第七节 离散系统的稳定性分析
第七章--线性离散系统的稳定性分析
取反变换，得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲， 如果在典型信号输入作用下，系统脉冲响应过程将在n个 采样周期内结束(对连续系统而言，理论上动态过程在 t→∞时才结束)，由于这种系统瞬态响应时间最短，故称
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此，使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大， 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数 也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应 暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超 调量为100%。
映射稳定区域左半s平面不稳定区域右半s平面临界稳定区域虚轴上单位圆内部单位圆外部单位圆上线性离散系统稳定的充分必要条件离散系统极点分布与稳定性的关系由由s平面与z平面的映射关系及连续系统的稳定性理论可知离散系统极点分布与其稳定性的关系如下极点分布稳定情况z单位圆内稳定z单位圆外不稳定z单位圆上临界稳定线性离散系统的稳定判据由前面的分析可知只要知道系统的极点分布即可判断系统的稳定与否但这里要解决的问题是如何知道闭环系统的极点分布
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
51. 如何分析离散控制系统的稳定性？
51. 如何分析离散控制系统的稳定性？嘿，咱们今天来聊聊怎么分析离散控制系统的稳定性这个事儿。
咱们先得搞清楚啥是离散控制系统。
简单说，就像咱们平时玩的跳格子游戏，一格一格的，不是连续的那种，这离散控制系统啊，也是这样，它的信号不是一直连着的，而是隔一段才有一个值。
那怎么去分析它稳不稳定呢？这可得有点小窍门。
咱们先来说说 z 变换，这可是个重要的工具。
就好比你有一堆杂乱的积木，通过 z 变换，能把它们整理得规规矩矩，更容易看出规律。
比如说，一个系统的传递函数，经过 z 变换，就能得到一个新的表达式，从这里咱们就能开始分析稳定性啦。
还有那个特征方程，这就像是系统的“密码锁”。
如果能解开这个方程，找到它的根，就能知道系统稳不稳定。
要是这些根都在单位圆内，那系统就是稳定的；要是有根跑到单位圆外面去了，那可就麻烦喽，系统就不稳定啦。
给你讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次，我带着几个学生一起研究一个离散控制系统的稳定性。
那系统的方程复杂得让人头疼，大家一开始都有点懵。
其中有个学生特别较真儿，不停地尝试各种方法，一会儿画个图，一会儿又算一堆式子。
我就在旁边看着，偶尔给他们一点小提示。
最后啊，经过大家的努力，终于找到了关键所在，成功分析出了系统的稳定性。
那一瞬间，大家的脸上都洋溢着成就感，那种感觉可太棒了！再说说 Jury 判据，这也是个分析稳定性的好帮手。
它就像是一个精准的测量尺，能帮咱们准确判断系统的根是不是都在单位圆内。
总之啊，分析离散控制系统的稳定性，需要咱们掌握好这些工具和方法，多动手多思考。
就像解一道复杂的谜题，只要有耐心，有方法，总能找到答案的。
希望今天讲的这些能让你对分析离散控制系统的稳定性有更清楚的认识，加油哦！。
离散系统稳定性分析
实验一 离散系统稳定性分析实验学时：2 实验类型：常规 实验要求：必作一、实验目的：（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法； （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法；（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法； （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法； （5）掌握用MATLAB 分析离散系统稳定性。
二、实验原理：1、离散系统零极点图及零极点分析；线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()NMiji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。
将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N =为()H z 的N个极点。
系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。
因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。
通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性；离散系统的频率特性； 1.1、零极点图的绘制设离散系统的系统函数为则系统的零极点可用MA TLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。
如多项式为231()48B z z z =++，则求该多项式根的MA TLAB 命令为为： A=[1 3/4 1/8];P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。
第七节 离散系统的稳定性分析
22 可以看出主频段的面积影射成单位圆内，
而且任一次频段包围面积也影射为同一单 位圆，说明Z与S平面间的影射不是一一对 应，S中一点对应Z面中一点，但Z中一点对 应S平面中多个点。
例一：
轧钢机压下位置控制系统速度， T u 控制系
统等效时间常数，T u 100ms , 采样周期取为
系统稳定性。
一 稳定条件及S，E平面对应关 系
Z eTS eT ( j )
j 2
eT e jT eT e s ,s采样频率, 则，Z eT , T
连续系统中，闭环传递函数极点均位于s平面
的左半平面( 0)时，系统稳定，由此可以对
应出Z，S平面稳定区域之间的映射关系。
S平面
0 系统稳定
T=100ms,开环增益K=10
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
概念介绍（反映系统动态品质） 一.等频线（等 线） 在S平面上，等频线是一条平行于实轴的直
线，频率 恒定
Z eTS eT *e jT
J s
S2 S 4
z
S
4
s
T
2
对应到Z平面上，映射成了从原点出发向外 辐射的一条直线，与实轴夹角T 2
线性离散控制系统的稳定性分析
线性离散控制系统的稳定性分析在控制工程中，稳定性是占据重要地位的概念之一。
对于线性离散控制系统而言，稳定性分析显得尤为关键。
在本文中，我们将讨论线性离散控制系统的稳定性分析。
线性离散控制系统由两个部分组成，一个是系统本身，另一个是控制器。
这两个部分共同作用，以使系统能够正常运行，达到预定的控制目标。
而稳定性则是在这一过程中，确保系统在特定的条件下能够保持稳定。
线性离散控制系统一般是在时刻 t 时，通过一个输入信号 u(t) 来控制输出信号 y(t)。
由此可以得到系统的状态空间方程式：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)其中，x(t) 是状态向量，它包含系统中所有的状态信息。
A 和B 是状态转移矩阵，用于描述状态向量在时间上的演变。
C 则是输出端的转移矩阵，用于描述系统输出与状态向量之间的关系。
而 u(t) 则是控制器的输入信号，通过控制器的处理，最终得到系统的输出 y(t)。
对于任意给定的系统，其稳定性是需要依据系统本身的特性来分析的。
这里我们将从两个方面来讨论线性离散控制系统的稳定性分析。
分别为：利用特征值和易于分析的特殊情况。
一、利用特征值进行稳定性分析通过特征值，可以很方便地判断一个系统是否稳定。
特征值的计算公式如下：det(A-λI) = 0其中，det() 是矩阵的行列式，A 是状态转移矩阵，λ 是特征值，I 是单位矩阵。
特征值通常是由状态转移矩阵的特征多项式所产生的根。
如果计算出来的特征值都处于单位圆内，那么这个系统就是稳定的。
反之，如果特征值的模超过了 1，则这个系统就是不稳定的。
此外，还存在一种特殊情况，即状态转移矩阵的特征值都是实数。
在这种情况下，我们只需要检测特征值是否位于区间 [-1,1] 中即可。
如果全部都满足此条件，那么系统就是稳定的。
二、特殊情况下的稳定性分析对于线性离散控制系统而言，有一些特殊情况下可以使用更为简便的方法来进行稳定性分析。
离散时间系统的稳定性分析
离散时间系统的稳定性分析离散时间系统是一种在离散时间点上进行状态变化的系统，与连续时间系统相对应。
稳定性分析是对系统行为的一个重要特征进行评估和判断的过程。
对于离散时间系统的稳定性分析，我们可以通过不同方法进行研究和判断，如利用差分方程、状态空间法、Lyapunov稳定性理论等。
本文将从这些角度出发，深入探讨离散时间系统的稳定性分析方法。
一、差分方程法差分方程法是一种基于离散时间点上变量之间的差分关系进行稳定性分析的方法。
对于离散时间系统，我们可以通过建立差分方程来描述系统的动态行为。
一般而言，稳定的离散时间系统在各个时间点上的状态变量都保持在某个有界范围内。
因此，我们可以通过差分方程的解析解或数值解来判断系统的稳定性。
二、状态空间法状态空间法是一种通过描述系统在不同离散时间点上状态变化的方法。
在状态空间中，系统的状态由一组关于时间的差分方程表示。
通过对系统状态进行迭代，我们可以从初始状态推导出系统在未来时间点上的状态。
根据这些状态的变化，我们可以判断系统是否稳定。
三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov稳定性理论是一种通过利用Lyapunov函数来判断离散时间系统稳定性的方法。
Lyapunov函数是一个用于衡量系统状态的能量函数，它在系统稳定时具有稳定性的性质。
通过构造和分析Lyapunov函数，我们可以判断离散时间系统是否稳定。
如果能够找到一个Lyapunov函数，使得对于系统的每一个状态，该函数都是非负的，并且沿着系统的状态变化轨迹递减，那么系统就是稳定的。
四、其他稳定性分析方法除了以上介绍的几种常见方法外，还存在其他一些稳定性分析方法，如频率域方法、随机系统稳定性分析等。
这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和应用，从而更好地评估离散时间系统的稳定性。
综上所述，离散时间系统的稳定性分析是研究系统动态行为的一个重要问题。
通过差分方程法、状态空间法、Lyapunov稳定性理论以及其他稳定性分析方法，我们可以对离散时间系统的稳定性进行全面评估和判断。
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连续系统：
等幅振荡 振荡收敛
单调收敛
振荡发散 单调发散
离散系统
等幅振荡
振荡发散 振荡收敛
单调收敛
单调发散
特征根位置： Z平面沿实轴从右向左 单调发散 单调衰减
等幅振荡
振荡衰减 发散振荡
其他位置单位圆由内向外 振荡衰减 等幅振荡 发散振荡
从右向左振荡频率增加
采样系统闭环极点选取原则
由上述分析可知，极点位于单位圆内是稳定 的，但应尽量避免选在左半圆，特别是靠近 负实轴边界处，此处振荡频率高而且衰减很 慢。最好位置选择在单位圆内正实轴上且靠 近原点，此时系统输出单调衰减，且收敛速 度极快。
双线性变换定义：
Z r 1 r Z 1或Z 1 r r Z 1
r 1
Z 1
1 r
Z 1
作用：把Z平面中单位圆内部映射到r平面的左半平面。
设r j, Z单位圆内部为 Z j 1 1, j 1
即 ( 1)2 2 ( 1)2 2 , 0 所以 Z 1 0；
0
2型
0
2 r(t)=t*1(t)时
静态速度误差系数
R(z)
Tz (z 1)2
, ess
lim [(z
z1
1) 1 1 Go(z)
Tz (z 1)2
]
T
lim z1 (z
1 1)Go ( z)
若定义KV
1 T
lim (z 1)Go (z)
z 1
，则ess
1 Kv
Kv
ess
0型
0
1型 2型
据劳斯判据条件： a0 , a1, a2 o a0 0 k 0
4。32
4
T
2(1 e Tu )
a2 0 k
T
1 e Tu
2
24 6
T/Tu
T
显然K
2(1
e
Tu T
)
为临界稳定时对应的临界放大系数，如图曲线下方
1 e Tu
就表示稳定的K和T值。可以看出当 T 1时系统允许最大增益K 4.32 Tu
T
T
( Z 1)( Z e Tu ) KZ (1e Tu )0
T
T
T
Z 2 K ( Z e Tu )(1e Tu ) Z e Tu 0
令Z r 1, r 1
T
T
T
T
K (1e
Tu
)r 2 2(1e
Tu
)
r
2(1e
Tu
)K (1e
Tu
)
0
a0r 2 a1r a2 0
K
a0 a2
a1 0
tg 1 2
1 2
经过原点且实轴夹角为的辐射线
S 2
S 2
Z e( j ) e
T
1 2
e jT
在Z平面内, 等线为一对数螺旋线
解：双线性变换，令Z 1 r 1 r
G（r）
(1
r
2.53 1 1
1)(1 r
r r
0.638)
2(1 r (1
r)(1 r) 2.165r)
1r 1r
求开环的频率特性， '为伪频率
r
j '
G( j ' )
2(1 j ' )(1 j ' ) j ' (1 2.165 j ' )
由上式可以求出开环的频率特性
且当采样周期增大时，系统稳定所允许的最大增益减小。
三。奈氏判据
和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能 直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数 双线性变换，这样很容易就可以画出采样 系统的Bode图，举例说明。
例：设开环脉冲传函为G（Z）
2.53Z
,
(Z 1)(Z 0.638)
试用奈氏判据判别闭环稳定性
同理可得： Z 1 0； Z 1 0
r平面类似于S平面，与Z平面具有相同的映射关系，但是 在定量关系上它决不等效于S平面。
例: 系统特征方程
Z 3 3.5Z 2 3.5Z 1 0
令Z r 1,则系统特征方程为： r 1
( r 1)3 3.5( r 1)2 3.5( r 1) 1 0
闭环特征方程
1 G（Z） 0
T
T
(z 1)(z e Tu ) KZ（1 e T u） 0
Z 2 4.952Z 0.368 0
Z1 0.076, Z2 4.876
有一特征根在单位园外， 所以系统不稳定
二.稳定判据
1.劳斯判据 劳斯判据理论是建立在特征根是否全部具
有负实部的基础上，只能应用于S平面，而 无法适用于Z平面。为了判断采样系统的稳 定性，必须采用双线性变换，把Z平面变换 到另外一复平面中，采用双线性变换和劳 斯稳定判据相结合是离散系统稳定性分析 的一种常用方法。
r 1
r 1
r 1
9r3 r 0
r(9r 2 1) 0
r 0, r 1 3
有根在右半平面，所以系统不稳定。
双线性变换+劳斯判据不仅可以用于判
断稳定性，还可以用来分析放大系数、 采样周期对系统稳定性的影响。
对例1，利用劳斯判据分析 T和K对稳定性的影响
解：闭环特征方程为： 1＋G(z)0
系统稳定性。
一 稳定条件及S，E平面对应关 系
Z eTS eT ( j )
j 2
eT e jT eT e s ,s采样频率, 则，Z eT , T
连续系统中，闭环传递函数极点均位于s平面
的左半平面( 0)时，系统稳定，由此可以对
应出Z，S平面稳定区域之间的映射关系。
S平面
0 系统稳定
G1(1) T
1 T
lim (z
z 1
1)Go (z)
T G1(1)
0
2
3
r(t)=0.5t2*1(t)时
R(z) T
z(z 1)
3
静态加速度误差系数
2(z 1)
2
ess
lim [(z
z 1
1) 1
1 Go (z)
T
z
(
z
1)
3
]
2(z 1)
T
2
lim
z1
(z
1
2
1) Go (z)
若定义 Ka
1 T2
离散系统如上图所示，则
E(z) R(z) 1 Go (z)
若闭环系统稳定，则由终值定理
ess
lim e(k)
k
lim (z
z 1
1) E ( z )
lim (z
z 1
1) R(z) 1 Go (z)
将离散系统仿照连续系统分为0、1、2型：
若系统开环脉冲传递函数G0 (z)中含有 i(i=0,1,2)个|z|=1的极点，则系统称为i型
0 临界稳定
0 不稳定
Z平面 Z 1 单位圆内
s
2
s
4
Z 1 S沿虚轴变化 0
s
4
s
2
Z 1
Z 1
Z 1
2 Z 10 1
Z 1
2
Z 1 1
稳定区
j
S 平 面
S平面
I
m
Z平稳面定区
由此可见，S平面的左半开平面对应于Z平 面上的单位圆内，Z平面上单位圆上逆时针 增加一个频段，即逆时针转一圈，所以称
T=100ms,开环增益K=10
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
Bode Diagrams
50 40 30 20 10
Phase (deg); Magnitude (dB)
-100 -120 -140 -160
10-2
10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
四.采样系统稳态偏差
和连续系统一样，稳态分析也是分析和 设计采样系统的一个重要指标，在连续 系统中稳态偏差与系统的输入信号类型 以及系统本身类型有关，对采样系统也 是如此。同一个采样系统，对于阶跃函 数输入可能没有稳态误差，但是当输入 斜坡函数时，就有可能产生稳态误差， 另外，对同一类型的输入系统产生稳态 误差的大小还取决于该系统脉冲传函的 结构类型，参数。
概念介绍（反映系统动态品质） 一.等频线（等 线） 在S平面上，等频线是一条平行于实轴的直
线，频率 恒定
Z eTS eT *e jT
J s
S2 S 4
z
S
4
s
T
2
对应到Z平面上，映射成了从原点出发向外 辐射的一条直线，与实轴夹角T 2
S
3.等衰减系数曲线（等 线）
S平面上，极点S S j 1 2S j
系统。
1 r(t)=1(t)时
静态位置误差系数
R(z)
z
z 1
,
ess
lim [(z
z 1
1) 1 1 Go (z)
z ] z 1
1 1 Go (1)
若定义 K p lim Go (z) z 1、2型系统易知 Kp ，故
0型 1型
Kp
Go (1)
ess
1 1 Go (1)
lim [(z 1)2Go (z)]