多输入描述函数法(精选)
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《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
描述函数法
系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数法
所以其描述函数为
N ( A)
B(A)
jC ( A)
Kn B0 (
A) a
jC0
(
A a
)
Kn N0 ( A)
回环非线性的描述函数是复数，基准描述函数负倒数曲线如图所示。
4
继电器特性及其正弦信号输入时的输入-输出波形如图所示。
继电器特性的数学表达式为：
y(t) M
θ1 ωt θ2
其中：
πA
1 ( a )2 A
1
(
ma A
)2
K
n
B0
(
A a
,
m)
C( A)
2Kna2 πA2
(m
1)
KnC0 (
A a
, m)
由此可得继电器特性的基准描述函数为
A
2a
B0
(
a
n
B0
(
A) a
式中
θ1
sin 1
a A
所以其描述函数为
N ( A)
B( A)
jC( A)
2Kn
π
sin 1
a
a
1
(
a
线性的基准描述函数为
N0 ( A)
N ( A) Kn
B0
(
A a
)
从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个
实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。
§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念
非线性系统的结构图如图所示。图中 Ｇ(s)为线性部分的传递函数，N为非线性 元件。
(1)设非线性环节N 的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。
逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)
逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)逻辑函数的逻辑功能的五种表示逻辑函数是数学中的一种特殊函数，它主要用于描述不同条件下的逻辑关系。
逻辑函数的逻辑功能可以用多种方式表示，下面将详细介绍五种常见的表示方法。
1. 真值表表示真值表是逻辑函数最常见的一种表示方法，它用表格的形式展示了逻辑函数在不同输入条件下的输出结果。
对于一个逻辑函数，输入条件可以有多个，每个输入条件都有两种可能的取值：真（1）或假（0）。
真值表根据所有可能的输入条件和对应的输出结果，列出了逻辑函数的所有情况。
以与门（AND gate）为例，它的真值表如下所示：输入1 | 输入2 | 输出 ||||——| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 |1 | 1 |2. 真值公式表示真值公式是逻辑函数的另一种常见表示方法，它通过逻辑运算符和逻辑变量来描述逻辑函数的逻辑关系。
逻辑运算符包括与（∧）、或（∨）和非（¬），逻辑变量表示逻辑函数的输入条件。
对于与门来说，它的真值公式可以表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
3. 简化逻辑公式表示简化逻辑公式是在真值公式的基础上，经过化简处理得到的一种简化形式。
化简的目的是通过逻辑代数的运算规则，将逻辑函数表示为更简洁的形式。
继续以与门为例，其真值公式为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
通过逻辑代数的化简规则，可以将其简化为：输出 = 输入 1 × 输入2。
4. 逻辑图表示逻辑图是一种图形化的表示方法，使用逻辑门和连接线来表示逻辑函数的逻辑关系。
逻辑门有与门、或门和非门等，连接线表示逻辑变量之间的输入输出关系。
与门的逻辑图如下所示：and_gateand_gate5. 逻辑符号表示逻辑符号是逻辑函数的一种特殊表示方法，它使用特定的符号来表示逻辑运算符和逻辑变量。
常见的逻辑符号包括∧（与）、∨（或）和¬（非）等。
同样以与门为例，它的逻辑符号表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
8-4描述函数法
n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
7-1描述函数法
非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 会产生一些比较奇特的现象。 会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值响 波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 考虑有名的杜芬方程
& m&& + fx + k1 x + k 3 x 3 = p cos ωt x
r(t)=0 x y N G(s) c(t)
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 ）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。 ）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
12
2.描述函数的定义 描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asinωt 则其输出一般为周期性的非正弦信号， 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅 氏级数 ∞ y(t) = A + ∑( An cos nωt + Bn sin nωt) 0
0,| x |≤ a y = k(x − a), x > a k(x + a), x < −a
3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起 而是在输入—输出曲线上出现闭合环路 输出曲线上出现闭合环路。 ，而是在输入 输出曲线上出现闭合环路。又称为间 隙特性。 隙特性。
0
x(t) x0>1 x0<1
递减并趋于0。 当x0<1时，x(t) 递减并趋于 。 时
x0 t ln x −1 0
由上例可见，初始条件不同， 由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 非线性系统的稳定性不仅与 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。 系统的初始条件有直接的关系 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。