8-4描述函数法
合集下载
第二节 描述函数法
第二节 描述函数法
18
作业：7-1(b)
2020/10/18
第二节 描述函数法
19
(A )
2020/10/18
第二节 描述函数法
16
2) 非线性环节的串联 当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性， 然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
2020/10/18
第二节 描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
2020/10/18
第二节 描述函数法
12
3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时： 一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数； 应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联 设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
2020/10/18
第二节 描述函数法
9
⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
描述函数法
系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
自动控制原理第五章
自动控制原理第五版：《自动控制原理第五版》是科学出版社出版的图书，作者是胡寿松。
本书精选了第四版中的主要内容,加强了对基本理论及其工程应用的阐述。
内容提要：本书系《自动控制原理》第五版,比较全面地阐述了自动控制的基本理论与应用。
全书共分十章,前八章着重介绍经典控制理论及应用,后两章介绍现代控制理论中的线性系统理论和最优控制理论。
书中深入浅出地介绍了自动控制的基本概念,控制系统在时域和复域中的数学模型及其结构图和信号流图;比较全面地阐述了线性控制系统的时域分析法、根轨迹法、频域分析法以及校正和设计等方法;对线性离散系统的基础理论、数学模型、稳定性及稳态误差、动态性能分析以及数字校.图书目录：第五版前言第一章自动控制的一般概念1-1 自动控制的基本原理与方式1-2 自动控制系统示例1-3 自动控制系统的分类1-4 对自动控制系统的基本要求1-5 自动控制系统的分析与设计工具习题第二章控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域数学模型2-2 控制系统的复数域数学模型2-3 控制系统的结构图与信号流图2-4 控制系统建模实例习题第三章线性系统的时域分析法3-1 系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差计算3-7 控制系统时域设计习题第四章线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析4-5 控制系统复域设计习题第五章线性系统的频域分析法5-1 频率特性5-2 典型环节与开环系统的频率特性5-3 频率域稳定判据5-4 稳定裕度5-5 闭环系统的频域性能指标5-6 控制系统频域设计习题第六章线性系统的校正方法6-1 系统的设计与校正问题6-2 常用校正装置及其特性6-3 串联校正6-4 反馈校正6-5 复合校正6-6 控制系统校正设计习题第七章线性离散系统的分析与校正7-1 离散系统的基本概念7-2 信号的采样与保持7-3 z变换理论7-4 离散系统的数学模型7-5 离散系统的稳定性与稳态误差7-6 离散系统的动态性能分析7-7 离散系统的数字校正7-8 离散控制系统设计习题第八章非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响8-3 相平面法8-4 描述函数法8-5 非线性控制的逆系统方法8-6 非线性控制系统设计习题第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观测性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计习题第十章动态系统的最优控制方法10-1 最优控制的一般概念10-2 最优控制中的变分法10-3 极小值原理及其应用10-4 线性二次型问题的最优控制10-5 动态规划10-6 控制系统优化设计习题参考文献附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换附录B 矩阵微分法附录C MATLAB辅助分析与设计法。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数法
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
第四节 用描述函数法分析非线性系统2003
第四节 用描述函数法分析非线性系统
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析： 稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统 是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地 存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡 的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析： 稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统 是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地 存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡 的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。
第8章 非线性系统分析
dx/dt x
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
不稳定节点
x 2 n x n x 0
2
1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点
x 2 n x n x 0
2
0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点
x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km
x x sin x 0
奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k
4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。
dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1）Gc ( s ) 1
2）Gc (
s
)
0.25s 1 8.3( 0.03s 1 )
,研究系统运动特性。
1）G( j4 ) 1
由N ( A ) 4 1 0.52 1解得：
A
A2
A1 0.556 A2 1.146
e( t ) x( t ) 1.146sin4t为自振荡
2）由曲线知G( j )不包围 1 / N( A )，系统稳定。
2）非线性系统存在周期运动的四种形式：图8－47
N0点对应的周期
运动是稳定的
不稳定 区域
不区稳域定
N0点对应的周期
运动是不稳定的
N10点对应的周期
运动是不稳定的
N 20点对应的周期
运动是稳定的
不区稳域定
不区稳域定
N10点对应的周期
运动是稳定的
N 20点对应的周期
运动是不稳定的
N20点 : x( t ) A20 sin2t N10点 : x( t ) A10 sin2t
y
kk22k(1 xx1(
12)k12
)
k2( a2 2 )
k212
x11
xa2
a2 k1
1
a2
a2
k1
x1
1
x
x y x1
0
y
0 x 1
x1 k1( x 01 )
k
0 k1( x 1 k) k2 1k2
a 2
a2
kx1( x 1 )
k1( x a1
)1a2ak211
2 k1
若系统产生振荡, 则有 y'(t) y(t) , 比较式(23)和式(24)
M (A) G( j) 1
可得系统产生振荡的条件为:
() 1( A) (2n 1)
非线性系统产生自激振荡的上述条件, 也可表为:
G( j) 1/ N ( A) 的形式, 推导如下: G( j )N ( A) G( j ) M ( A)e j[ ( )1( A)] e j(2n1)
（2）非线性系统存在周期运动时的稳定性分析 （自激振荡）
1）周期运动稳定性判据
设线性环节的幅相频率特性曲线G(jω)把复平 面分为两个区域，被G(jω)包围的区域为不稳定 区，未不包围的区域为稳定区。若-1/N(A)曲线随 振幅A增加的方向从不稳定区移动到稳定区，则 穿越点（交点）对应是系统的一个稳定的自振点； 反之，若-1/N(A)曲线沿振幅A增加的方向在交点 处由稳定区进入不稳定区，则该穿越点（交点） 对应的周期运动是不稳定。
描述函数法是分析系统稳定性和自激振荡 的常用方法，其要点是用一次基波分量代替非 线性特性输出的总体，而忽略所有高于一次的 谐波分量。在一定条件下，这种忽略具有一定 的合理性。
（1）描述函数的定义(P408)
∞
y(t)= A0+∑nx=(1(Atn)cosnAωts+iBnnsint nωt)
y (t) Y sin(t ) 非为线此性A，环定0 节义可正1近弦A02似信0认y号(为作t)n具d用1有下Yt和，n1线非s性i线n环性(Yn节环n相节t类的似稳A的态n频输2n) 率出1响中B应一2n形次式谐波
A2
K
3A 1
( s 1 )( s 4 ) C( s )
1
s
1．分析参数K对系统自由运动的影响；
2．若能产生自激振荡，试求使输出c处振幅为1时的振荡频率 和参数K的值。
k 60 不稳定(3分)，k 10 稳定(3分)，10 k 60自激
振荡(3分)， 2(3分)，k 20 (4分)
例题8-6
1、研究k 15时系统的运动 2、不出现自振荡k的临界值。
1、G( j7.07 ) 1
有自振荡
令N ( A ) 4 [sin1 1 1 1 1 ] 1
AA
A2
试探法求得A 2.5
e( t ) 2.5 sin7.07t
2、令G(
j7.07 ) k 15
0.5,解得kmax
7.5
例题8-7
死区非线性环节的描述函数(补充)
死区饱和非线性环节的描述函数
Hale Waihona Puke sin2tdy t
k
1 2
(1
y(cto) s
2t)dt
1 2
t
1 2
sin
t
cos
t
x△(t)a= Asisnixnωttd
t ψ111ψ222
22
cyo(ts)≈tB1sinωωtt
ψψ1ssiinn1A2 Nxa(t(//)AAAy(),,t=cc)oosBs1+10A2kj(AA1s11=inBA((at1//
x(t)
y(t)
特征方程：
1 NG1 NG1H1 0
1 N G1(1 H1 ) 0
x(t)
y(t)
N(A)
G1(1+H1)
c(t )在 哪 里 ？
y(t) x(t)
1 N G1H1 0
等效变换2
1 G1
1 G1 NG1H1 0
x(t) c(t) N(A) y(t)
G1H1 1 G1
G( j ) 1 / N( A )时非线性系统临界稳定。
临界稳定会产生等幅振荡,
该等幅振荡也许能维持,也许不能维持！ 能维持的等幅振荡叫稳定的周期运动，又叫自激振荡。
判别非线性系统稳定性的步骤：
①将实际系统简化为一个非线性部分和一个线 性环节串联的典型反馈结构。 ②绘制线性部分的幅相频率特性曲线G(jω)。 ③求非线性部分的负倒描述函数-1/N(A)，并 作出相应的曲线。 ④判别非线性系统的稳定性。
t)As1in1td002ty+(4t)
costdt 0
2 k(a)sintdt
2
3、非线性系统的简化——等效变换
等效变换原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性 特性的串、并联，简化非线性部分为一个等效 非线性环节，再保持等效非线性环节的输入输 出关系不变，简化线性部分。
（1）非线性特性并联 （2）非线性特性串联－采用图解法化简 两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其 前后次序；多个非线性环节的串联，可按上述 两个非线性环节的串联简化方法一一简化
k(x+△） x<-△
sin 0t△dt ψcoπs π t-ψ sin / A,cos 1 ( / A)2 2
xπ(-tAψ)ψ=NB(Aπ2Aω1πs)tiXn(2ωtx2k)t(k=At)NA[(2sAiAn)Aω1=a0BtrBc1414s1k1i+An012j20A2A2ky[0y12A(y((At(ty)=st)Ac)(isnt≈cBAoi)n2oss1Bsi1n01ttstddin(tdtωAtst))itns200i]nt]Adt>dt△t
奇对称函数，即y(t+π/ω)=-y(t)
3）非线性部分输出y(t)中的基波分量最强
4）线住部分G(s)的低通滤波效果较好
2、典型非线性特性的描述函数
表8－1
｛
y(t)
sin2 tdt k –△
x(t)
1 2
y(t)
(1 cos
2t)dt π -Ψ ωt
y12(t)=t
k120s(xin-△) t cxxo><s△△ t
Y1
cos t B1
A12 B12
sin1taArctYg 1ABs11in(tA
1
)
（2）非线性系统描述函数法分析的应用条件
1）非线性系统可以归化为一个非线性环节和 一个线性部分闭环连接的典型结构
2）非线性特性具有奇对称性 非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇
函数，即f(x)=-f(-x) 或正弦输入下的非线性环节的输出为t的
（3）线性部分的等效变换 令r(t)=0，按等效变换原则，调换综合点。
r(t) 0
c(t )
G1
G2
y(t)
N
x(t) G3
特征方程：
1 G2G3 N 0
1+G1G2+G2G3N=0
1 G1G2
N x(t)
y(t) G2G3
1 G1G2
c(t )在 哪 里 ？
提醒：两个方块位置可随意放
等效变换1
例题1(补充)
x1
y
x
1
x1
k2=1
y
0
k1=0.7
1
x
0 1 x1
x0 y
N(A) 3A 2 A4
1 2 N(0)
1 1 N() 3
(补
负倒描述曲线1
充)
1 A4 N(A) 3A 2
jIm
-2
-1/3 0 Re
N(A) 4M A
(补充)
负倒描述曲线2
1 h2 A2
Ah
N(h) 0 起于–
分A量1n和输1入0信2号y(的t)复c数os比n1为非td线性t 环B节n1的描1述0函2数y(，t)用sNin(An1)表t示d：t
正弦N若响(AA0应=0)仅，=有且一N当次n(>A谐1时)波，分eYj量∠n均！N很(A小) =，则Y可1近e似j认1 为 非B1线性j环A节1 的
y(t)
A1
cos(2n 1) j sin( 2n 1) 1 G( j) 1/ N ( A)
称上式中 1/ N ( A)为非线性特性的负倒描述函数。
由上分析可得两个结论: 1)当非线性系统的线性部分的频率特性与非线
性环节的乘积等于-1时, 系统将产生自激振荡;
2)由于 G( j) 是关于 的复变函数, 而 1/ N ( A)
x( t ) A sint