16.2最简二次根式和同类二次根式
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结
最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结綦江县赶水中学 李开铜（401437）最简二次根式是一种特殊形式的二次根式，如果一个二次根式不是最简二次根式，应根据积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质将其化为最简二次根式.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。
这两个概念是本章最重要的两个概念，希望同学们一定要掌握好！现把判断最简二次根式、同类二次根式的方法总结如下：一、最简二次根式的判别方法1．被开方数不能含有开得尽方的因数例1:化简363温馨提示:被开方数中含有开得尽方的因数121.解：原式 =31131131212=⨯=⨯.2．被开方数不能含有小数或分数例2:化简：(1).315)2(;72.0 温馨提示：（1）中被开方数中含有小数0.72;(2) 中被开方数中含有分数13. 解(1) 原式 =.2531007210072==(2) 原式 =.33433316316=⨯⨯= 3．被开方数不能含有开得尽方的因式例3:温馨提示：被开方数中含有开得尽方的因数16和因式x 2、y 4.解：原式4xy =判断最简二次根式就是注意两点：一是被开方数中不能含有分母或小数; 二是被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式.二、同类二次根式的判别方法判别几个根式是否为同类二次根式，其依据的同类二次根式的定义，若几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式. 例4:下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）18，31； （2）32，8； 温馨提示：要判断所给的两组二次根式是否是同类二次根式，首先要把所给的二次根式化成最简二次根式,再判断被开方数是否相同.解：（1）2318=，31=331，由于化成最简二次根式后，两个根式被开方数不同，所以18与31不是同类二次根式. （2）2432=，228=，由于化成最简二次根式后，两个根式的被开数相同，所以32与8是同类二次根式.例5:下列二次根式中，哪些与32是同类二次根式？271,50,54,48,3.0． 温馨提示：要判断哪个几个根式与32是同类二次根式，只要将所给的二次根式化成最简二次根式，然后观察其被开方数是否为3. 解：因为301013.0=，3448=，6354=，391271=，所以48，271与32是同类二次根式.同学们在平时的学习中不断总结、反思，逐渐形成解题技能和技巧，在平时的学习中就会知一题而会一片!。
沪教版八年级数学目录
沪教版初中数学目录八年级数学第一册第十六章二次根式第1节二次根式的概念和性质16.1 二次根式16.2 最简二次根式和同类二次根式第2节二次根式的运算16.3 二次根式的运算第十七章一元二次方程第1节一元二次方程的概念17.1 一元二次方程的概念第2节一元二次方程的解法17.2 一元二次方程的解法17.3 一元二次方程根的判别式第3节一元二次方程的应用17.4 一元二次方程的应用第十八章正比例函数和反比例函数第1节正比例函数18.1函数的概念18.2 正比例函数第2节反比例函数18.3 反比例函数第3节函数的表示法18.4 函数的表示法第十九章几何证明第1节几何证明19.1 命题和证明19.2 证明距离第2节线段的垂直平分与角的平分线19.3 逆命题和逆定理19.4 线段的垂直平分线19.5 角的平分线19.6 轨迹第3节直角三角形19.7 直角三角形全等的判定19.8 直角三角形的性质19.9 勾股定理19.10 两点的距离公式八年级第二册第二十章一次函数第1节一次函数的概念20.1 一次函数的概念第2节一次函数的图像与性质20.2 一次函数的图像20.3 一次函数的性质第3节一次函数的应用20.4 一次函数的应用第二一章代数方程第2节整式方程21.1 一元整式方程21.2 特殊的高次方程的解法第2节分式方程21.3 可化为一元二次方程的分式方程第3节无理方程21.4 无理方程第4节二元二次方程组21.5 二元二次方程和方程组21.6 二元二次方程组的解法第5节列方程（组）解应用题21.7列方程（组）解应用题第二十二章四边形第1节多边形22.1 多边形第2节平行四边形22.2 平行四边形22.3 特殊的平行四边形第3节梯形22.4 梯形22.5等腰梯形22.6 三角形、梯形的中位线第4节平面向量积及其加减运算22.7 平面向量22.8 平面向量的加法22.9 平面向量的减法第二十三章概率初步第1节事件及其发生的可能性23.1确定事件和随机事件23.2 事件发生的可能性第2节事件的概率23.3事件的概率23.4 概率计算举例。
沪教版八上教材知识点
角的平分线 →定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 →逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在 这个角的平分线上 19.6 轨迹（点的轨迹） →和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 →在一个角的内部 （包括顶点） 且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角 的平分线 →到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心， 定长为半径的 圆 第 3 节 直角三角形 19.7 直角三角形全等的判定 →定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两 个直角三角形全等（简记为 H.L） 19.8 直角三角形的性质 定理 1：直角三角形的两个锐角互余 定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边 等于斜边的一半 推论 2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对应的角等于 300 19.9 勾股定理 →定理：在直角三角形中，斜边大于直角边 →勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 <→勾股定理的逆定理：>如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的 平方和，那么这个三角形是直角三角形 19.10 两点的距离公式 19.5 →公式： AB ( X 1 X 2 ) 2 (Y1 Y2 ) 2 本章小结 阅读材料一 《几何原本》古今谈 阅读材料二 勾股定理万花筒
a a (a 0, b 0) b b
→把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外， 或者化去被开 方数的分母的过程，称为“化简二次根式” →通常把形如 m a (a 0) 的式子也叫做二次根式
a a b ab ab (a 0, b 0) b bb b b2
2022-2023学年八年级数学下册《 二次根式的乘除》精讲与精练高分突破含答案解析
2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第四十五中学校考期末）计算()()154154-+，结果为（ ）A ．1-B ．1C ．11-D ．113．（2022春·八年级课时练习）计算：(1)818⨯(2)0.10.4⨯(3)322411⨯(4)243题型二：二次根式的除法4．（2022秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计()4233+÷的值应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间5．（2023春·八年级课时练习）下列各式计算正确的是（ ）A ．2739÷=B ．48163÷=C ．2044÷=D ．413239÷=6．（2023春·全国·八年级专题练习）某直角三角形的面积为55，其中一条直角边长为10，则其中另一直角边长为（ ）A ．25B ．52C ．55D ．210题型三：二次根式的乘除混算7．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：(1)()622-÷(2)()16215362-⨯-(3)2421656++(4)()()()2233232-++⨯-8．（2023春·八年级）计算：(1)21437⨯(2)25136÷(3)954312612÷⨯(4)333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．（2023春·八年级）计算：(1)()12712453-+⨯；(2)()()6565-⨯+；(3)148312242÷-⨯+；(4)()()20222723321π---⨯-+-．题型四：最简二次根式的判断10．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．9aB ．23a C ．12a +D ．22a b -11．（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．3ab B ．3a b +C ．222a b ab+-D ．8a12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）在二次根式45、32x 、11、52、4x中，最简二次根式的个数是（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5题型五：化为最简二次根式问题13．（2023春·全国·八年级专题练习）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．632B ．1262C ．9142D ．314214．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）下列二次根式：①50；②12；③32；④40．将它们都化为最简二次根式后，同类二次根式是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④15．（2022春·贵州黔南·八年级校考期末）二次根式2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型六：已知最简二次根式求参数三、解答题+ 40．（2022·全国·八年级专题练习）若实数m、n满足2m n 41．（2023春·八年级课时练习）计算：V的面积；(1)如图1，利用秦九韶公式求ABCV的两条角平分线AD，BE交于点O，求点O (2)如图2，ABC（2）解：0.10.4⨯0.10.4=⨯0.04=0.2=；（3）解：322411⨯111241=⨯12=22=；（4）解：243243=8=22=．【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法．掌握二次根式的乘法和除法的运算法则是解题关键．4．C【分析】先根据二次根式的除法进行计算()4233+÷，然后估算14的大小即可求解．【详解】解：∵()4233+÷141=+，∵3144<<∴41415<+<故选C【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．5．B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：A ．27393÷==，选项不正确，不符合题意；B ．48163÷=，选项正确，符合题意；C ．2045¸=，选项不正确，不符合题意；D ．41491223393¸=´==，选项不正确，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．B【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可．【详解】解：由题意得，其中另一直角边长为：105102551052102⨯÷===，故选：B ．【点睛】此题考查二次根式的除法，掌握三角形的面积公式是解决问题的关键．7．(1)31-(2)65-(3)13(4)426-【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；（2）利用乘法分配律计算()62153-⨯，利用分数的性质和二次根式的性质化简162；（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简242166+，再计算与5的和即可；（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．【详解】（1）()622-÷6222=÷-÷31=-（2）()16215362-⨯-263215362=⨯-⨯-⨯1842325=--326532=--65=-（3）2421656++(2462166)5=÷+÷+4365=++265=++13=（4）()()()2233232-++⨯-2222(2)223(3)(3)2=-⨯⨯++-226334=-++-426=-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．8．(1)422(2)2(3)36(4)292a b ab -【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）2143⨯7=2672⨯42=2；（2）25136÷5536=÷5635=⨯2=（3）954312612÷⨯954312126=÷⨯112=36=；（4）333123b ab a b a ⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3392a ab a b b=-⋅⋅=292a b ab -．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．9．(1)115+(2)1(3)46+(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法则，最后合并同类二次根式即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加减法即可；（4）先算乘方和绝对值，再化简各个二次根式最后算加减法即可．【详解】（1）解：()12712453-+⨯111271245333=⨯-⨯+⨯9415=-+3215=-+115=+；（2）解：()()6565-⨯+65=-1=；（3）解：148312242÷-⨯+16626=-+4626=-+46=+；（4）解：()()020222723321π---⨯-+-3323311=--⨯+332331=--+1=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算以及二次根式的性质，掌握二次根式混合运算法则是关键．10．D【分析】直接根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】A 、93a a =，故不符合题意；B 、233a a =，故不符合题意；C 、12222a a ++=，故不符合题意；D 、22ab -是最简二次根式；故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，同时满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．熟记最简二次根式的定义是解题的关键．11．B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、3ab b ab =，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B 、3a b +是最简二次根式，故本选项符合题意；C 、()2222a b ab a b a b +-=-=-，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、822a a =，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．12．A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解答即可．【详解】解： 4535=，32x 2x x =，4x 2x =，∴最简二次根式有：11、52共两个．故选：A ．【点睛】本题考查二次根，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键．13．D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式6327922242312⨯⨯⨯===⨯，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．14．A【分析】先将各式化为最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解答．【详解】解：①50=52；②12=22；③36=22；④40=21052 与22是同类二次根式，故选：A ．【点睛】本题考查最简二次根式、同类二次根式等知识，最简二次根式满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．15．B【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开得尽方的因式或因数，被开方数不含有分母），判断即可．【详解】解：∵1233=，1223=､255||x x =，∴在2221,12,2,5,3x x x y ++中，最简二次根式有2x +，22x y +，共2个，故选：B ．【点睛】本题考查了对最简二次根式的理解，能熟练地运用定义进行判断是解此题的关键．16．D【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可．【详解】根据题意可知3102a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，∴314a b +=+=．故选D ．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键．17．B【分析】把a 的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，42a -=22，不能与2可以合并，当a=5时，42a -=1832=，能与2可以合并，当a=4时，42a -=14，不能与2可以合并，当a=2时，42a -=6，不能与2可以合并，故选B ．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．18．D【分析】先将8化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得．【详解】解：822=，22 与最简二次根式1m +能合并，12m ∴+=，解得1m =，故选：D ．【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键．19．D【分析】根据二次根式性质化简关判定A 、B ；根据二次根式乘法法则计算并判定C ；根据二次根式除法法则计算并判定D ．【详解】解：A 、()222-=，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、1374=93，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、322366⨯=，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、4312=2÷，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次根式化简及乘除运算，熟练掌握二次根的性质与乘除运算法则是解题的关键．20．A【分析】已知226a b ab +=，变形可得28a b ab +=（），24a b ab -=（），可以得出a b +（）和a b -（）的值，即可得出答案．【详解】解：∵226a b ab +=，∴28a b ab +=（），24a b ab -=（），∵0a b >>，∴8a b ab +=，4a b ab -=，∴824a b ab a b ab+==-，故选：A ．【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．21．C【分析】根据算术平方根、立方根、二次根式的运算可进行排除选项．【详解】解：①497648=，原计算错误，②()3322-=-，原计算正确；③1823÷=，原计算错误；④52535+-=，原计算正确；⑤()()5352510156+-=-+-，原计算错误；∴正确的有2个；故选C ．【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握算术平方根、立方根、二次根式的运算是解题的关键．22．A【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解．【详解】解：由题意得：()60060x x x x ⎧-≥⎪≥⎨⎪-≥⎩，解得：6x ≥，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键．23．A【分析】根据立方根的性质化简、平方根的完全平方公式和性质，即可解答．【详解】解：A 、335050>-<，，故3355≠-，故选项错误．B 、3273=644--，故选项正确．C 、(32)(32)1+-=，故选项正确．D 、(4)(3)43-⨯-=⨯，故选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平方根和立方根的性质，注意：负数开立方还是负数．24．A【分析】根据二次根式的乘法法则ab a b =⋅成立的条件为0a ≥且0b ≥，即可确定答案．【详解】解：根据题意，可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解不等式组，得 1x ≥，所以，等式2111x x x -=+⋅-成立的条件是1x ≥．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法法则和解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是解题关键．25．(1)46(2)32-(3)3a【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式2723=÷224=46=；（2）解：原式55354=-÷55435=-⨯18=-32=-；（3）解：原式33b ab a=÷ 33a ab b=⨯29a =3=a ．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．26．623-【分析】直接将31a =+，31b =-代入2ab b +进行计算即可．【详解】解： 31a =+，31b =-，2ab b ∴+()()()2313131=+-+-()313231=-+-+2423=+-623=-，故答案为：623-．【点睛】本题考查了求代数的值、二次根式的乘法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．27．B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．【详解】解：2243⨯-2263=⨯-433=-，33=∵252736<<，∴5276<<，即5336<<，∴2243⨯-的值应在5和6之间，故选：B【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出27的范围是解此题的关键．28．A【分析】先确定出m ，n 的值，再通过计算求解此题．【详解】解：∵2的整数部分是1，∴2的小数部分是21-，即21m -＝，∵8的整数部分是2，即2n ＝，∴()2222211==-+（），故选：A ．【点睛】此题考查了实数的估算与计算能力以及乘方，关键是能准确理解并运用相关知识．29．D【分析】通过观察，得出第n 项为：41n -，再根据31199=，得出方程4199n -=，解出即可得出答案．【详解】解：∵数列371115，，，，…，∴通过观察，可得：第n 项为：41n -，∵31191191199=⨯=⨯=，∴4199n -=，解得：25n =，∴311是它的第25项．故选：D【点睛】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．30．D【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可．【详解】解：∵711a b ==，，∴111170.1171001010ab a ⨯=⨯=⨯=，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．31．D【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可．【详解】解：A 、原式22=，不符合题意．B 、原式14x x =，不符合题意．C 、原式32y =，不符合题意．D 、22x xy y ++是最简二次根式，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．32．C【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可求解．【详解】A. 1223x x =不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B.()2222x xy y x y x y ++=+=+，不是最简二次根式，故该选项不正确，不符合题意；C.22x y +，是最简二次根式，故该选项正确，符合题意； D. 1=x x x，含有分母，故不是最简二次根式．故选：C ．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．33．5x >##5x<【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x 的一元一次不等式组求解即可．【详解】要使4455x x x x --=--有意义，则4050x x -≥⎧⎨->⎩，解得：5x >，故答案为：5x >．【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键．34．2ab b【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：∵0a >，0b >，∴2342a b ab b =．故答案为：2ab b ．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质是解题关键．35． 2 625- 4 5【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．【详解】解：（1）()()3131312-+=-=故答案为：2；（2）()2515251625-=-+=-，故答案为：625-；（3）483164÷==，故答案为：4；（4）1502552⨯==故答案为：5．【点睛】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．36．2y-【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：22212124233y y x x y y x x⋅=⋅==，∵0y <，∴212223y x y y x⋅==-，故答案为：2y -．【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．37．63【分析】设ABC V 底边上的高为h ，根据三角形的面积公式12S ah =列方程求解即可．【详解】解：设ABC V 底边上的高为h ，根据题意，得123182h ⨯=，解得：63h =，故答案为：63．【点睛】本题考查解一元一次方程、二次根式的除法运算、三角形的面积公式，正确计算是解答的关键．38．15【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答．【详解】解：2y y x x xy x x=⋅=，∵35x y ==，，∴原式3515=⨯=．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则．39．3【分析】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到()82，与()100100，表示的两个数，进而()82，与()100100，表示的两个数的积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()82，在数列中是第()1772230+⨯÷+=个，30310÷=，()82，表示的数正好是第10轮的最后一个，即()82，表示的数是3，由题意可得：每三个数一循环，1,2,3，()100100，在数列中是第()1999921005050+⨯÷+=个，5050316831÷=⋯，()100100，表示的数正好是第1684轮的第一个，即()100100，表示的数是1，故（()82，与()100100，表示的两个数的积是：313⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．40．1113±【分析】先根据2710m n m n +-+--=求出8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，然后求出4m n +的值，即可得出答案．【详解】解：∵2710m n m n +-+--=，∴27010m n m n +-=⎧⎨--=⎩，解得：8353m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴853744333m n +=⨯+=，373的平方根为3711133±=±，即4m n +的平方根是1113±．【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，求代数式的值，求平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出m 、n 的值．41．(1)46+(2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可【详解】（1）解：148318243÷-⨯+148318263=÷-⨯+16626=-+46=+（2）03(51)(51)(2)27+-+--()25113=-+-53=-2=【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则．42．(1)22(2)63(3)62(4)269(5)3(6)0.092(7)32(8)255【详解】（1）()211|11|-+-1111=+，22=；（2）108363=⨯，63=；（3）2382+648=+，72=，362=⨯，62=；（4）82783273⨯=⨯，4681⨯=，269=；（5）333333⨯=⨯，3=；（6）0.060.27⨯0.010.812=⨯⨯，0.10.92=⨯，0.092=；（7）114-34=，32=；（8）41154点O 为ABC V 的角平分线交点，∴点O 到AB ，AC ，BC 的距离相等，长度为设,OF h =，则ABC ACO S S =+V V 111。
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时，若两个被开方数可以
整除，就直接运用二次根式的除法法则进行计算；若两 个被开方数不能整除，可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a－8
a a－8
成立，那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3－练
D.a>8
解题秘方：紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5－讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣两个条件： 1. 被开方数不含分母； 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因
数(式)的指数都是1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5－练
例8 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二
次根式？不是最简二次根式的，请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2＋y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x；(5)
2 .
3
解题秘方：紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5－练
解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母； (3) 不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)； (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4，4=22； (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3－讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单 项式的法则进行运算，将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ，被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ，即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0，d ＞ 0，c ≠ 0 ).
人教初中数学八下 16.2.2 最简二次根式课件 【经典初中数学课件汇编】
5．被开方数有隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
分析：含字母的化简，通常要知道字母的符 号,而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐 藏．因此，化简时要从被开方数入手．
26
5．被开方数是隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
值范围是(C ) A. a2
C. 2a4
B. a2
D. a2或 a4
21
二次根式化简
1．被开方数是非完全平方数的二次根式化简 例 1 化简 48． 分析：因为，48=16×3=42×3，所以，根据公 式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的． 解： 48＝ 16×3＝ 16× 3＝ 42× 3＝4 3．
p
-1 0 1 2
18
6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，
且 ac ，那么 ca (acb)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2c
19
7.当 . a1时，a2求 211的值
2
aa
错解 （ ： a1)2 原 1a 式 11a1 a a aa 2
分析：上述做法 有中 注， 意没 到 a当 1时， 2
【解析】 25 600÷128 = 200（千米）.
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：
天)之间有什么关系？
【解析】 y=200x（0≤x≤128）.
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程 大约是多少千米？ 【解析】当x=45时，y=200×45=9 000（千 米）.
初中数学同步训练必刷题(人教版七年级下册16
初中数学同步训练必刷题（人教版七年级下册16.2 二次根式的乘除）一、单选题（每题3分，共30分）1．（2022八下·威县期末）下列根式是最简二次根式的是（）A．√0.5B．√8C．√17D．−√3【答案】D【知识点】最简二次根式【解析】【解答】解：A、√0.5=√12=√22，故本选项不符合题意；B、√8=2√2，故本选项不符合题意；C、√17=√77，故本选项不符合题意；D、−√3是最简二次根式，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项计算求解即可。
2．（2022八下·顺平期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的为（）A．√6B．√7C．√8D．√10【答案】C【知识点】最简二次根式【解析】【解答】A．√6是最简二次根式，故A不符合题意；B．√7是最简二次根式，故B不符合题意；C．√8=2√2，故C符合题意；D．√10是最简二次根式，故D不符合题意．【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此解答即可.3．（2022八下·巴彦期末）下列计算中，正确的是（）A．√5−√3=√2B．√3×√2=√5C．√8÷√2=2D．√(−3)2=−3【答案】C【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法【解析】【解答】解：A、√5与√3不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B、√3×√2=√6，不符合题意；C、√8÷√2=√4=2，符合题意；D、√(−3)2=√9=3，不符合题意；故答案为：C．【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
4．（2022八下·安宁期末）下列无理数中，与√24相乘积为有理数的是（）A．√2B．√3C．√5D．√6【答案】D【知识点】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：∵√24=2√6，√6×√6=6，∴与√24相乘积为有理数的是√6，故答案为：D．【分析】利用二次根式的乘法计算方法逐项判断即可。
人教版八年级数学下册第十六章 二次根式16.2二次根式的乘除课件(2课时66张)
22
35
3 4
32 3 4 4
2
3
2
巩固练习
连接中考
（2019•株洲） 2 8 ＝（ B ）
A．4 2
B．4
C．10
D．2 2
课堂检测
基础巩固题
1.下面计算结果正确的是 ( D )
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
人教版 数学 八年级 下册
16.2二次根式的乘除
第一课时 第二课时
第一课时
二次根式的乘法
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导入新知
如何计算 5 3？
苹果ios手持操作系统的图标为圆角矩形，长为 5 cm， 宽为 3cm，则它的面积是多少呢？
素养目标
2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平 方根的性质进行简单运算. 1. 掌握二次根式乘法法则.
不成立！
- 4、- 9 没有意义！
因此被开方数a，b需要满足什么条件？
a，b是非负数，即a≥0,b≥0
探究新知
二次根式的乘法法则是:
在本章中， 如果没有特 别说明，所 有的字母都 表示正数．
二次根式相乘，_根__指__数___不变，被__开__方__数__相乘.
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法： (1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内， 当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式 都是正数时，平方大的二次根式大． (3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的 近似值，再进行比较．
16.2 (2)最简二次根式和同类二次根式(1)
叫做最简二次根式， 这是我们今天要探究 的问题（揭示课题）. 二、 新知学习
指出化简 后的结果就是 最简二次根式， 激发兴趣，点 题.
1、观察思考 观察上述 3 题中的二次根式及其化 简所得结果： （1） 比较化简前后的两个二次根式里 的 被 开 方 数 前 后 发 生了什 么 变 化？ （2） 化简后的被开方数是由那些共同 的特征？ （若学生回答困难， 教师可引导学生观察 被开方数所含因式的指数和分母两方面） 2、归纳：同时满足上述两个条件的二次 根式叫做最简二次根式. 注： 这里的因式是指因式分解和素因 数分解后的因式和因数.因式可以为单项 强调条件 1 中的因式指什 预设： （1） 被开方数中各因式的指数 都为 1. （2）被开方数不含分母. 引导学生 观察、 比较和分 析认识最简二 次根式的特征， 再概括最简二 次根式的概念.
5a ； 3
（2） 42a ；
例题 1 是 概念的辨析， 让 学生理解并掌 握最简二次根 式必须满足的 条件.
2 （3） 24x 3 ； （4） 3( a 2a 1) ；
先判断是否是二次根式， 再说明为什么？ 4、小结：出现以下情况的二次根式都不 是最简二次根式. （1） 被开方数中含有分母. （2） 被开方数（能分解因式或分解素 因式的，将其分解）所含各因式 的指数不是 1. 5、提问：能把（1） （3） （4）中的二次根 式化成最简二次根式吗？ 问： （1）怎么化成最简二次根式？
5a 5a 3 15a . 2 3 3 3
问： （3）如何化成最简二次根式？
预设：将 2 , x 移到根号外. 问： x 移到根号外是等于什么？
2 3 预设： 由 24x 0 可得 x 0 ，
2
2
所以 x 移到根号外是等于 x.
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6,3
2 B. 3 5,
15 C. 1
2
12,
1 3
D.
8,
2 3
1.已知最简二次根式 2b 1和 7 b 是同类二次根式， 那么b=_____
2.最简二次根式 2ba 4a 3b和 2a 3 是同类二次根式，那 么a=____,b=_____.
例2：合并下列各式中的同类二次根式：
(1) 2 2 1 3 1 2 3 23
16.2(2) 最简二次根式和 同类二次根式
复习 :
1.最简二次根式必须满足的条件是什么？
(1)被开方数中各因式的指数都为1； (2)被开方数不含分母.
2.把 8a 和
1 2a
化成最简二次根式.
8a 2 2a
1 1 2a 2a 2a
16.2 同类二次根式
问题
1 8a 化简
2 1 化简
2a
2 2a
1 2a 2a
观察所得结果 有何相同之处？
两个最简二次根式里的被开方数都是2a
几个二次根式化成最简二次根式后,如果
被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同
类二次根式.
8a 和
1 2a
就是同类二次根式.
例1：下列二次根式，哪些是同类二次根式：
12
24
1 27
a4b
2 a3b(a 0) ab3 (a 0)
(2) 3 xy a xy b xy
例3：计算：
(1) 3 75 48 2
（2） ( 0.5 2 1 ) ( 1 75 ) 38
课堂小结
（1）掌握判断同类二次根式的依据： 即先化成最简二次根式， 再看被开方数是否相同.
（2）合并同类二次根式时，可类比合并同类项.
反思提升：
1.判断 2 m n与5 m - n 是否是同类二次根式？ 3 mn mn
练一练：
一、选择题
1.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A. 3和 18; B
3和
1; 3
C.
a2b和
ab2 ; D.
a 1和 a 1.
2.下列各二次根式中，与 8 是同类二次根式的是（ ）
A. 1
B. 24 C. 0.8
D. 16
2
3.下列各组二次根式，同类二次根式是（ ）
A. 1 3
2a2 2a 5a 2a a 2a 2 a 2a
Байду номын сангаас
2a2 5a 1 2a 2 a
2
2.计算：a 2 8a 50a3 a 2 2 a 2a
2a 2 5a 1 2a 2 a
2
计算
a 2 8a 50a 3 a 2 2 a 2a
解 : 原式 a2 4 2a 25a2 • 2a a 2a 2 a 2 a•a
2a2 2a 5 a 2a a 2a 2 a 2a