-=之间的距离.例3 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.习题1.求下列点P 到直线l 的距离：（1）(3,2),:34250P l x y -+-=；（2）(2,1),:350P l y -+=.2.求下列两条平行直线之间的距离：（1）51220512150x y x y --=-+=与；（2）364502x y y x -+==与. 3.直线l 经过原点，且点(5,0)M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.习题2.1（3）1.求,A B 两点之间的距离：（1）(2,0),(2,3);A B ---（2）(0,3),(3,3)A B ---；（3）(3,5),(3,3)A B -.2.已知点(1,2)P -，分别求点P 关于原点、x 轴和y 轴的对称点的坐标.3.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(2,1)-，求线段AB 的长度.4.已知,A B 两点都在直线1y x =-上，且,A B ,A B 之间的距离.5.已知两点(2,3),(1,4)A B -，点(,)P x y 到点,A B 的距离相等，求实数,x y 满足的条件.6.已知点(,)P x y 在直线40x y +-=上，O 是原点，求OP 的最小值.7.求点P 到直线l 的距离：（1）(2,1),:230P l x +=；（2）(3,4),:34300P l x y --+=.8.直线l 到两条平行直线220x y -+=和240x y -+=的距离相等，求直线l 的方程.9.直线l 在y 轴上截距为10，且原点到直线l 的距离是8，求直线l 的方程.10.点P 在直线350x y +-=上，且点P 到直线10x y --=求点P 的坐标.11.已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，求ABC ∆的面积. 12.已知直线l 经过点(2,3)-，且原点到直线l 的距离是2，求直线l 的方程.13.在ABC ∆中，点,E F 分别为,AB AC 的中点，建立适当的直角坐标系，证明：//EF BC ，且12EF BC =. 14.过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被P 点平分，求直线l 的方程.15.已知光线通过点(2,3)A -，经x 轴反射，其反射光线通过点(5,7)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.16.已知光线通过点(2,3)A ，经直线10x y ++=反射，其反射光线通过点(1,1)B ，求入射光线和反射光线所在直线的方程.17.在直线20x y +=上求一点P ，使它到原点的距离与到直线230x y +-=的距离相等.18.已知直线:33l y x =+，求：（1）直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；（2）直线20x y --=关于l 对称的直线的方程.19.证明平行四边形四边的平方和等于两条对角线的平方和.20.求证：两点(,)A a b ，(,)B b a 关于直线y x =对称.21.已知(1,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使PM PN +取最上值，求点P 的坐标.22.某人上午8时从山下大本营出发登山，下午4时到达山顶.次日上午8时从山顶沿原路返回，下午4时回到山下大本营.如果该人以同样的速度匀速上山、下山，那么两天中他可能在同一时刻经过途中同一地点吗？如果他在上山、下山过程中不是匀速行进，他还可能在同一时刻经过途中同一地点吗？2.2 圆与方程例1 求圆心(2,3)C -，且经过坐标原点的圆的方程.例2 已知隧道的截面是半径为4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m ，高为3m 的货车能不能驶入这个隧道？思考假设货车的最大宽度为a m ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？例3 已知ABC ∆顶点的坐标为(4,3),(5,2),(1,0)A B C ，求ABC ∆外接圆的方程. 思考 本题还有其他解法吗例4 某圆拱梁的示意图如图2—2—4所示.该圆拱的跨度AB 是36m ，拱高OP 是6m ，在建造时，每隔3m 需要一个支柱支撑，求支柱22A P 的长（精确到0.01m ）.习题1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为6；（2）经过点(6,3)P ，圆心为(2,2)C -.2.求以点(1,5)C --为圆心，并且和y 轴相切的圆的方程.3.已知点(4,5),(5,1)A B ---，求以线段AB 为直径的圆的方程.4.下列方程各表示什么图形？若表示圆，则求其圆心和半径：（1）2240x y x +-=；（2）224250x y x y +--+=.5.求经过点(4,1),(6,3),(3,0)A B C -的圆的方程.6.如果方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有（ ）.A.D E =B.D F =C.E F =D.D E F ==习题2.2（1）1.求满足下列条件的圆的方程：（1）过点(2,2)P -，圆心是(3,0);C（2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2350x y -+=上；（3）经过点(3,5)A 和(3,7)B -，且圆心在x 轴上.2.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,4)A C -，求这个圆的方程.3.已知半径为5的圆过点(3,4)P -，且圆心在直线210x y -+=上，求这个圆的方程.4.求经过三点(1,5),(5,5),(6,2)A B C --的圆的方程.5.已知圆222420x y x by b ++++=与x 轴相切，求b 的值.6.求过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心在直线220x y --=上的圆的标准方程.7.已知点(1,1)P 在圆22()()4x a y a -++=的内部，求实数a 的取值范围.8.画出方程1x -=. 9.求圆222210x y x y ++-+=关于直线30x y -+=对称的圆的方程.10.已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线.11.河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m ，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽4m ，故通行无阻.近日水位暴涨了2.7m ，为此，必须加得船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？例1 求直线430x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系.例2 自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程.例3 求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长.习题1.判断下列各组中直线l 与圆C 的位置关系：（1）:10l x y +-=，22:4C x y +=； （2）:4380,l x y --=22:(1)1;C x y ++= （3）:40l x y +-=， 22:20C x y x ++=.2.若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是（ ）A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定3.（1）求过圆224x y +=上一点的圆的切线方程；（2）求过原点且与圆22(1)(2)1x y -+-=相切的直线的方程.4.求直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长.5.从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向圆引切线，求切线长.例1 判断下列两圆的位置关系：（1）22(2)(2)1x y ++-=与22(2)(5)16x y -+-=；（2）22670x y x ++-=与226270x y y ++-=.例2 求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程.习题1.判断下列两个圆的位置关系：（1）22(3)(2)1x y -++=与22(7)(1)36x y -+-=；（2）2222320x y x y +-+=与22330x y x y +--=.2.已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，求实数m 的取值范围.习题2.2（2）1.过点(3,4)P --作直线l ，当l 的斜率为何值时，（1）直线l 将圆22(1)(2)4x y -++=平分？（2）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相切？（3）直线l 与圆22(1)(2)4x y -++=相交，且所截得的弦长为2？2.已知过点(1,1)A --的直线l 与圆222660x y x y +-++=相交，求直线l 斜率的取值范围.3.，且与直线23100x y +-=切于点(2,2)P 的圆的方程.4.已知以(4,3)C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，求圆C 的方程.5.求圆心在y 轴上，且与直线1:43120l x y -+=，直线2:34120l x y --=都相切的圆的方程.6.已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.7.已知圆C 的方程是222x y r +=，求证：经过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程200x x y y r +=.8.已知圆222:C x y r +=，直线2:l ax by r +=.（1）当点(,)P a b 在圆C 上时，直线l 与圆C 具有怎样的位置关系？（2）当点(,)P a b 在圆C 外时，直线l 具有什么特点？2.3 空间直角坐标系例1 在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P .例2 如图2—3—4，在长方体ABCD A B C D ''''-中，12,8, 5.AB AD AA '===以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA '分别为x 轴、y 轴和x 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.思考在空间直角坐标系中，x 轴上的点、xOy 平面内的点的坐标分别具有什么特点？例3 （1）在空间直角坐标系O xyz -中，画出不共线的3个点,,P Q R ，使得这3个点的坐标都满足3z =，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.习题1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3),(2,0,4),(1,2,2).A B C D --2.在长方体ABCD A B C D ''''-中，6,4,7AB AD AA '===.以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,AB BC BB '分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标.3.写出空间直角坐标系yOz 平面内的点的坐标应满足的条件.例1 求空间两点12(3,2,5),(6,01)P P --间的距离12PP .例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为221x y +=.在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程.思考 连结平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的线段12PP 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么，已知空间中两点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z ，线段12PP 的中点M 的坐标是什么呢？练习1.运用两点间距离公式求图2—3—4中线段,OC B C ''的长度.2.一个长方体的8个顶点的坐标为（0，0，0），（0，1，0）（3，0，0），（3，1，0），（3，1，9），（3，0，9），（0，0，0），（0，1，9）.（1）在空间直角坐标系中画出这个长方体；（2）求这个长方体的体积.3.已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为13，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.4.已知(2,5,6),A -在y 轴上求一点P ，使7PA =.5.已知空间三点(1,0,1),(2,4,3),(5,8,5)A B C -，求证：,,A B C 在同一条直线上.6.（1）求点(4,3,7)P -关于xOy 平面的对称点的坐标；（2）求点(2,1,4)P 关于坐标原点的对称点的坐标；（3）求点(3,2,4)P -关于点(0,1,3)A -的对称点的坐标.7.在你的教室或房间里建立适当的空间直角坐标系，以此确定电灯、门锁或开关的位置，写出相应的坐标.复习题1.已知直线350ax y +-=经过点(2,1)A ，求实数a 的值.2.已知过两点(,3),(5,)A a B a --的直线的斜率为1，求a 的值及这两点间的距离.3.如果0,0AC BC <>，那么直线0Ax By C ++=不通过（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知直线10mx ny +-=经过第一、三、四象限，求实数,m n 满足的条件.5.已知直线l 过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5个平方单位，求直线l 的方程.6.直线过点(5,6)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，求此直线的方程.7.已知直线22x ay a +=+与直线1ax y a +=+平行，求实数a 的值.9.已知点A 与点(1,1)P -的距离为5，且到y 轴的距离等于4，求A 点的坐标.10.已知两条平行直线2360x y +-=和230x y a ++=之间的距离等于2，求实数a 的值.11.求圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦的长度.12.求与点(32,10),(42,0),(0,)A B C 的距离都相等的点的坐标.13.求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线的方程.14.判断两圆222200x y x y ++--=与2225x y +=的位置关系.15.过点(1,2)P 作一直线l ，使直线l 与点(2,3)M 和点(4,5)N -的距离相等，求直线l 的方程.16.在空间直角坐标系中作出下列点，并求两点间的距离和连结两点的线段的中点坐标：（1）(2,4,1),(4,6,7);A B --- （2）(8,3,2),(4,5,2).C D --17.河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4 m ，圆拱高约为7.2m ，试写出这个圆拱所在的圆的方程.18.已知平面内两点(4,1),(3,1)A B --，直线2y kx =+与线段AB 恒有公共点，求实数k 的取值范围.19.求证：无论k 取任何实数，直线(14)2(3)(214)0k x k y k +--+-=必经过一个定点，并求出定点的坐标.20.设集合22222{(,)|4},{(,)|(1)(1)(0)}M x y x y N x y x y r r =+≤=-+-≤>.当M N N = 时，求实数r 的取值范围.21.已知点(1,3),(5,2),M N -在x 轴上取一点P ，使得||PM PN -最大，求P 点的坐标.22.如图，在矩形ABCD 中，已知3,,AB AD E F =为AB 的两个三等分点，,AC DF 交于点G ，建立适当的直角坐标系，证明：EG DF ⊥.23.已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为210x y +-=，两个顶点为(1,2),(1,1)A B --，求第三个顶点C 的坐标.24.若直角y x b =+与曲线x =b 的取值范围.25.在直角坐标系中，已知射线:0(0),30(0)OA x y x OB y x -=≥+=≥，过点(1,0)P 作直线分别交射线,OA OB 于点,.A B（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 26.已知点P 在xOy 平面内，点A 的坐标为（0，0，4），5PA =，那么，满足此条件的点P 组成什么曲线？27.已知圆222440x y x y +-+-=，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.28.把函数()y f x =在x a =和x b =之间的一段图象近似地看做直线，且设a c b <<，试用(),()f a f b 来估计()f c .。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。