边界层方程为
《流体力学》课件 4.3 普朗特边界层方程
2u 0
y 02
?
?
1
St
0
t 0
1
u0
0
x 0
0
0
y 0
假设：1. 设在我们所研究的问题中，
Eu
?
p y
0 0
1 Re
2
x 0
0 2
1
2 0
y 02
当地导数与局部导数相当（或更小）；
2. 压力梯度力作为被动力，与方程中的
惯性力或粘性力中的大者相当；
u 0 x0
0
u 0 y 0
Eu
p0 x0
1 2u0 Re x02
2u 0 y 0 2
St
0
t 0
u0
0
x0
0
0
y 0
Eu
p0 y 0
1 2 0
Re x02
2 0
y 0 2
2. 量阶的概念及一般运算法则
指某个物理量在整个区域内相对于标准小参数而言的平均水平。
取 为估阶的标准。
**U 2 uU ud y
0
uU ud y
0
U
2
0
d
y
0
1
u U
d
y
0
u 2
d
y
* , 1 u d y
0 U
动量通量损失：U 2 * u2 d y
0
理想流体通过流管ⅠⅡ动量通量为— U 2 *
粘性流体通过流管ⅠⅡ 动量通量为—
u 2
3. 在边界层内惯性力与粘性力同阶。
1
1
u 0
x
0
0
y 0
＝0
1
St
第四章 边界层理论基础 边界层理论由普朗特1904年 ( Prantdl)提出,用于处理高 Re 数的流动问题。边界层理
y u0 u0
u0
x=0
u0 x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界 层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。
二、边界层的形成过程
层流边界层和湍流边界层
y 层流边界层 过 湍流边界层
在板前缘附近，边界层 内流速较低，为层流边界 层；而后逐渐过渡为湍流 u0
u0 u0
渡 区
u0
湍流 核心
在距壁面前缘 x 处，取 y
u0
一微元控制体
2
dV=δdx（1）
将动量守恒原理应用 δ
于微元控制体dV，得
ΣF d(mu) dθ
1
0
dx
x 方向：
ΣFx
d (mux ) dθ
（1）
3 δ dδ
4 x
一、边界层积分动量方程的推导
1-2截面：流入
δ
m1 ρuxdy(1)
0
δ
J1
ρu
2 x
dy(1)
边界层外为理想流体的势流，可用 Bernolli方程 描述。在流动的同一水平高度上，有
p ρu02 常数
2
dp dx
ρu0
du0 dx
0
u0
dp 0
dx
边界层内：p y 0
y p1
p3 δ
0
dp 0 dx
p2
p4
x
二、普朗特边界层方程的解
ux
ux x
uy
ux y
ν 2ux y 2
流函数
O(1)
（4）y ：在边界层的范围内，y 由 0→δ，y O(δ)
（5）uy：由连续性方程
ux uy 0 x y
ux O(1) , x
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
第七章 边界层及其基本计算
流动边界层：存在着较大速度梯度的流体层区域，即流速降为主体流 速的99％以内的区域。
边界层厚度：边界层外缘与壁面间的垂直距离。
边界层区（边界层内）：沿板面法向的速度梯度很大，需考虑粘度的 影响，剪应力不可忽略。
主流区（边界层外）：速度梯度很小，剪应力可以忽略，可视为理想
流体 。
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7 绕流阻力与阻力系数
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7.5 圆管内流动的边界层
充分发展的边界层厚度为圆管的半径；
进口段内有边界层内外之分 ；
也分为层流边界层与湍流边界层；
进口段长度：
层流：
x0 d
0.05 Re
湍流： x0
d
40
~ 50
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第六章 粘性流体管内流动
1 边界层概念 2 层流边界层微分方程 3 边界层动量积分方程 4 平板层流边界层的计算 5 圆管内流动的边界层 6 边界层分离与卡门涡街
0
vx2dy
x
0
vx2dy dx
BC:
K AC
ve
x
0
vx dy dx
3 受力分析（忽略质量力）
AB: p
BC:
p 1 p dx d
2 x
CD:
p p dx d
x
AD: wdx
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7.3 边界层的动量积分方程
二、边界层动量积分方程的推导 3 动量方程——卡门动量方程
层流边界层比湍流边界层压差阻力大； 减小压差阻力应尽量减小分离区，使分 离点后移： (1) 改善物体外形，采用流线型； (2) 改变边界层性质。
04第四章 边界层理论基础
d ρ ∫ (ux − u0 )ux dy = τ s dx 0
δ
（5—14） ） ——卡门边界层积分动量方程 卡门边界层积分动量方程
适用于层流、湍流，精度取决于 适用于层流、湍流，精度取决于ux=f(x,y) 可预先假定一个速度分布方程，如： x = a + by + cy 2 可预先假定一个速度分布方程， u 代入，求得近似解。 代入，求得近似解。
δ
0
δ
第三节 边界层积分动量方程
一、边界层积分动量方程的推导
方向流动： 只考虑 x 方向流动： d dp ρ ∫ ( u x − u0 )u x d y = τ s + l d x dx 0
作数量级分析时，有 ∂p ＝0 即边 作数量级分析时， 界层压力p在 方向近似不变 方向近似不变， 界层压力 在y方向近似不变，等于边界 层外面流体的压力，边界层外按理想流 层外面流体的压力， 体处理。 体处理。
∂ 2uy ∂ 2uy 1 ∂p ux + uy =− +v + 2 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂x
经化简后， 经化简后，得：
(4- 5a)
∂uy
∂uy
(4 - 5b)
1 ∂p ∂ 2ux ∂ux ∂ux ux + uy =− +v 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂uy + =0 ∂x ∂y
d δ dux (4 - 21) ρ ∫ ux (u0 − ux )dy = µ y =0 0 dx dy 次方为例： 以3次方为例： ux = a + by + cy2 + dy3 次方为例 B.C. y = 0, ux = 0 3 2 d ux ux 3 y 1 y y = 0, =0 ⇒ = ⋅ − ⋅ (4 - 22) 2 dy u0 2 δ 2 δ
普朗特边界层微分方程的详细推导资料讲解
普朗特边界层微分方程的推导学校：内蒙古工业大学 专业：力 学 姓名：宗宇显首先，我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维--斯托克斯方程在一定情况下的简化。
Ⅰ 二维定常纳维--斯托克斯方程连续性方程22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.1） 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识2.1概念：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。
2.2普朗特理论的基本思想：在大Re 数（一般在5×510～3×610）绕流中存在两个流动区域，即层流和紊流。
2.3边界层：流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。
2.4边界层厚度：以u =0.99U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。
故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小，所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：连续性方程 22221v ()u u p u u u v x y x x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.2） v 0u x y∂∂+=∂∂v 0u x y∂∂+=∂∂2222v v 1v v v ()p u v x y y x yρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3.1边界层的厚度δ（x ）量纲分析根据实验条件分析，边界层厚度δ（x ）可能与流体微团的所在位置x ，流体速度U ，粘性系数μ，密度ρ有关。
设δ=k ·x m U n μk ρl ,根据量纲分析法可求的：m=12，n=-12，k=12，l=-12；即：δ（x ）==···(1) 又因为Re x Ux Ux v ρμ== 则关于δ的关系式(1)写成无量纲的形式如下：~x δ=··(2) 取物体的长度L 取代上式中的x 值，则公式(2)变为~Lδ··(3) （符号“~”表示数量级相同）其中Re L 称为绕流场的雷诺数。
层流边界层方程积分方程
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式 （m不 是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程 不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解 边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控 制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4
h
(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y
0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3
0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于 通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得
t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x
空气动力学部分知识要点
空气动力学及飞行原理课程空气动力学部分知识要点一、流体属性与静动力学基础1、流体与固体在力学特性上最本质的区别在于：二者承受剪应力和产生剪切变形能力上的不同。
2、静止流体在剪应力作用下（不论所加剪切应力T多么小，只要不等于零）将产生持续不断的变形运动（流动），换句话说，静止流体不能承受剪切应力，将这种特性称为流体的易流性。
3、流体受压时其体积发生改变的性质称为流体的压缩性，而抵抗压缩变形的能力和特性称为弹性。
4、当马赫数小于0.3 时，气体的压缩性影响可以忽略不计。
5、流层间阻碍流体相对错动（变形）趋势的能力称为流体的粘性，相对错动流层间的一对摩擦力即粘性剪切力。
6、流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动（例如流体层间的相对运动）流体的粘性是指流体抵抗剪切变形或质点之间的相对运动的能力。
流体的粘性力是抵抗流体质点之间相对运动（例如流体层间的相对运动）的剪应力或摩擦力。
在静止状态下流体不能承受剪力；但是在运动状态下，流体可以承受剪力，剪切力大小与流体变形速度梯度有关，而且与流体种类有7、按照作用力的性质和作用方式，可分为彻体力和表面力（面力）两类。
例如重力，惯性力和磁流体具有的电磁力等都属于彻体力，彻体力也称为体积力或质量力。
8、表面力：相邻流体或物体作用于所研究流体团块外表面，大小与流体团块表面积成正比的接触力。
由于按面积分布，故用接触应力表示，并可将其分解为法向应力和切向应力：9、理想和静止流体中的法向应力称为压强，其指向沿着表面的内法线方向，压强的量纲是［力］/［长度］210、标准大气规定在海平面上，大气温度为15 C 或T o =288.15K，压强p o = 760毫米汞柱二101325牛/米2，密度p二1.225 千克/米311 、从基准面到11 km 的高空称为对流层，在对流层内大气密度和温度随高度有明显变化，温度随高度增加而下降，高度每增加1km，温度下降6.5 K。
从11 km到21km的高空大气温度基本不变，称为同温层或平流层，在同温层内温度保持为216.5 K。
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用 开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论 ，因此称其为近代流体力学的奠基人。
对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或 位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
1
2
ue2
eue
3
1 2
0
ue2u
u3
dy
3
0
u eue
1uLeabharlann ue2dy10/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:
1
0
1
u ue
dy
2
0
u ue
1
u ue
dy
3
0
u ue
1
u2 ue2
dy
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影 响，按位势流理论处理。
（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄
层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作
有旋运动。
位流区
粘流区
4/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征 （1）边界层厚度定义
严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主
那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在 当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力 学大师德国学者 L.Prandtl 通过大量实验发现：虽然整体流动的Re 数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差 甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。
流区速度的 0.99U 作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离 称为边界层名义厚度，用δ表示。
位流区
δ
粘流区
（2）边界层的有涡性
粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当 流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续 分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：
z
v x
u y
u y
o
5/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
（b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。
• 惯性力：
FJ
m dV dt
L3 V
t
L2V 2
• 粘性力：
F
dV dy
A
VL
• 惯性力/粘性力： FJ L2V 2 LV Re
F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
2/67
EXIT
5.1 边界层近似及其特征
理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系 列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体 阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且 甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就 是一个典型的例子。（ D’Alembert，法国力学家，1717-1783）
多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 1 ，其流量写
为 eue1 ，从而
eue1 eue udy
0
1
0
1
u eue
dy
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成 的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时， 应该加上这一位移厚度。
8/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
eue22 ueu uudy
（5）几点说明
（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边 界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被 流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言 ，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的。
U∞
ue
u
δ
此外在许多情况下对于ue 和 U∞ 往往不加以严格区别
0
2
0
u eue
1
u ue
dy
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（c）边界层能量损失厚度
边界层内实际流体通过的动能为：
1 u 2udy
02
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动能为：
1
2
ue2
0
udy
上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动能损失厚度 δ3为:
第5章 边界层理论及其近似
5.1 边界层近似及其特征 5.2 平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3 平板层流边界层的数值解 5.4 边界层动量积分方程 5.5 边界层的分离现象与速度分布特征
1/67
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5.1 边界层近似及其特征
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根 据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:
A U
L2
由边界层内惯性力与粘性力同量级得到
F FJ
LU 2 U L2
1
L Re
由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。
6/67
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5.1、边界层近似及其特征
（4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，
实际流体通过的质量流量为:
0 u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。
ue u
而在 的范围内，以外流的理想速度 ue 流动的理想流量是：
eue 0 eue dy 其中，ue 为边界层外缘速度。
上述两部份流量之差是：
0 (eueu)dy
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5.1、边界层近似及其特征
这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些