第6章 边界层流动
边界层流动
边界层流动边界层的概念：具有黏性的流体流过固体表面时，由于流体黏性的作用，在固体表面附近形成了一个具有速度梯度的流体薄层。
边界层分为层流区、过渡区、紊流区。
划分依据是雷诺数的大小。
Re<5×105为层流区；Re>5×105为紊流区。
雷诺数νx v μx ρv Re 00x ==ρ-流体的密度，v 0-流体的速度，μ-动力黏度，ν-运动粘度 平板绕流摩阻LB v 2ρk H 20f f = k f 摩擦系数。
平板层流绕流摩擦系数：L f Re 1.328k =平板紊流绕流摩阻：0.2L f Re 0.074k -=试用范围是Re L =5×105~1×107；58.2)Re (lg 455.0k -=L f 适用范围Re L =1×105~1×109；平板混合边界层摩擦阻力系数：L 0.2L f Re 1700Re 0.074k -=Re L =5×105~1×107； L2.58L f Re 1700)(lgRe 0.455k -= Re L =1×105~1×109； 球体绕流摩阻H f20f 2f f πR 2ρk πR h H v =⋅=-----------------我是分割线-------------------香蕉球是怎么回事？香蕉球是在踢球时给球施加一个旋转的力。
上旋球的落点会比不旋转的球落点要近些。
下旋球的落点会比不旋转的球落点要远些。
上旋为逆时针旋转,如图力F1作用在1点时产生上旋球。
在飞行过程中球表面会形成一层很薄速度边界层。
上旋球的上表面V 空方向与ω球方向相反，所以空气被减速，下表面V 空方向与ω球方向相同，所以空气被加速。
根据伯努利方程可知，速度大的地方压强小，速度小的地方压强大。
即P 上大于P 下，球被迫向压强小的一侧转弯了。
----------------我是分割线----------------------由管流连续性方程可知流量q v 和流速v 与截面A 都是正相关 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∝∝A q v q v vV 2211q A v A v ==上课期间，打开的水龙头很少，流量q v 总很小，总管道的流速v 很小； 下课期间，用水高峰期时，打开的水龙头增多，流量q v 总增大，总管道内水的流速v 很大。
边界层流动
For personal use only in study and research; not for commercial use第四章1. 常压下温度为20℃的水以5m/s 的流速流过一光滑平面表面，试求由层流边界层转变为湍流边界层的临界距离c x 值的范围。
解： 0/()c c x x Re u μρ=c x Re 的范围：56210~310⨯⨯由物性数据表查得，常压下20℃水的物性 3998.2kg/m ρ=，3100.510Pa s μ-=⨯⋅∴ c x 的范围为：0.04～0.60m 。
2. 流体在圆管中流动时，“流动已经充分发展”的含义是什么？在什么条件下会发生充分发展的层流，又在什么条件下会发生充分发展了的湍流？答：当流体以均匀一致的流速在圆管中流动时，在管内壁周围形成边界层，且逐渐加厚，在离进口某一距离（L e ）处，四周的边界层在管中心汇合，此后便占有管的全部截面，而边界层的厚度也维持不变，这时的流动称为充分发展了的流动。
若边界层汇合时，流体的流动为层流，则管内的流动为充分发展了的层流；若边界层汇合时的流体已是湍流，则管内流动为充分发展了的湍流。
在2000d Re <，L ＞L e 的光滑管条件下，会发生充分发展了的层流；当10000d Re >，L > L e 光滑管条件下会发生充分发展了的湍流。
3. 已知二维平面层流流动的速度分布为0(1)cy x u u e =-，00(0)y y y u u u =<，式中c 为常数。
试证明该速度分布普兰德边界层方程（4-13）的正确解，并以流动参数表示c 。
解：由 0(1)cy x u u e =-，00(0)y y y u u u =<可知0x u x∂=∂，0y u y∂=∂∴0y x u u xy∂∂+=∂∂满足连续性方程。
依题意，普兰德边界层方程左端为右端为若两端相等，则常数c 为4. 常压下温度为30℃的空气以10m/s 的流速流过一光滑平板表面，设临界雷诺数53.210cx Re =⨯，试判断距离平板前缘0.4m 及0.8m 两处的边界层是层流边界层还是湍流边界层? 求出层流边界层相应点处的边界层厚度。
第六章边界层流动
?
0
2 1 dp?0
dx
3
S
dp ?0
dx
dp ? 0 dx
图6.3.1 边界层内的流动示意图
E
? ?? ?
? ?
u y
? ?? ?0
?
0
5
??? ?
?u ?y
??? ?0
?
0
边界层分离的条件：①存在逆压梯度区； ②壁面或粘性对流动的阻滞。
2. 边界层分离的判别准则
?u
在分离点处
?0 ?y y? 0
L Re L
?u
（2）边界层内速度梯度很大，粘性不可忽略： ?y ?? 1
（3）边界层内压力沿壁面法向不变，等于外部势流压力：
?p ? 0 ?y
p ? pe
（4）边界层内速度分布具有渐进性：u y?d
? 0.99U e
?u ?y y?d
?0
（5）边界层内流动是有旋流动
（6）边界层内流动也有层流、絮流两种流态。
6.3.1 边界层的分离
关心的问题：流动分离原因？发生分离的判据? 分பைடு நூலகம்流特性？
1. 流动分离及其产生原因
边界层流动的动力学过程：惯性力、压力梯度、粘性力之
相对平衡。
（动能） （层外主流） （阻滞）
1－3：顺压梯度区 3－5：逆压梯度区 S：分离点 S点后：分离区
边界层外缘
????
? ?
u y
????0
Re大时边界层很薄，约为毫米的量级。
3. 边界层位移厚度 (Boundary Layer Displacement Thickness)
? 定义：
d
*
?
?
流体流动的边界层理论与应用
流体流动的边界层理论与应用引言流体流动是自然界中普遍存在的现象，广泛应用于各个领域，如航空航天、机械工程、气象学等。
边界层是流体流动中十分重要的概念，它描述了流动的边缘区域，包括流动的速度梯度和压力变化。
边界层理论和应用研究的目的是为了更好地理解流体流动的本质和优化相关应用。
边界层理论的基本原理边界层理论是描述流体流动的边缘区域的理论框架。
它的基本原理包括以下几个方面：粘性边界层理论中的基本假设之一是流体具有一定的粘性。
粘性导致了流体的内摩擦力和黏滞性。
在流体流动中，粘性扮演着重要的角色，影响了流动的速度分布和边界层的厚度。
动量守恒边界层的形成是由于流体在固体表面附近的动量交换。
边界层理论基于动量守恒原理，描述了流体速度的变化情况。
边界层内的速度梯度决定了局部的动量传输。
能量守恒边界层理论还基于能量守恒原理，描述了流体流动中的热传输现象。
热量可以通过边界层传递，影响流体的温度分布。
边界层理论的应用边界层理论在各个领域都有广泛的应用，以下列举了其中几个典型的应用：空气动力学在航空航天工程中，边界层理论被广泛用于研究飞行器的气动性能。
通过分析边界层的厚度和速度分布，可以评估飞行器的阻力和升力特性，并进行优化设计。
涡街流量计涡街流量计是一种常用的流量测量仪器，利用边界层理论原理实现流量的测量。
通过将流体引导到一个弯曲的管道内，使流体形成旋涡，并通过测量旋涡的频率来计算流体的流量。
边界层控制边界层控制是一种改变流动边界层结构的技术，通过控制或改变边界层内的速度分布和压力变化，可以实现对流体流动的操控。
边界层控制在飞行器设计和汽车空气动力学中有着重要的应用，可以减少阻力、增加升力以及改善气动性能。
污染扩散在大气科学中，边界层理论被用于研究大气中污染物的扩散和传输现象。
通过分析边界层内的流动特性，可以预测污染物的传播范围和浓度分布，为环境管理和污染控制提供科学依据。
结论流体流动的边界层理论是研究流体流动基本原理和应用的重要工具。
6第六章-边界层
2 y 2 1 y1 y ( c o s ) ( s i n ) 2 0 2 2 4 0
2 2 21 ( ) 0 . 1 3 6 6 4 2
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2 y 2 y y ( s i n s i n )( d ) 0 2 2 2
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层流边界层与湍流边界层
边界层内的结构
层流 湍流 转捩区 层流底层
边界层内流动状态为层流时，称为层流边界层； 当边界层内流动为湍流时，称为湍流边界层； 从层流变为湍流的过渡段，称为转捩区(或过渡区)。
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3、边界层厚度
边界层厚度
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【例1】设边界层内速度分布为
y ， V x V
1 7
ห้องสมุดไป่ตู้
求: 不可压流体流过平板时位移厚度和动量损失厚度。 解：由定义 * (1 Vx )dy 0 V
y 令
因此
Vx 7 , dy d 则 V
1 1 7
8 7
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边界层内由于粘性影响 使质量流量减少的总量为:
V)d y ( V
0 x
理想流体以速度 V 流过 物面时物体表面向外移动 了距离 *所减少的流量
V *
根据质量守恒定理，有
V * ( V V ) d y x 0
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分析方程各项数量级，简化方程：
船舶流体力学第六章 势流理论
= Vx
- iVy
= V
\W
(z)=
dW dz
dz
=
V dz
=
V
z
6.5.2 点源
Q向四周流出 +
Q从四周流入 -
Vq =0
Q
Vr = 2pr
pqp qp 公式6.4.6
dw dz
=（Vr
－
iV q
） e-iq
d w = ( Q - i 0 ) · e - i = Q = Q d z 2 r 2 r e i 2 z
=0
\ V 2 +-U = C 2
（关于流线的常数）
条件 3）无旋 柯西 —— 拉格朗日积分
V=(f)=f
t t
t
V t +V22
+ -U+VV=0
\ft +V22+ -U=0
f \
ft +V22
+ -U
6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
6.2.1 ．不可压势流的质量守恒方程
V x
+ Vy
+ Vz
=0
x y z
f
Vx = x \
2f 2f 2f
x2 + y 2 + z 2 = 0
2f = 0 （拉普拉斯算子 2 ） 调和函数叠加性
6.2.2 ．拉普拉斯 边界条件 速度场 压力分布 流体对固体的力
在空间中不变，只是时间的函数
V 2 + - U + = C ( t )
2 t
4）定常 则 V 2 +- U = C 在全部空间适用
2
6.2.3 边界条件和解法概述
第6章层流的解析解与近似解
第6章 层流的解析解与近似解粘性流动基本方程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，而且都是比较简单的流动。
本章将介绍几种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。
首先先介绍一下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本方程组，接着介绍一些解析解。
在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本方程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻力系数和热交换系数。
为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。
另外本章只限于雷诺数不大的流动。
6.1 粘性流研究的意义一切流体都具有粘性，但是人类最经常接触的流体，如水和空气其粘性都很小，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得非常复杂；另外，对于这些粘性小的流体，忽略其粘性所得到的结果又能在一定程度上符合实际情况，因此，理想无粘性流体理论最先得到了发展，它比粘性流体理论要成熟得多。
应当指出，虽然理想流体理论取得了重大的成就，但在某些方面却有不可逾越的先天性缺陷。
例如，它不能预估管道流动的压力损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻力。
后一问题与著名的达朗伯疑题有关。
达朗伯对理想流体进行了严谨的研究后得出了如下结论：当任意形状的固体在静止的充满无限空间的无粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动方向的作用力，即物体所受阻力为零。
在他所做假设的前提下，这一结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻力作用。
这从反面说明了考虑粘性的必要性。
例1 圆柱绕流对于理想不可压缩流体，()22214sin s p p p C U θρ∞∞-==- 其中 p ∞——远前方静压，ρ——流体密度。
第6章 边界层流动
6.2 二维平面边界层流动
因为d << L，相对于边界层厚度而言，平板就是无 限长的这样而在边界层流动问题中就找不到一个x方向的 特征长度；因此可以设想在任一x断面流速分布都是相似 的并可作以下变换
微 分 方 程 及 其 精 确 解
将边界层微分方程简化为 边界条件h = 0: f (h) = f '(h) = 0; h = ∞: f '(∞) = 1。 上式是一个非线性三阶常微分方程，有对应于 边界条件的确定解；它由布拉休斯在1908年首次得 出并采用幂级数和渐近方法获得精确解。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
6.2 二维平面边界层流动
边界层厚度：
边界层位移厚度：
边界层动量厚度： 壁面切应力系数：
微 分 方 程 及 其 精 确 解
摩擦阻力系数：
t0为壁面切应力、FDf为整个平板受到的力，即
6.2 二维平面边界层流动
以上结果得到试验的证实。图6-5表示顺流放置平 板层流边界层的布拉休斯精确解，以及据此绘制的边 界层厚度的沿程变化和流速分布。
图6-4 平板层流边界层
6.2 二维平面边界层流动
微分方程的精确解 如图6-4所示，取平板前缘为直角坐标系的原点，则 平板前方未受扰动的均匀来流速度U∞与平板平行。由伯努 利方程知，在绕平板流动的势流部分，U = U∞、dp/dx = 0； 而由边界层微分方程知，在边界层中压强沿y方向是均匀 分布的，即边界层内任一点处的压强都与同x坐标处边界 层外势流的压强相等。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
g 为另一积分常数。
类似还可得三阶渐近解f = f1 + f2 + f3甚至更高 阶渐近解，本问题中仅考虑到二阶。
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第 6 章 边界层流动
6.1 边界层基本概念 6.2 二维平面边界层流动 6.2.1 微分方程及其精确解 6.2.2 积分方程及其近似解 6.3 二维曲面边界层流动 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力
6.2 二维平面边界层流动
二维平面不可压边界层流动是最简单的一类粘性流 动，即便如此也只有极少数情况能通过边界层微分方程 求得精确解，大多数情况只能通过边界层积分方程求近 似解。
边 界 层 流 动
6.1 边界层基本概念
边界层位移厚度也称边界层排挤厚度。在边界层 内，流速受到壁面的阻滞作用而减小，使通过边界层 内的流量比理想流动时减少，这相当于固体壁面沿其 法线方向朝流场内移动了一个距离d1后理想流动所通 过的流量，这个d1就是边界层位移厚度，如图6-3所 示。根据位移厚度d1的定义，对不可压流动有
6.2 二维平面边界层流动
6.2.2 积分方程及其近似解 积分方程 对定常不可压二维平面边界层流动， 取控制体122'1'进行分析，如图6-8所示。在截面1-1'和 2-2'上，流体参数分别为
边 界 层 流 动
图6-8 平板边界层流动
6.2 二维平面边界层流动
控制体流体在x方向受到的总作用力为
整理并忽略高阶小量后，简化为 通过控制面进入和离开控制体的流体在x方向 的动量分别为
微 分 方 程 及 其 精 确 解
dx, dx2; ux, dux, d2ux; p, dp; r dy2; u
量级e << 1的量：dy; uy, duy, d2uy
依照以上量级对N-S方程进行简化分析，可得
6.2 二维平面边界层流动
以上就是二维平面边界层流动的微分方程，由普 朗特在1904年首次提出。虽然普朗特边界层微分方程 相对N-S方程大为简化，但仍然是非线性的，只能对 特殊情况下的某些层流边界层求得精确解。 求解边界层微分方程时，首先要得到边界层外部 势流的速度，使压强p成为已知量，这样未知量只有 ux和uy，由边界层微分方程x分式和连续方程一起构成 封闭的求解系。 注意：普朗特边界层微分方程不适用于d /x << 1条件 得不到满足的边界层前缘部分，该部分对应的雷诺数 范围一般为Rex ≤ 25。
6.2 二维平面边界层流动
将f(h)在h = 0处用幂级数展开，有
利用内边界条件，上式可简化为一个随h3变化的 新级数，即
微 分 方 程 及 其 精 确 解
C0 = C1 = 1, C2 = 11, C3 = 375, C4 = 27897, ...。 以上随h3变化的幂级数方程仅在h = 0 ~ 3区间 收敛；在h→∞时不收敛，不能应用边界条件h =∞： f ’ =1来确定幂级数方程的系数A2。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
6.2 二维平面边界层流动
边界层厚度：
边界层位移厚度：
边界层动量厚度： 壁面切应力系数：
微 分 方 程 及 其 精 确 解
摩擦阻力系数：
t0为壁面切应力、FDf为整个平板受到的力，即
6.2 二维平面边界层流动
以上结果得到试验的证实。图6-5表示顺流放置平 板层流边界层的布拉休斯精确解，以及据此绘制的边 界层厚度的沿程变化和流速分布。
6.1 边界层基本概念
边界层能量厚度即边界层能量损失厚度。与理想流体 的流动相比，边界层内流速的降低还使流体的动能通量减 少。类似于动量厚度，可以定义不可压流动的边界层能量 厚度d3：
边 界 层 各 特 征 厚 度
即
以上定义式表示边界层实际的流量具有的理想流 动动能与实际流动动能之差。容易证明，在边界 层任一截面，恒有：d > d1> d3 > d2。
6.2.1 微分方程及其精确解 微分方程 在直角坐标系，定常、不可压、不计重 力的二维流动N-S方程为
边 界 层 流 动
6.2 二维平面边界层流动
根据小粘度二维平面边界层流动的特点——d << L 以及uy<< ux——对 N-S方程中各变量和参数作数量级估 计，有 量级1的量： 量级e 2的量：
边 界 层 流 态
6.1 边界层基本概念
6.1.2 边界层各特征厚度 边界层厚度 边界层理论将大雷诺数流动的流 场分为粘性区和无粘区两部分，分别称为边界层和 主流区，它们的交界面称为边界层(外)边界，并人 为地规定边界层边界上流速为主流区的99％(或 99.5%), 边界层边界到物面的距离称为边界层厚度d， 用数学式表示即有 边界层未脱离物面的情况下，边界层厚度沿流 程是增加的，即在迎流的前缘点为零，然后沿流动 方向逐渐增加，到送流的后缘点达到最大。
6.2 二维平面边界层流动
上式由卡门在1921年根据动量定理首次导出， 故又称为卡门动量积分方程，其边界条件为
边界层动量积分方程对层流和湍流都适用，对于 顺流放置平板的边界层流动则简化为
积 分 方 程 及 其 近 似 解
边界层动量积分方程还可由边界层微分方程在边界 层内对y进行积分获得。此外，用流速u乘以边界层微分 方程中的每一项并对y进行积分，还可得到边界层能量 积分方程。
边 界 层 各 特 征 厚 度
即
图6-3 边界层位移厚度
6.1 边界层基本概念
边界层动量厚度 与理想流动相比，边界层内流 速降低一方面使通过的流体质量减少，另一方面也使 通过的流体动量减少。这种动量减小也可以看成是相 当于将固体壁面向流场内移动了一个距离d2：
边 界 层 各 特 征 厚 度
即 称d2为动量损失厚度，简称动量厚度。边界层的 位移厚度与动量厚度之比称为边界层形状因子： H = d1/d2。
边 界 层 流 动
图6-1 翼型绕流
6.1 边界层基本概念
6.1.1 边界层流态 边界层流动可以是层流或湍流。实际中更一般地是 混合边界层，即边界层前缘为层流，经过一过渡区(称为 转捩区)后转变为湍流；在湍流区，紧挨物面附近还有一 层流底层。图6-2所示为一均匀来流绕过平板一侧所形成 的边界层流动。
图6-4 平板层流边界层
6.2 二维平面边界层流动
微分方程的精确解 如图6-4所示，取平板前缘为直角坐标系的原点，则 平板前方未受扰动的均匀来流速度U∞与平板平行。由伯努 利方程知，在绕平板流动的势流部分，U = U∞、dp/dx = 0； 而由边界层微分方程知，在边界层中压强沿y方向是均匀 分布的，即边界层内任一点处的压强都与同x坐标处边界 层外势流的压强相等。
边 界 层 流 动
图6-2 平板边界层流动
6.1 边界层基本概念
在湍流区，若平板表面粗糙度D大于层流底层的厚 度dl，则称之为粗糙(表面)平板；否则称为光滑(表面)平 板。当层流区的范围很小时，可近似地把整个边界层看 成为湍流边界层。 为了便于判断边界层的流态，通常假定由层流到湍 流的转捩是在某一截面突变完成的，并称此截面为临界 截面，它离边界层前缘的距离称为临界长度x*，临界截 面边界层的厚度称为临界厚度d*。（图6-2） 边界层流态用临界雷诺数Re*来判断， Re*有两种形 式：Rex* = U∞x*/u和 Red* = U∞d*/u，对于平板绕流，Rex* = 5105 ~ 3106，Red* 2800。
第 6 章 边界层流动
6.1 边界层基本概念 6.1.1 边界层流态 6.1.2 边界层各特征厚度 6.2 二维平面边界层流动 6.3 二维曲面边界层流动 6.4 二维圆柱滑动轴承润滑 6.5 圆柱和圆球绕流阻力
6.1 边界层基本概念
实际流体绕任何形状物体的大雷诺数流动都会在 物面附近形成边界层。图6-1所示为空气绕某一翼型的 流动，整个流场可分为边界层、边界层脱离翼型物面 以后形成的尾流、以及边界层和尾流以外的势流。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
6.2 二维平面边界层流动
微分方程的精确解 应用边界层微分方程解决粘性流动问题的一个最 简单的例子，是流体绕顺流放置平板的层流边界层流 动，即均匀来流绕过沿平行于流动方向放置的一块薄 平板(其厚度假设为零)并在平板一侧附近所产生的流 动。
微 分 方 程 及 其 精 确 解
微 分 方 程 及 其 精 确 解
图6-4 平板层流边界层
6.2 二维平面边界层流动
图6-4 平板层流边界层
微 分 方 程 及 其 精 确 解
在边界层微分方程和连续方程中引入流函数y， 则由流函数定义有: ∂y/∂x = -uy，∂y/∂y = ux，连续方 程∂ux/∂x + ∂ uy/∂y = 0自动满足，边界层微分方程成为
6.2 二维平面边界层流动
因为d << L，相对于边界层厚度而言，平板就是无 限长的这样而在边界层流动问题中就找不到一个x方向的 特征长度；因此可以设想在任一x断面流速分布都是相似 的并可作以下变换
微 分 方 程 及 其 精 确 解
将边界层微分方程简化为 边界条件h = 0: f (h) = f '(h) = 0; h = ∞: f '(∞) = 1。 上式是一个非线性三阶常微分方程，有对应于 边界条件的确定解；它由布拉休斯在1908年首次得 出并采用幂级数和渐近方法获得精确解。
6.2 二维平面边界层流动
另一方面，设f(h)在h =∞处的渐近式为 f = f1 + f2 + f3 + (f1 >> f2 >> f3 >> ) 上式第一个(即一阶)渐近解就是势流解，即 f1 = h + b b 为积分常数。令f(h)的二阶渐近解为f = f1 + f2并代入 原常微分方程2f’’’+f’’f =0积分，得
积 分 方 程 及 其 近 似 解
1-1' 截面：
2-2' 截面：
1'-2' 截面：
6.2 二维平面边界层流动