第七章 系统函数
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第七章系统函数
H ( s ) bm ( s − z1 )( s − z2 ) ⋅⋅⋅ ( s − zm ) H ( s) = = = H0 D( s ) an ( s − p1 )( s − p2 ) ⋅⋅⋅ ( s − pn )
∏ ∏
i =1 j =1 n
m
(s − z j ) ( s − pi )
(7―2)
把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 叫做系统函数的零、 极点图。 其中零点用“ 叫做系统函数的零 、 极点图 。 其中零点用 “ o” 表示 。 表示。 极 点 用 “ ×” 表 示 。 若 为 n 重 极 点 或 零 点 , 则 注 以 （ n） 。 例如某系统的系统函数为
H ( s) = H 0
∏ ∏
i =1 m j =1 n
m
(s − z j ) (s − p j ) ( jω − z j ) ( jω − p j )
H ( jω ) = H 0
∏ ∏
i =1 j =1 n
(7―8)
图7.3中画出了由零点zj和极点pi与虚轴上某点jω连接 中画出了由零点z 和极点p 与虚轴上某点jω jω连接 构成的零点矢量jω 和极点矢量jω 构成的零点矢量jω-zj和极点矢量jω-pi。图中Ｎj、Mi分别 jωjω图中Ｎ 表示矢量的模,θ 表示矢量的模,θj、φi分别表示矢量的相角,即 分别表示矢量的相角,
当正弦激励信号的频率ω 改变时, 当正弦激励信号的频率 ω 改变时 , 稳态响应的幅度和相 位将分别随着H jω） 位将分别随着 H （ jω ） 和 φ （ ω ） 变化 ,H （ jω ） 反映了 变化,H jω） ,H（ 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况, 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况 , 故又称系统 的频响特性。 的频响特性。 若 H （ s ） 的极点均位于 s 左半平面 , 令 s=jω, 也就是在 s 的极点均位于s 左半平面, s=jω,也就是在 也就是在s 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω), 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 频响特性。根据Ｈ 频响特性。根据Ｈ（s）在s平面的零、极点分布情况可以绘 平面的零、 制出频响特性曲线,包括幅频特性|H(jω)| 制出频响特性曲线 , 包括幅频特性 |H(jω)| 曲线和相频特性 |H(jω)|曲线和相频特性 φ(ω)曲线 下面介绍这种方法。 φ(ω)曲线,下面介绍这种方法。 曲线, 由式（ 由式（7―2）,系统函数Ｈ（s）的表示式为 系统函数Ｈ
∏ ∏
i =1 j =1 n
m
(s − z j ) ( s − pi )
(7―2)
把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 叫做系统函数的零、 极点图。 其中零点用“ 叫做系统函数的零 、 极点图 。 其中零点用 “ o” 表示 。 表示。 极 点 用 “ ×” 表 示 。 若 为 n 重 极 点 或 零 点 , 则 注 以 （ n） 。 例如某系统的系统函数为
H ( s) = H 0
∏ ∏
i =1 m j =1 n
m
(s − z j ) (s − p j ) ( jω − z j ) ( jω − p j )
H ( jω ) = H 0
∏ ∏
i =1 j =1 n
(7―8)
图7.3中画出了由零点zj和极点pi与虚轴上某点jω连接 中画出了由零点z 和极点p 与虚轴上某点jω jω连接 构成的零点矢量jω 和极点矢量jω 构成的零点矢量jω-zj和极点矢量jω-pi。图中Ｎj、Mi分别 jωjω图中Ｎ 表示矢量的模,θ 表示矢量的模,θj、φi分别表示矢量的相角,即 分别表示矢量的相角,
当正弦激励信号的频率ω 改变时, 当正弦激励信号的频率 ω 改变时 , 稳态响应的幅度和相 位将分别随着H jω） 位将分别随着 H （ jω ） 和 φ （ ω ） 变化 ,H （ jω ） 反映了 变化,H jω） ,H（ 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况, 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况 , 故又称系统 的频响特性。 的频响特性。 若 H （ s ） 的极点均位于 s 左半平面 , 令 s=jω, 也就是在 s 的极点均位于s 左半平面, s=jω,也就是在 也就是在s 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω), 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 频响特性。根据Ｈ 频响特性。根据Ｈ（s）在s平面的零、极点分布情况可以绘 平面的零、 制出频响特性曲线,包括幅频特性|H(jω)| 制出频响特性曲线 , 包括幅频特性 |H(jω)| 曲线和相频特性 |H(jω)|曲线和相频特性 φ(ω)曲线 下面介绍这种方法。 φ(ω)曲线,下面介绍这种方法。 曲线, 由式（ 由式（7―2）,系统函数Ｈ（s）的表示式为 系统函数Ｈ
信号与系统第七章 系统函数
=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
第七章 系统函数
若系统函数H(z)的极点全部在单位圆内， 即H(z)的收 敛域包含 单位圆，则
H ( e j ) H ( z ) z e j bm (e j zi )
i 1 m
(e p )
j i i 1
n
j j ( e z ) 和 ( e pi ) 为复数，故令 由于是 i
是当h(t)不满足绝对可积条件时，则至少有某个有界输 入f(t)产生无界输出yf(t)。 为此，设f (t)有界，则 f(-t)也有界，并且表示为
1 f ( t ) sgn[h(t )] 0 1
于是有
h(t)＞0 h(t)=0 h(t)＜0
h(t ) f (t ) h(t )
1 2
j j j 令 Be jw , A1e jw p1, A2e jw p2 ,
则H(jω)又可表示为
Be j B j ( 1 2 ) j (w ) H ( jw ) e | H ( j w ) | e A1e j1 A2e j 2 A1 A2
二、 H(s)与系统的频率特性 若系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面， 即H(s) 的收敛域包含 jω 轴，则
H ( jw ) H ( s ) s jw
bm ( jw si )
i 1 m
H ( jw ) H ( s ) s jw
( jw p )
i 1 i
第七章 系统函数
B() H () A()
连续系统
B( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n A( s) s an1s n1 a1s a0
离散系统
B( z) bm z m bm1 z m1 b1 z b0 H ( z) n A( z) z an1 z n1 a1 z a0
H ( e j ) H ( z ) z e j bm (e j zi )
i 1 m
(e p )
j i i 1
n
j j ( e z ) 和 ( e pi ) 为复数，故令 由于是 i
是当h(t)不满足绝对可积条件时，则至少有某个有界输 入f(t)产生无界输出yf(t)。 为此，设f (t)有界，则 f(-t)也有界，并且表示为
1 f ( t ) sgn[h(t )] 0 1
于是有
h(t)＞0 h(t)=0 h(t)＜0
h(t ) f (t ) h(t )
1 2
j j j 令 Be jw , A1e jw p1, A2e jw p2 ,
则H(jω)又可表示为
Be j B j ( 1 2 ) j (w ) H ( jw ) e | H ( j w ) | e A1e j1 A2e j 2 A1 A2
二、 H(s)与系统的频率特性 若系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面， 即H(s) 的收敛域包含 jω 轴，则
H ( jw ) H ( s ) s jw
bm ( jw si )
i 1 m
H ( jw ) H ( s ) s jw
( jw p )
i 1 i
第七章 系统函数
B() H () A()
连续系统
B( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n A( s) s an1s n1 a1s a0
离散系统
B( z) bm z m bm1 z m1 b1 z b0 H ( z) n A( z) z an1 z n1 a1 z a0
信号与线性系统分析 (吴大正 第四版)第七章习题答案
7.3 如图7-5的RC 带通滤波电路，求其电压比函数)()()(12s U s U s H 及其零、极点。
7.7 连续系统a 和b ，其系统函数)(s H 的零点、极点分布如图7-12所示，且已知当∞→s 时，1)(=∞H 。
（1）求出系统函数)(s H 的表达式。
（2）写出幅频响应)(ωj H 的表达式。
7.10 图7-17所示电路的输入阻抗函数)()()(11s I s U s Z =的零点在-2，极点在31j ±-，且21)0(=Z ，求R 、L 、C 的值。
7.14 如图7-27所示的离散系统，已知其系统函数的零点在2，极点在-0.6，求各系数a，b。
7.18 图7-29所示连续系统的系数如下，判断该系统是否稳定。
（1）3,210==a a ； （2）3,210-=-=a a ； （3）3,210-==a a 。
7.19 图7-30所示离散系统的系数如下，判断该系统是否稳定。
（1）1,2110-==a a ； （2）1,2110==a a ；（3）1,2110=-=a a 。
7.20 图7-31所示为反馈系统，已知44)(2++=s s ss G ，K 为常数。
为使系统稳定，试确定K 值的范围。
7.26 已知某离散系统的差分方程为)1()2()1(5.1)(-=---+k f k y k y k y（1） 若该系统为因果系统，求系统的单位序列响应h(k)。
（2） 若该系统为稳定系统，求系统的单位序列响应h(k)，并计算输入)()5.0()(k k f k ε-=时的零状态响应)(k y zs 。
7.28 求图7-36所示连续系统的系统函数)(sH。
7.30 画出图7-40所示的信号流图，求出其系统函数)(sH。
解(a)由s域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(a)。
流图中有一个回路。
其增益为(b)由s 域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(b)。
流图中有一个回路。
数据结构函数
函数中可有多个return语句 若无return语句，遇}时，自动返回调用函数 若函数类型与return语句中表达式值的类型不一致，按前者 为准，自动转换------函数调用转换 void型函数
第七章 函数
6.4 函数的调用
调用形式
函数名(实参表); 说明：
实参与形参个数相等，类型一致，按顺序一一对应 实参表求值顺序，因系统而定（Turbo C 自右向左）
7.2 函数的定义
一般格式
函数返回值类型 缺省int型 无返回值void
合法标识符
现代风格:
函数类型 函数名（形参类型说明表） { 说明部分 语句部分 } 例例 有参函数（现代风格） 有参函数（现代风格） 例 无参函数 例 空函数 int int max(int x, y) max(int x,int y) printstar( ) dummy( ) { {int int z; z; { printf(“********** \n”); } { } z=x>y?x:y; z=x>y?x:y; 或 return(z); return(z); printstar(void ) 函数体为空 } } { printf(“**********\n”); }
函数体
第七章 函数
函数传统风格和例子
传统风格:
函数类型 函数名（形参表） 形参类型说明 { 说明部分 语句部分 }
例 有参函数（传统风格） int max(x,y) int x,y; { int z; z=x>y?x:y; return(z); }
第七章 函数
7.3 函数的返回值
例 无返回值函数 void swap(int x,int y ) 返回语句 { int temp; 形式： return(表达式)； temp=x; 或 return 表达式; x=y; y=temp; 或 return; } 功能：使程序控制从被调用函数返回到调用函数中， 同时把返值带给调用函数 说明：
第七章 函数
6.4 函数的调用
调用形式
函数名(实参表); 说明：
实参与形参个数相等，类型一致，按顺序一一对应 实参表求值顺序，因系统而定（Turbo C 自右向左）
7.2 函数的定义
一般格式
函数返回值类型 缺省int型 无返回值void
合法标识符
现代风格:
函数类型 函数名（形参类型说明表） { 说明部分 语句部分 } 例例 有参函数（现代风格） 有参函数（现代风格） 例 无参函数 例 空函数 int int max(int x, y) max(int x,int y) printstar( ) dummy( ) { {int int z; z; { printf(“********** \n”); } { } z=x>y?x:y; z=x>y?x:y; 或 return(z); return(z); printstar(void ) 函数体为空 } } { printf(“**********\n”); }
函数体
第七章 函数
函数传统风格和例子
传统风格:
函数类型 函数名（形参表） 形参类型说明 { 说明部分 语句部分 }
例 有参函数（传统风格） int max(x,y) int x,y; { int z; z=x>y?x:y; return(z); }
第七章 函数
7.3 函数的返回值
例 无返回值函数 void swap(int x,int y ) 返回语句 { int temp; 形式： return(表达式)； temp=x; 或 return 表达式; x=y; y=temp; 或 return; } 功能：使程序控制从被调用函数返回到调用函数中， 同时把返值带给调用函数 说明：
信号与系统第七章系统函数
例1:已知系统函数如下所示，请求出系统的零、 极点，并画出其分布图。
2(s 2) H (s) (s 1)2 (s2 1)
解：零点：＝－2；
极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j 将零点、极点画在复平面上得到
零、极点分布图 极点用“”表示；
零点用“o”表示。
(2) -2 -1
j
j
-j
本题：由H(s)得到零极点图
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
bm (s j )
j 1
n
(s pi )
i 1
对于离散系统
m
H (z)
B(z) A(z)
bm zm bm1zm1 ... b1z b0 zn an1zn1 ... a1z a0
bm (z j )
2、离散因果系统的频率响应
若H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位 圆上也收敛，频率响应为：
m
bm (e j j )
H (e j ) H (z) |ze j
j 1 n
(e j pi )
i 1
式中＝Ts, 为原来信号的角频率， Ts为取样周期
例7.1-2 某离散因果系统的系统函数
H (z) 2(z 1) 求其频率响应。
t
结论： 1）LTI连续系统的自由响应、冲激响应的函数形式由H(s)的
极点确定。 2）H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的，
当t趋于无限时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在 左半平面的系统是稳定的系统（见§7.2）。
3）H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时 间变化。
p1,2
3 2
(3)2 2 k 2
《信号与系统》考研试题解答第七章 系统函数
第七章 系统函数一、单项选择题X7.1（浙江大学2004考研题）一个因果、稳定的离散时间系统函数)(z H 的极点必定在z 平面的 。
（A ）单位圆以外 （B ）实轴上 （C ）左半平面 （D ）单位圆以内 H (s )只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h (t )应是 。
（A ）指数增长信号 （B ）指数衰减振荡信号 （C ）常数 （D ）等幅振荡信号 X7.3（浙江大学2003考研题）如果一离散时间系统的系统函数)(z H 只有一个在单位圆上实数为1的极点，则它的h (k )应是 。
（A ）ε(k ) （B ）)(k ε- （C ）)()1(k kε- （D ）1X7.4（浙江大学2002考研题）已知一连续系统的零、极点分布如图X7.4所示，1)(=∞H ，则系统函数H (s )为 。
（A ）2+s （B ）1+s （C ）)2)(1(++s s （D ）1-s X7.5（西安电子科技大学2004考研题）图X7.5所示信号流图的系统函数H (s )为 。
（A ）26132+++s s s （B ）2132++s s （C ）26132--+s s s （D ）1212-+s sX7.6（哈尔滨工业大学2002考研题）下列几个因果系统函数中，稳定（包括临界稳定）的系统函数有 个。
（1）4312+--s s s （2）s s s 312++ （3）34234+++s s s （4）33223++++s s s s （5）1224++s s s （6）2421s s +（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4X7.7（哈尔滨工业大学2002考研题）下面的几种描述中，正确的为 。
（A ）系统函数能提供求解零输入响应所需的全部信息； （B ）系统函数的零点位置影响时域波形的衰减或增长； （C ）若零极点离虚轴很远，则它们对频率响应的影响非常小； （D ）原点的二阶极点对应)(2t t ε形式的滤形。
第七章 系统函数
输出对输入序列的相移
• H ejω 即h(n)的DTFT • ejω 为周期函数，所以 H ejω 为周期函数，其周期为 2π 。
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入xn ejn
为本征函数
xn hn yn
hn为稳定的因果系统
yn hn xn
h m ejωnm e j n h m ejω m
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处 RC
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
R1 C1
v3t
C2 kv3 R2
v2 t nO Nhomakorabean
θ2
ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω H ejω ~ ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω ~ ω ：相频特性
limh(t) →∞
t→∞
2.离散系统:
Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=
1 3
k
(k)
→0
单位圆上:p=1,h(k)=1k (k),有限值.
单位圆外:p=2,h(k)= 2 k (k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
极点位置与h(n)形状的关系
• H ejω 即h(n)的DTFT • ejω 为周期函数，所以 H ejω 为周期函数，其周期为 2π 。
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入xn ejn
为本征函数
xn hn yn
hn为稳定的因果系统
yn hn xn
h m ejωnm e j n h m ejω m
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处 RC
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
R1 C1
v3t
C2 kv3 R2
v2 t nO Nhomakorabean
θ2
ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω H ejω ~ ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω ~ ω ：相频特性
limh(t) →∞
t→∞
2.离散系统:
Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=
1 3
k
(k)
→0
单位圆上:p=1,h(k)=1k (k),有限值.
单位圆外:p=2,h(k)= 2 k (k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
极点位置与h(n)形状的关系
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5s 5 5s 2 5s 3 5s 2 5s 3 例：H ( s) 3 2 1 2 s 7 s 10s 1 7 s 10s 1 [7 s 1 10s 2 ]
p ,q ,r
L
L
p ,q ,r
m
Ln 为所有两两不接触回路的增益乘积之和；
m,n
p
Lq Lr 为所有三个都互不接触回路的增益乘积之和；· · ·· ··
i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益； Δi 称为第i条前向通路特征行列式的余因子 。它是除去 与i条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。
(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积
3. 信号流图的基本性质
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 x1 x5 的输出支路。 d 如：x4= a x1+b x2+c x3 x 5= d x 4 x 6= e x 4
例: 求下列信号流图的系统函数
解: (1)首先找出所有回路，3个： 1 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)两两互不接触回路，2个 L1L3=H3GH1H4H5 (3)三个互不接触回路，无
H4 H1 H2 H3 G H5 2 1
(4)求特征行列式 Δ=1 – (H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5) + H3G H1H4H5
k
| h(k ) | ≤M
对于因果系统 若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳 定系统。
§7.3
信号流图
用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图 是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种 图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首 先由Mason(梅森)于1953年提出的，应用非常广泛。 信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与 方框图本质是一样的，但简便多了。
(3)然后找出所有的前向通路，有2条： p1=2H1H2H3 p1前向通路的余因子：Δ1 =1 p2=H1H4 p2前向通路的余因子： Δ2 = 1–GH3
H5 1 H1 H2 H3 G H4 2 1
1 H ( p11 p2 2 ) 2 H1 H 2 H 3 H1 H 4 (1 GH 3 ) 1 ( H 3G 2 H1 H 2 H 3 H 5 H1 H 4 H 5 ) H 3GH1 H 4 H 5
框图也可用梅森公式求系统函数。
课外作业
PP. 264-270 7.5 (1) 7.6 (b)
7.18 (1)
7.19 (3) 7.20 7.22 7.26
7.28 (b) END
§7.4
系统的结构
Mason公式是由流图 → H(s)或H(z) 下面讨论，由H(s)或H(z) → 流图或方框图
一、直接实现 ——利用Mason公式来实现
A2
θ2 -jβ
Bψ 0 σ
jω B A1 A2
θ1 jβ θ2
jω
pi -α
0
-jβ
σ
下面介绍两种常见的系统。
（1）全通函数 若系统的幅频响应| H(jω)|为常数，则称为全通系统， 其相应的H(s)称为全通函数。 凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面， 并且所有的零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系 统函数即为全通函数。
第七章
系统函数
§7.1
系统函数与系统特性
系统函数的零、极点分布图 系统函数H(· )与系统的因果性 系统函数与时域响应 系统函数与频率响应
一、系统函数的零、极点分布图
LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即
B() H () A()
A(· )=0的根p1，p2，·，pn称为系统函数H(· · · )的极点； B(· )=0的根1，2，·，m称为系统函数H(· · · )的零点。 将零极点画在复平面上 jω 得零、极点分布图。 j 例：
1. 连续系统稳定的充分必要条件 时域： s域：
若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
| h(t ) | d t ≤M
对于因果系统 若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是 稳定系统。
2. 离散系统稳定的充分必要条件 时域： z 域：
若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。
a x4 e c x3 x6 x2 b
（3）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变 为汇点。
4. 方框图←→流图 例：
∑ F(z) 2 3
1 F(z) 1/z -2 -3 1/z 4 1 Y(z)
4 1/z 1/z ∑ Y(z)
注意：加法器前引入增益为1的支路
5. 流图简化的基本规则：
（1）支路串联：支路增益相乘。
一、信号流图
1. 定义： 信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以 简化系统的表示，并便于计算系统函数。
2. 信号流图中常用术语
(1) 结点： 信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。 (2) 支路和支路增益： 连接两个结点之间的有向线段称为支路。 每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统 函数（转移函数）。 H(s) Y(s) F(s) 即用一条有向线段表示一个子系统。
2．离散因果系统
H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z平面与s平面的映射关系，得结论： (1) H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减 的。即当k→∞时，响应均趋于0。极点全部在单位圆内 的系统是稳定系统。 (2) H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的 幅度不随k变化。 (3) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或单位圆外 的极点，其所对应的响应序列都随k的增长而增大。即 当k→∞时，响应均趋于∞。这样的系统是不稳定的。
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
X4
（4）自环的消除：
所有来向支路除1 – H3
H3 X1 X2 H1 X3 H2 H4 X4
X1 X2
H1 1 H3
H4 X3 X4
H2 1 H3
X3=H1X1+H2X2+ H3X3
H1 H2 X3 X1 X2 1 H3 1 H3
§7.2
系统的因果性与稳定性
一、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指，系统的零状态响应yzs(· )不会出现 于激励f(· )之前的系统。 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0
（3）在右半开平面 ：均为递增函数。
结论
LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。 (1) H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数都是衰 减的。即当t→∞时，响应均趋于0。极点全部在左半 平面的系统是稳定的系统。 (2) H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数的幅度 不随时间变化。 (3) H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面 上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大。 即当t→∞时，响应均趋于∞。这样的系统是不稳定的。
（2）最小相移函数 对于具有相同幅频特性的系统函数而言，零点位 于左半开平面的系统函数，其相频特性(ω)最小，称 为最小相移函数。
-
-
-
2. 离散系统
若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆（对于因果 系统， H(z)的极点均在单位圆内） ，则系统存在频率 响应，频率响应与系统函数之间的关系为 H(ejθ)=H(z)|z= ejθ ， 式中θ=ωTs，ω为角频率，Ts为取样周期。
二、系统的稳定性
稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output —— BIBO)稳定的系统，简称为 稳定系统。 即，若系统对所有的激励 |f(·)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
（2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p1,2=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos (βt +θ)ε(t) ——稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为 Kit iε(t)或Kit icos (βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,·,r–1) ——递增函数 · ·
例：化简下列流图。
X3 X1 a X2 c X4 b d f e X5 1
注意化简具体过程可能不同，但最 终结果一定相同。
X6
X1 a X2 bd c X4 ed f X5 1 X6
解：消X3
1
消X2
X1 a(c+bd) X4
ed f X5
X6
消自环
af (c bd ) 1 edf
消X4
X1jω-pi pijω jωpi 0 σ
Ai
jω jω
θi
Bj
ψj σ
0
Ψ=π/2
A1 pi -α A2
θ2
θ1
jω jω jβ B ψ 0
-jβ
σ
θ1
jω
jβ
pi
A1 -α A2
θ2 -jβ
ψ 0B
σ
θ1
jω A1 A2
jβ
pi -α
p ,q ,r
L
L
p ,q ,r
m
Ln 为所有两两不接触回路的增益乘积之和；
m,n
p
Lq Lr 为所有三个都互不接触回路的增益乘积之和；· · ·· ··
i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益； Δi 称为第i条前向通路特征行列式的余因子 。它是除去 与i条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。
(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积
3. 信号流图的基本性质
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 x1 x5 的输出支路。 d 如：x4= a x1+b x2+c x3 x 5= d x 4 x 6= e x 4
例: 求下列信号流图的系统函数
解: (1)首先找出所有回路，3个： 1 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)两两互不接触回路，2个 L1L3=H3GH1H4H5 (3)三个互不接触回路，无
H4 H1 H2 H3 G H5 2 1
(4)求特征行列式 Δ=1 – (H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5) + H3G H1H4H5
k
| h(k ) | ≤M
对于因果系统 若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳 定系统。
§7.3
信号流图
用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图 是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种 图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首 先由Mason(梅森)于1953年提出的，应用非常广泛。 信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与 方框图本质是一样的，但简便多了。
(3)然后找出所有的前向通路，有2条： p1=2H1H2H3 p1前向通路的余因子：Δ1 =1 p2=H1H4 p2前向通路的余因子： Δ2 = 1–GH3
H5 1 H1 H2 H3 G H4 2 1
1 H ( p11 p2 2 ) 2 H1 H 2 H 3 H1 H 4 (1 GH 3 ) 1 ( H 3G 2 H1 H 2 H 3 H 5 H1 H 4 H 5 ) H 3GH1 H 4 H 5
框图也可用梅森公式求系统函数。
课外作业
PP. 264-270 7.5 (1) 7.6 (b)
7.18 (1)
7.19 (3) 7.20 7.22 7.26
7.28 (b) END
§7.4
系统的结构
Mason公式是由流图 → H(s)或H(z) 下面讨论，由H(s)或H(z) → 流图或方框图
一、直接实现 ——利用Mason公式来实现
A2
θ2 -jβ
Bψ 0 σ
jω B A1 A2
θ1 jβ θ2
jω
pi -α
0
-jβ
σ
下面介绍两种常见的系统。
（1）全通函数 若系统的幅频响应| H(jω)|为常数，则称为全通系统， 其相应的H(s)称为全通函数。 凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面， 并且所有的零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系 统函数即为全通函数。
第七章
系统函数
§7.1
系统函数与系统特性
系统函数的零、极点分布图 系统函数H(· )与系统的因果性 系统函数与时域响应 系统函数与频率响应
一、系统函数的零、极点分布图
LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即
B() H () A()
A(· )=0的根p1，p2，·，pn称为系统函数H(· · · )的极点； B(· )=0的根1，2，·，m称为系统函数H(· · · )的零点。 将零极点画在复平面上 jω 得零、极点分布图。 j 例：
1. 连续系统稳定的充分必要条件 时域： s域：
若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
| h(t ) | d t ≤M
对于因果系统 若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是 稳定系统。
2. 离散系统稳定的充分必要条件 时域： z 域：
若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。
a x4 e c x3 x6 x2 b
（3）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变 为汇点。
4. 方框图←→流图 例：
∑ F(z) 2 3
1 F(z) 1/z -2 -3 1/z 4 1 Y(z)
4 1/z 1/z ∑ Y(z)
注意：加法器前引入增益为1的支路
5. 流图简化的基本规则：
（1）支路串联：支路增益相乘。
一、信号流图
1. 定义： 信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以 简化系统的表示，并便于计算系统函数。
2. 信号流图中常用术语
(1) 结点： 信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。 (2) 支路和支路增益： 连接两个结点之间的有向线段称为支路。 每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统 函数（转移函数）。 H(s) Y(s) F(s) 即用一条有向线段表示一个子系统。
2．离散因果系统
H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z平面与s平面的映射关系，得结论： (1) H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减 的。即当k→∞时，响应均趋于0。极点全部在单位圆内 的系统是稳定系统。 (2) H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的 幅度不随k变化。 (3) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或单位圆外 的极点，其所对应的响应序列都随k的增长而增大。即 当k→∞时，响应均趋于∞。这样的系统是不稳定的。
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
X4
（4）自环的消除：
所有来向支路除1 – H3
H3 X1 X2 H1 X3 H2 H4 X4
X1 X2
H1 1 H3
H4 X3 X4
H2 1 H3
X3=H1X1+H2X2+ H3X3
H1 H2 X3 X1 X2 1 H3 1 H3
§7.2
系统的因果性与稳定性
一、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指，系统的零状态响应yzs(· )不会出现 于激励f(· )之前的系统。 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0
（3）在右半开平面 ：均为递增函数。
结论
LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。 (1) H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数都是衰 减的。即当t→∞时，响应均趋于0。极点全部在左半 平面的系统是稳定的系统。 (2) H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数的幅度 不随时间变化。 (3) H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面 上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大。 即当t→∞时，响应均趋于∞。这样的系统是不稳定的。
（2）最小相移函数 对于具有相同幅频特性的系统函数而言，零点位 于左半开平面的系统函数，其相频特性(ω)最小，称 为最小相移函数。
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2. 离散系统
若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆（对于因果 系统， H(z)的极点均在单位圆内） ，则系统存在频率 响应，频率响应与系统函数之间的关系为 H(ejθ)=H(z)|z= ejθ ， 式中θ=ωTs，ω为角频率，Ts为取样周期。
二、系统的稳定性
稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output —— BIBO)稳定的系统，简称为 稳定系统。 即，若系统对所有的激励 |f(·)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
（2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p1,2=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos (βt +θ)ε(t) ——稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为 Kit iε(t)或Kit icos (βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,·,r–1) ——递增函数 · ·
例：化简下列流图。
X3 X1 a X2 c X4 b d f e X5 1
注意化简具体过程可能不同，但最 终结果一定相同。
X6
X1 a X2 bd c X4 ed f X5 1 X6
解：消X3
1
消X2
X1 a(c+bd) X4
ed f X5
X6
消自环
af (c bd ) 1 edf
消X4
X1jω-pi pijω jωpi 0 σ
Ai
jω jω
θi
Bj
ψj σ
0
Ψ=π/2
A1 pi -α A2
θ2
θ1
jω jω jβ B ψ 0
-jβ
σ
θ1
jω
jβ
pi
A1 -α A2
θ2 -jβ
ψ 0B
σ
θ1
jω A1 A2
jβ
pi -α