【数学】松雷中学初四2020-2021学年上学期开学测试卷+答案
_黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2020-2021学年九年级上学期开学数学试卷(五四学制) 解析版
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学九年级（上）开学数学试卷（5）（五四学制）一、选择题（每小题3分，共计30分1．﹣2的倒数是（）A．B．﹣C．2D．﹣22．下列计算中，结果正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）（3a）＝6a D．a6÷a2＝a33．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′＝3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°5．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定6．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．8．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE ＝1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：29．如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长等于（）A．4+B．8C．4D．610．小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象．下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共计30分）11．把69600用科学记数法表示是．12．把多项式y2﹣4x2分解因式的结果是．13．函数的自变量x的取值范围是．14．化简：＝．15．不等式组的整数解是．16．一次函数的图象y＝kx+b不经过第四象限，则b的取值范围是．17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点．若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．18．某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下调的百分率是．19．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且PD＝5，则AP的长是．20．如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，点D为平面内一点，连接BD，∠CBD＝30°，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，∠CDF＝∠EDF，连接AE并延长与BD的延长线交于点F，AF＝6，则CF＝．三、解答题（其中21～24题各6分，25～26题各8分，27～28题各10分，共60分）21．先化简，再求代数式﹣的值，其中x＝+1．22．如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个等腰直角△ABC；（2）在图2中画出一个钝角△ABD，使△ABD的面积是3．23．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为多少；（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计小组合作学习后，全校2000名学生中学习兴趣低的学生还有多少人？24．如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．25．哈尔滨地铁“二号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12台，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于165吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？26．已知△ABC和△DEF均为等边三角形．（1）如图1，求证：AF＝BE；（2）如图2，若AF：BF＝2：3，EF的延长线交CA的延长线于点M．求EF：FM的值；（3）在（2）的条件下，若FM＝4，求△ABC的面积．27．平面直角坐标系中，点A（6，0）过点A作x轴的垂线AD，点C、D均为第一象限内一点，连接OC，DC且DC＝OC，OC⊥DC．（1）如图1，求证：AC平分∠OAD；（2）如图2，延长AC交y轴于点E，直线CM的解析式为y＝mx+m，直线CM交y 轴于点F，设△EFM的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，取AC的中点Q，过点Q作y轴的平行线交直线FC于点P，交CD于点K，连接PE、QF，当四边形PEFQ为平行四边形时，求QK的长．2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学九年级（上）开学数学试卷（5）（五四学制）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．﹣2的倒数是（）A．B．﹣C．2D．﹣2【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：B．2．下列计算中，结果正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）（3a）＝6a D．a6÷a2＝a3【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法的法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：a3•a2＝a5，A错误；（a2）3＝a6，B正确；（2a）（3a）＝6a2，C错误；a6÷a2＝a4，D错误．故选：B．3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．4．如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′＝3，则∠A′的度数为（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】如图，作辅助线；首先证明∠AA′C＝45°，然后证明AB′2＝AA′2+A′B′2，得到∠AA′B′＝90°，进而得到∠A′＝135°，即可解决问题．【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：AC＝A′C，A′B′＝AB，∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′2＝22+22＝8；∵AB′2＝32＝9，A′B′2＝12＝1，∴AB′2＝AA′2+A′B′2，∴∠AA′B′＝90°，∠A′＝135°，故选：C．5．如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定【分析】因为G不动，所以AG不变．根据三角形中位线定理可得EF＝AG，因此线段EF的长不变．【解答】解：如图，连接AG．∵E、F分别是AP、GP的中点，∴EF为△APG的中位线，∴EF＝AG，AG为定值．∴线段EF的长不改变．故选：C．6．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB＝∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD＝＝8（米）．故选：B．7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵DE∥BC，∴＝，∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵EF∥AB，∴＝，∵CF≠DE，∴≠，故本选项错误，D．∵EF∥AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，故选：C．8．如图，已知D、E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE ＝1：8，那么AE：AC等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：2【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2，∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．故选：B．9．如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长等于（）A．4+B．8C．4D．6【分析】根据翻折变换以及E为AB的中点，得出ED∥BC，DE为△ABC的中位线，最后根据△DEF的周长为△ABC周长的一半，即可得出△DEF的周长．【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AE＝EF，∠AED＝∠FED，∵E是AB边的中点，∴AE＝EB，∴BE＝EF＝AB，∴∠B＝∠BFE＝∠AEF＝∠AED，∴ED∥BC，∵E为AB的中点，∴DE＝BC，D为AC的中点，∴DF＝AD＝AC，∴△DEF的周长为△ABC周长的一半，即△DEF的周长＝×8＝4，故选：C．10．小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象．下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据函数图象可以求出小明的速度威（540﹣440）÷1＝100米/分，小明和小亮两家的距离为540米，根据路程＝速度×时间，就可以求出小亮比赛前的速度．再根据比赛时两人的速度关系可以求出比赛2分钟时两人的距离．先求出14分钟时小亮在小明前面的距离，再由相遇问题求出结论．【解答】解；由函数图象知：当x＝0时y＝540，∴小明与小亮家相距540米．故①正确．②由题意，比赛前小明的速度为（540﹣440）÷1＝100米/分．2（小明速度+小亮速度）＝440．∴小亮速度＝120米/分．故②正确．③小明出发7分钟后两人之间的距离为：（7﹣5）×（220﹣180）＝80米．故③正确．④小亮从出家门14分钟后两人相距：（15﹣5）×（220﹣180）＝400米．小亮返回时与小明相遇的时间为：400÷（180+220）＝1分钟．故④正确．∴正确的个数有4个．故选：D．二．填空题11．把69600用科学记数法表示是 6.96×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：69600＝6.96×104．故答案为：6.96×104．12．把多项式y2﹣4x2分解因式的结果是（y+2x）（y﹣2x）．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：y2﹣4x2＝（y+2x）（y﹣2x）．故答案为：（y+2x）（y﹣2x）．13．函数的自变量x的取值范围是x≠1．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．14．化简：＝．【分析】首先化简二次根式，进而合并得出即可．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．15．不等式组的整数解是﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+2＜0，得：x＜﹣1，解不等式﹣x+1≤3，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，∴不等式组的整数解为﹣2，故答案为：﹣216．一次函数的图象y＝kx+b不经过第四象限，则b的取值范围是b≥0．【分析】分一次函数的图象y＝kx+b经过第一、二、三象限和一次函数的图象y＝kx+b 经过第一、三象限两种情况，利用一次函数图象与系数的关系即可找出k，b的取值范围．【解答】解：∵一次函数的图象y＝kx+b不经过第四象限，∴一次函数的图象y＝kx+b经过第一、二、三象限或一次函数的图象y＝kx+b经过第一、三象限．当一次函数的图象y＝kx+b经过第一、二、三象限时，k＞0，b＞0；当一次函数的图象y＝kx+b经过第一、三象限时，k＞0，b＝0．∴b的取值范围是b≥0．故答案为：b≥0．17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点．若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为3cm．【分析】根据AC+BD＝24厘米，可得出出OA+OB＝12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AC+BD＝24厘米，∴OA+OB＝12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF＝AB＝3cm．故答案为：3cm．18．某种过季绿茶的价格两次大幅下降，原来每袋250元，现在每袋90元，则平均每次下调的百分率是40%．【分析】问题求的是某种过季绿茶的价格两次大幅下降，平均每次的下降率；以原来每袋250元为基数，结果为每袋90元，降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是250（1﹣x），那么第二次后的价格是250（1﹣x）2，即可列出方程求解．【解答】解：设平均每次下调的百分率为x，依题意得250（1﹣x）2＝90，（1﹣x）2＝，1﹣x＝±，x1＝40%，x2＝160%（舍去）．答：平均每次下调的百分率为40%．故答案为：40%．19．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点P为对角线BD垂直平分线上一点，且PD＝5，则AP的长是3或．【分析】根据题意画出图形，如图所示，利用线段垂直平分线定理得到BM＝DM，可得出AM+BM＝AM+MD＝AD＝8，设AM＝x，则有BM＝8﹣x，在直角三角形ABM中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到AM与DM的长，根据DM＝5，得到此时P与M重合，AP的长即为AM的长；当P与N重合时，在直角三角形ABN中，由AB与BN的长，利用勾股定理求出AN的长即为AP的长．【解答】解：连接矩形ABCD对角线BD，做出BD的垂直平分线MN，交AD、BC分别于M，N点，连接BM，DN，AN，∴BM＝MD，AM+MD＝AM+BM＝AD＝8，在Rt△ABM中，设AM＝x，BM＝8﹣x，AB＝4，根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AM＝3，MD＝5，当P与M重合时，PD＝5，此时AP＝3；连接AN，当P与N重合时，由对称性得到PD＝ND＝BN＝5，在Rt△ABN中，AB＝4，BN＝5，根据勾股定理得：AN＝＝，此时AP＝．故答案为：3或．20．如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，点D为平面内一点，连接BD，∠CBD＝30°，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°后得到线段DE，∠CDF＝∠EDF，连接AE并延长与BD的延长线交于点F，AF＝6，则CF＝2．【分析】连接BE，过点A作AG⊥BF于点G，过C点作CH⊥BF于点H，证明△BCD ≌△BED得BC＝BE＝BA，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠BAE的度数，进而得∠GAF＝∠GF A＝45°，通过一系列的解直角三角形求得CH，再证明△CDF ≌△EDF得∠CFD＝∠EFD＝45°，再解直角三角形得结果．【解答】解：连接BE，过点A作AG⊥BF于点G，过C点作CH⊥BF于点H，∵∠CDF＝∠EDF，∴∠CDB＝∠EDB，∵CD＝ED，BD＝BD，∴△BCD≌△BED（SAS），∴∠CBD＝∠EBD＝30°，BC＝BE，∵BC＝BA，∴BA＝BE，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴∠BAE＝∠BEA＝75°，∵∠AGB＝90°，∴∠BAG＝90°﹣∠ABG＝30°，∴∠GAF＝45°，∴∠AFB＝45°，∴AG＝GF＝＝3，∴BC＝BA＝，∴，∵DC＝DE，∠CDF＝∠EDF，DF＝DF，∴△CDF≌△EDF（SAS），∴∠CFD＝∠EFD＝45°，∴CF＝CD＝2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）21．先化简，再求代数式﹣的值，其中x＝+1．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣＝＝，当x＝+1时，原式＝＝1+．22．如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个等腰直角△ABC；（2）在图2中画出一个钝角△ABD，使△ABD的面积是3．【分析】（1）连接AB，以B点为圆心，以BA长为半径作圆弧交7×4正方形网格图与C点，再连接AC、BC即可；（2）作底边长为2，高为3的钝角三角形ABD即可．【解答】解：（1）作图如下：三角形ABC即为所求；（2）作图如下：三角形ABD即为所求．23．“小组合作学习”成为我区推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“小组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：请结合图中信息解答下列问题：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为多少；（2）补全小组合作学习后学生学习兴趣的统计图；（3）通过“小组合作学习”前后学生学习兴趣的对比，请你估计小组合作学习后，全校2000名学生中学习兴趣低的学生还有多少人？【分析】（1）用整体1减去极高、低、中所占的百分比，即可求出小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比；（2）用抽查的总人数减去学习兴趣极高、高和低的人数，求出学习兴趣“中”的人数，从而补全统计图；（3）用总人数乘以学习后学习兴趣低的学生所占的百分比即可．【解答】解：（1）小组合作学习前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为：1﹣25%﹣20%﹣25%＝30%；（2）“小组合作学习”学习兴趣“中”的人数是：100﹣30﹣35﹣5＝30（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝100（人），答：全校2000名学生中学习兴趣低的学生还有100人．24．如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）．【分析】（1）证△ADE≌△CBF，得AD＝CB，从而得出四边形ABCD是平行四边形；（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质容易得出结果．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥BF，∴∠E＝∠F，∠DAC＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：AD＝BC、EC＝AF、ED＝BF、AB＝DC；理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，ED＝BF，∵AE＝CF，∴EC＝AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．25．哈尔滨地铁“二号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12台，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于165吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【分析】（1）根据车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输120吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；（2）利用车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式求出购买方案，求出最多购进载重量为8吨的卡车辆数即可．【解答】解：（1）设车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，根据题意得：，解得：．答：车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意得：8（5+z）+10（7+6﹣z）≥165，解之得：z≤，∵z＞0且为整数，∴z＝1，2；所以最多购进载重量为8吨的卡车为2辆．26．已知△ABC和△DEF均为等边三角形．（1）如图1，求证：AF＝BE；（2）如图2，若AF：BF＝2：3，EF的延长线交CA的延长线于点M．求EF：FM的值；（3）在（2）的条件下，若FM＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由△DEF为等边三角形，根据等边三角形的性质得EF＝FD，∠EFD＝60°，再由平角性质得∠BFE+∠AFD＝120°，由三角形内角和与等边三角形的性质得∠BEF+∠BFE＝120°，得∠BEF＝∠AFD，再由AAS定理得结论；（2）过E作EG⊥AC于点G，过点F作FH⊥AC于点F，证明△MFH∽△MEG，得，再由三角形的面积公式求得FH：EG便可得出结果；（3）过B作BN⊥AC于点N，由（2）中结论求得EF，设AF＝2x，用x表示AH，FH，DH，由勾股定理列出x的方程求得x便可得等边△ABC的边长，进而解直角三角形求得BN，最后由三角形的面积公式求得结果．【解答】解：（1）∵△DEF为等边三角形∴EF＝FD，∠EFD＝60°，∴∠BFE+∠AFD＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∴∠BEF+∠BFE＝120°，∴∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠AFD，∴∠BEF＝∠AFD，在△ADF和△BFE中，，∴△ADF≌△BFE（AAS），∴AF＝BE；（2）过E作EG⊥AC于点G，过点F作FH⊥AC于点F，如图2，则EG∥FH，∴△MFH∽△MEG，∴，仿照（1）证法可得△ADF≌△BEF≌△CDE，∴AD＝BF＝CE，AF＝BE＝CD，S△ADF＝S△CED，∴，∴，∵AF：BF＝2：3，∴，∴EF：FM＝1：2；（3）∵EF：FM＝1：2，FM＝4，∴EF＝2，∴DF＝EF＝2，设AF：AD＝AF：BF＝2：3，∴设AF＝2x，则AD＝3x，∴FN＝AF•sin60°＝x，AH＝＝x，∴DH＝AD﹣AH＝2x，∵DH2+FH2＝DF2，∴4x2+3x2＝4，解得，x＝，或x＝﹣（舍），∴AC＝AB＝BC＝5x＝，过B用BN⊥AC于点N，如图2，∴BN＝AB•sin60°＝，∴＝25．27．平面直角坐标系中，点A（6，0）过点A作x轴的垂线AD，点C、D均为第一象限内一点，连接OC，DC且DC＝OC，OC⊥DC．（1）如图1，求证：AC平分∠OAD；（2）如图2，延长AC交y轴于点E，直线CM的解析式为y＝mx+m，直线CM交y 轴于点F，设△EFM的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，取AC的中点Q，过点Q作y轴的平行线交直线FC于点P，交CD于点K，连接PE、QF，当四边形PEFQ为平行四边形时，求QK的长．【分析】（1）先判断出四边形AHCG是矩形，得出∠HCG＝90°，再判断出△OGC≌△DHC，得出CG＝CH，进而判断出矩形AHCG为正方形，即可得出结论；（2）先判断出OA＝OE，进而求出OE＝6，再求出OM＝4，即可得出结论；（3）先判断出CE＝CQ＝AQ，再判断出△AGC∽△AOE，得出，求出AG ＝CG＝4，进而求出OG＝2，进而求出AH＝4，DH＝2，AD＝2，再判断出QK是△ACD 的中位线，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点C作CG⊥x轴于G，CH⊥AD于H，∴∠AGC＝∠AHC＝90°，∵AD⊥x轴，∴∠HAG＝90°，∴∠AGC＝∠AHC＝∠HAG＝90°，∴四边形AHCG是矩形，∴∠HCG＝90°，∵OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，∴∠OCD＝∠GCH，∴∠OCG＝∠DCH，∵OC＝DC，∴△OGC≌△DHC（AAS），∴CG＝CH，∴矩形AHCG为正方形，∴AC平分∠OAD；（2）由（1）知，AC平分∠OAD，∴∠OAC＝45°，∴∠OEA＝90°﹣∠OAC＝45°＝∠OAC，∴OA＝OE，∵A（6，0），∴OA＝6，∴OE＝6，∴E（0，6），针对于直线CM的解析式为y＝mx+m，当x＝0时，y＝m，∴F（0，m），当y＝0时，0＝mx+m，∴x＝﹣4，∴M（﹣4，0），∴OM＝4，∴S＝S△EFM＝EF•OM＝（6﹣m）×4＝﹣2m+12，∵点C在第一象限内，∴点F在线段OE上，∴0＜m＜6，即S＝﹣2m+12（0＜m＜6）；（3）如图3，由（2）知，E（0，6），∴OE＝6，∵点Q是AC的中点，∴AQ＝CQ，∵四边形PEFQ是平行四边形，∴CQ＝CE，∴CE＝CQ＝AQ，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于H，作CG⊥x轴G，∴CG∥OE，∴△AGC∽△AOE，∴，∴，∴AG＝CG＝4，∴OG＝OA﹣AG＝2，由（1）知，四边形AHCG是正方形，∴AH＝CG＝4，由（1）知，△OGC≌△DHC，∴DH＝OG＝2，∴AD＝AH﹣DH＝2，∵四边形EFQP是平行四边形，∴PQ∥AD，∵点Q是AC的中点，∴QK是△ACD的中位线，∴QK＝AD＝1．。
2020年松雷初四校模二数学及答案
一、选择题：（每题 3 分，共 30 分）
1. ﹣2 的绝对值是（ ）
A．2
B．
C．
D．1
2. 下列运算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4
B． a2•a3＝a5
C．（3x）2 ＝6x2 D．（mn）5÷（mn）＝mn4
3. 下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
学生最喜爱的节目人数统计表
节目
人数（名） 百分比
最强大脑
a
10%
朗读者
15
b%
中国诗词大会
c
40%
出彩中国人
10
20%
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）x＝
，a＝
，b＝
；
（2）补全上面的条形统计图；
（3）若该校共有学生 5000 名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名．
一点，PQ//BG 交 AD 于点 Q，交 BD 的延长线于点 R,AQ=BN，△ANE 的周长为 20，DR= 5 2 ，求圆 O 半径.AAAM Q
N
P
O
B
E
B
E
OH
DB
F
D
EO F
D
R
C 图1
C G
图2
C
G
图3
27．在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 7x 28a 7 经过原点 O，交 x 轴正半轴于点 A，顶点为 D，对称
A.45°
B.60°
C.70°
D.40°
7. 如图，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，已知 CD＝1.5，BC＝2，则 cosB 的值是（ ）
黑龙江省哈尔滨市松雷中学2020-2021学年八年级上期期中考试数学试题
（1）如图1，求证： ；
（2）如图，若 平分 ， ，求证： .
25．我市道路美化工程招标，经测算：甲队12天完成的工程量是乙队9天完成的工程量的2倍，甲队干20天比乙队干15天多完成的工程量占总工程量的 .
（1）求甲、乙两队一天各完成此项工程的量？
（2）甲队施工一天需付工程款1.5万元，乙队施工一天需付工程款0.8万元，若要求完成此项工程的工程款不超过81万元，则乙队最少施工多少天？
（1） （2） （3） （4）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．镁原子的半径为 ，将数字0.000000016用科学记数法表示为____．
12．分式 有意义，则 的取值范围是_____．
13．把 因式分解的结果是______．
14．计算： ______．
15．计算： _______．
16．若 ， ， ，则 的值为______．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是解题关键.
20．5.
【解析】
【分析】
延长 至点 ，使 ，连接 ，延长 、 相交于点 ，设 ，可得
，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，由 可得 ，又因为 ， ，可得 ，所以 ， ， ，则
.
【详解】
解：设 ，因为 ，所以 ，
故选D.
【点睛】
此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
4．C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质判断即可.
【详解】
解：A、等腰三角形腰上的边才相等，此项错误；
B、等边三角形是特殊的等腰三角形，有三条对称轴，此项错误；
2021松雷中学校模四数学试题
25.某药厂有甲、乙两条医药箱生产线,甲生产线平均每天比乙生产线平均每天多生产 50 个，且甲生 产线生产 800 个医药箱所需要的时间与乙生产线生产 600 个医药箱所需要的时间相同. (1)求甲、乙两条生产线平均每天各生产医药箱多少个; (2)该药厂接到有关部门 10000 个医药箱的生产订单,为初四毕业生复学使用,要求生产时间不超过 40 天,该药厂立即同时启动甲、乙两条生产线,共同生产若干天后,甲生产线接到新任务,留下乙生产 线单独完成剩余工作,求甲、乙两条生产线至少合作多少天才能如期交货?
则∠B 的度数是（ ）.
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
8.方程 2 = 3 的解为( ) . 3x −1 x
A. x = 3 11
B． x = 11 3
C. x = 3 7
D. x = 7 3
9.在一个不透明的口袋中装有 2 个红球、2 个黑球，这些球除颜色外其他都相同，在看不到球的条
件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸到都是红球的概率是
.
x−2
13. 已知反比例函数ｙ＝ 3k＋1 的图象经过点（-3,4），则 k 的值为
.
x
14.计算： 3 27 − 1 =_______25b 分解因式的结果是
.
16.抛物线
y
=
−7
x
+
2
2
− 1 的顶点坐标是
.
5
A
D
E
F
17.
不等式组
x x
+ +
1＞0 2＞4x
C．55°
D．60°
6.将抛物线 y = 3x2 向左平移 2 个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2021-2022学年上学期初四学年数学(五四制)期末模拟试题(三)
松雷中学初四学年2020-2021学年度上学期期末模拟试题（三）一、选择题1．下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）．A ．-5B ．-2C ．1D ．42．下列运算正确的是（ ）．A ．a 2·a 4=a 8B ．3x+4y=7xyC ．(x-2)2=x 2-4D ．2a ·3a=6a 23．如图，下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（ ）．下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）．A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形5.反比例函数y=-21k x (k 为常数，k ≠0)的图象位于（ ）．A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限6.如图，在△ABC 中，∠CAB=70°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一个锐角α到△AB ′C ′的位置，连接CC ′，若CC ′∥AB ，则旋转角α的度数为（ ）．A.40°B.50°C.30°D.35°6题图 8题图7.把抛物线y=21(x-4)2先向左平移3个单位再向下平移4个单位所得到的抛物线是（）．A.y=21(x-4)2-4 B.y=21x 2 C.y=21(x-7)2-4 D.y=21(x-1)2-48.如图，△ABC 是一张顶角为120°的三角形纸片，AB=AC ，BC=12，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则DE 的长为（ ）．A.1B.2C.23D.39.如图,AB 为⊙O 的切线,切点为A,BO 交⊙O 于点C,点D 在⊙O 上,若∠ABO 的度数是32°,则∠ADC 的度数是（ ）．A.29°B.30°C.31°D.32°9题图 10题图10.如图，点D 是∆ABC 的边AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（ ）．.A ． EC AE BD AD =B ． BE DF AE AF =C ． EF AF EC AE =D ． EFAF BC DE = 二、填空题11．近年来，我国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高铁铁路营运里程将达到23 000公里，将23 000用科学记数法表示为 ．12．计算：-18+2= ．13．函数y=635-x x 中，自变量x 的取值范围是 ． 14．分解因式：ab 2-4ab+4a= ．15．不等式组⎩⎨⎧+≤+≥8x 3x 254-x 3 的解集为 ． 16.若扇形的弧长为6πcm ，面积为15πcm 2,则这个扇形所对的圆心角的度数为 .17.某工厂三月份的利润为16万元,五月份的利润为25万元,则平均每月增长的百分率为 ．18.在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的4个红球和3个白球,任意从口袋中摸出一个球,摸到红球的概率为 ．19.在△ABC 中,AB=AC=5,若将△ABC 沿直线BD 折叠,使点C 落在直线AC 上的点C ′处,若AC ′=3,则BC 的长为 ．C AD E F20．如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交AE 、BC 于H 、G ，若CG=7，则GH 的长为 ．三、解答题 21．（本题7分）先化简，再求代数式xx 1+÷(x x x 212+-)的值其中x=2cos30°+tan45°.22. （本题7分）图1、图2均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图1中以线段AB 为边画一个△ABT ，使tan ∠ABT=12，且△ABM 的面积为3； （2）在图2中以线段CD 为边画一个四边形CDEF ，使四边形CDEF 既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）直接写出四边形CDEF 的面积．（20题图）23. (本题8分)某学校准备组织六年级学生春游，供学生选择的春游地点分别是：植物园、太阳岛、东北虎林园.每名学生只能选择其中一个春游地点（必选且只选一个）.该校从六年级学生中随机抽取了a名学生，对他们选择春游地点的情况进行调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图.(1)求a的值；(2)求a名学生中选择去植物园春游的人数占所抽取人数的百分比是多少？(3)如果该校六年级有440名学生，请你估计选择去太阳岛春游的学生有多少名？24．(本题8分)已知：如图，在△ABC中，BA=BC，D、E、F分别是边AC、AB、BC三边的中点，连接DF、DE、EF．(1)如图1，求证：四边形DFBE是菱形；(2)如图2，延长FD至点G，使FD=DG，连接GC，并延长GC交FE的延长线于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有平行四边形(不包括以BF为一边的平行四边形)25.（本题10分）某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品2件和B种商品3件共需155元；若购进A种商品3件和B种商品5件共需245元；(1)求A、B两种商品每件的进价分别为多少元?(2)若该商店每销售1件A种商品可获利8元，每销售1件B种商品可获利6元，且商店将购进A、B共50件的商品全部售出后，要获得的利润不低于348元，问A种商品至少购进多少件？26.（本题10分）如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AD、BC 、AO, AD=AB.（1）求证：∠BAO=∠CDB（2）如图2 , 过点O作OH⊥AD，垂足为点H,求证：2OH+CE=DE（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC交于点F, 过点D作DM⊥AC，垂足为M，交AB于N,若OH=5 ，AF=3BF ，求ME的长.27.（本题10分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22(3)k 9y x =--+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴的正半轴交于点C ，且AB=12.（1）如图1，求k 的值；（2）如图2，点P 在第一象限对称轴右侧的抛物线上，PE ∥x 轴交射线BC 于点E ，设点P 的横坐标为t,线段EP 的长为d,求d 关于t 的函数解析式(不要求写自变量t 的取值范围)；（3）如图3，在（2）的条件下，作PZ ⊥x 轴交x 轴于点Z,点F 在线段BD 上，且，FQ ⊥BC ，交直线PZ 于点Q ，当PQ=8时，R 是线段CD 上的一点，过点R 作RG 平行于x 轴，与线段PQ 交于点G ，连接OG 、OQ ，恰好使∠GOQ=45°，延长QR 交抛物线于点H ，连接AH ，求线段AH 的长.。
2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学模拟试卷
2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣的倒数是（）A．B．C．D．﹣2．（3分）下列计算一定正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣a3b5）2＝a6b10C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b23．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图的几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）下列各点在反比例函数y＝的图象上的是（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（3，2）D．（﹣2，3）6．（3分）把抛物线y＝﹣x2+1的图象向左平移1个单位，则平移后的抛物线是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+1B．y＝﹣（x+1）2+1C．y＝﹣x2+2D．y＝﹣x27．（3分）方程＝的解为（）A．x＝2B．x＝﹣4C．x＝4D．x＝﹣28．（3分）如图，在坡角为a的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，tanα＝，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）A．1m B．9m C．2m D．2m9．（3分）如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．A．42B．48C．46D．5010．（3分）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）将42600000用科学记数法表示为．12．（3分）函数y＝﹣的自变量x的取值范围是．13．（3分）计算：﹣3＝．14．（3分）把多项式2ab3﹣8ab分解因式的结果为．15．（3分）不等式组的整数解的和为．16．（3分）某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是．17．（3分）已知一个扇形的圆心角为120°，面积为12π，则此扇形的弧长为．18．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为．19．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是高，且cos∠ABD＝，则BC＝．20．（3分）已知矩形ABCD，点E在AD边上，DE＜AE，连接BE，点G在BC边上，连接EG，BE平分∠AEG，若BG＝5GC，DE＝2CG，BE＝2，则△ABE的面积是．三、解答题：（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共计60分）21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°﹣2tan45°．22．如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D的端点都在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出一个以线段AB为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20．（2）在方格纸中以CD为底边画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且△CDK的面积为5．连接EK、FK，并直接写出△EFK的面积．23．初中学习生活就要结束了，小明就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出该班的总人数：（2）通过计算把统计图补充完整：（3）如果小华所在年级共有400名学生，请你估计该年级报考普高的学生有多少人．24．在平行四边形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，若AG＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与CF相等的线段．25．某文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，若购进3本A种笔记本与4本B种笔记本花180元；若购进5本A种笔记本与2本B种笔记本花160元．（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元？（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利超过468元，则最多购进A种笔记本多少本？26．如图：在⊙O中，OD为⊙O的半径，弦BC⊥OD于H，A为⊙O上一点，连接AB、AC．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）过点C作CM⊥AD于M，连接HM，求证：MH∥AB；（3）在（2）的条件下，延长CM交⊙O于N，连接AN，若OH＝DH，AN＝7，MH＝，求线段DM的长．27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣ax﹣3分别交x轴、y轴于A、B、C三点，连接AC、BC，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）点P在第四象限内抛物线上，其横坐标为t，连接PB、PC，设△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；（不需要写出t的取值范围）（3）在（2）的条件下，点E在线段OB上且点E坐标为（m，0），连接PE，将射线EB 沿PE翻折与y轴交于点F，BE+CF＝EF，点G在∠AEF的平分线上，连接GF并延长交线段BC于点K，∠GFE＝∠GFC，G点到x轴的距离等于3﹣m，过点K作KH∥y轴且与过点A的直线交于点H，连接FH交线段OE于点R，若EF＝2OR+ER，EG＝FH，求直线AH的解析式．2022年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣的倒数是（）A．B．C．D．﹣【分析】根据（）2＝a（a≥0）和倒数的定义即可得出答案．【解答】解：﹣的倒数是﹣＝﹣＝﹣，故选：D．2．（3分）下列计算一定正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣a3b5）2＝a6b10C．a6÷a2＝a3D．（a+b）2＝a2+b2【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方和幂的乘方法则、同底数幂的除法法则以及完全平方公式解答即可．【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣a3b5）2＝a6b10，原计算正确，故此选项符合题意；C、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．3．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．4．（3分）如图的几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看去，左边是3个正方形，右边是2个正方形．故选：A．5．（3分）下列各点在反比例函数y＝的图象上的是（）A．（﹣1，6）B．（1，﹣6）C．（3，2）D．（﹣2，3）【分析】根据y＝得k＝xy＝6，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于6，就在函数图象上．【解答】解：k＝xy＝6，A．xy＝﹣1×6＝﹣6≠k，不符合题意；B．xy＝1×（﹣6）＝﹣6≠k，不合题意；C．xy＝3×2＝6＝k，符合题意；D．xy＝﹣2×3＝﹣6≠k，不合题意．故选：C．6．（3分）把抛物线y＝﹣x2+1的图象向左平移1个单位，则平移后的抛物线是（）A．y＝﹣（x﹣1）2+1B．y＝﹣（x+1）2+1C．y＝﹣x2+2D．y＝﹣x2【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【解答】解：把抛物线y＝﹣x2+1的图象向左平移1个单位所得抛物线的表达式是y＝﹣（x+1）2+1．故选：B．7．（3分）方程＝的解为（）A．x＝2B．x＝﹣4C．x＝4D．x＝﹣2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x＝8x﹣12，解得：x＝4，检验：把x＝4代入得：x（2x﹣3）≠0，∴分式方程的解为x＝4．故选：C．8．（3分）如图，在坡角为a的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，tanα＝，则这两棵树之间的坡面AB的长为（）A．1m B．9m C．2m D．2m【分析】根据正切的定义求出BC，再根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，tanα＝＝，∵AC＝6m，∴BC＝2m，由勾股定理得：AB＝＝＝2（m），故选：C．9．（3分）如图．BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB等于（）度．A．42B．48C．46D．50【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC＝90°，∠B＝∠ADC＝48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：连接AB，如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠B＝∠ADC＝48°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；故选：A．10．（3分）如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC交GA于点E，∴＝，，，＝，∴A，B，D正确，C错误，故选：C．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）将42600000用科学记数法表示为 4.26×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：42600000＝4.26×107．故答案为：4.26×107．12．（3分）函数y＝﹣的自变量x的取值范围是x≠﹣．【分析】根据分母不为0，可得2x+1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2x+1≠0，解得：x≠﹣，故答案为：x≠﹣．13．（3分）计算：﹣3＝4．【分析】先化简，再算减法即可．【解答】解：﹣3＝5＝4．故答案为：4．14．（3分）把多项式2ab3﹣8ab分解因式的结果为2ab（b+2）（b﹣2）．【分析】先提公因式2ab，再利用平方差公式即可．【解答】解：2ab3﹣8ab＝2ab（b2﹣4）＝2ab（b+2）（b﹣2），故答案为：2ab（b+2）（b﹣2）．15．（3分）不等式组的整数解的和为0．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数解，求出之和即可．【解答】解：不等式组，由①得：x≤1，由②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，即整数解为﹣1，0，1，则不等式组的整数解的和为﹣1+0+1＝0．故答案为：0．16．（3分）某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是20%．【分析】设平均每次的降价百分率是x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣平均每次的降价百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：设平均每次的降价百分率是x，依题意得：75（1﹣x）2＝48，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），∴平均每次的降价百分率为20%．故答案为：20%．17．（3分）已知一个扇形的圆心角为120°，面积为12π，则此扇形的弧长为4π．【分析】根据扇形面积公式求得半径R，再根据弧长的公式求弧长即可．【解答】解：令扇形的半径和弧长分别为R和l，∵S＝＝12π，∴R＝6，∴l＝＝4π．∴扇形的弧长为4π．故答案为：4π．18．（3分）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为55°．【分析】首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，可求得∠ADO与∠ODC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案．【解答】解：连接AD，∵OA＝OD，∠AOD＝70°，∴∠ADO＝＝55°，∵AO∥DC，∴∠ODC＝∠AOC＝70°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝125°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝55°．故答案为：55°．19．（3分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是高，且cos∠ABD＝，则BC＝或3．【分析】根据题意画出图形，要分两种情况进行讨论；①△ABC是锐角三角形，②△ABC 是钝角三角形．【解答】解：分两种情况：①如图一，当△ABC是锐角三角形时，在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝，∴BD＝3，∴AD＝＝4，∴CD＝AC﹣AD＝5﹣4＝1，在Rt△BDC中，BC＝；②如图二，当△ABC是钝角三角形时，在△ABD中，BD是AC边上的高，AB＝5，cos∠ABD＝，∴BD＝3，∴AD＝＝4，∴CD＝AC+AD＝5+4＝9，在Rt△BDC中，BC＝＝3．故答案为：或3．20．（3分）已知矩形ABCD，点E在AD边上，DE＜AE，连接BE，点G在BC边上，连接EG，BE平分∠AEG，若BG＝5GC，DE＝2CG，BE＝2，则△ABE的面积是4．【分析】利用勾股定理列出方程组，可求HG＝GC＝1，则BG＝5，BH＝4，由勾股定理可求EH的长，即可求解．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，设CG＝x，则DE＝2x，BG＝5x，∵BE平分∠AEG，∴∠AEB＝∠BEG，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG，∴BG＝EG＝5x，∵EH⊥BC，∠D＝∠C＝90°，∴四边形DCHE是矩形，∴DE＝CH＝2x，∴HG＝x，BH＝4x，∵EH2＝BE2﹣BH2，EH2＝EG2﹣HG2，∴40﹣16x2＝25x2﹣x2，∴x＝1（负值舍去），∴BG＝5，BH＝4，HG＝1＝GC，DE＝2，∴BC＝6，EH＝＝＝2，∴AE＝4，∴S△ABE＝×2×4＝4，故答案为：4．三、解答题：（21-22每题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共计60分）21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝2sin60°﹣2tan45°．【分析】将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，然后将求出的a 的值代入即可解答．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝（﹣）•（a﹣2）＝•（a﹣2）＝，∵a＝2sin60°﹣2tan45°＝2×﹣2×1＝﹣2，∴原式＝＝．22．如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D的端点都在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出一个以线段AB为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20．（2）在方格纸中以CD为底边画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且△CDK的面积为5．连接EK、FK，并直接写出△EFK的面积．【分析】（1）作一个边长为5，高为4的菱形即可；（2）作一个腰为的等腰直角三角形即可，利用三角形面积公式求出△EFK的面积．【解答】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求；（2）如图，△CDK即为所求，△EFK的面积＝×1×3＝．23．初中学习生活就要结束了，小明就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出该班的总人数：（2）通过计算把统计图补充完整：（3）如果小华所在年级共有400名学生，请你估计该年级报考普高的学生有多少人．【分析】（1）根据重高人数25和所占的百分比是50%可以求得该班的总人数；（2）根据条形统计图可以得到普高的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）用总人数乘以样本中普高人数所占百分比．【解答】解：（1）该班的总人数为25÷50%＝50（人）；（2）“普高”人数为50﹣（25+5）＝20，所占百分比为×100%＝40%，则“职高”人数为×100%＝10%，补全图形如下：（3）估计该年级报考普高的学生有400×40%＝160（人）．∴该年级报考普高的学生有160人．24．在平行四边形ABCD中，点E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，过点D作DG⊥AB，垂足为点G，若AG＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有与CF相等的线段．【分析】（1）如图1中，欲证明四边形AECF是平行四边形只要证明AF＝EC，AF∥EC 即可．（2）如图2中，结论：与CF相等的线段有：AF，DF，AE，BE．EC．先证明四边形ACDG是矩形，再证明四边形AECF是矩形即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF＝AD，EC＝BC，∴AF＝EC．AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）与CF相等的线段有：AF，DF，AE，BE．EC．理由：如图2中，连接AC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝AG，∴AG＝CD，AG∥CD，∴四边形ACDG是平行四边形，∵∠G＝90°，∴四边形ACDG是矩形，∴∠ACD＝90°，∵AF＝DF，∴AF＝CF＝DF，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，∴CF＝AF＝DF＝AE＝EC＝BE．25．某文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，若购进3本A种笔记本与4本B种笔记本花180元；若购进5本A种笔记本与2本B种笔记本花160元．（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元？（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B 两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利超过468元，则最多购进A种笔记本多少本？【分析】（1）设每本A种笔记本的进价为x元，每本B种笔记本的进价为y元，根据“购进3本A种笔记本与4本B种笔记本花180元；购进5本A种笔记本与2本B种笔记本花160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本（100﹣m）本，利用总利润＝每本的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设每本A种笔记本的进价为x元，每本B种笔记本的进价为y元，依题意得：，解得：．答：每本A种笔记本的进价为20元，每本B种笔记本的进价为30元．（2）设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本（100﹣m）本，依题意得：（24﹣20）m+（35﹣30）（100﹣m）＞468，解得：m＜32，又∵m为正整数，∴m的最大值为31．答：最多购进A种笔记本31本．26．如图：在⊙O中，OD为⊙O的半径，弦BC⊥OD于H，A为⊙O上一点，连接AB、AC．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）过点C作CM⊥AD于M，连接HM，求证：MH∥AB；（3）在（2）的条件下，延长CM交⊙O于N，连接AN，若OH＝DH，AN＝7，MH＝，求线段DM的长．【分析】（1）根据垂径定理可得弧BD等于弧CD，从而得出结论；（2）延长CM交AB于点E，证明△AMC≌△AME，从而CM＝MC，进而MH是△BCE 的中位线，进一步得出结论；（3）可证明∠BAC＝60°，从而△ACQ是等边三角形，进而证明△AQN≌△CQN，从而求得BC和QN，设AQ＝2x，进而解三角形ABC，求得x的值，根据△CMD∽△NMA求得DM的值．【解答】（1）证明：如图1，∵OD为⊙O的半径，弦BC⊥OD于H，∴，∴∠BAD＝∠CAD；（2）证明：如图2，延长CM交AB于点E，∵CM⊥AD，∴∠AMC＝∠AME＝90°，在△AMC和△AME中，，∴△AMC≌△AME（ASA），∴CM＝MC，∵OD为⊙O的半径，弦BC⊥OD于H，∴CH＝BH，∴MH是△BCE的中位线，∴MH∥BE，∴MH∥AB；（3）解：如图3，连接OB，OC，CD，作CE⊥AB于E，∵OH＝DH＝，OB＝OD，∴OH＝，∵OD⊥BC，∴cos∠BOD＝，＝，∴∠BOD＝60°，∴∠COD＝∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BAC＝＝60°，由（1）知：AQ＝AC，BQ＝2HM＝3，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ，∵＝，∴∠NAB＝∠BCN，在△AQN和△CQB中，，∴△AQN≌△CQB（ASA），∴BC＝AN＝7，QN＝BQ＝3，设AQ＝CQ＝AC＝2x，∴EQ＝，CE＝，在Rt△BCE中，BE＝BQ+EQ＝3+x，BC＝7，CE＝，∴（）2+（x+3）2＝72，∴x＝，∴CQ＝5，AM＝＝，QM＝＝，∴MN＝QN+QM＝3+＝，∵＝，∴∠DCN＝∠NAM，∵∠CMD＝∠AMN，∴△CMD∽△NMA，∴＝，∴AM•DM＝MN•CM，∴＝，∴DM＝．27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣ax﹣3分别交x轴、y轴于A、B、C三点，连接AC、BC，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）点P在第四象限内抛物线上，其横坐标为t，连接PB、PC，设△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；（不需要写出t的取值范围）（3）在（2）的条件下，点E在线段OB上且点E坐标为（m，0），连接PE，将射线EB 沿PE翻折与y轴交于点F，BE+CF＝EF，点G在∠AEF的平分线上，连接GF并延长交线段BC于点K，∠GFE＝∠GFC，G点到x轴的距离等于3﹣m，过点K作KH∥y轴且与过点A的直线交于点H，连接FH交线段OE于点R，若EF＝2OR+ER，EG＝FH，求直线AH的解析式．【分析】（1）求得AB＝5，设A（m，0），B（n，0），从而n﹣m＝5，即：（n+m）2﹣4mn ＝25，根据根与系数的关系得m+n＝1，mn＝﹣，进一步求得a的值；（2）作PT⊥OB于T，交BC于R，可得B（3，0），进而求得直线BC的解析式为：y ＝x﹣3，从而得出P和R的坐标，进而表示出S与t的关系式；（3）作BQ⊥OB，交EP于Q，连接CQ，作QN⊥EF于N，在OA上截取OW＝OR，作FT⊥HK于T，作KH⊥OC于H，作VX⊥BE于V，将△QVB绕点Q逆时针旋转90°知△QMC，可得出四边形COBQ是正方形，可得出△EBQ≌△FTH，从而得出HT＝BQ＝3，根据KM2＝CM2+CK2，从而求得BE＝1，进一步求得结果．【解答】解：（1）由题意得，OC＝3，∵，∴AB＝5，设A（m，0），B（n，0），∴n﹣m＝5，∴（n+m）2﹣4mn＝25，令y＝0，ax2﹣x﹣3＝0，∴m+n＝1，mn＝﹣，∴1﹣4＝25，∴a＝；（2）如图1，作PT⊥OB于T，交BC于R，∵a＝，∴y＝﹣x﹣3，由，x1＝3，x2＝﹣2，∴B（3，0），∵C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，当x＝t时，y P＝，y R＝t﹣3，∴PR＝（t﹣3）﹣（）＝﹣+，∴S＝＝＝﹣+t；（3）如图2，作BQ⊥OB，交EP于Q，连接CQ，作QN⊥EF于N，∵PE平分∠BEF，∴BQ＝NQ，EN＝BE，∵∠GFE＝∠GFC，∴180°﹣∠GFE＝180°﹣∠GFC，∴∠NFK＝∠CFK，∵EF＝BE+CF，EF＝EN+FN＝BE+EN，∴FN＝CF，∵FQ＝FQ，∴△NFQ≌△CFQ（SAS），∴CQ＝NQ，∴四边形OCQB是正方形，在OA上截取OW＝OR，作FT⊥HK于T，作KH⊥OC于H，∴EF＝2OR+ER＝OR+OR+ER＝OW+OE＝EW，OW＝OR，∴∠WFO＝∠HFO，∵EG平分∠AEF，∴EG⊥FW，∴∠FSE＝∠EOF，∴∠WFO＝∠WES，∵HK∥y轴，∴∠FHT＝∠HFO，∴∠FHT＝∠WES，∵EP平分∠FSB，EG平分∠AEF，∴∠GEQ＝90°，∴∠OES+∠BEQ＝90°，∵∠EBQ＝90°，∴∠BQE+∠BEQ＝90°，∴∠BQE＝∠OES，∴∠FHT＝∠BQE，∵G到x轴距离＝3﹣m＝BE，∴EG＝EQ，∵EG＝FH，∴EQ＝FH，∵∠EBQ＝∠FTH＝90°，∴△EBQ≌△FTH（AAS），∴KH＝FT＝BE，HT＝BQ＝3，作VX⊥BE于V，设XV＝XB＝x，∴△EXV∽△EBQ，∴，设BE＝CH＝KH＝k，∴CK＝CH＝k，∴，∴x＝，∴BV＝＝，∴KV＝BC﹣BV﹣CK＝3﹣﹣，将△QVB绕点Q逆时针旋转90°知△QMC，∴CM＝BV，KM＝KV，∠KCM＝90°，∴KM2＝CM2+CK2，∴（3﹣﹣）2＝（2+（）2，∴k＝1，∴FT＝BE＝1，OE＝2，设CF＝y，则OF＝3﹣y，EF＝1+y，在Rt△EOF中，（3﹣y）2+22＝（y+1）2，∴y＝，∴CF＝，∴OF＝，∵HT＝BQ＝3，∴H（1，），设AH的解析式为：y＝px+q，∴，∴，∴y＝．。
2020年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学一模试卷 含解析
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．﹣6的相反数是（）A．﹣B．C．﹣6D．62．下列运算中，正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a6D．3a3﹣2a2＝a 3．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．45°B．85°C．90°D．95°6．如果将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2 7．某商店一套服装的进价为200元，若按标价的80%销售可获利72元，则该服装的标价是（）元．A．260B．340C．400D．4408．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．对于双曲线y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＞4D．k≥410．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：其中正确的个数是（）①a＜0；②b＜0；③c＜0；④＞0；⑤a+b+c＜0．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题11．将数607000用科学记数法表示为．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．13．计算﹣4的结果是．14．把多项式m2n﹣2mn2+n3分解因式的结果是．15．不等式组的整数解有个．16．抛物线y＝﹣2x2+8x﹣3的对称轴直线是．17．一个扇形的圆心角为135°，面积为6π，则此扇形的弧长为．18．如图，△ABC是圆O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝∠ABC，弦AC＝5，则圆O的半径为．19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一点E，在y轴上有一点F，满足OB＝3BF＝3AE，连接EF，交AB于点M，则M的坐标为．20．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，∠BEC＝135°，若BC＝5，S△ECA＝2，则BD＝．三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．先化简，再求代数式：÷（1+）的值，其中a＝tan60°﹣sin45°22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．（1）在图中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是等腰三角形且△ABC 为钝角三角形；（2）在图中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD是等腰三角形，且tan ∠ABD＝1；（3）连接CD，请直接写出线段CD的长．23．时下娱乐综艺节目风靡全国，随机对九年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢《我是喜剧王》（记为A）、《王牌对王牌》（记为B）、《奔跑吧，兄弟》（记为C）、《欢乐喜剧人》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：（1）求本次调查一共选取了多少名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）若九年级共有1900名学生，估计其中最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生大约是多少名．24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．25．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？26．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点K，连接DB、DC．（1）如图1，求证：DB＝DC；（2）如图2，点E、F在⊙O上，连接EF交DB、DC于点G、H，若DG＝CH，求证：EG＝FH；（3）如图3，在（2）的条件下，BC经过圆心O，且AD⊥EF，BM平分∠ABC交AD 于点M，DK＝BM，连接GK、HK、CM，若△BDK与△CKM的面积差为1，求四边形DGKH的面积．27．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝x+交x轴于点B，点A在x轴正半轴上，OC为△ABC的中线，C的坐标为（m，）（1）求线段CO的长；（2）点D在OC的延长线上，连接AD，点E为AD的中点，连接CE，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点F为射线BC上一点，连接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此时S值及点F坐标．参考答案一、选择题：（每题3分，共30分）1．﹣6的相反数是（）A．﹣B．C．﹣6D．6【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．解：﹣6的相反数是6．故选：D．2．下列运算中，正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a6D．3a3﹣2a2＝a 【分析】根据同底数幂的除法、乘法、幂的乘方及合并同类项法则逐一计算可得．解：A、a6÷a3＝a3，此选项错误；B、a2•a3＝a5，此选项错误；C、（a2）3＝a6，此选项正确；D、3a3与2a2不是同类项，不能合并，此选项错误；故选：C．3．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有3个正方形，第三横行中间有一个正方形．故选：C．4．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．45°B．85°C．90°D．95°【分析】根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠BAC和∠CAD的度数，进而求出∠BAD的度数．解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠BAC＝40°，∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠CAD＝∠DBC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+45°＝85°，故选：B．6．如果将抛物线y＝（x﹣2）2+1向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x﹣1）2+4C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x+1）2【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移，横坐标减，向上平移，纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后解答即可．解：抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），向左平移1个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标为（1，4），所以，所得抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+4．故选：B．7．某商店一套服装的进价为200元，若按标价的80%销售可获利72元，则该服装的标价是（）元．A．260B．340C．400D．440【分析】认真审题找出等量关系：服装的标价的80%正好等于服装的进价加上获利，然后根据等量关系列方程解答．解：设先设服装的标价为x元．由题意得：80%•x＝200+72，解得x＝340．即该服装的标价是340元．故选：B．8．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质进行判断即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD＝BC，∴，，，故选：C．9．对于双曲线y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＞4D．k≥4【分析】先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．解：∵双曲线y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，∴k﹣4＞0∴k＞4故选：C．10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：其中正确的个数是（）①a＜0；②b＜0；③c＜0；④＞0；⑤a+b+c＜0．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴、y轴的交点坐标、过（1，a+b+c）等知识，逐个判断即可．解：抛物线开口向下，因此①正确，对称轴为x＝＞0，可知a、b异号，a＜0，则b＞0，因此②不正确；抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；抛物线的顶点坐标为（﹣，），又顶点坐标为（，1），因此④正确；抛物线与x轴的一个交点在x轴的负半轴，对称轴为x＝，因此当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此⑤不正确；综上所述，正确的结论有2个，故选：B．二、填空题（每题3分，共30分）11．将数607000用科学记数法表示为 6.07×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将数607000用科学记数法表示为6.07×105，故答案为：6.07×105．12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得2x+3≠0，解得x≠．故答案为：x≠．13．计算﹣4的结果是3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．解：原式＝4﹣4×＝4﹣＝3．故答案为：3．14．把多项式m2n﹣2mn2+n3分解因式的结果是n（m﹣n）2．【分析】首先提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式即可．解：m2n﹣2mn2+n3＝n（m2﹣2mn+n2）＝n（m﹣n）2．故答案为：n（m﹣n）2．15．不等式组的整数解有3个．【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．解：∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣，∴不等式组的解集是﹣x＜3，∴不等式组的整数解是0，1，2，共3个，故答案为：3．16．抛物线y＝﹣2x2+8x﹣3的对称轴直线是x＝2．【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x﹣3＝﹣2（x﹣2）2+5，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，故答案为：x＝2．17．一个扇形的圆心角为135°，面积为6π，则此扇形的弧长为3π．【分析】设扇形的半径为R．利用扇形的面积公式求出R，再利用弧长公式计算即可．解：设扇形的半径为R．由题意：＝6π，解得R＝4，∴扇形的弧长＝＝3π，故答案为3π．18．如图，△ABC是圆O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝∠ABC，弦AC＝5，则圆O的半径为．【分析】可以作OD⊥AC于点D，根据垂径定理，得AD＝AC＝，由∠AOC＝∠ABC，可得∠AOC＝120°，再根据三角函数即可求得半径的长．解：如图，作OD⊥AC于点D，根据垂径定理，得AD＝AC＝，∵∠AOC＝∠ABC，∴圆心角AOC所对弧的度数等于圆周角ABC所对弧的度数的一半，∴的度数＝×360°＝120°∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，在Rt△ADO中，cos30°＝，∴OA＝×＝．故答案为．19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y 轴交于点B，在x轴上有一点E，在y轴上有一点F，满足OB＝3BF＝3AE，连接EF，交AB于点M，则M的坐标为（2，4）或（4，2）．【分析】先求出点A和点B的坐标，再根据OB＝3BF＝3AE，得出点E和点F的坐标，作出图形，求出直线EF和直线E'F'的解析式，然后分别与直线y＝﹣x+6组成方程组，即可求得答案．解：∵直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（6，0），B（0，6）∵OB＝3BF＝3AE∴E（4，0）或E'（8，0）；F（0，8）或F'（0，4），如图所示，连接EF，E'F'，分别交AB于点M和点M'，易知E'F∥AB∥EF'设直线EF的解析式为：y＝mx+8，将E（4，0）代入得：0＝4m+8，解得m＝﹣2∴y＝﹣2x+8由得：∴M（2，4）同理，设直线E'F'的解析式为：y＝nx+4，将E'（8，0）代入得：0＝8n+4解得：n＝﹣∴y＝﹣x+4由解得：∴M'（4，2）故答案为：（2，4）或（4，2）．20．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，∠BEC＝135°，若BC＝5，S△ECA＝2，则BD＝．【分析】如图，延长BE交AC于F，做E关于BE的对称点E′，连接BE′，CE′，则△BE′C≌△BEC，得到∠BE′C＝∠BEC＝135°，推出点A，B，E′，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠E′BC＝∠E′AC，求得AF＝BF，得到EF＝FC，设EF＝FC＝x，BF＝AF＝y，解方程组得到y＝＝，求得BE＝y﹣x＝3，根据勾股定理得到AE＝＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：如图，延长BE交AC于F，做E关于BE的对称点E′，连接BE′，CE′，则△BE′C≌△BEC，∴∠BE′C＝∠BEC＝135°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠BE′C＝180°，∴点A，B，E′，C四点共圆，∴∠E′BC＝∠E′AC，∵∠EBC＝∠E′BC，∴∠EBC＝∠E′AC，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴AF＝BF，∵∠FEC＝45°，∴EF＝FC，设EF＝FC＝x，BF＝AF＝y，∴，解得：x＝（负值舍去），x＝4（不合题意舍去），∴y＝＝，∴BE＝y﹣x＝3，∴AE＝＝5，∵△BDE∽△AFE，∴，∴＝，∴BD＝，故答案为：．三、解答题：（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）21．先化简，再求代数式：÷（1+）的值，其中a＝tan60°﹣sin45°【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简，再利用特殊角的三角函数值化简代入即可．解：原式＝÷＝•＝，∵a＝tan60°﹣sin45°＝﹣1，∴原式＝＝1﹣．22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．（1）在图中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是等腰三角形且△ABC 为钝角三角形；（2）在图中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD是等腰三角形，且tan ∠ABD＝1；（3）连接CD，请直接写出线段CD的长．【分析】（1）在图中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC是等腰三角形且△ABC为钝角三角形即可；（2）根据特殊角三角函数可得∠ABD＝45°，在图中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD是等腰三角形，且tan∠ABD＝1即可；（3）连接CD，根据勾股定理即可写出线段CD的长．解：如图：（1）△ABC即为所求作的图形；（2）△ABD即为所求作的图形；（3）CD＝＝．答：CD的长为．23．时下娱乐综艺节目风靡全国，随机对九年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢《我是喜剧王》（记为A）、《王牌对王牌》（记为B）、《奔跑吧，兄弟》（记为C）、《欢乐喜剧人》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：（1）求本次调查一共选取了多少名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）若九年级共有1900名学生，估计其中最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生大约是多少名．【分析】（1）用B的人数除以所占的百分比得到选取学生总数；（2）用D的人数除以总人数求出D所占的百分比，再用整体1减去其它节目所占的百分比求出C所占的百分比，求出C的人数，确定出C中男生人数；用总人数乘以A所占的百分比求出A的人数，确定出A中女生人数，从而补全条形统计图即可；（3）用九年级的总人数乘以最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生所占的百分比即可．解：（1）根据题意得：（12+8）÷40%＝50（名），答：本次调查一共选取了50名学生；（2）D占的百分比为×100%＝10%，C占的百分比为1﹣（20%+40%+10%）＝30%，C的人数为50×30%＝15（人），即C中男生为15﹣8＝7（人）；A的人数为50×20%＝10（人），A中女生人数为10﹣6＝4（人），补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1900×＝570（名），答：最喜欢《奔跑吧，兄弟》的学生大约是570名．24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC于F，连接EF．（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．【分析】（1）先证明四边形AEFG是平行四边形，再证明AE＝AG即可．（2）先证明AB＝AG，再分别证明AB＝BF＝CF＝EM，CM＝AG即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，∴∠ADF＝∠GFC＝90°，∴AE∥GF，在△ABG和△FBG中，，∴△ABG≌△FBG，∴AG＝FG，∵∠FBG+∠BED＝90°，∵∠BED＝∠AEG，∴∠FBG+∠AEG＝90°，∵∠ABG+∠AGE＝90°，∵∠ABG＝∠FBG，∴∠AEG＝∠AGE，∴AE＝AG，∴AE＝FG，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE＝AG∴四边形AEFG是菱形．（2）解：∵四边形AEFG是菱形，∴AE＝AG，∵BE＝EG，∠BAG＝90°，∴AE＝BE＝EG，∴△AEG是等边三角形，∴∠AGE＝60°，在RT△ABG中，∵∠ABG＝30°，∴AB＝AG，∵∠C＝30°，∴BC＝2AB，∴BE＝GE，EF∥AC，EM∥BC，∴BF＝FC，CM＝GM，在RT△AEM中，∵∠AME＝∠C＝30°，∠GEM+∠GME＝60°，∴∠GEM＝∠GME＝30°，∴EG＝AG＝GM＝CM，∵EM∥FC，EF∥CM，∴四边形EFCM是平行四边形，∴AB＝BF＝CF＝EM＝CM，∴是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．25．甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？【分析】（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．解：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解，∴x+10＝30（天）答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；（2）设甲队再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3．答：甲队至少再单独施工3天．26．已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点K，连接DB、DC．（1）如图1，求证：DB＝DC；（2）如图2，点E、F在⊙O上，连接EF交DB、DC于点G、H，若DG＝CH，求证：EG＝FH；（3）如图3，在（2）的条件下，BC经过圆心O，且AD⊥EF，BM平分∠ABC交AD 于点M，DK＝BM，连接GK、HK、CM，若△BDK与△CKM的面积差为1，求四边形DGKH的面积．【分析】（1）只需说明即可．（2）连接OC、OD、OG、OH，作OM⊥GH．先证明△ODG≌△OCH，然后利用垂径定理可得结论．（3）延长BM交圆O于P，连接CP、DP，作DQ⊥BM于Q，延长HD至R，使DR ＝DG，连接RG．先证DM＝DC＝DB，将△BDK与△CKM的面积差用BM表示从而求出BM的长，也就知道了DK的长，通过证明△DBK≌△HRG可知GH与DK相等，而四边形DGKH的面积就等于GH与DK乘积的一半．解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴DB＝DC．（2）如图2，连接OC、OD、OG、OH，作OM⊥GH．则OD＝OC，∴∠OCH＝∠ODH，∵，∴DO⊥BC，∴∠ODG＝∠ODH，∴∠ODG＝∠OCH，在△ODG和△OCH中：∴△ODG≌△OCH（SAS），∴OG＝OH，∵OM⊥GH，∴GM＝MH，EM＝FM，∴EG＝FH．（3）如图3，延长BM交圆O于P，连接CP、DP，作DQ⊥BM于Q，延长HD至R，使DR＝DG，连接RG．∵BC为直径，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BPD＝∠CPD＝45°，∵BM平分∠ABC，，∴∠PDM＝∠PDC，在△DPM和△DMC中：∴△DPM≌△DMC（ASA），∴DM＝DC＝DB，PC＝PM，∴∠MDQ＝∠MDB，BQ＝MQ＝BM∴∠QDP＝∠QDM+∠MDP＝∠BDM+∠MDC＝∠BDC＝45°，∴PQ＝DQ，∵DK⊥GH，∴∠BDK＝∠RHG，∵RD＝GD，∠GDR＝90°，∴∠GRH＝45°＝∠KBD，又∵GD＝CH，∴RD＝CH，∴RH＝CD＝BD，在△DBK和△HRG中：∴△DBK≌△HRG（ASA），∴GH＝DK＝BM．∵S△BDK﹣S△CKM＝1，∴S△BDM﹣S△CBM＝1，∴﹣＝BM（DQ﹣CP）＝BM（PQ﹣PM）＝BM2＝1．∴BM＝2，∴GH＝DK＝BM＝2，∴S四边形DGKH＝GH•DK＝4．27．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：y＝x+交x轴于点B，点A在x轴正半轴上，OC为△ABC的中线，C的坐标为（m，）（1）求线段CO的长；（2）点D在OC的延长线上，连接AD，点E为AD的中点，连接CE，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点F为射线BC上一点，连接DB、DF，且∠FDB＝∠OBD，CE＝，求此时S值及点F坐标．【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求m的值，由两点距离公式可求解；（2）先求出点A坐标，用待定系数法可求CO解析式，可得点D坐标点D（t，﹣t），由面积和差关系可求解；（3）由中点坐标公式可得点E坐标（，﹣t），由两点距离公式可求t的值，即可求S的值，分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和平行线的性质可求解．解：（1）∵直线BC：y＝x+交x轴于点B，∴点B坐标（﹣8，0），∵C的坐标为（m，）∴＝x+，∴m＝﹣，∴点C坐标为（﹣，）∴CO＝＝5；（2）如图，∵OC为△ABC的中线，∴BO＝AO＝8，∴S△ACO＝×8×＝10，∵点C坐标为（﹣，），点O坐标（0，0）∴直线CO解析式为：y＝﹣x，∴点D（t，﹣t），∴S△AOD＝×8×（﹣t）＝﹣4t，∴S△ACD＝S△AOD﹣S△AOC＝﹣4t﹣10，∵点E为AD的中点，∴S＝S△ACD＝﹣2t﹣5；（3）∵点D（t，﹣t），点A（8，0），点E是AD中点，∴点E坐标（，﹣t），∵CE＝，∴（﹣﹣）2+（+t）2＝13，∴t1＝﹣6，t2＝﹣8，∴点D（﹣6，）或（﹣8，8），当t1＝﹣6时，则点D（﹣6，），S＝﹣2×（﹣6）﹣5＝7，延长DF交x轴于点H，设点H（x，0）∵∠FDB＝∠OBD，∴DH＝BH，∴x+8＝∴x＝20，∴点H（20，0），设直线DH的解析式为：y＝kx+b，∴∴∴直线DH的解析式为：y＝﹣x+，∴x+＝﹣x+，∴x＝，∴点F（，），当t2＝﹣8，点D（﹣8，8），S＝﹣2×（﹣8）﹣5＝11，∵点D（﹣8，8），点B（﹣8，0），∴∠DBO＝90°，∵∠FDB＝∠OBD＝90°，∴DF∥BO，∴点F的纵坐标为8，∴8＝x+，∴x＝，∴点F（，8）．综上所述：点F坐标为（，）或（，8）．。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级(上)开学数学试卷(五四学制)
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）开学数学试卷（五四学制）一、选择题：（每小题3分，共计30分）1．（3分）下列方程是二元一次方程的是（）A．x﹣xy＝1B．x2﹣y﹣2x＝1C．3x﹣y＝1D．﹣2y＝1 2．（3分）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，12cm，8cm B．6cm，8cm，15cmC．2.5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12.6cm3．（3分）不等式﹣3x≤6的解集是（）A．B．C．D．4．（3分）李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收获一批成熟的果子．他选取了5棵果树，采摘后分别称重．每棵果树果子总质量（单位：kg），100，120，80．这五个数据的中位数是（）A．120B．110C．100D．905．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形6．（3分）在校冬季运动会上，有15名选手参加了200米预赛，取前八名进入决赛．已知参赛选手成绩各不相同，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．以上都可以7．（3分）若a＜b，下列各式中一定成立的是（）A．am2＞bm2B．C．（1+m2）a＜（1+m2）b D．1﹣a＜1﹣b8．（3分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝2∠B＝3∠C9．（3分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，OB 上分别取OD＝OE，移动角尺，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，H是BC 边的中点，连接DH与BE相交于点G；②DF＝FC；③BF＝AC，正确有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（每小题3分，共计30分）11．（3分）已知方程12（x+1）＝7（y﹣1），写出用x的代数式表示y．12．（3分）当时，代数式的值至少为1．13．（3分）人数相同的甲乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：＝＝80，s甲2＝24，s乙2＝18，则成绩较为稳定的班级是．14．（3分）如图，点D、E、F、B在同一条直线上，AB∥CD，且AE＝CF，若BD＝10，则EF＝．15．（3分）某次歌唱比赛，两名选手的成绩如下：测试选手测试成绩创新唱功综合知识A728567B857470若三项测试中创新，唱功，综合知识得分按3：6：1的比例确定个人的测试成绩选手．16．（3分）求不等式组的非负整数解．17．（3分）在△ABC中，AM平分∠BAC交BC于M，AD是△ABC的高，∠DAC＝30°，则∠MAD的度数为．18．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD＝9：7，则D到AB的距离为．19．（3分）如图，在△ABC中，D为BC中点，连接ED、FD、EF，若ED⊥DF，CF＝3，则EF的取值范围是．20．（3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，CE交于点O．过点O作OF⊥BC，垂足为F，OD•OE＝12，BC﹣BE﹣CD＝5．三、解答题：（21、22题每题8分，23题6分，24题8分，25、26、27题每题10分）21．（8分）解方程组：（1）；（2）．22．（8分）解不等式：（1）2﹣5x＞8一2x；（2）﹣1≤．23．（6分）如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC中的点A、点B、点C都在网格格点上．（1）在图中过点C作线段CD交AB于点D，使S△ACD＝S△BCD．（2）作△DEC≌△CBD，且点E在格点上，连接AE24．（8分）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，（1）如图1，求证：BE＝CD．（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下25．（10分）某商场计划购买A、B两种型号商品，经洽谈，购买一件A型商品比买一件B 型商品多用20元．且购买5件A型商品和4件B型商品共需1000元．（1）求购买一件A型商品、一件B型商品各需要多少元？（2）商场根据实际情况，需购买A、B两种型号的商品共50件，要求购买A、B两种型号商品的总费用不超过5540元．请你通过计算26．（10分）已知如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC；且∠BAC＝∠F AE，连接BF和CE．（1）如图1，求证：BF＝CE；（2）如图2，设BF与CE的交点为H，连接AH；（3）如图3，在（2）的条件下，∠BAC＝∠F AE＝90°时，四边形BCFE的面积等于8时，求BE的长．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），且a满足a2﹣4＝0．（1）如图1，直接写出点A的坐标为；（2）如图2，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，在y 轴正半轴上有一点B，连接AB、BP，线段BP的长为d，用含t的式子表示d；（3）如图3，在（2）的条件下，若＝，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，连接AC、DP、CD，过点B作BQ⊥CD分别交CD、x轴于点E、Q2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学八年级（上）开学数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共计30分）1．（3分）下列方程是二元一次方程的是（）A．x﹣xy＝1B．x2﹣y﹣2x＝1C．3x﹣y＝1D．﹣2y＝1【解答】解：A、x﹣xy＝1含有两个未知数，∴x﹣xy＝1不是二元一次方程；B、x7﹣y﹣2x＝1含有两个未知数．未知数的最高次数是8次，∴x2﹣y﹣2x＝5不是二元一次方程；C、3x﹣y＝1含有两个未知数，∴3x﹣y＝1是二元一次方程；D、﹣8y＝1含有两个未知数，不是整式方程，∴﹣7y＝1不是二元一次方程．故选：C．2．（3分）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，12cm，8cm B．6cm，8cm，15cmC．2.5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12.6cm【解答】解：A、3+8＜12，故此选项不符合题意；B、4+8＜14，故此选项不符合题意；C、2.8+3＞5，故此选项符合题意；D、7.3+6.8＝12.6，故此选项不符合题意；故选：C．3．（3分）不等式﹣3x≤6的解集是（）A．B．C．D．【解答】解：﹣3x≤6，解得：x≥﹣8，故选：D．4．（3分）李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收获一批成熟的果子．他选取了5棵果树，采摘后分别称重．每棵果树果子总质量（单位：kg），100，120，80．这五个数据的中位数是（）A．120B．110C．100D．90【解答】解：90，100，110，从小到大排列为：80，100，120，则这五个数据的中位数是：100．故选：C．5．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意，得（n﹣2）180°＝720°，解得：n＝6，故这个多边形是六边形．故选：A．6．（3分）在校冬季运动会上，有15名选手参加了200米预赛，取前八名进入决赛．已知参赛选手成绩各不相同，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．以上都可以【解答】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，所以要判断是否进入前8名．故选：B．7．（3分）若a＜b，下列各式中一定成立的是（）A．am2＞bm2B．C．（1+m2）a＜（1+m2）b D．1﹣a＜1﹣b【解答】解：A．由a＜b，am2＝bm2，故此选项不符合题意；B．由a＜b，式子没有意义；C．由a＜b3≥1，可得（1+m5）a＜（1+m2）b，故此选项符合题意；D．由a＜b，所以7﹣a＞1﹣b；故选：C．8．（3分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝2∠B＝3∠C【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴△ABC是直角三角形；B、设∠A＝x，∠C＝3x，∴x+5x+3x＝180°，∴∠C＝90°；C、设∠A＝x，∠C＝3x，∴x+5x+3x＝180°，∴∠C＝90°；D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠C+，解得∠C＝，∴本题选项符合题意．故选：D．9．（3分）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，OB 上分别取OD＝OE，移动角尺，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【解答】解：依题意知，在△DOP与△EOP中，，∴△DOP≌△EOP（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，即OF即是∠AOB的平分线．故选：D．10．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，H是BC 边的中点，连接DH与BE相交于点G；②DF＝FC；③BF＝AC，正确有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵H是BC边的中点，∴DH＝CH，∴①正确；②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，∵BE平分∠ABC，∴DF＝FM，∴DF＜FC，∴②错误；③∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD，∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF＝AC，∴③正确；④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE＝∠CBE，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴在△ABE与△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE＝AC，∵AC＝BF，∴4CE＝BF，∴④正确．故选：C．二、填空题：（每小题3分，共计30分）11．（3分）已知方程12（x+1）＝7（y﹣1），写出用x的代数式表示y．【解答】解：12（x+1）＝7（y﹣7），12x+12＝7y﹣7，2y＝12x+19，y＝．故答案为：．12．（3分）当y≤﹣时，代数式的值至少为1．【解答】解：依题意得：≥1，∴3﹣4y≥4，∴﹣2y≥7，∴y≤﹣．13．（3分）人数相同的甲乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：＝＝80，s甲2＝24，s乙2＝18，则成绩较为稳定的班级是乙班．【解答】解：∵s甲2＝24，s乙2＝18，∴s甲6＞s乙2，∴乙班成绩较为稳定，故答案为：乙班．14．（3分）如图，点D、E、F、B在同一条直线上，AB∥CD，且AE＝CF，若BD＝10，则EF＝6．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，∵AE∥CF，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CFD中，，∴△ABE≌△CFD（AAS），∴BE＝DF，∵BD＝10，BF＝2，∴DF＝BD﹣BF＝8，∴BE＝4，∴EF＝BE﹣BF＝8﹣2＝3．故答案为：6．15．（3分）某次歌唱比赛，两名选手的成绩如下：测试选手测试成绩创新唱功综合知识A728567B857470若三项测试中创新，唱功，综合知识得分按3：6：1的比例确定个人的测试成绩A选手．【解答】解：A选手的成绩是：＝79.3，B选手的成绩是：＝76.9，∵79.3＞76.9，∴第一名是A选手．故答案为：A．16．（3分）求不等式组的非负整数解0、1、2．【解答】解：解不等式4x+16＞0，得：x＞﹣8，解不等式3x﹣6≤3，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣4＜x≤4，所以不等式组的非负整数解为0、1、7．17．（3分）在△ABC中，AM平分∠BAC交BC于M，AD是△ABC的高，∠DAC＝30°，则∠MAD的度数为35°或15°．【解答】解：分两种情况：①当AD在△ABC内部时，如图1所示：∵∠BAD＝50°，∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝50°+20°＝70°，∵AM平分∠BAC交BC于M，∴∠MAC＝∠BAC＝；②当AD在△ABC外部时，如图8所示：∵∠BAD＝50°，∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD0−∠DAC＝50°−20°＝30°，∵AM平分∠BAC交BC于M，∴∠MAC＝∠BAC＝×30°＝15°．故答案为35°或15°．18．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD＝9：7，则D到AB的距离为14．【解答】解：如图，∵BD+CD＝BC＝32，BD：DC＝9：7，∴CD＝14，作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝14．（角平分线上的点到角的两边的距离相等），即：点D到AB的距离为14，故答案为：14．19．（3分）如图，在△ABC中，D为BC中点，连接ED、FD、EF，若ED⊥DF，CF＝3，则EF的取值范围是3＜EF＜9．【解答】解：延长ED到M，使DM＝ED，CM，∵D为BC中点，∴BD＝CD，在△BED和△CMD中，，∴△BED≌△CMD（SAS），∵BE＝CM＝6，∵ED⊥DF，∴∠FDE＝∠FDM＝90°，又∵ED＝DM，∴FE＝FM，在△CFM中，CM＝6，∴CM﹣CF＜FM＜CM+CF，即3＜FM＜9，∴3＜EF＜3，故答案为：3＜EF＜9．20．（3分）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的角平分线，CE交于点O．过点O作OF⊥BC，垂足为F，OD•OE＝12，BC﹣BE﹣CD＝5．【解答】解：在BC上取点G和H，使BG＝BE，∵BD，CE是△ABC的用平分线，∴∠EBO＝∠GBO，∠DCO＝∠HCO，又∵BO＝BO，CO＝CO，∴△BEO≌△BGO（SAS），△ODC≌△OHC（SAS），∴∠BOG＝∠BOE，∠HOC＝∠DOC，∵∠A＝120°，∴，∴∠BOE＝30°，∠BOC＝150°，∴∠GOH＝∠BOC﹣∠BOG﹣∠HOC＝150°﹣30°﹣30°＝90°，∴＝＝7，∵BC﹣BE﹣CD＝5，∴BC﹣BG﹣CH＝5，即 GH＝7，∴，故答案为．三、解答题：（21、22题每题8分，23题6分，24题8分，25、26、27题每题10分）21．（8分）解方程组：（1）；（2）．【解答】解：（1），①+②×8得：11x＝22，解得：x＝2，把x＝2代入②得：7+y＝7，解得：y＝﹣1，则方程组的解为；（2），①×2+②×8得：26x＝39，解得：x＝，把x＝代入②得：y＝﹣，则方程组的解为．22．（8分）解不等式：（1）2﹣5x＞8一2x；（2）﹣1≤．【解答】解：（1）2﹣5x＞2﹣2x，移项得﹣5x+6x＞8﹣2，合并得﹣8x＞6，系数化为1得x＜﹣4；（2）﹣6≤，去分母得2（1﹣x）﹣2＜3（1﹣8x），去括号得2﹣2x﹣3＜3﹣6x，移项得﹣3x+6x＜3﹣8+6，合并得4x＜6，系数化为1得x＜．23．（6分）如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知△ABC中的点A、点B、点C都在网格格点上．（1）在图中过点C作线段CD交AB于点D，使S△ACD＝S△BCD．（2）作△DEC≌△CBD，且点E在格点上，连接AE【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；（2）如图，△BCE即为所求．S△ACE＝3××2×3﹣．故答案为：5．24．（8分）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE相交于点F，（1）如图1，求证：BE＝CD．（2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AE＝AD，∵AC＝AB，∴AC﹣AD＝AB﹣AE，即BE＝DC；（2）由（1）可知△ABD≌△ACE，BE＝DC，∴∠B＝∠C，AE＝AD，∴△BEF≌△DCF（ASA），∴BF＝CF，EF＝DF，∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS）．25．（10分）某商场计划购买A、B两种型号商品，经洽谈，购买一件A型商品比买一件B 型商品多用20元．且购买5件A型商品和4件B型商品共需1000元．（1）求购买一件A型商品、一件B型商品各需要多少元？（2）商场根据实际情况，需购买A、B两种型号的商品共50件，要求购买A、B两种型号商品的总费用不超过5540元．请你通过计算【解答】解：（1）设购买一件A型商品需要x元，购买一件B型商品需要y元，依题意得：，解得：．答：购买一件A型商品需要120元，购买一件B型商品需要100元．（2）设该商场可购买A型商品m件，则购买B型商品（50﹣m）件，依题意得：120m+100（50﹣m）≤5540，解得：m≤27．答：该商场最多可购买A型商品27件．26．（10分）已知如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC；且∠BAC＝∠F AE，连接BF和CE．（1）如图1，求证：BF＝CE；（2）如图2，设BF与CE的交点为H，连接AH；（3）如图3，在（2）的条件下，∠BAC＝∠F AE＝90°时，四边形BCFE的面积等于8时，求BE的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵∠BAC＝∠F AE，∴∠BAF＝∠CAE，在△BAF和△CAE中，，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE．（2）证明：如图2中，过点A作AM⊥CE于M．连接AH．∵△BAF≌△CAE，AN⊥BF，∴AN＝AM（全等三角形的对应边上的高相等），∴AH平分∠BHE．（3）解：如图4中，设AC交BF于点O．∵∠BAC＝∠F AE＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，在△BAF和△CAE中，，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，∵∠BOA＝∠COH，∴∠BAO＝∠CHO＝90°，∴BF⊥EC，∴S四边形BCFE＝•BF•CE＝2，∴EC＝BF＝4，由（2）可知AH平分∠BHE，∴∠AHB＝∠BHE＝45°，∴∠HAF+∠AFH＝45°，∵∠OAH＝∠AFH，∴∠F AO＝∠OAH+∠F AH＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠F AO＝∠ACB＝45°，∴AF∥BC，∵AE⊥AF，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC＝4．27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0），且a满足a2﹣4＝0．（1）如图1，直接写出点A的坐标为（2，0）；（2）如图2，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，在y 轴正半轴上有一点B，连接AB、BP，线段BP的长为d，用含t的式子表示d；（3）如图3，在（2）的条件下，若＝，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，连接AC、DP、CD，过点B作BQ⊥CD分别交CD、x轴于点E、Q【解答】解：（1）∵a2﹣4＝3，∴a＝±2，∵点A（a，0）在x轴的正半轴上，∴a＝3，∴点A坐标为（2，0），故答案为：（6，0）；（2）如图2，在x轴负半轴上截取OH＝OA，∵OH＝OA＝2，AO⊥BO，∴AB＝BH，又∵AO⊥BO，∴∠ABO＝∠HBO，∠BAH＝∠BHA，∵∠BP A＝2∠OBA，∴∠ABH＝∠APB，∵∠BAH＝∠APB+∠ABP，∠PBH＝∠ABH+∠ABP，∴∠PBH＝∠BAH，∴∠BHA＝∠PBH，∴PB＝PH，∴d＝4+5t；（3）∵，∴＝，∴t＝4，∴OP＝8，如图3，过点C作CF⊥y轴于F，设BO与CD交于点H，∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴CB＝AB，∠CBA＝90°＝∠AOB＝∠CFB＝∠DBP，∴∠CBF+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAO，∴∠BAO＝∠CBF，∴△BCF≌△ABO（AAS），∴BF＝AO＝4，CF＝BO，同理可证△PBO≌△BDG，∴BG＝OP＝8，DG＝BO，∴FG＝BF+BG＝10，DG＝BO＝FC，又∵∠CHF＝∠DHG，∠CFH＝∠DGH＝90°，∴△CFH≌△DGH（AAS），∴FH＝HG＝FG＝5，∴BH＝3，∵BQ⊥CD，∴∠BDC+∠DBQ＝90°＝∠DBQ+∠PBQ，∴∠BDC＝∠PBQ，∵∠DBH+∠PBH＝90°＝∠PBH+∠BPO，∴∠DBH＝∠BPO，又∵BD＝BP，∴△BDH≌△PBQ（ASA），∴BH＝PQ＝8，∴OQ＝5，∴点Q坐标为（5，4）．。