描述函数法
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第二节 描述函数法
第二节 描述函数法
18
作业：7-1(b)
2020/10/18
第二节 描述函数法
19
(A )
2020/10/18
第二节 描述函数法
16
2) 非线性环节的串联 当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性， 然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
2020/10/18
第二节 描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
2020/10/18
第二节 描述函数法
12
3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时： 一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数； 应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联 设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
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第二节 描述函数法
9
⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数法
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
《描述函数法》课件
2. 描述函数的建立步骤
建立描述函数的一般步骤包括分析系统的输入与输出，确定合适的数学表达式，并进行相应 的参数优化。
3. 描述函数的建立方法
常见的描述函数建立方法包括传递函数法、微分方程法和信号流图法，每种方法都有其适用 的场景和优劣之处。
描述函数与系统关系
1
2. 描述函
《描述函数法》PPT课件
描述函数法是一种在控制系统中用于分析和设计的重要工具。本课件将介绍 描述函数法的概念、不同类型、优点与限制，以及在控制系统设计中的应用 案例。
函数类型与定义
1. 描述函数的定义与表达式
描述函数是一种数学工具，用于表示控制系统的动态特性。它可以形式化地描述系统输入与 输出之间的关系。
脉冲响应、斜坡响应和正弦响应等动
态特性。
3
1. 描述函数与原系统的关系
描述函数可以精确地反映原系统的动 态特性，从而实现对系统的分析和设 计。
3. 描述函数的频率域表示
描述函数可以分析系统的频率响应、 相位和增益裕度等性能指标，帮助优 化系统的控制效果。
描述函数的优点和应用
优点
描述函数法简化了复杂系统的分析和设计过程， 提供了一种直观且有效的方法。
应用案例
描述函数法广泛应用于控制系统设计、自动化工 程和工业过程优化等领域。
描述函数法的进一步研究
1 1. 稳定性分析
描述函数法可以用于判断系统的稳定性，并优化控制器的参数以实现稳定性要求。
2 2. 小信号分析
描述函数法可以用于系统的小信号分析，帮助评估系统的响应速度和抗干扰能力。
3 3. 进一步研究方向
近年来，描述函数法在人工智能、机器学习和自适应控制等方面的应用引起了广泛关注。
总结
建立描述函数的一般步骤包括分析系统的输入与输出，确定合适的数学表达式，并进行相应 的参数优化。
3. 描述函数的建立方法
常见的描述函数建立方法包括传递函数法、微分方程法和信号流图法，每种方法都有其适用 的场景和优劣之处。
描述函数与系统关系
1
2. 描述函
《描述函数法》PPT课件
描述函数法是一种在控制系统中用于分析和设计的重要工具。本课件将介绍 描述函数法的概念、不同类型、优点与限制，以及在控制系统设计中的应用 案例。
函数类型与定义
1. 描述函数的定义与表达式
描述函数是一种数学工具，用于表示控制系统的动态特性。它可以形式化地描述系统输入与 输出之间的关系。
脉冲响应、斜坡响应和正弦响应等动
态特性。
3
1. 描述函数与原系统的关系
描述函数可以精确地反映原系统的动 态特性，从而实现对系统的分析和设 计。
3. 描述函数的频率域表示
描述函数可以分析系统的频率响应、 相位和增益裕度等性能指标，帮助优 化系统的控制效果。
描述函数的优点和应用
优点
描述函数法简化了复杂系统的分析和设计过程， 提供了一种直观且有效的方法。
应用案例
描述函数法广泛应用于控制系统设计、自动化工 程和工业过程优化等领域。
描述函数法的进一步研究
1 1. 稳定性分析
描述函数法可以用于判断系统的稳定性，并优化控制器的参数以实现稳定性要求。
2 2. 小信号分析
描述函数法可以用于系统的小信号分析，帮助评估系统的响应速度和抗干扰能力。
3 3. 进一步研究方向
近年来，描述函数法在人工智能、机器学习和自适应控制等方面的应用引起了广泛关注。
总结
第七章(非线性系统的描述函数法)
§7.4非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为)sin()(t X t x ω=非线性环节Nx (t )n(t )输出n(t)将是非正弦的周期信号。
可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。
假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。
闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。
对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。
上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。
假设系统中非线性环节的输入函数为tX t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数∑∑∞=∞=++=++=1010)sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω⎰=πωωπ20)()cos()(1t d t i t n A i ⎰=πωωπ20)()sin()(1t d t i t n B i 22iii BA Y +=iii B A tg1-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。
输出部分的基波分量为)sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰=πωωπ201)()cos()(1t d t t n A ⎰=πωωπ201)()sin()(1t d t t n B 21211B A Y +=1111B A tg -=ϕ可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。
描述函数法
所以其描述函数为
N ( A)
B(A)
jC ( A)
Kn B0 (
A) a
jC0
(
A a
)
Kn N0 ( A)
回环非线性的描述函数是复数，基准描述函数负倒数曲线如图所示。
4
继电器特性及其正弦信号输入时的输入-输出波形如图所示。
继电器特性的数学表达式为：
y(t) M
θ1 ωt θ2
其中：
πA
1 ( a )2 A
1
(
ma A
)2
K
n
B0
(
A a
,
m)
C( A)
2Kna2 πA2
(m
1)
KnC0 (
A a
, m)
由此可得继电器特性的基准描述函数为
A
2a
B0
(
a
n
B0
(
A) a
式中
θ1
sin 1
a A
所以其描述函数为
N ( A)
B( A)
jC( A)
2Kn
π
sin 1
a
a
1
(
a
线性的基准描述函数为
N0 ( A)
N ( A) Kn
B0
(
A a
)
从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个
实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。
§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念
非线性系统的结构图如图所示。图中 Ｇ(s)为线性部分的传递函数，N为非线性 元件。
(1)设非线性环节N 的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。
8-4描述函数法
n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
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系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
饱和非线性的描述函数：
Im 使得 KT1T2 1 ，
XN 2kkBarcN1sinT11XTTsK12T1TTA2X2s
T1 T2 k
1Xs s C 1 X
k
2
0
产生X极 限s环
Re
。
X s
G j
稳定极限环
0
无论是稳定极限环，还是不稳定极 限环，都是系统所不希望的，对于上述 系统，只要使线性部分放大倍数K减小, 使
一、典型的非线性类型 （硬非线性 不平滑非线性）
1 饱和 2 间隙 3 死区 4 继电特性
二、非线性系统的几种特殊现象 非线性系统有一些线性系统理论不
能解释的异常现象，线性系统的理论不 能再照搬到非线性系统。
1、自持振荡（极限环） 在非线性系统中，常碰到自持振荡
现象，既在扰动的作用下，系统产生幅 值和频率都固定的振荡。
Im
-1
h
0
x
X 0 Re
1 N
X 0
G j
G j
G j
1
0
1
0
1
0
稳定
不稳定
等幅振荡
1 N
0
稳定
G j H j
1 0
N
不稳定
G j H j
1 N
0
极限环
G j H j
极限环有稳定极限环和不稳定极限环之分, 如:
Xi j
-
ks
K
Xo j
s
jT1 j 1T2 j 1
当线性K充分大，
ks sintdt
2
s sintdt
X
0
4k
ks 2kX
0
t1
2
X2akarXcrcsssiinninXsXtsXssx2sint111t1t1 XXssas rXcs22sXinss
in1 t1 s
X
s X
2
则:
N
Y1 X
1
B1 0 X
仅是输饱入和 2信非k 号线arc振性sin幅的Xs的描 函述Xs 数函1 数. 与Xs 频2 率无关,
—
1
输
出
的
傅
氏
级
数
基
波
分量
的
相
位
移
。
由于系统通常具有低通滤波特性，其它谐
波幅值通常比基波项小，所以可以用基波分量 近似系统的输出。
设：非线性环节的输入xt X sint
输出为：yt A0 An cos nt Bn sin nt n1
A0 Yn sinnt n
n1
式中：An
0
t
s k s x ks yt
0
当 x s时，yt kX sint 当 x s时，yt ks
t
y1t Y1 sin t
当 x s时，yt kX sint
当 x s时，yt ks
输出为奇函数，
将yt 展成傅立叶级数时，有An 0
取傅立叶级数的基波，得
y1t B1 sint
三、分析非线性系统的方法 1、线性化近似法
2、逐段线性近似法 3、描述函数法 4、相平面法 5、李雅普诺夫法 6、计算机仿真
描述函数法
❖ 对于线性系统，当输入是正弦信号时， 输出稳定后是相同频率的正弦信号，其幅 值和相位随着频率的变化而变化，这就是 利用频率特性分析系统的频域法的基础。
❖ 对于非线性系统，当输入是正弦信号 时，输出稳定后常不是正弦信号，而是与 输入同频率的周期非正弦信号。
1
2 0
yt cos ntdt
其中，基波分量：
y1t A1 cost B1 sint
Bn
1
2
0
yt sin ntdt
Yn An2 Bn2
Y1 sint 1
N
Y1 X
1
n
tan 1
An Bn
A12 B12 tan1 A1
X
B1
二、饱和放大器 xt X sin t
X
s
2
y
N
k
2k
arcsin
X
X
0
1
2
X
X
X
Im
1
N
X
X
1
0 Re
k
N
H
X
H X
2
2
1
2
arcsin
X
H X
X
H X
2H X
H X
2
2
H H 2
N arctg
X
X
2
arcsin
X
X
H
X
H X
间隙非线性
yH
2H X
H X
2
B1
1
2
0
yt sintd t
4
2 0
yt sintd t
B1
4
4B1
2
0
y4t
sintdt
2 yt sintd
t
sin1 s
分X
0
0
段kX积sin分t
0sintd t1 t
2
t s1in1
s X
s
4k
X sin1
s
XsinX
0
1t
cos2t
当2 t
dtt1时 s，si2n1
响应
4、此外，还有多值响应、次谐波振荡、 频率捕捉现象、异步抑制等特殊现象， 这里不一一展开讨论。
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X
4M
X
可见,其描述函数同样与频率无关, 仅是输入信号振幅的函数.
关于死区非线性、三位置继电特 性、间隙的描述函数,其推导过程与 前述相同,不再赘述.
上述三种非线性的描述函数也与 频率无关,都是随输入振幅变化而变 化的.
七、利用描述函数法分析非线性系统稳定性
X i s
N
Gs
Xo s
-
H s
G j H j 具有低通滤波特性，非线性部
KT1T2 1 , 则系统的G j 与 1 曲线
T1 T2 k
N
没有交点，就不产生极限环。
例3
X i s
N
-
Gs
Xo s
Im
X
0X