专题一 平面向量在解析几何中的应用
专题一 平面向量在解析几何中的应用
一、要点·考点
二、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
（1）⇔=++0OC OB
OA O 是ABC ∆的重心. 证法：如图 OC OB OA
++02=+=OD OA
∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD
为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心
（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.
证明： O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E
是垂足.
0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA
AC OB ⊥⇔同理BC
OA ⊥，AB OC
⊥⇔O 为ABC
∆的垂心
（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心
O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.
（4）OC OB OA ==⇔O 为ABC ∆的外心。
练习：
1．已知ABC ∆三个顶点
C B A 、、及平面内一点
P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：
AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）
A ．2
B ．
2
3
C ．3
D ．6 2.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的
三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP +
+=λ，
[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的
（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心 3.（全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平
面上不共线的三个点，
动点P 满足
)(
AC
AC AB
AB OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ ，则
点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 4．若
ABC ∆的外接圆的圆心为
O ，半径为1，
0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )
A ．
21 B ．0 C ．1 D ．2
1- 5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线
的三个点，若2
22
OB
BC OA
=+
2
2
2
AB
OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
参考：1、C ；2、C ；3、B ；4、D ；5、D
一、选择题
2 ．已知P 是椭圆
2
2
143
x y +=上的一点,F 1、F 2是该椭圆的两个焦点,若△PF 1F 2的内切圆半径为1
2,则2
1PF PF ⋅的值为（ ）A ．32B ．94C ．9
4-D ．0 4 ．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,右顶
点为
A ,点
B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线AB 交y 轴
于点P .若
2AP PB =,则椭圆的离心率是 （
）
A ．
3
2
B ．
2
2
C ．
13D ．12
5 ．已知椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF =
（ ）A ．
2B ．2C ．3D ．3
6 ．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足12
0MF MF ⋅=的
点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．1
(0,]2
C ．2(0,)2
D ．2[,1)2
7 ．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆)
0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点，若12PF PF ⋅=0，
21tan F PF ∠=2，则椭圆的
离心率为（
）A ．21B ．32C ．3
1
D ．
35
8 ．椭圆122
22=+b
y a x （a>b>0）的两焦点为F 1、F 2，若椭圆
上存在点P ，021=⋅PF PF ,则椭圆离心率的取值范围是
（ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡
122，B ．⎥⎦⎤ ⎝
⎛220，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡121， D ．⎥
⎦⎤ ⎝
⎛
210，
15．设P 是椭圆
22
1259
x y +=上的一点，F 是椭圆的左焦点，且()
12
OM OP OF =+，4OM =，则点P 到该椭圆左准线的距离为（ ）A ．52
B ．3
C ．4
D ．6
二、填空
16．已知1F 、2F 是椭圆1:22
22=+b
y a x C (a >b >0)的两
个焦点,
P
为椭圆
C
上一点,且
2
1PF PF ⊥.若
21F PF ∆的面积为9,则b =____________.
19．P 是椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 上任意一点，F 1、F 2是它的两焦
点，O 为坐标原点，21PF PF OQ +=，则动点Q 的轨迹方程是 .
22．过椭圆12
32
2=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的
垂线PH （H 为垂足），延长PH 到Q ，使得HQ PH
λ=（λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是_________． 三、大题
9 ．椭圆
M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2],其中22
c a b =-,则椭圆M 的
离心率e 的取值范围是
A. 32[
,]32B ．2[,1)2C ．3[,1)3D ．32[,]22
10．若椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、
2F ，抛物线22y bx =的焦点为F ．若123F F FF =，
则此椭圆的离心率为A ．
1
2
B ．
22C ．
1
3
D ．
33
11．已知点A, F 分别是椭圆122
22=+b
y a x （a >b >0）的右顶点
和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BA BF ⋅=0，
则椭圆的离心率e 为（ ）
A ．
2
1
（5－1） B ．
2
1（3－1） C ．
2
5 12．经过椭圆2
212
x y +=的一个焦点作倾斜角为45︒的直线
l ，
交椭圆于A 、B 两点. 设O 为坐标原点，则OA OB 等于（ ）A ．3-B ．13-
C ．13-或3-
D ．1
3
±
13．设动点A , B （不重合）在椭圆1441692
2=+y x 上，椭圆的中心为O ，且0=⋅OB OA ，则O 到弦AB 的距离OH 等于A ．
320B ．415C ．5
12
14．设F 1、F 2为椭圆13
42
2=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任
作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，21PF PF ⋅的值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物
2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ． 反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大． 正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。
平面向量的解析几何应用
平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。
它具有大小和方向两个重要的特征。
平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。
平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。
二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。
通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。
在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。
例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。
我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。
2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。
通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。
3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。
通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。
4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。
通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。
6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。
例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用近年来，向量知识在平面解析几何中的应用受到越来越多的关注。
解析几何是研究二维空间上的几何图形，其中向量知识通常是帮助理解和解决几何问题的重要工具。
举例来说，本文将重点介绍平面解析几何中向量知识的三个典型应用，包括表示几何对象、分析基本性质和构造几何图形。
首先，表示几何对象是平面解析几何中最基础、最重要的应用。
在几何学中，我们往往会用向量来表示一个几何对象，其中向量可以表示一个点、一条直线或一个平面。
例如，我们可以用向量P = (x, y)表示一个平面上的点P，而用向量A = (a, b, c)表示一条直线A，用向量N = (n1, n2, n3)表示一个平面N。
不仅如此，我们还可以用向量来表示几何对象之间的位置关系，其中向量和运算可以表示平面上点与点、点与直线、直线与直线的距离或垂直关系。
其次，分析基本性质是平面解析几何中常用的应用。
在平面解析几何中，我们可以利用向量知识来分析几何对象的基本性质，比如线段的长度、平行线间的距离或者大圆弧的弧长等等。
计算这些基本性质往往要求我们掌握向量的加减运算以及向量的点积与叉积。
同时，我们可以利用向量知识来确定点与点之间的距离、点在直线上的坐标、直线与直线的位置关系等等，这些知识的应用可以大大提高我们的解决能力。
最后，构造几何图形也是向量知识在平面解析几何中的重要应用。
一般来说，在解析几何中，我们往往要根据给定的构造要求绘制几何图形，这要求我们充分运用向量知识来确定各个图形的位置关系和几何性质。
例如，我们可以根据给定点P、Q和R，通过运用向量知识来构造三角形PQR，或者根据给定的直线ABC点，通过运用向量知识来构造向量AB和向量AC的夹角等等。
综上所述，向量知识在平面解析几何中有着重要的应用。
它不仅可以帮助我们更好地表示几何对象，分析基本性质，还可以用来构造几何图形，有效地指导我们解决几何问题。
因此，学习和掌握向量知识对于掌握平面解析几何是至关重要的。
解析几何中的向量和平面方程
解析几何中的向量和平面方程解析几何是现代数学中的一个重要分支，研究的是几何问题与代数问题之间的联系。
其中，向量和平面方程是解析几何中的两个重要概念，本文将对这两个概念进行解析并探讨它们的应用。
一、向量向量是解析几何中的一个基本概念，一般表示为有向线段，具有大小和方向两个属性。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对，即 $(x,y)$。
其中，$x$ 表示向量在 $x$ 轴上的分量，$y$ 表示向量在 $y$ 轴上的分量。
例如，向量 $\vec{a} =(3,4)$ 表示一个有向线段，长度为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，沿 $x$ 轴正方向移动 3 个单位，沿 $y$ 轴正方向移动 4 个单位。
向量的运算包括向量的加减、数量积（点积）和向量积（叉积）等。
向量的加减法比较简单，即将相同方向的向量相加（减），如 $\vec{a}+\vec{b}=(3,4)+(1,2)=(4,6)$，表示将向量 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 按照相同方向相加得到新的向量。
向量的数量积是两个向量的点积，表示为$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别表示向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模长，$\theta$ 表示两个向量之间的夹角。
数量积的结果是一个标量（一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值。
如果两个向量夹角为 $90^\circ$，则它们的数量积为 0。
例如，对于向量$\vec{a}=(3,4)$ 和 $\vec{b}=(1,2)$，它们的数量积为$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times1+4\times2=11$。
向量的向量积是两个向量的叉积，表示为$\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}$，其中$\hat{n}$ 表示两个向量所在平面的法向量，大小为两个向量所在平面的面积。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有什么应用？向量法的概念是一个数学家发现的，发现过程很有趣。
向量法可以说是比较好地把向量与三角形、四边形、多边形结合起来的方法。
也就是说，在平面上进行立体几何中的平面图形的分析时，不能够再像做三角形或四边形那样，要用向量的知识来分析问题了。
我们还必须要在向量法的基础上再进行讨论。
在向量法中，分析立体几何中的一些特殊的向量时，它们的值是比较容易确定的，并且只需要写出向量的方向和大小，然后用向量法计算。
我们还经常利用向量法来判断一些曲线上点的坐标，如果知道了向量的方向，也就找到了点的坐标。
向量法在立体几何和解析几何中也广泛存在，如果我们没有掌握这种方法，那么对一些公式或结论的理解将会出错。
在立体几何中，如果立体几何中的所有向量都已经知道了其方向和大小，并且知道其他所有向量之间的关系，那么这个立体几何中的所有结论就都可以推导出来了。
又如，在平面几何中，如果一个向量和另外两个向量在平面内不相交，那么它们的关系就只是垂直于平面的平行线，但当知道这个向量的方向和大小时，我们就可以进行讨论了。
第二种说法：因为向量是表示物体位置的重要工具。
它在立体几何中显得尤为重要。
因为这个几何中的向量可以用三维空间中的点的坐标来表示。
而在解析几何中也广泛存在，如果没有这种方法，就没有办法准确地解决一些与向量有关的问题。
在解析几何中，一般情况下，一条直线可以有无数条方向。
比如有，在解析几何中一条直线可以有无数条方向。
比如有x、 y两个方向，它们的夹角为0。
在解析几何中，我们还可以对向量法进行总结，如果是三维空间的立体几何，那么在这个立体几何中的所有向量都是共面的，并且一组向量的方向是唯一的。
如果是二维的平面几何，则一组向量的方向是唯一的，并且一组向量的方向是共面的。
我们还可以通过坐标和向量来求解一些问题，通过观察三个点a、 b、 c之间的关系，可以得到向量a、 b、c的长度，并且通过坐标来表示。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用
平面解析几何是一门涉及抽象概念和实际绘图技巧的重要数学
学科。
它的研究主要集中在理解几何学形状的属性，以及它们之间的关系。
近年来，向量知识已被视为平面解析几何的重要资源，它通过一系列的实践来增强学生关于几何形状的理解和推理能力。
向量知识的应用主要用于研究几何形状的边、角和一些基本的概念。
首先，向量知识可以用来刻画平面上的几何形状，如多边形、圆和椭圆等。
向量代表了一条线段或者一个特定的方向，使得学生可以使用它们来描述和比较不同的形状，同时能够清楚地看到它们之间的相互关系。
其次，向量知识也可以用来定义和操作几何形状的角。
它可以用来测量两个向量之间的夹角，这是识别几何图形的一项重要技能。
此外，向量还可以用来找出平行线、垂直线、平分线等。
最后，向量知识也可以用来计算平面图形的面积和周长。
这类计算有助于学生更好地理解几何形状的特征，使其能更加熟练地掌握解析几何的概念和工具。
总而言之，向量知识在平面解析几何中有着重要的作用。
它能够帮助学生更好地理解几何形状，有助于掌握解析几何的概念和工具。
向量知识的应用涵盖了描述形状、测量角度和计算面积等重要内容，为学生学习解析几何提供了强大的支持。
因此，要想更好地掌握解析几何，学生应加强向量知识的学习，以便更好地理解和掌握解析几何中的概念和工具。
向量在解析几何中的应用
第一章引言1。
1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化。
向量是研究图形问题的有力工具.向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系，具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析，可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．1。
2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：1、向量在建立平面方程中的应用。
2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用。
5、向量在平面其它方面的应用。
第二章 向量法在有关平面问题中的应用2.1 向量的基础知识1。
向量分解定理定理1 如果向量10e ≠，那么向量r 与向量1e 共线的充分条件是r 可以用向量1e 线性表示，或者说r 是1e 的线性组合，即1r xe =,并且系数x 被r ,1e 唯一确定.定理2 如果向量1e ,2e 不共线,那么向量r 与向量1e ，2e 共面的充要条件是r 可以用向量1e ，2e 线性表示，或者说r 可以分解成1e ,2e 的线性组合,即12r xe ye =+，并且系数, x ，y 被r ,1e ，2e 唯一确定.这时1e ,2e 叫做平面上向量的基底。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用0 引言高三数学复习课教学，是高中数学教学的重要课型.平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点.作为高三教学一线的教师，如何引导学生在高三数学复习过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，是高三数学复习课必须追求的目标.因此，结合自己高三数学教学的实际情况，进行了《平面向量在解析几何中的应用》高三复习课，以求在教与学的过程中提高学生学习向量的兴趣，让学生树立并应用向量的意识.1 背景向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点.而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程.结合我校开展的构建研究系性学习教学模式研究的课题，开设本节《平面向量在解析几何中的应用》高三专题复习课，通过问题的探究、合作解决，旨在进一步探索研究系性学习教学模式，使学生树立并增强应用向量的意识.正因为如此，本节课这样设计：1）教育家赞可夫说“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦”；教育心理学认为：思维是从提出问题开始的；美国心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中.”因此首先通过两个旧问题的引入解决，让学生体会向量的工具性特点，体会向量解题的优越性.2）通过问题的探究解决，由此让学生发现，用向量法的最大优点是思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担.2 问题例1.利用向量知识来推导点到直线的距离公式.已知点P坐标（x■，y■），直线l的方程为Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则d=■.证明：当B≠0时，在直线l上任取一点，不妨取P■（0，-■），直线l的法向量■=（A，B），由向量的射影长知识得点P到直线l的距离等于向量■在向量■方向上的射影长度d，■=（x■，y■+■），∴d=■·■=（x■，y■+■）·■=■当B=0时，可直接有图形证明（略）.点评：比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性.例2.（2009浙江文）已知椭圆■+■=1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若■=2■，则椭圆的离心率是（）A.■B.■C.■D.■解析：对于椭圆，因为■=2■，则OA=2OF，∴a=2c，∴e=■选D.点评：对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手.例3.已知定点A（-1，0）和B（1，0），P是圆（x-3）2+（y-4）2=4上的一动点，求PA■+PB■的最大值和最小值.图1解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：■=（-1，0），■=（1，0），∴■+■=0，■·■=-1又由中点公式得■+■=2■所以■■+■■=（■+■）■-2■·■=（2■）■-2（■-■）·（■-■）=4■■-2■·■-2■■+2■·（■+■）=2■■+2又因为■={3，4}点P在圆（x-3）2+（y-4）2=4上，所以■=5，■=2，且■=■+■所以■-■≤■=■+■≤■+■即3≤■≤7 故20≤■■+■■=2■■+2≤100所以PA■+PB■的最大值为100，最小值为20.点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手.3 反思由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识.那么如何树立应用向量的意识，从本节课案例得到以下启发：第一，如何树立应用向量的意识，在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性.第二，如何树立应用向量的意识，应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识.第三，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性.最后，如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识.。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。