第七章 系统函数
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《信号与系统》考研试题解答第七章 系统函数
第七章 系统函数一、单项选择题X7.1（浙江大学2004考研题）一个因果、稳定的离散时间系统函数)(z H 的极点必定在z 平面的 。
（A ）单位圆以外 （B ）实轴上 （C ）左半平面 （D ）单位圆以内 H (s )只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h (t )应是 。
（A ）指数增长信号 （B ）指数衰减振荡信号 （C ）常数 （D ）等幅振荡信号 X7.3（浙江大学2003考研题）如果一离散时间系统的系统函数)(z H 只有一个在单位圆上实数为1的极点，则它的h (k )应是 。
（A ）ε(k ) （B ）)(k ε- （C ）)()1(k kε- （D ）1X7.4（浙江大学2002考研题）已知一连续系统的零、极点分布如图X7.4所示，1)(=∞H ，则系统函数H (s )为 。
（A ）2+s （B ）1+s （C ）)2)(1(++s s （D ）1-s X7.5（西安电子科技大学2004考研题）图X7.5所示信号流图的系统函数H (s )为 。
（A ）26132+++s s s （B ）2132++s s （C ）26132--+s s s （D ）1212-+s s X7.6（哈尔滨工业大学2002考研题）下列几个因果系统函数中，稳定（包括临界稳定）的系统函数有 个。
（1）4312+--s s s （2）s s s 312++ （3）34234+++s s s （4）33223++++s s s s （5）1224++s s s （6）2421ss + （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4X7.7（哈尔滨工业大学2002考研题）下面的几种描述中，正确的为 。
（A ）系统函数能提供求解零输入响应所需的全部信息；（B ）系统函数的零点位置影响时域波形的衰减或增长； （C ）若零极点离虚轴很远，则它们对频率响应的影响非常小； （D ）原点的二阶极点对应)(2t t ε形式的滤形。
第七章系统函数
H ( s ) bm ( s − z1 )( s − z2 ) ⋅⋅⋅ ( s − zm ) H ( s) = = = H0 D( s ) an ( s − p1 )( s − p2 ) ⋅⋅⋅ ( s − pn )
∏ ∏
i =1 j =1 n
m
(s − z j ) ( s − pi )
(7―2)
把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 叫做系统函数的零、 极点图。 其中零点用“ 叫做系统函数的零 、 极点图 。 其中零点用 “ o” 表示 。 表示。 极 点 用 “ ×” 表 示 。 若 为 n 重 极 点 或 零 点 , 则 注 以 （ n） 。 例如某系统的系统函数为
H ( s) = H 0
∏ ∏
i =1 m j =1 n
m
(s − z j ) (s − p j ) ( jω − z j ) ( jω − p j )
H ( jω ) = H 0
∏ ∏
i =1 j =1 n
(7―8)
图7.3中画出了由零点zj和极点pi与虚轴上某点jω连接 中画出了由零点z 和极点p 与虚轴上某点jω jω连接 构成的零点矢量jω 和极点矢量jω 构成的零点矢量jω-zj和极点矢量jω-pi。图中Ｎj、Mi分别 jωjω图中Ｎ 表示矢量的模,θ 表示矢量的模,θj、φi分别表示矢量的相角,即 分别表示矢量的相角,
当正弦激励信号的频率ω 改变时, 当正弦激励信号的频率 ω 改变时 , 稳态响应的幅度和相 位将分别随着H jω） 位将分别随着 H （ jω ） 和 φ （ ω ） 变化 ,H （ jω ） 反映了 变化,H jω） ,H（ 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况, 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况 , 故又称系统 的频响特性。 的频响特性。 若 H （ s ） 的极点均位于 s 左半平面 , 令 s=jω, 也就是在 s 的极点均位于s 左半平面, s=jω,也就是在 也就是在s 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω), 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 频响特性。根据Ｈ 频响特性。根据Ｈ（s）在s平面的零、极点分布情况可以绘 平面的零、 制出频响特性曲线,包括幅频特性|H(jω)| 制出频响特性曲线 , 包括幅频特性 |H(jω)| 曲线和相频特性 |H(jω)|曲线和相频特性 φ(ω)曲线 下面介绍这种方法。 φ(ω)曲线,下面介绍这种方法。 曲线, 由式（ 由式（7―2）,系统函数Ｈ（s）的表示式为 系统函数Ｈ
∏ ∏
i =1 j =1 n
m
(s − z j ) ( s − pi )
(7―2)
把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 叫做系统函数的零、 极点图。 其中零点用“ 叫做系统函数的零 、 极点图 。 其中零点用 “ o” 表示 。 表示。 极 点 用 “ ×” 表 示 。 若 为 n 重 极 点 或 零 点 , 则 注 以 （ n） 。 例如某系统的系统函数为
H ( s) = H 0
∏ ∏
i =1 m j =1 n
m
(s − z j ) (s − p j ) ( jω − z j ) ( jω − p j )
H ( jω ) = H 0
∏ ∏
i =1 j =1 n
(7―8)
图7.3中画出了由零点zj和极点pi与虚轴上某点jω连接 中画出了由零点z 和极点p 与虚轴上某点jω jω连接 构成的零点矢量jω 和极点矢量jω 构成的零点矢量jω-zj和极点矢量jω-pi。图中Ｎj、Mi分别 jωjω图中Ｎ 表示矢量的模,θ 表示矢量的模,θj、φi分别表示矢量的相角,即 分别表示矢量的相角,
当正弦激励信号的频率ω 改变时, 当正弦激励信号的频率 ω 改变时 , 稳态响应的幅度和相 位将分别随着H jω） 位将分别随着 H （ jω ） 和 φ （ ω ） 变化 ,H （ jω ） 反映了 变化,H jω） ,H（ 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况, 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况 , 故又称系统 的频响特性。 的频响特性。 若 H （ s ） 的极点均位于 s 左半平面 , 令 s=jω, 也就是在 s 的极点均位于s 左半平面, s=jω,也就是在 也就是在s 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω), 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 频响特性。根据Ｈ 频响特性。根据Ｈ（s）在s平面的零、极点分布情况可以绘 平面的零、 制出频响特性曲线,包括幅频特性|H(jω)| 制出频响特性曲线 , 包括幅频特性 |H(jω)| 曲线和相频特性 |H(jω)|曲线和相频特性 φ(ω)曲线 下面介绍这种方法。 φ(ω)曲线,下面介绍这种方法。 曲线, 由式（ 由式（7―2）,系统函数Ｈ（s）的表示式为 系统函数Ｈ
信号与系统第七章 系统函数
=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
信号与系统 系统函数完美版PPT
m
j
j1
H(s) H(z) 当t -> ∞ 时，对应的响应函数趋近于零。 n
n
A(s) A(z) 4) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点,
(s p ) (z p ) 全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常数，i 则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。 i
极点pi 和零点ζj 的值可能是实数或复数。若A(·)和 B(·)的系数
都是实数，则零、极点若为复数，必共轭成对。
二、系统函数与时域响应
系统的冲激响应或单位序列响应的函数形式由A(·)的根确定， 即由H(·)的极点确定；而自由响应的形式也由H(·)极点确定。
t
jω
t
t σ
t
t
t
H(s)的极点与所对应的响应函数
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
H| jω | Φ(ω)
一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函
数称为全通函数。
()121222arc2 t2a 2n 2)ω(
最小相移函数:
如有一系统函数Ha(s),
有两个极点-s1和-s1*, 两个零点-s2和-s2*, 都在左半开平面：
H 系统a函(s数)Ha(s)(可(ss以写为ss：12))((ssjωss1*2*))
Hi(1j)bmB1B2Bm
A1A2An
幅频响应
() (1 2 m ) (1 2 n )相频响应
全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常
数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。
如有二阶系统，
其系统函数在左半平面有一对共轭极点：p1,2 =－α±jβ，
第七章 系统函数
5s 5 5s 2 5s 3 5s 2 5s 3 例：H ( s) 3 2 1 2 s 7 s 10s 1 7 s 10s 1 [7 s 1 10s 2 ]
p ,q ,r
L
L
p ,q ,r
m
Ln 为所有两两不接触回路的增益乘积之和；
m,n
p
Lq Lr 为所有三个都互不接触回路的增益乘积之和；· · ·· ··
i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益； Δi 称为第i条前向通路特征行列式的余因子 。它是除去 与i条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。
(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积
3. 信号流图的基本性质
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 x1 x5 的输出支路。 d 如：x4= a x1+b x2+c x3 x 5= d x 4 x 6= e x 4
例: 求下列信号流图的系统函数
解: (1)首先找出所有回路，3个： 1 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)两两互不接触回路，2个 L1L3=H3GH1H4H5 (3)三个互不接触回路，无
H4 H1 H2 H3 G H5 2 1
(4)求特征行列式 Δ=1 – (H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5) + H3G H1H4H5
k
| h(k ) | ≤M
对于因果系统 若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳 定系统。
p ,q ,r
L
L
p ,q ,r
m
Ln 为所有两两不接触回路的增益乘积之和；
m,n
p
Lq Lr 为所有三个都互不接触回路的增益乘积之和；· · ·· ··
i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益； Δi 称为第i条前向通路特征行列式的余因子 。它是除去 与i条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。
(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积
3. 信号流图的基本性质
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 x1 x5 的输出支路。 d 如：x4= a x1+b x2+c x3 x 5= d x 4 x 6= e x 4
例: 求下列信号流图的系统函数
解: (1)首先找出所有回路，3个： 1 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)两两互不接触回路，2个 L1L3=H3GH1H4H5 (3)三个互不接触回路，无
H4 H1 H2 H3 G H5 2 1
(4)求特征行列式 Δ=1 – (H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5) + H3G H1H4H5
k
| h(k ) | ≤M
对于因果系统 若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳 定系统。
第七章 系统函数
若系统函数H(z)的极点全部在单位圆内， 即H(z)的收 敛域包含 单位圆，则
H ( e j ) H ( z ) z e j bm (e j zi )
i 1 m
(e p )
j i i 1
n
j j ( e z ) 和 ( e pi ) 为复数，故令 由于是 i
是当h(t)不满足绝对可积条件时，则至少有某个有界输 入f(t)产生无界输出yf(t)。 为此，设f (t)有界，则 f(-t)也有界，并且表示为
1 f ( t ) sgn[h(t )] 0 1
于是有
h(t)＞0 h(t)=0 h(t)＜0
h(t ) f (t ) h(t )
1 2
j j j 令 Be jw , A1e jw p1, A2e jw p2 ,
则H(jω)又可表示为
Be j B j ( 1 2 ) j (w ) H ( jw ) e | H ( j w ) | e A1e j1 A2e j 2 A1 A2
二、 H(s)与系统的频率特性 若系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面， 即H(s) 的收敛域包含 jω 轴，则
H ( jw ) H ( s ) s jw
bm ( jw si )
i 1 m
H ( jw ) H ( s ) s jw
( jw p )
i 1 i
第七章 系统函数
B() H () A()
连续系统
B( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n A( s) s an1s n1 a1s a0
离散系统
B( z) bm z m bm1 z m1 b1 z b0 H ( z) n A( z) z an1 z n1 a1 z a0
H ( e j ) H ( z ) z e j bm (e j zi )
i 1 m
(e p )
j i i 1
n
j j ( e z ) 和 ( e pi ) 为复数，故令 由于是 i
是当h(t)不满足绝对可积条件时，则至少有某个有界输 入f(t)产生无界输出yf(t)。 为此，设f (t)有界，则 f(-t)也有界，并且表示为
1 f ( t ) sgn[h(t )] 0 1
于是有
h(t)＞0 h(t)=0 h(t)＜0
h(t ) f (t ) h(t )
1 2
j j j 令 Be jw , A1e jw p1, A2e jw p2 ,
则H(jω)又可表示为
Be j B j ( 1 2 ) j (w ) H ( jw ) e | H ( j w ) | e A1e j1 A2e j 2 A1 A2
二、 H(s)与系统的频率特性 若系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面， 即H(s) 的收敛域包含 jω 轴，则
H ( jw ) H ( s ) s jw
bm ( jw si )
i 1 m
H ( jw ) H ( s ) s jw
( jw p )
i 1 i
第七章 系统函数
B() H () A()
连续系统
B( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n A( s) s an1s n1 a1s a0
离散系统
B( z) bm z m bm1 z m1 b1 z b0 H ( z) n A( z) z an1 z n1 a1 z a0
数据结构函数
函数中可有多个return语句 若无return语句，遇}时，自动返回调用函数 若函数类型与return语句中表达式值的类型不一致，按前者 为准，自动转换------函数调用转换 void型函数
第七章 函数
6.4 函数的调用
调用形式
函数名(实参表); 说明：
实参与形参个数相等，类型一致，按顺序一一对应 实参表求值顺序，因系统而定（Turbo C 自右向左）
7.2 函数的定义
一般格式
函数返回值类型 缺省int型 无返回值void
合法标识符
现代风格:
函数类型 函数名（形参类型说明表） { 说明部分 语句部分 } 例例 有参函数（现代风格） 有参函数（现代风格） 例 无参函数 例 空函数 int int max(int x, y) max(int x,int y) printstar( ) dummy( ) { {int int z; z; { printf(“********** \n”); } { } z=x>y?x:y; z=x>y?x:y; 或 return(z); return(z); printstar(void ) 函数体为空 } } { printf(“**********\n”); }
函数体
第七章 函数
函数传统风格和例子
传统风格:
函数类型 函数名（形参表） 形参类型说明 { 说明部分 语句部分 }
例 有参函数（传统风格） int max(x,y) int x,y; { int z; z=x>y?x:y; return(z); }
第七章 函数
7.3 函数的返回值
例 无返回值函数 void swap(int x,int y ) 返回语句 { int temp; 形式： return(表达式)； temp=x; 或 return 表达式; x=y; y=temp; 或 return; } 功能：使程序控制从被调用函数返回到调用函数中， 同时把返值带给调用函数 说明：
第七章 函数
6.4 函数的调用
调用形式
函数名(实参表); 说明：
实参与形参个数相等，类型一致，按顺序一一对应 实参表求值顺序，因系统而定（Turbo C 自右向左）
7.2 函数的定义
一般格式
函数返回值类型 缺省int型 无返回值void
合法标识符
现代风格:
函数类型 函数名（形参类型说明表） { 说明部分 语句部分 } 例例 有参函数（现代风格） 有参函数（现代风格） 例 无参函数 例 空函数 int int max(int x, y) max(int x,int y) printstar( ) dummy( ) { {int int z; z; { printf(“********** \n”); } { } z=x>y?x:y; z=x>y?x:y; 或 return(z); return(z); printstar(void ) 函数体为空 } } { printf(“**********\n”); }
函数体
第七章 函数
函数传统风格和例子
传统风格:
函数类型 函数名（形参表） 形参类型说明 { 说明部分 语句部分 }
例 有参函数（传统风格） int max(x,y) int x,y; { int z; z=x>y?x:y; return(z); }
第七章 函数
7.3 函数的返回值
例 无返回值函数 void swap(int x,int y ) 返回语句 { int temp; 形式： return(表达式)； temp=x; 或 return 表达式; x=y; y=temp; 或 return; } 功能：使程序控制从被调用函数返回到调用函数中， 同时把返值带给调用函数 说明：
第七章系统函数
其对应的强迫响应是
rss2 (t) = 0.3536 ×8 cos(2t +15° + 45°) = 2.8284 cos(2t + 60°)
系统的强迫响应为
rss (t) = −2 + 2.8284 cos(2t + 60°)
例
4
r′(t) + a r(t) = be(t) e(t) = cos2t (−∞ < t < ∞) 某连续系统的微分方程为 r(t) = 2cos(2t − 45°)
K 为强迫响应，由激励函数的极点决定。 Rp (s) = s +α
1 Rzs (s) = H(s) = Rh (s) + Rp (s) s +α
H(s)、E(s)极点与自由响应、强迫响应
结论
自由响应时间函数的形式仅由H(s)极点决定，即 由系统的固有频率决定。而各系数Ki 则与H(s)和 E(s)都有关系。 强迫响应时间函数的形式仅由E(s)极点决定，而 各系数Ki则与H(s)和E(s)都有关系。 系统函数H(s)只能用于研究零状态响应，包含了 系统为零状态响应提供的全部信息。但是，它不 包含零输入响应的全部信息，这是因为当H(s)的 零、极点相消时，某些固有频率要丢失。
s 解： U1(s) = 2 s +4
U2 (s) = H(s)U1(s) =
+ u1(t) −
R
u2 (t)
−
s × 2 s + 4 s2 + s + 1 R C LC
s2 +
1 LC
将激励信号的极点抵消
则不会出现强迫响应分量
可见，欲使u2(t)中不出现强迫响应分量，则必须有 故得: LC=1/4
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输出对输入序列的相移
• H ejω 即h(n)的DTFT • ejω 为周期函数，所以 H ejω 为周期函数，其周期为 2π 。
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入xn ejn
为本征函数
xn hn yn
hn为稳定的因果系统
yn hn xn
h m ejωnm e j n h m ejω m
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处 RC
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
R1 C1
v3t
C2 kv3 R2
v2 t nO Nhomakorabean
θ2
ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω H ejω ~ ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω ~ ω ：相频特性
limh(t) →∞
t→∞
2.离散系统:
Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=
1 3
k
(k)
→0
单位圆上:p=1,h(k)=1k (k),有限值.
单位圆外:p=2,h(k)= 2 k (k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
极点位置与h(n)形状的关系
j Im z
1
O
1
Re z
利用z～s平面的映射关系
§7.1系统函数与系统特性
一.系统函数的极点和零点.
1.连续系统:
bmsm bm1sm1 ... b1s b0
H(S)=B(S)/A(S)= sn an1sn1 ... a1s a0
极点:A(S)=0的根，p1,p2,…,pn. H(pi) →∞ 零点:B(S)=0的根, 1, 2,…, m. H(i)=0
极点：p1
1 R1C1
，
90 45 O
45
p2
1 R2C 2
90
零点：z1 0
1
ω
R1C1
m
2.离散系统:bm
e jT j
H(e jT)=
j 1
n e jT pi
i 1
= bm B1B2...Bme j12 ...m
A1A2...Ane j
幅频响应: ︱H(e j
1 2 ...n
2.离散系统: ①时域充要条件:
绝对可和: h(k ) ＜M←→稳定系统 k
②z域充要条件: H(Z)的极点在单位圆内←→稳定系统 H(Z)的极点在单位圆上(一阶) ←→临界系统 H(Z)的极点在单位圆上(二阶) H(Z)的极点在单位圆外←→不稳定系统
三.连续系统的稳定性准则—— 罗斯—霍尔维兹准则.
波网络的频响特性。
解:
H
jω
V2 V1
jω jω
v1t
R
C v2t
写出网络转移函数表达式
H s
V2 s V1 s
1 RC
s
1 1
RC
1 RC
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
M1
θ1
1 RC
jω
O
σ
频响特性
V2
jω
1 V1
M1
1
2
θ1
1 RC
O
σ
O1 RC
ω
H
jω
1 RC
例: u1(s) + -
R 1/sc
u2(s)
1 sc H(S)=u2(s)/ u1(s) = R 1 sc
11 = Rc s 1 Rc
极点:p=-1/Rc,左半开平面.
11
H(j)= Rc j 1 Rc
1 定量: ︱ H(j) ︱= Rc
()=0-arctg 1 Rc
1
2 1 Rc2
定性: 从0~∞变化.︱H(j) ︱= 1 1
•当ejω 点旋转到某个极点 pi 附近时，如果矢量的长度
Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。 • 若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响应在峰
值附近愈尖锐； • 若极点pi落在单位圆上，B＝ i 0，则频率响应的峰值
趋于无穷大。 • 零点的作用与极点相反。
§7.2 系统的稳定性
H(S)=B(S)/A(S)
m
=bmssp1
1s 21 ...s
s p2 ...s pn
m
=
bm s j
j 1 n
s pi
i 1
极点类型: 一阶:实数,虚数,复数.
多阶:实数,虚数,复数.
2.离散系统: H(Z)=B(Z)/A(Z)
m
bm z j j 1
=n
z pi
系统
yf(t)有界
1.连续系统:
定义:若︱f(t)︱＜Mf,则︱ yf(t) ︱＜Mf ←→稳定系统
①时域充要条件:
绝对可积 h(t) dt ＜M←→稳定系统
只能保证衰减函 数可积
t
h(t)
t
因果稳定系统: h(t) dt＜M←→稳定系统
②s域充要条件: 0 H(S)的极点在左半开平面←→稳定系统 H(S)的极点在虚轴上(一阶) ←→临界系统 H(S)的极点在虚轴上(二阶以上) H(S)的极点在右半开平面 ←→不稳定系统
yf(t)=h(t)*f(t)= h f t d
t
t＞0, yf(t) 存在
= h f t d =
0
t＜0 ,yf(t)=0
理想 ︱H(j) ︱
h(t)
- c 0 - c
0
②s域充要条件: H(S)的收敛域Re[s] ＞0 ←→因果性
j
0
其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(S) 的极点都在收敛轴Re[s] =0 的左边.
O ωc
ωs 2
H ejω
O
ωs 2
H ejω
ωs
ω
ωs
ω
高通 带阻
O
ωs 2
H ejω
O
ωs 2
H ejω
ωs
ω
ωs
ω
全通
O
ωs 2
ωs
ω
二．频响特性的几何确定法
M
Hz
z
r 1
N
z
zr pk
k 1
H ej
M
r 1
ejω
zr
N
k 1
ejω
pk
H ejω
ej ω
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点时 左半平面
ut 1
s 衰减
θ0 z 1
单位圆内
un z
z1 减幅
右半平面 增幅
单位圆外 增幅
三、极点零点与频域响应的关系:
定义
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态 响 应随频率的变化情况。
前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
()=0-
Rc A
j
A
j
-1/Rc 0
︱H(j) ︱ 1
0
()
0
-/2
例: 全通函数. ︱H(j) ︱=常数 设二阶系统H(S).左半开平面,有一对极点,
p1,2=-±j, 右半开平面,有一对零点, 1,2=-±j
H(S)= s 1 s 21
s p1 s p2
H(j)=
j j
时域： lim ht 0 t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
1.H(s)和频响特性的关系
设系统函数为Hs，激励源et Em sinω0t
系统的稳态响应
rmmt EmH0 sinω0t 0
其中H s
s 频响特性
jω0
H jω0
H0
2.离散系统:
定义:若f(k)=0,k＜0,则yf(k)=0,k＜0 ①时域充要条件:h(k)=0, k＜0 ←→因果系统
②z域充要条件:H(Z)的收敛域︱Z︱ ＞0
Z平面
←→因果系统
0
其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(Z)的 极点都在收敛圆︱Z︱ =0的内部.
二.系统的稳定性(可用性)
f(t)有界
H(S)=B(S)/A(S),
A(S)= ansn an1sn1 an2sn2 a1s a0
H(S)的极点就是A(S)=0的根，因此为判断系 统是否稳定,即H(S)的极点是否都在左半开平 面,只需判断A(S)=0的根,即特征根是否都在 左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置. 所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗 斯—霍尔维兹多项式.
e j 0
H s
H jω H jω ej ω
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
2．几种常见的滤波器
H j 低通滤波器
Hj
高通滤波器
通带
阻带
O
c
截止频率
O
c
Hj 带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c2
O
c1
c2
3.极点零点与频率响应:
• H ejω 即h(n)的DTFT • ejω 为周期函数，所以 H ejω 为周期函数，其周期为 2π 。
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入xn ejn
为本征函数
xn hn yn
hn为稳定的因果系统
yn hn xn
h m ejωnm e j n h m ejω m
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处 RC
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
R1 C1
v3t
C2 kv3 R2
v2 t nO Nhomakorabean
θ2
ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω H ejω ~ ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω ~ ω ：相频特性
limh(t) →∞
t→∞
2.离散系统:
Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=
1 3
k
(k)
→0
单位圆上:p=1,h(k)=1k (k),有限值.
单位圆外:p=2,h(k)= 2 k (k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
极点位置与h(n)形状的关系
j Im z
1
O
1
Re z
利用z～s平面的映射关系
§7.1系统函数与系统特性
一.系统函数的极点和零点.
1.连续系统:
bmsm bm1sm1 ... b1s b0
H(S)=B(S)/A(S)= sn an1sn1 ... a1s a0
极点:A(S)=0的根，p1,p2,…,pn. H(pi) →∞ 零点:B(S)=0的根, 1, 2,…, m. H(i)=0
极点：p1
1 R1C1
，
90 45 O
45
p2
1 R2C 2
90
零点：z1 0
1
ω
R1C1
m
2.离散系统:bm
e jT j
H(e jT)=
j 1
n e jT pi
i 1
= bm B1B2...Bme j12 ...m
A1A2...Ane j
幅频响应: ︱H(e j
1 2 ...n
2.离散系统: ①时域充要条件:
绝对可和: h(k ) ＜M←→稳定系统 k
②z域充要条件: H(Z)的极点在单位圆内←→稳定系统 H(Z)的极点在单位圆上(一阶) ←→临界系统 H(Z)的极点在单位圆上(二阶) H(Z)的极点在单位圆外←→不稳定系统
三.连续系统的稳定性准则—— 罗斯—霍尔维兹准则.
波网络的频响特性。
解:
H
jω
V2 V1
jω jω
v1t
R
C v2t
写出网络转移函数表达式
H s
V2 s V1 s
1 RC
s
1 1
RC
1 RC
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
M1
θ1
1 RC
jω
O
σ
频响特性
V2
jω
1 V1
M1
1
2
θ1
1 RC
O
σ
O1 RC
ω
H
jω
1 RC
例: u1(s) + -
R 1/sc
u2(s)
1 sc H(S)=u2(s)/ u1(s) = R 1 sc
11 = Rc s 1 Rc
极点:p=-1/Rc,左半开平面.
11
H(j)= Rc j 1 Rc
1 定量: ︱ H(j) ︱= Rc
()=0-arctg 1 Rc
1
2 1 Rc2
定性: 从0~∞变化.︱H(j) ︱= 1 1
•当ejω 点旋转到某个极点 pi 附近时，如果矢量的长度
Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。 • 若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响应在峰
值附近愈尖锐； • 若极点pi落在单位圆上，B＝ i 0，则频率响应的峰值
趋于无穷大。 • 零点的作用与极点相反。
§7.2 系统的稳定性
H(S)=B(S)/A(S)
m
=bmssp1
1s 21 ...s
s p2 ...s pn
m
=
bm s j
j 1 n
s pi
i 1
极点类型: 一阶:实数,虚数,复数.
多阶:实数,虚数,复数.
2.离散系统: H(Z)=B(Z)/A(Z)
m
bm z j j 1
=n
z pi
系统
yf(t)有界
1.连续系统:
定义:若︱f(t)︱＜Mf,则︱ yf(t) ︱＜Mf ←→稳定系统
①时域充要条件:
绝对可积 h(t) dt ＜M←→稳定系统
只能保证衰减函 数可积
t
h(t)
t
因果稳定系统: h(t) dt＜M←→稳定系统
②s域充要条件: 0 H(S)的极点在左半开平面←→稳定系统 H(S)的极点在虚轴上(一阶) ←→临界系统 H(S)的极点在虚轴上(二阶以上) H(S)的极点在右半开平面 ←→不稳定系统
yf(t)=h(t)*f(t)= h f t d
t
t＞0, yf(t) 存在
= h f t d =
0
t＜0 ,yf(t)=0
理想 ︱H(j) ︱
h(t)
- c 0 - c
0
②s域充要条件: H(S)的收敛域Re[s] ＞0 ←→因果性
j
0
其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(S) 的极点都在收敛轴Re[s] =0 的左边.
O ωc
ωs 2
H ejω
O
ωs 2
H ejω
ωs
ω
ωs
ω
高通 带阻
O
ωs 2
H ejω
O
ωs 2
H ejω
ωs
ω
ωs
ω
全通
O
ωs 2
ωs
ω
二．频响特性的几何确定法
M
Hz
z
r 1
N
z
zr pk
k 1
H ej
M
r 1
ejω
zr
N
k 1
ejω
pk
H ejω
ej ω
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(n)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点时 左半平面
ut 1
s 衰减
θ0 z 1
单位圆内
un z
z1 减幅
右半平面 增幅
单位圆外 增幅
三、极点零点与频域响应的关系:
定义
所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态 响 应随频率的变化情况。
前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。
()=0-
Rc A
j
A
j
-1/Rc 0
︱H(j) ︱ 1
0
()
0
-/2
例: 全通函数. ︱H(j) ︱=常数 设二阶系统H(S).左半开平面,有一对极点,
p1,2=-±j, 右半开平面,有一对零点, 1,2=-±j
H(S)= s 1 s 21
s p1 s p2
H(j)=
j j
时域： lim ht 0 t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴：
拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
1.H(s)和频响特性的关系
设系统函数为Hs，激励源et Em sinω0t
系统的稳态响应
rmmt EmH0 sinω0t 0
其中H s
s 频响特性
jω0
H jω0
H0
2.离散系统:
定义:若f(k)=0,k＜0,则yf(k)=0,k＜0 ①时域充要条件:h(k)=0, k＜0 ←→因果系统
②z域充要条件:H(Z)的收敛域︱Z︱ ＞0
Z平面
←→因果系统
0
其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(Z)的 极点都在收敛圆︱Z︱ =0的内部.
二.系统的稳定性(可用性)
f(t)有界
H(S)=B(S)/A(S),
A(S)= ansn an1sn1 an2sn2 a1s a0
H(S)的极点就是A(S)=0的根，因此为判断系 统是否稳定,即H(S)的极点是否都在左半开平 面,只需判断A(S)=0的根,即特征根是否都在 左半开平面,并不须知道各特征根的确切位置. 所有的根均在左半开平面的得多项式称为罗 斯—霍尔维兹多项式.
e j 0
H s
H jω H jω ej ω
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
2．几种常见的滤波器
H j 低通滤波器
Hj
高通滤波器
通带
阻带
O
c
截止频率
O
c
Hj 带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c2
O
c1
c2
3.极点零点与频率响应: