第八章 描述函数法
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第8章 非线性系统分析
14
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
7
一、非线性控制系统概述(4)
一、非线性控制系统概述(11)
考虑著名的范德波尔方程
x 2 (1 x2 ) x x 0, 0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使 x 1 时，因为 (1 x 2 ) 0 系统具有负阻尼，此时系统 x(t ) 的运动呈发散形式；当 x 1 时，因为 从外部获得能量， 2 (1 x 2）＞0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量， x(t ) 的运动呈收敛形式；而 当x＝1 时，系统为零阻尼， 系统运动呈等幅振荡形式。 上述分析表明，系统能克 服扰动对 的影响，保持幅 值为1的等幅振荡，见右图。
1
第八章 非线性控制系统分析
本章主要内容： 一、非线性控制系统概述 二、常见非线性特性及其对系统运动的影响 三、描述函数法
2
第八章、非线性控制系统分析
本章要求 : 1、了解非线性系统的特点 2、了解常见非线性特性及其对系统运动的影响 3、掌握研究非线性系统描述函数法
3
一、非线性控制系统概述
本节主要内容： 1、研究非线性控制理论的意义 2、非线性系统的特征 3、非线性系统的分析与设计方法
5
一、非线性控制系统概述(2)
6
一、非线性控制系统概述(3)
在下图所示的柱形液位系统中，设 H为液位高度，Qi 为 C 为贮槽的截面积。根据水力 液体流入量， Q0为液体流出量， 学原理知
Q0 k H
其中比例系数 k 取决于液体的粘度的阀阻。 液体系统的动态方程为
dH C Qi Q 0 Qi k H dt
显然，液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。 由此可见，实际系统中普遍存在非线性因素。
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一、非线性控制系统概述(4)
自控理论 8-3描述函数法
1
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1
2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1
1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2
2kX
y(t ) B1 sinwt
饱和非线性的描述函数
B1 2k 1 a a a 2 N(X ) 1 ( ) sin X X X X
y
X a
(8 11)
a a
x
上式只有X ≥ a才有意义，因为若X＜a，尚 未进入饱和，该环节是线性的，求其描述函数 是无意义的。
(1) 首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下 的输出波形,并写出输出y(t)的数学表达式。
(2) 利用傅氏级数求出y(t)的基波分量。 (3) 将求得的基波分量代入定义式(8-8), 即得N(X)。 描述函数一般为输入信号振幅的函数，故记 作N ( X ) ,当非线性元件中包含储能元件时，N同 时为输入信号振幅及频率的函数，记作 N ( X , w ) 。
2M ma 2 a 2 ) 1 ( ) 1 ( X X B1 jA1 N(X ) X 2M ma 2 a 2 2 Ma ) 1 ( ) j ( m 1) 1 ( 2 X X X X
当m或a取不同数值，可得三种继电器的描述函数
. -M
M
2
X a
y
M
.
-a a
.
x
-M
x
A1 1
2
0
y( t )coswtd (wt )
wt 2
t1
M
2
w
2 Ma Mcoswtd (wt ) ( m 1) X
wt 1 w t 2
B1
1
2
0
y( t ) sinwtd (wt )
w
2
wt 2
精品文档-自动控制原理(王春侠)-第八章
19
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
8.2 描 述 函 数 法 8.2.1 描述函数的基本概念
设非线性环节的输入为 x(t)＝A sinωt
一般情况下，非线性环节的稳态输出y(t)是非正弦周期信号。 将y(t)用傅氏级数表示为
y t A0 An cos nt+Bn sin nt =A0 Yn sin nt+n
n =1
n =1
kx，
x ≤a
y Msignx， x ＞a
2
图8-1 饱和非线性特性
3
2． 死区特性
死区又称不灵敏区，如图8-2所示。其输入与输出之间关
系的表达式为
0，
x ≤Δ
y k x Δsignx， x ＞Δ
式中，Δ为死区范围； k为线性段的斜率。
当输入信号小于Δ时，对系统来说，虽然有输入但无输
出，只有当|x|＞Δ时才有输出，这时，输出与输入之间为
第八章 非线性控制系统分析
8.1 非线性系统的基本概念 8.2 描述函数法 8.3 相平面法 8.4 Matlab应用实例
1
8.1 非线性系统的基本概念 8.1.1 典型非线性特性
控制系统中含有本质非线性环节，如果这些本质非线性特 性能用简单的折线来描述，则称为典型非线性特性。
1. 饱和特性 饱和特性是一种常见的非线性特性，如图8-1所示。其数 学表达式为
最后指出，这种方法只适用于单个的非线性元件，如果有 两个以上的非线性元件，则必须把它们合并为一个模块，否则 第二个元件的输入就不会是正弦波。
22
8.2.2 典型非线性特性的描述函数 1． 死区特性 在具有死区的元件中，当输入在死区的幅值范围内时
就没有输出。图8-6所示为死区非线性特性及其输入、输出波 形。
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
自动控制原理第八章
非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
2.非线性系统的一般数学模型
f (t , d y dt
n n
,
dy dt
, y ) g (t ,
d r dt
m
m
,
dr dt
, r)
其中，f (· )和g (· )为非线性函数。
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 23
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 5
（1）当初始条件x0＜1时，1－x0＞0，上式具有负的特
征根，其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定。 （2）当x0=1时，1－x0=0，上式的特征根为零，其暂 态过程为一常量。 （3）当x0＞1时，1－x0＜0，上式的特征根为正值，系 统暂态过程按指数规律发散，系统不稳定。 系统的暂态过程如图所示。 由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理。
非线性弹簧输出的幅频特性
2012-6-21 《自动控制原理》 第八章 非线性系统 11
实际中常见的非线性例子
实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，
超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；有时，工程上
还人为引入饱和特性用以限制过载；
电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输
2012-6-21
《自动控制原理》 第八章 非线性系统
16
系统进入饱和后，等效K↓
% ( 原来系统稳定，此时系 统一定稳定） （原来不稳，非线性系 统最多是等幅振荡） 振荡性 限制跟踪速度，跟踪误 差 ，快速性
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
第八章 非线性控制系统分析
x x
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
整理后得： x
2
x (x x )
2 2 0 2 0
相轨迹
2.等倾线法 --不解微分方程，直接在相平面上绘制相轨迹。 等倾线： 相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 等倾线法基本思想： 先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线 方向场，然后从初始条件出发，沿方向场逐步绘制相
四、继电特性
y M 0 x
M y M
x 0 x 0
-M
对系统的影响：
1可能会产生自激振荡，使系统不稳定或稳态误差增大；
2.如选得合适可能提高系统的响应速度。
其他继电特性
y
M -h 0 h -M x M -△ 0
y
-△
△
y M 0 △ -M x
-M
死区 + 继电
x
滞环 + 继电
x ，从x, x 中消
(2)直接积分法
dx dx dx dx x x dt dx dt dx
dx x f ( x, x ) dx
g ( x)dx h( x)dx
x
x0
g ( x)dx h( x)dx
x1,2 0.25 1.39 j
系统在奇点(0,0)处有一对具有负实部的共轭复根， 故奇点(0,0)为稳定的焦点。
f ( x, x ) 奇点(-2,0)处 x
x 2 x 0
2
f ( x, x ) x
c
c
c
c
(6)≤-1 s1s2 --两个正实根
四、奇点和奇线
1.奇点 --同时满足 x 0 和 f ( x, x) 0 的点。
自控 第8章-3 描述函数法
3
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
24
图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 A A1 A0 因为系统稳定
所以，振幅将衰减，最终 A 0
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B
若 A A2 A0 系统不稳定 所以，振幅将增大，最终 A
所以N0点的周期运动是不稳定的
25
图C：两个交点
对于N20点，若 A A2 A20 系统不稳定 A A20
23
图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使
j
1 N ( A)
0 N2 N0 N1
A A1 A0
G( j)
因为 G( j)曲线包围 N (1A)曲线，系统不稳定
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
4
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2, )
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
5
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
24
图B： 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使 A A1 A0 因为系统稳定
所以，振幅将衰减，最终 A 0
j
1 N ( A)
0 N1 N0 N2
G( j)
图B
若 A A2 A0 系统不稳定 所以，振幅将增大，最终 A
所以N0点的周期运动是不稳定的
25
图C：两个交点
对于N20点，若 A A2 A20 系统不稳定 A A20
23
图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 假设系统受小的扰动，使
j
1 N ( A)
0 N2 N0 N1
A A1 A0
G( j)
因为 G( j)曲线包围 N (1A)曲线，系统不稳定
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正N弦若响(AA应0=)仅0=，有且一N当次(nA谐>1)波时分e，j量∠Yn！N均(A很) 小=，YA则1可e近j似1 认 为B非1 线Aj性A环1 节的
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1) φ1= arctgA1/B1
❖ 死区特性描述函数
y K(x ) K(Asint )
例2
系统如右，欲产生
A
1 4
的周期信号,
试确定K、t的值。
分析：可以调节K, t实现要求的自振运动。
解 N( A)G( j) 1
4M
Ke j t
1
A j(1 j )(2 j )
4MKe j t 3 2 j(2 2 ) A
4 5 2 4 ( arctan 2 2 ) 3
A j(1 j)(1 j4)
10
A2
A2 0.52 j(1 4 2 j5 )
5 2 j(1 4 2 )
0.5
比较虚实部 10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（12）
0.5
10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
1
1 2
sin
2 1 )
2 A
(cos1)]
2KA [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA A
N ( A) 2K [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA
A
1
arcsin
A
Asin1
cos 1
1 ()2 A
❖ 饱和特性描述函数
y
KAsin t,0 Ka,
t 1
非线性系统结构图简化
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（1）
1 基本假设
① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
2 稳定性分析 返回
不包围
稳定
G( j ) 包围
1 则系统 不稳定
N ( A)
相交于
可能自振
3 1 的绘制及其特点
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（11）
例6 非线性系统如图所示，a M h 1, K 2, 分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。
解 将两非线性环节等效合并，结构图化为
依自振条件 N( A)G( j) 1
4M 1 ( hˆ )2
2.5
1
A
N ( A)
例1 理想继电特性的负倒描述函数
N ( A) 4M
A
1 A
N ( A) 4M
1 N( A)G( j) 0
N( A)G( j) 1 G( j ) 1
N ( A)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（2）
3 1 N ( A) 的绘制及其特点 返回
例2 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2
A
AA A
A A
❖ 继电特性描述函数
y
0, M ,
0 t 1 1 t
2
0, 2 t
A1
2
2 M costdt
1
2M
(sin 2
sin1)
2Mh (m 1)
A
2
B1
2 M sintdt
1
2M
( cos
2
cos 1 )
2M [ 1 ( mh )2 1 ( h )2 ]
1 G1
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（9）
例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明 系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) [1 G1(s)]
穿入 穿出
相切于
不是自振点 的点 是自振点
对应半稳定 的周期运动
返回
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（4） 自振分析 (举例)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（5）
4 自振分析 (定量)
自振必要条件：N ( A) G( j) 1
例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。
解 作图分析，系统一定自振。
1 K(A b)sin tdt K(Asin t b)sin tdt)
/2
1
KA [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )]
2
A
AA A
N ( A) K [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )] j 4Kb ( b 1)
A0 0,A1 0
B1
4
/2
K(Asin t )sin tdt
1
4 (
/2 KAsin2 tdt
/2
K sin tdt )
1
1
4 [ KA
/2
(1 cos2t)dt K
/2
sin tdt ]
2 1
1
4
[
KA 2
(t
1 2
sin
2t
)
/
1
2
K(
c
ost
)
/
1
2
]
2KA [( 2
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（10）
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
G*(j) G *( j0) 1 360 G *( j) 0 90
(2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。
解 先将系统结构图化为典型结构 返回
解法I 等效变换法 解法II 特征方程法
G(s) (s)
1
G1 G1
G2G3 G1
1 G1G2G3 N G1
N G1G2G3 1 G(s) G1G2G3
D(s) 1 G1G2G3 N G1 0
1 G1
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（8）
例4 非线性系统结构图如右图所示，
已知：
G1(s) N ( A)
1 s(s
4M A
1) 1
,
G2 ( s) h 2 A
K s
(A
h)
(1) G3 (s) 1 时，系统是否自振？
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。
A4 6.486A2 1.621 0
A2 60..22264015
A1 A2
0.5104 2.495
分析可知：系统存在自振
0.5
A
A2
2.495
x A
1
0.5
1
0.894
c Ac 2 1
1.25
Ac
A 0.894
2.495 0.894
2.79
0.5
Ac
2.79
描述函数法分析非线性系统步骤
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
描述函数的定义
y(t)= A0+∑n∞X=(1A(tn)co=snAωts+iBnnsωintnωt) ∞ =yA(t0)+∑≈n=Y1 Yn(1sisninnω(ωt+tφ+n)φ1)
非为线A此性0，环定节义21可正近弦02似信 y认号(为作t)具用d有下t和，线非性线环性Y节环n相节类的似稳A的态频输2n率出响中B应一2n形次式谐波 分A量n1和输1入0信2号y(的t)复c数os比n1为非td线性t 环B节n1的描1述0函2数y(，t)用sNin(An1)表t示d：t
由自振条件：N( A) G( j) 1
得： 4
10
1
A j(1 j )(2 j )
40 j(1 j )(2 j ) 3 2 j(2 2 ) A
40 3 2 比较实/虚部： A
(2 2) 0
2
A 40 2.122
6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（6）
N ( A) 4M
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
1
N0 ( A)
4h
1
hபைடு நூலகம்
2
j
h
A A
A
4h
1
h 2 A
j
h
A
A 1 h 2 j
4h
A 4
( A h)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（3）
4 自振分析 (定性)
• 结构图简化，把系统结构图转化为标准形式 • 根据定义或者查表，确定描述函数 • 确定负倒描述函数。起点，终点，拐点，变化趋势 • 确定非线性系统的稳定性。类似于奈奎斯特判据。 • 分析自振情况。
负倒描述函数曲线和奈式曲线有交点，可能存在。稳 定的周期运动才是自振。注意求出的A为使得输出自振 的输入正弦信号的幅值。输出自振的频率是和输入相 同的。如何求输出的幅值？
135
。
求此时的K值和自振参数(A,)以及输出振幅Ac。
(2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1) φ1= arctgA1/B1
❖ 死区特性描述函数
y K(x ) K(Asint )
例2
系统如右，欲产生
A
1 4
的周期信号,
试确定K、t的值。
分析：可以调节K, t实现要求的自振运动。
解 N( A)G( j) 1
4M
Ke j t
1
A j(1 j )(2 j )
4MKe j t 3 2 j(2 2 ) A
4 5 2 4 ( arctan 2 2 ) 3
A j(1 j)(1 j4)
10
A2
A2 0.52 j(1 4 2 j5 )
5 2 j(1 4 2 )
0.5
比较虚实部 10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（12）
0.5
10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
1
1 2
sin
2 1 )
2 A
(cos1)]
2KA [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA A
N ( A) 2K [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA
A
1
arcsin
A
Asin1
cos 1
1 ()2 A
❖ 饱和特性描述函数
y
KAsin t,0 Ka,
t 1
非线性系统结构图简化
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（1）
1 基本假设
① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
2 稳定性分析 返回
不包围
稳定
G( j ) 包围
1 则系统 不稳定
N ( A)
相交于
可能自振
3 1 的绘制及其特点
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（11）
例6 非线性系统如图所示，a M h 1, K 2, 分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。
解 将两非线性环节等效合并，结构图化为
依自振条件 N( A)G( j) 1
4M 1 ( hˆ )2
2.5
1
A
N ( A)
例1 理想继电特性的负倒描述函数
N ( A) 4M
A
1 A
N ( A) 4M
1 N( A)G( j) 0
N( A)G( j) 1 G( j ) 1
N ( A)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（2）
3 1 N ( A) 的绘制及其特点 返回
例2 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2
A
AA A
A A
❖ 继电特性描述函数
y
0, M ,
0 t 1 1 t
2
0, 2 t
A1
2
2 M costdt
1
2M
(sin 2
sin1)
2Mh (m 1)
A
2
B1
2 M sintdt
1
2M
( cos
2
cos 1 )
2M [ 1 ( mh )2 1 ( h )2 ]
1 G1
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（9）
例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明 系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) [1 G1(s)]
穿入 穿出
相切于
不是自振点 的点 是自振点
对应半稳定 的周期运动
返回
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（4） 自振分析 (举例)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（5）
4 自振分析 (定量)
自振必要条件：N ( A) G( j) 1
例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。
解 作图分析，系统一定自振。
1 K(A b)sin tdt K(Asin t b)sin tdt)
/2
1
KA [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )]
2
A
AA A
N ( A) K [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )] j 4Kb ( b 1)
A0 0,A1 0
B1
4
/2
K(Asin t )sin tdt
1
4 (
/2 KAsin2 tdt
/2
K sin tdt )
1
1
4 [ KA
/2
(1 cos2t)dt K
/2
sin tdt ]
2 1
1
4
[
KA 2
(t
1 2
sin
2t
)
/
1
2
K(
c
ost
)
/
1
2
]
2KA [( 2
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（10）
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
G*(j) G *( j0) 1 360 G *( j) 0 90
(2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。
解 先将系统结构图化为典型结构 返回
解法I 等效变换法 解法II 特征方程法
G(s) (s)
1
G1 G1
G2G3 G1
1 G1G2G3 N G1
N G1G2G3 1 G(s) G1G2G3
D(s) 1 G1G2G3 N G1 0
1 G1
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（8）
例4 非线性系统结构图如右图所示，
已知：
G1(s) N ( A)
1 s(s
4M A
1) 1
,
G2 ( s) h 2 A
K s
(A
h)
(1) G3 (s) 1 时，系统是否自振？
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。
A4 6.486A2 1.621 0
A2 60..22264015
A1 A2
0.5104 2.495
分析可知：系统存在自振
0.5
A
A2
2.495
x A
1
0.5
1
0.894
c Ac 2 1
1.25
Ac
A 0.894
2.495 0.894
2.79
0.5
Ac
2.79
描述函数法分析非线性系统步骤
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
描述函数的定义
y(t)= A0+∑n∞X=(1A(tn)co=snAωts+iBnnsωintnωt) ∞ =yA(t0)+∑≈n=Y1 Yn(1sisninnω(ωt+tφ+n)φ1)
非为线A此性0，环定节义21可正近弦02似信 y认号(为作t)具用d有下t和，线非性线环性Y节环n相节类的似稳A的态频输2n率出响中B应一2n形次式谐波 分A量n1和输1入0信2号y(的t)复c数os比n1为非td线性t 环B节n1的描1述0函2数y(，t)用sNin(An1)表t示d：t
由自振条件：N( A) G( j) 1
得： 4
10
1
A j(1 j )(2 j )
40 j(1 j )(2 j ) 3 2 j(2 2 ) A
40 3 2 比较实/虚部： A
(2 2) 0
2
A 40 2.122
6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（6）
N ( A) 4M
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
1
N0 ( A)
4h
1
hபைடு நூலகம்
2
j
h
A A
A
4h
1
h 2 A
j
h
A
A 1 h 2 j
4h
A 4
( A h)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（3）
4 自振分析 (定性)
• 结构图简化，把系统结构图转化为标准形式 • 根据定义或者查表，确定描述函数 • 确定负倒描述函数。起点，终点，拐点，变化趋势 • 确定非线性系统的稳定性。类似于奈奎斯特判据。 • 分析自振情况。
负倒描述函数曲线和奈式曲线有交点，可能存在。稳 定的周期运动才是自振。注意求出的A为使得输出自振 的输入正弦信号的幅值。输出自振的频率是和输入相 同的。如何求输出的幅值？
135
。
求此时的K值和自振参数(A,)以及输出振幅Ac。
(2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。