微积分产生的背景 ppt课件
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牛顿的“流数术” 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋， 当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛 卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻 找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小 ○记号表示x的无限小且最终趋于零的增 量．
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说牛顿发明了微积分。
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莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重 要结果：
“由一条曲线的法线形成 的图形，即将这些法线(在 圆的情形就是半径)按纵坐 标方向置于轴上所形成的图 形，其面积与曲线绕轴旋转 而成的立体的面积成正比”。
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重心和引力等微积分基本问题的计算 被重新研究。
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方 法促进的连续不可分量的几何学》(1635) 中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里 认为线是由无限多个点组成；面是由无限 多条平行线段组成；立体则是由无限多个 平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、 面和体的“不可分量”．卡瓦列里建立了 一条关于这些不可分量的普遍原理，后以 “卡瓦列里原理”著称
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在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼 茨分享荣誉
莱布尼茨通常假设曲线z通过原点，这 就将求积问题化成了反切线问题，即：为 了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需 求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜 率为．如果是在区间上，由上的面积减去 上的面积 :
伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成 了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给 出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约 翰的学生罗比达编入其微积分著作《无穷小分 析》，现在通称为罗比达法则。
微积分的历史背景PPT文档57页
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢பைடு நூலகம்！
第7讲微积分发展史
第7讲微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。
极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。
生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。
1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。
这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。
16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。
从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。
通过这些向数学提出了如下4个问题：（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。
（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。
（3）求最大、最小值问题。
（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。
在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。
微积分产生的历史背景
微积分产生的历史背景数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。
恩格斯从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。
而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。
科学对数学提出的种种要求，最后汇总成车个核心问题：（1）运动中速度与距离的互求问题（几何演示）即，已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S（t）,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。
这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。
比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是0，而0/0是无意义的。
但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。
已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。
因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题（几何演示）这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。
由于研究天文的需要，光学是时十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微积分发展简史课件
实的理论基础。
柯西序列
02 通过柯西序列，解决了实数系连续性的问题，并建立
了极限理论。
布尔查诺-维尔斯特拉斯定理
03
证明了实数系连续性的唯一性，为实数理论的发展提
供了重要的支撑。
泛函分析的兴起
函数空间
研究函数集合的性质和结构，为泛函分析提供了基础 。
傅里叶分析
研究函数的傅里叶级数展开和性质，为泛函分析提供 了重要的工具。
极限理论是微积分的基础，19 世纪之前，数学家们一直在探索 如何用极限的概念来描述函数的
变化趋势。
极限理论的建立经历了漫长的发 展过程，最终由德国数学家魏尔 斯特拉斯、戴德金和康托尔等人
完成。
极限理论的严格定义和证明，为 微积分的进一步发展提供了坚实
的数学基础。
导数与积分的进一步发展
导数和积分是微积分的两个 核心概念，19世纪数学家们 对这两个概念进行了更深入
例如，常微分方程理论的建立，为解决各种 实际问题提供了重要的数学模型。
同时，偏微分方程的发展也取得了 重大进展，例如热传导方程、波动 方程等，这些方程在物理、工程、 化学等领域都有广泛的应用。
03
20世纪微积分的新发展
实数理论的发展
魏尔斯特拉斯的ε-δ定义
01
对实数进行严格的数学定义，为实数连续性提供了坚
描述物体运动规律
微积分可以用来描述物体的运动规律，例如物体的速度、加速度 、位移等。
电磁学研究
在电磁学中，微积分被用来研究电磁场的分布和变化规律。
量子力学
在量子力学中，微积分被用来描述微观粒子的运动规律和分布情 况。
在经济中的应用
01
供需关系
微积分可以用来描述商品的供需 关系，例如价格与销售量的关系 。
高中数学《第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景》24PPT课件 一等奖比赛优质课
第5讲微积分的诞生——人类精神的最高胜利牛顿IsaacNewton(1642—1727)，英国物理学家，数学家，天文学家，经典物理学理论体系的建立者．生平1642年生于英格兰林肯郡的乌尔索普镇的一个农民家庭，1727年卒于伦敦．中学时爱读书，对自然现象有强烈的好奇心，但学习成绩并不出众.1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院．在名师I.巴罗的教导下，牛顿学习了算术、三角、欧几里得的《几何原本》，读了J.开普勒的《光学》、笛卡儿的《几何学》和《哲学原理》、伽利略的《两大世界体系对话》、R.胡克的《显微图集》及早期的《哲学学报》等.1665年伦敦大疫，学校停课，牛顿返回故乡．在家乡居住的两年中，牛顿创立了级数近似法以及一般的二项式展开定理，创立了微分(正流数)法，研究了颜色理论和积分(反流数)法，因此他成为微积分发明人之一．牛顿还开始研究重力问题，并把重力理论推广到月球的运行轨道上去．这两年是牛顿一生的重大科学思想孕育、萌发和形成的时期.1667年，牛顿重返剑桥上学.1668年3月1日选为三一学院的正院侣.1669年3月16日接替巴罗教授，任卢卡斯讲座教授．写下了光学讲稿、算术和代数讲稿、《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)的一部分及《宇宙体系》等手稿.1672年选为皇家学会会员，1703年为该学会主席.1699年任造币厂厂长，对英国造币及改革币制有功.1705年封为爵士.1715年，牛顿已经73岁的高龄，在和莱布尼茨为微积分发明权争论的时候，他接受对方解一道数学难题的挑战．经过造币厂工作一天的劳累，牛顿在睡觉以前解出了这道难题，找到了寻求与已知曲线族正交的曲线族的一般方法．晚年研究宗教．牛顿逝世后，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂．1．微积分学是微分学和积分学的总称．它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，在许多数学家工作的基础上，________和________分别独立地创立了微积分学．2．从牛顿的读书笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的________和沃利斯的________对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上创立微积分的道路．3．1664年秋，牛顿开始研究微积分.1665年11月发明________(微分法)，次年5月又建立了________(积分法).1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，现在称为________．这是历史上第一篇系统的微积分文献．4．牛顿在他的微积分文献《流数简论》中以速度形式引进了________(微商)的概念，提出了微积分的基本问题，建立了“微积分基本定理”．微积分基本定理揭示了“________和________之间的内在联系”．5．1687年，牛顿出版了他的力学名著________，在这本书中最早表述了牛顿创立的微积分学，使得该书成为数学史上的划时代著作．答案：1．牛顿莱布尼茨2.《几何学》《无穷算数》3．正流数术反流数术《流数简论》4．“流数”导数积分5．《自然哲学的数学原理》一、微积分创立的历史背景【例1】结合史料，谈谈微积分创立的时代背景和历史意义．答：微积分作为变量数学的开端，诞生于17世纪下半叶，绝不是偶然的，确有其历史的必然性．经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到空前的解放和提高．大量的实际问题推动着力学、天文学的发展．例如，航海事业需要确定船只在大海中的位置，就要求精确地测定地球的经纬度和制造准确的时钟，于是促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进，必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律；而在战争中，要求炮弹打得准确，则导致弹道学或抛物体运动的研究．人们从大量这类课题的研究中，总结出力学的一些基本规律，诸如：开普勒关于行星运动的定律；伽利略提出落体定律和惯性定律；牛顿总结出力学运动三大定律等．在各种各样力学运动的研究中，最基本的核心问题有两个：一是已知路程求速度；一是已知速度求路程．在等速运动的情况下，只用初等数学就可以解决这两个问题：速度＝路程÷时间；路程＝速度×时间．但是，十七世纪人们面对着种种变速运动，初等数学就无能为力了．速度成为变量，初等数学或常量数学无法描述变速运动中时间、位置和速度之间的复杂关系，这一矛盾要求数学研究突破常量的传统范围，寻求能够描述和研究变速运动的新工具——变量数学．微积分就是变量数学的基础内容．微积分创立的历史意义：①提供了定量处理与运动、变化等有关的多种现实问题的强有力方法；②解析几何与微积分的建立，标志着数学由初等数学(常量数学)时期向变量数学时期的重要转变；③以极限方法为主要特征的微积分方法蕴涵着基本却又十分重要的数学思想；④微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数学领域，其后数学分析大厦逐步建立；⑤微积分的建立，使得数学的基本格局发生了变化，在这之前，数学主要有代数(包括算术)与几何两大领域，而微积分的建立，形成了代数、几何与分析三足鼎立的局面．牛顿与莱布尼茨是怎样发明微积分的，是灵感在一夜之间的闪现还是前人长期努力的结晶？结合史料加以说明．二、微积分基本定理及其应用【例2】牛顿在《流数简论》中提出了微积分的基本问题，并在此基础上建立了微积分基本定理．几乎与此同时，德国数学家莱布尼茨在其《数学笔记》中，创立了积分符号∫和微分符号dy，dx，并明确指出了积分和微分是互逆过程．因而，后人把微积分基本定理也称作“牛顿—莱布尼茨定理”．微积分基本定理揭示了导数和积分之间的内在联系，同时它也提供了计算积分的一种有效方法．根据你对微积分理论的理解，解决下面的问题：一物体做变速直线运动，其速度函数图像如图所示，求该物体在～6s间的运动路程．解：根据定积分的意义可知，若已知做变速直线运动物体的vt函数，则物体在时间区间[t1，t2]内的路程s＝t1t2v(t)dt，其中v(t)≥0.由题图可知v(t)＝2,[0,1],2,[1,3],11,[3,6].3ttttt由变速直线运动的路程公式，可得s＝612v(t)dt＝1122tdt＋132dt＋3613t＋1dt＝1212t＋2t31＋16t2＋t63＝12.25(m)，即物体在12～6s间的运动路程为12.25m.自地面垂直向上发射火箭，已知火箭的质量为m.求：(1)当火箭距离地面的高度为h时，火箭克服重力所做的功；(2)当火箭距离地面的高度h→＋∞时，求火箭克服重力做功的极限．要做到这点，火箭的初速度应为多少？三、微积分在实际问题中的应用微积分的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域．它与大部分科学分支，特别是物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分．几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分作为基本数学工具．下面就举例说明微积分在实际问题中的应用．【例3】(1)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，①当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？②当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：①当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．②当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0＜x≤120)．h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0＜x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．所以当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值，即当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．(2)如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b.求证：抛物线拱的面积S＝23bh.证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为y＝－ax2(a＞0)，将抛物线上一点b2，－h代入方程，则有－h＝－ab22，解得a＝4hb2，所以抛物线方程为y＝－4hb2x2.设抛物线拱一半的面积为s，则有2220422d2bbhSshxxb3220422.233bbhhxbhb某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)微积分是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用．微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过的准备工作，分别独立地建立了微积分学．微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分)．换言之，计算导数的方法就叫微分学．微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率．积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数，它为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法．答案：1．答：从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪．但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．刘徽在他的“割圆术”中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限的思想．到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的要素．归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题．第二类问题是求曲线切线的问题．第三类问题是求函数的最大值和最小值问题．第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等求积问题．十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题做了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论．为微积分的创立作出了贡献．十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作．他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．1684年，莱布尼茨发表了世界上最早公开发表微积分的文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字——《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义，它已含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献．莱布尼茨是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是莱布尼茨当时精心选用的．微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力．由此可见，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样．2．解：(1)根据万有引力定律，当火箭距离地面的高度为x时，引力f(x)＝G·Mm(R＋x)2，其中M，R分别为地球的质量和半径，G为万有引力常数．于是火箭所做的功为W＝0hf(x)dx＝0hG·Mm(R＋x)2dx＝GMm0h(R＋x)－2dx＝－GMm(R＋x)－1h0＝GMm1R－1R＋h，当x＝0时，f(x)＝mg，∴G·MmR2＝mg，即GM＝R2g.故W＝mgR21R－1R＋h.(2)limh→∞W＝limh→∞mgR21R－1R＋h＝mgR.由于所做的功是由最初火箭的动能转化而来，故mgR＝12mv20，从而有v0＝2Rg.将g＝9.8(m/s2)，R＝6.37×106(m)代入，得v0＝1.12×104(m/s)，这就是第二宇宙速度．3．解：每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)，由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，。
一微积分产生的历史背景
第四类问题
求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成 的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于 另一个物体上的引力。
古希腊人研究过的面积问题
直观地看，
如
小矩形越多，其
何
面积和就越接近
求 此 面
于所求曲线下的 面积。
积
的
精
确
值
？
牛顿与莱布尼茨
数学的真正划分不是分为几何和算术，而是分 成普遍的和特殊的。这普遍的东西是由两个包罗万 象的思想家，牛顿和莱布尼茨提供的。
开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、 格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、 牛顿、莱布尼茨、…… .
十七世纪的微积分
任何研究工作的开端，几乎都是极不完美 的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目 的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝 试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将 正确的途径示以他人。……可以这样说，为了 寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。
古希腊人研究过的面积问题古希腊人研究过的面积问题古希腊人研究过的面积问题古希腊人研究过的面积问题与坐标轴计算抛物线直观地看直观地看小矩形越多小矩形越多其其面积和就越接近面积和就越接近于所求曲线下的于所求曲线下的面积面积
聊聊天
微积分的产生——17、18、19世纪的微积分.
很久很久以前, 在很远很远的一块古老的土地上, 有一群智者……
微积分是能应用于许多类函数的一种新的 普遍的方法，这一发现必须归功于牛顿和莱布 尼茨俩人。经过他们的工作，微积分不再是古 希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科 学，用来处理较以前更为广泛的问题。
——狄德罗
哪些主要的科学问题呢?
Archimedes
有四种主要类型的问题.
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对无限和运动的研究
这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有 端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主 教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成
集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了 这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下 来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流 的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉 伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展， 阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角 学的确立就是他们对数学所做出的贡献.
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微积分思想的萌芽
• 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地 • 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究 • 古代中国——面积、体积与极限思想的丰富
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古希腊罗马——微分、积分思想的发源地
• 原子论朴素的微分和积分思想 • 极限法的早期形式穷竭法 • 芝诺的拟难
微积分产生的背景
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微积分产生的社会背景
• 从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成 了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉 伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现 出一个完全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很 大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学 科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。科学对数学提 出的种种要求，最后汇总成4个核心问题： 运动中速度与距离的互求问题、求曲线的切线 问题、求长度、面积、体积、与重心问题、求最大值和最小值问题。
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微积分产生的数学背景
• 数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了 数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是 有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。 ——恩格斯
• 解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成 为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台.
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阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究
• 代数和三角学的确立 • 对无限和运动的研究
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代数和三角学的确立
• 从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉 伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，
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原子论朴素的微分和积分思想.
古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇 宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表 现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量 x，进行了一次微分(dx)和二次微分 (dx2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高 的圆柱和棱柱体积的三分之一.
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极限法的早期形式穷竭法
为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos）曾提出了一个计算方法， 这个方法在 17 世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数
n，等式 an bn
k （常数）成立，且当 n→ 时，an
A ，bn
B ，则有 A B
k
.他用这个
方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes) 对穷竭法 也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中， 应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计 算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.
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运动中速度与距离的互求问题
已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或 者反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速 度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的移动距离。
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求曲线的切线问题
物体作曲线运动时，在每一瞬间的速度方向是该曲线相应的点的切线的方向；在光学中 对光的折射和反射的研究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的。
2020/1重心问题
这些问题以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为背景的；求曲线围成的面积，以计 算行星扫过的面积为代表；求物体的重心、求两个天体之间的引力等问题。
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求最大值和最小值问题
这与天文学和力学都有关，例如求行星运行的近日点和远日点，抛射体的最大射程和最 大高度等问题都可归结为这种类型的问题。
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芝诺的拟难
芝诺(Zero of Elea) 是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位 数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分 中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分 法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其 和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而 且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.