描述函数
自控第七章(第40讲)
依自振条件 N ( A) G( j ) 1
ˆ 4M h 2 2.5 1 ( ) 1 A A j (1 j )(1 j 4 )
10 A2
A2 0.5 2 j (1 4 2 j 5 )
5 2 j (1 4 2 ) 0.5
A2 A 1 4K
2
(1) G3 ( s ) 1时，系统是否自振？
§7.3.3
2
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。 用描述函数法分析非线性系统（10）
2
A A 1 4K
(
2 4 ) A A2 1 0பைடு நூலகம்4K
8 A2 1 j 2 A 1 2 j A 1 j A 2 8 8 N ( A) 8 2K 2K 1 G ( j ) 1 j j j (1 j ) 1 2 8 8
2K 135 s( s 1)
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D( s ) 1 N ( A) G1 ( s ) G1 ( s ) 0 N ( A) G1 ( s ) [1 G1 ( s )]
G1 ( s ) N ( A) 1 1 G1 ( s ) G1 ( s ) 0.5( s 1) G * ( s) 2 1 G1 ( s ) s 0.5 s 0.5
(2) G3(s)= s 时 1 K s G1G2G3 s( s 1) s K G( s) 2 1 1 G1 s s1 1 s( s 1)
此时系统稳定
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（11）
描述函数法
系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
扩展描述函数法
扩展描述函数法
扩展描述函数法是一种用于描述数学对象或过程的方法，它可以将一个复杂的数学对象或过程分解成多个简单的部分，并用一组描述函数来描述每个部分。
这些描述函数可以是数学函数、数列、矩阵或其他数学工具。
通过扩展描述函数法，我们可以更加深入地理解数学对象或过程的本质，并且可以更加方便地进行计算和分析。
例如，在微积分中，我们可以用描述函数来描述一个函数的导数、高阶导数以及泰勒级数等重要的概念。
此外，在统计学中，我们也可以用描述函数来描述数据的分布、方差、标准差等统计指标，从而更好地进行数据分析和处理。
总之，扩展描述函数法是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，从而更加高效地解决各种数学问题。
- 1 -。
8-4描述函数法
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
自动控制7-1描述函数法.详解
x0 t ln x -1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
11
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
6
2
4
14
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
4
7.1.1 典型非线性特性的种类
1．饱和特性
-a
y
M k 0 -M a x
a为线性区宽度，k为线性区斜率。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及 执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。
5
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零
y k
-a
0
a
x
| x | a 0, y = k ( x - a ), x>a k ( x + a ), x < -a
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 12
函数功能描述范文
函数功能描述范文函数是计算机程序中一个重要的组成部分，它承担了完成特定任务的功能。
函数是一个独立的代码块，接受一些输入参数，进行一系列计算或操作，并返回一个结果。
在程序中，函数的使用可以提高代码的可读性、可维护性和可重用性。
通过将代码分解成多个小的、独立的功能块，可以使程序结构更加清晰，同时也能够减少代码的重复编写。
函数的功能描述是描述函数具体完成什么任务的文字描述。
它应该清晰地说明函数要解决的问题、入参和出参的含义，以及函数内部的具体实现细节。
函数的功能描述有助于程序员更好地理解函数的用途和具体实现方式。
它能够指导开发者正确的调用函数，并且在使用时能够更准确地预期函数的行为和结果。
在函数的功能描述中，除了要包含输入参数和返回值的描述，还应该包括函数的具体计算或操作步骤的描述。
这有助于其他开发人员更好地理解函数的实现细节，并能够正确地调用和使用该函数。
同时，如果函数的功能描述足够详细，它还可以作为函数使用文档的一部分，方便其他人了解该函数的具体用途和使用方法。
除了函数的功能描述，函数的命名也是非常重要的。
函数的命名应该能够准确地反映出函数的功能和用途。
好的函数命名能够在不需要查看函数具体实现的情况下，直观地了解到函数的作用和预期结果。
总之，函数是程序中的重要组成部分，通过合理地使用函数，可以提高代码的可读性和可维护性。
函数的功能描述是描述函数具体完成什么任务的文字描述，它有助于程序员更好地理解函数的用途和实现方式，并能够正确地调用和使用该函数。
同时，函数的命名也是非常重要的，好的函数命名能够直观地反映函数的功能和预期结果。
第7章_3_描述函数法介绍
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
3
7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1
描述函数法
(4.82)
式中
2
A1
1 π
x(t) cosω td (ω t)
0
2
B1
1 π
x(t) sin ω td (ω t)
0
X1 A12 B12
（4.83a） （4.83b） (4.84a)
1=tg-1A/B
(4.84b)
类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性
环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之
解 因为是x(t)奇函数，所以A1=0。由式（4.83b）得
B1
1
2
x(t) sin ω td (ω t)
4
2 [ A sin ω t 2
A3 4
sin 3 ω t]sin ω td (ω t)
0
0
A 2 (2 sin 2 A2 sin 4 )d A 3 A3
其中， 1
sin 1 (
A
2a) A
，于是
0ωt
2
2
ωt
1
1 ωt
A1
2
x(t) cosω td (ω t)