第七章(非线性系统的描述函数法)
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
自动控制原理_第7章_5
1 这样， 在复平面的坐标便是非线性系统 N ( A0 )
的临界稳定点。 非线性系统的临界稳定点是随着输入信号的振幅
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 是通过临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
4
在线性部分为最小相位的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
k =2
试求当开环增益 K = 15 时，自持振荡的振幅 A0 和 角频率 ω0 。 并求出使系统不产生自持振荡的最大 开环增益 K 的值。
22
Im
A
1 N ( A)
a
1
1 2
0
Re
ω
G ( jω )
23
2
死区特性对系统稳定性的影响 死区特性的负倒描述函数为
1 = N ( A)
1
2 2k a a a arcsin + k 1 π A A A
1 N ( A)
b2 b1
A
G( jω )
ω
31
如果线性部分传递函数为
K (τ s + 1) G (s) = 2 s (Ts + 1) 情况如下图所示。
1 k
(τ > T )
Im 0 b3 为稳定交点 代表自持振荡 Re 这类系统无论增益 K 取何值，都不可 避免自持振荡！
32
G ( jω )
∞
ω
G ( jω )
20 lg G ( jω )
∞
-160° °
1 N ( A) A
-120° ° -80° °
13
（3） ） dB
非线性系统
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§7-3 描述函数分析
描述函数-1/N(X)曲的交点处，沿振幅X增加方向，-1/N(X)上的 点不被G l(jω)曲线所包围，则这个交点是稳定的自激振荡点， 其线性元件的输出波形为正弦波，振荡频率为交点处G l(jω)的 ω值，现行元件输入信号一次谐波的复制为交点处-1/N(X)曲线 的X值。
振荡线性化是在非线性元件的输入端除加输入信号外，还 加一个辅助的高频振荡信号，在非线性元件的输出端接一个低 通滤波器，如图7-20所示。图中x1(t)为输入信号，x2(ωt)为附 加高频振荡，y(t)为非线性元件的输出，z(t)为低通滤波器的 输出。当输入信号x1(t)等于常数时，y(t)为频率等于ω的周期 波，其波形与x1(t)、x2(ωt)及非线性特性f(x)有关。如果低通 滤波器能滤去频率等于和高于ω的所有谐波，则低通滤波器输 出仅保留了与输入信号有关的直流分量。这样z(t)对于x1(t)而 言，可能得到近似的线性关系。
第七章 非线性系统
§7-1 概述 §7-2 描述函数法 §7-3 描述函数分析 §7-4 非线性特性的振荡线性化
§7-1 概述
一、反馈系统的非线性特性 在反馈系统中，常见的非线性特性有：
1)据有光滑曲线形式的非线性较大时，必须考 虑其非线性特性。
三、非线性系统的研究方法 1.相平面法 应用相平面图可以分析非线性系统的稳定性、过
渡过程即自振荡等问题。 2.描述函数法 描述函数法不受系统阶次的限制，但必需满足
假设条件。 3.系统仿真
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§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念 描述函数法基于下述情况：如果非线性元件输出的周期函
数信号加到另一个线性元件的输入端，当线性元件有滤除非 线性元件输出y(t)中二次及二次以上谐波的低通滤波特性时， 那么线性元件的输出为与非线性元件输入同频率的正弦函数， 如图7-4所示。 二、描述函数计算举例
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
描述函数法
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
自动控制原理 第七章 非线性系统
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A
M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
第7章 非线性系统分析
这种方法适用下述情况：(1)非线性因素对系统 影响很小，可以忽略。(2)系统工作时，其变量只发 生微小变化(即所谓小偏差线性化)，此时系统模型用 变量的增量方程式表示。
21
2．逐段线性近似法 将非线性系统近似地分为几个线性区域，每个区 域用相应的线性微分方程描述。通过给微分方程引人 恰当的初始条什，将各段的解合在一起即可得到系统 的全解。方法适用于任何阶系统的任何非线性的分段 线性化。 3.描述函数法 描述函数法和线性系统中的频率法相似，因此也 称非线性系统的频率法。适用于具有低通滤波特性的 各种阶次的非线性系统。
y y
M
0 0
M
x
2
t
Yn
x(t ) X sin t
0 3 5 7 (b)
2
(a)
图7-9 理想继电特性及输入、输出波形与输出波形
25
输出周期函数可展开成富里叶级数
1 1 y(t) (sin t sin 3t sin 5 ） 3 5 4M
y
M
a
0
K
a
x
M
图7-2 饱和非线性
10
饱和非线性是一种常见的非线性，在 铁磁元件及各种放大器中都存在，如稳压 二极管限幅特性、 磁饱和特性等。实际 放大器、许多元件的运动范围由于受到能 源、功率等条件的限制，通常具有饱和非 线性特性。有时，工程上还人为引入饱和 非线性特性以限制过载。
11
2. 不灵敏区非线性 不灵敏区又称为死区，死区非线性特性如图7-3所示， 其特性是输入信号在 x 区间时，输出信号为零。超 出此区间时，呈线性特性。这种只有在输入量超过一定值后 才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域 x 叫做不灵敏区或死区。
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§7.4非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为)sin()(t X t x ω=非线性环节Nx (t )n(t )输出n(t)将是非正弦的周期信号。
可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。
假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。
闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。
对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。
上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。
假设系统中非线性环节的输入函数为tX t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数∑∑∞=∞=++=++=1010)sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω⎰=πωωπ20)()cos()(1t d t i t n A i ⎰=πωωπ20)()sin()(1t d t i t n B i 22iii BA Y +=iii B A tg1-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。
输出部分的基波分量为)sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰=πωωπ201)()cos()(1t d t t n A ⎰=πωωπ201)()sin()(1t d t t n B 21211B A Y +=1111B A tg -=ϕ可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。
在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个复数是输入正弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节的描述函数。
用符号N(X)表示：11)(Φ=j eXY X N Y 1非线性环节输出基波分量的振幅；φ1表示其相位差；X 表示输入正弦信号的幅值。
这样一种仅取输出的基波（把非线性环节等效为一个线性环节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。
非线性环节等效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称复放大系数。
非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入信号幅值A 和频率ω的函数，表示为N(X, ω)。
如果非线性特性是单值奇函数的，则A 0=0，A 1=0。
AB X N 1)(N(X)是一个实函数。
二、典型环节的描述函数理想继电器特性的描述函数tX t x ωsin )(=⎩⎨⎧π≤ω≤π-π≤ω<+=)2t (M)t 0(M )t (y 傅氏展开)sin cos (2)(1t i B t i A A t y n i n ωω++=∑∞=斜对称、奇函数 A 0=A n =0tsin B )t (y 11ω=π=ωωπ=ωωπ=ωωπ=⎰⎰⎰πππM 4)t (td sin M 1)t (td sin )t (y 2)t (td sin )t (y 1B 00201XM X Y X N π40)(1=∠=(偶次对称性)饱和特性死区特性死区饱和特性)(])(1[sin 2)(21a X Xa X a X a kX N ≥-+=-π)(])(1sin 2[2)(21a X Xa X a X a k X N ≥---=-ππ)(])(1)(1sin [sin 2)(2211s X Xa X a X s X s X a X s kX N ≥---+-=--π非线性增益I非线性增益II)(])(1)[sin 3(2])(1)[sin (2)(21221213s X Xs X s X s k k Xa X a X a k k k X N ≥-+-+-+-+=--ππ)(])(1)[sin (2)(21212a X Xa X a X a k k k X N ≥-+-+=-π理想继电器特性死区继电器特性滞环继电器特性)0(4)(≥=X XMX N π)()(14)(2a X Xa X M X N ≥-=π)(sin 4)(1h X Xh X M X N ≥∠=-π间隙、滞环特性)()(1112121a X B A tg X B A X N ≥∠+=-])[(421XaX a kAA -=π])()21(2)21(sin 2[211Xa X a X a X a kA B --+-+=-ππ非线性环节的正弦响应y(t)ωty(t)ωty(t)ωty(t)ωt§7.5 典型非线性系统的稳定性)()(1)()()()(X N s G X N s G s R s C +=(尼奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j ω)轨迹不包围G 平面的(-1,j0)。
．负倒描述函数（描述函数负倒特性))()(1)(=+=s G X N s D 线性系统1)(=X N 0)s (G 1=+1)s (G -=)(1)(X N s G -=)(1X N -(-1,j0)?③G(j ω)与负倒描述函数相交→闭环系统出现自持振荡(极限环振荡) →？稳定？不稳定→振幅（X ）？→频率(ω)？设：系统开环的线性部分G(j ω)稳定①G(j ω)不包围负倒描述函数→闭环系统稳定②G(j ω)包围负倒描述函数→闭环系统不稳定分析法当微小扰动使振幅X增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j ω)轨迹包围，系统不稳定；振幅X继续增大；不返回到a。
当微小扰动使振幅X减小到d点，d点“(-1,j0)”未被G(j ω)轨迹包围，系统稳定；振幅X继续减小；不返回到a。
a点为不稳定自振交点。
当微小扰动使振幅X增大到e点时，e点“(-1,j0)”未被G(j ω)轨迹包围，系统稳定；振幅X减小；返回到b。
当微小扰动使振幅X减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j ω)轨迹包围，系统不稳定；振幅X增大；返回到b。
b点为稳定自振交点。
负实轴法振幅X增大侧取点作为“(-1,j0)”，连接“(-1,0j)”与原点，“负实轴”a点为不稳定自振交点b点为稳定自振交点a点:不稳定自振交点b点:稳定自振交点c点:不稳定自振交点具有饱和特性的非线性系统X ＝a 时k X N 1)(1-=-X →∞ 时-∞→-)(1X N →负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -∞)。
G 1(j ω)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交→不存在自持振荡G 2(j ω)轨迹与负倒描述函数轨迹相交→b 点:稳定自振交点(ωb ，A b ))()(1[sin 2)(121a X Xa X a X a k X N ≥-+-=--π具有死区特性的非线性系统X ＝a 时kX N 1)(1-=-X →∞ 时-∞→-)(1X N →负倒描述函数轨迹=实轴上（-∞,-1/k)。
G 1(j ω)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交→不存在自持振荡G 2(j ω)轨迹与负倒描述函数轨迹相交→b 点:不稳定自振交点)()(1sin 2[2)(121a X Xa X a X a k X N ≥----=--ππ具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为G 平面上一条曲线。
kX N 1)(1-=-X →∞ 时G 1(j ω)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交→不存在自持振荡G 2(j ω)轨迹与负倒描述函数轨迹相交→b 点:稳定自振交点ωb A b)180()(11112121B A tg B A XX N ---∠+=-具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴2）如有数个交点→必有稳定的自振交点1）如只有一个交点→必为稳定的自振交点M X X N 4)(1π-=-具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。
3）单边滞环宽度h 增加→负倒描述函数轨迹向下移动→自持振荡频率将低，振幅增大2）如有数个交点→必有稳定的自振交点1）如只有一个交点→必为稳定的自振交点)sin 180(4)(110Xh M X X N ---∠=-πh 2>h 1试求：①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出自持振荡的振幅和频率；②当K为何值时，系统处于稳定边界状态。
非线性饱和特性参数a=1 、k=2相交于稳定自振交点m )45()2(K j 45K 3)2(j 3K )2j )(1j (j K )j (G 2422422+ω+ωωω--+ω+ω-=ω-ω+ω-=+ω+ωω=ω0)j (G Im =ω2=ω66.1|4530|)j (G Re 2242=+ω+ω-=ω=ω=ωX ＝a 时5.01)(1-=-=-k X N X →∞ 时-∞→-)(1X N →负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-∞)。
)()(1[sin 2)(121a X Xa X a X a k X N ≥-+-=--π66.1|)(Re )(12==-=ωωj G X N 6.0)(=X N 3.0)(=kX N a/X=0.24X=4.38X=4.382=ω非线性饱和特性参数a=1 、k=2稳定自振交点m:临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n K=3)45()2(K j 45K 3)2(j 3K )2j )(1j (j K )j (G 2422422+ω+ωωω--+ω+ω-=ω-ω+ω-=+ω+ωω=ω0)j (G Im =ω2=ω2242|45K 3|)j (G Re =ω=ω+ω+ω-=ω5.0|)j (G Re )A (N 12-=ω=-=ω非线性系统的校正)A (N )s (G 1)A (N )s (G )s (R )s (C +=！改变G(j ω)！改变N(A)①试分析系统稳定性；②如果系统出现自持振荡，如何消除之？K ＝20，死区继电器特性M ＝3，a ＝l 。
x ＋－)3)(2(++s s s K r ce －M M-a aA ＝a=1A ∞-∞→-)A (N 1-∞→-)A (N 12a 2A ==)3613()]6(j 5[K )3j )(2j (j K )j (G 242+ω+ωωω--ω-=+ω+ωω=ωG(j ω)轨迹与负实轴交点频率值0)3613()]6(K )j (G Im 242=+ω+ωωω--=ω6=ω524.0667.032|)3613()5(K |)j (G Re 6246-<-=-=+ω+ωωω-=ω=ω=ωG(j ω)轨迹与负倒描述函数有两个交点：a ——不稳定自振交点b ——稳定自振交点22)A1(112A )A a (1M 4A )A (N 1-π-=-π-=-524.06M 2a |)A (N 1max -=π-=π-=-32)A 1(112A )A (N 12-=-π-=-a —不稳定自振交点b ——稳定自振交点A 1＝1.11A 2＝2.36=ω6=ωmax 6|)A (N 1|)j (G Re ->ω=ω如要求稳定1）改变G(j ω)——调整K6|)3613()5(K |)j (G Re 6246π->+ω+ωωω-=ω=ω=ω72.15K <max 6|)A (N 1|)j (G Re ->ω=ωx ＋－)3)(2(++s s s K r ce －M M -a a2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a 或输出幅值M a2A =M 2a |)A (N 1max π-=-M2a 32|)j (G Re 6π->-=ω=ω36.2aM <取a=1、M=2785.04|)A (N 1max -=π-=-。