晶体的对称原理
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晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
《结晶学与矿物学》-第二章-八-晶体的对称特点和晶体的对称定律
八、晶体的对称特点与晶体的对称定律
晶体对称的特点：
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对称的（这种对称叫平移对
称）。
2）晶体的对称受格子构造规律的限制，因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”。
3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。
由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。
晶体的对称定律：
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，不可能出现n = 5， n > 6的情况。
为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网（即不能形成平行四边形），且不能毫无间隙地铺满整个空间,
即不能成为晶体结构。
思考：三角形、六边形可以形成面网吗？
2、数学的证明方法：
t’ = mt
t’= 2tsin(α-90)+ t = -2tcos α + t 所以，mt = -2tcos α + t
2cos α = 1- m
cos α = (1 - m)/2
-2 ≤ 1 - m ≤ 2 m = -1,0,1,2,3
相应的α ＝ 0 或2 π ， π /3, π /2， 2 π /3, π，相应的轴次为1，6，4，3，2。
（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）t t’t t αα。
23晶体的对称性和分类
晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映 出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任 一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶 体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
晶体的对称性
晶体对称性
晶体性质
晶体具异向性，并不排斥在某些特定的方向上性质相同。
这是因为在晶体的格子构造中，这些方向质点的排列是一样的，这就是晶体的对称性，表现在晶体外形上，即相等的晶面、晶棱和角顶有规律地重复出现。
晶体的对称性是晶体极其重要的性质。
中文名称
晶体对称性
英文名称
symmetry of crystal
定义
根据晶体其对称元素进行对称操作，能使其等同部分产生规律性的重合特性。
应用学科
材料科学技术（一级学科），材料科学技术基础（二级学科），材料科学基础（三级学科），材料组织结构（四级学科）
晶体的格子构造是晶体实现最小内能的结果。
由于晶体具有最小的内能，所以处于相对稳定的状态，这就是晶体的稳定性。
晶体只有在得到外来能量时，才能破坏其稳定性，有使之向非晶质转化。
这一点可以从晶体的加热曲线得到证明。
晶体的对称性
21
c
开普勒的老问题：为什么天上不下五角形雪花?
……从瓷砖铺 地的二维问题 来联想一下:
AB = 2acos = n a 由于-1cos1，所以，n = 0，±1，±2 所以，cos = 0，±1/2，±1； 得到基转角为90o，180º；60º，120º，360º 对应的旋转轴为 1，2，3，4，6对称轴。
晶体中存在3，6；不存在5，7，8
晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性称 为晶体的宏观对称性.
32个晶体学点群
将宏观对称元素合理组合得到32个宏子点群与晶体点群的区别： 水 C2V 冰 D6h 苯 D6h 苯晶体 D2h
晶体结构的对称性
晶体结构的对称性
晶体对称性的两个定理
1. 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组 直线点阵平行, 除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直; 晶体中的对称面(镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行, 而 与一组直线点阵垂直.
2. 轴次定理: 晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴) 的轴次只有1、2、3、4、6.
4.5晶体能带的对称性晶体具有对称性,因而晶体中电子的
晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同，我们可 以参照理解。
一、平移对称性 En (k ) En (k G h )
Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电子波函数位相的 变化。如果 k 改变一个倒格矢量，它们所标志的原胞之间波函数位 相的变化是相同的，也就是说 k 和 k+Gh 是等价的。从这点出发我们 也可认为 En(k) 是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢 的取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里渊区内。 我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区的每一块各自平移一 个倒格矢而与第一Brillouin区重合。同理，更高的Brillouin区也可通过 适当的平移与第一区重合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区 内，它包含了晶体能带的所有必要信息。
r
由于晶体在所属点群操作T(α)下保持不变。
引入点群对称操作T(α)，对任意函数 f(r)有：
T f (r) f ( 1r)
相当于改变了 坐标系
r
r’
首先证明，点群对称操作与Hamiltonian 对易
H 1 2 V r
2m
T Hr
1 2m
2 1r
V
1r
1r
1 2m
2
种表示法称为周期布里渊 区图象。
扩展布里渊区
简约布里渊区
二、晶格点群对称性 En (k ) En (k )
为晶体所属点群的任一点对称操作。该式表明能带与晶格 有相同的对称性。
证明：设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 En(k)：
Hˆ nk (r) En (k) nk (r)
V
r
T
r
HT r
一、平移对称性 En (k ) En (k G h )
Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电子波函数位相的 变化。如果 k 改变一个倒格矢量，它们所标志的原胞之间波函数位 相的变化是相同的，也就是说 k 和 k+Gh 是等价的。从这点出发我们 也可认为 En(k) 是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢 的取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里渊区内。 我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区的每一块各自平移一 个倒格矢而与第一Brillouin区重合。同理，更高的Brillouin区也可通过 适当的平移与第一区重合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区 内，它包含了晶体能带的所有必要信息。
r
由于晶体在所属点群操作T(α)下保持不变。
引入点群对称操作T(α)，对任意函数 f(r)有：
T f (r) f ( 1r)
相当于改变了 坐标系
r
r’
首先证明，点群对称操作与Hamiltonian 对易
H 1 2 V r
2m
T Hr
1 2m
2 1r
V
1r
1r
1 2m
2
种表示法称为周期布里渊 区图象。
扩展布里渊区
简约布里渊区
二、晶格点群对称性 En (k ) En (k )
为晶体所属点群的任一点对称操作。该式表明能带与晶格 有相同的对称性。
证明：设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 En(k)：
Hˆ nk (r) En (k) nk (r)
V
r
T
r
HT r
结晶学 第三章 晶体的对称
3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组 合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规 律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导 出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅 有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
晶体的对称性
x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31
a32
a33
（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对 称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴 若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演 轴 这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作 （a）n度旋转对称轴
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对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几
何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry)； 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis)； 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rotoreflection axis)
B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
A’
-a O
aA
2/n n 2/n
B’
B
证明
A’
-a O
aA
B' B ma 2 OB cos 2 2a cos 2
n
n
2/n n 2/n
m cos 2
2
n
cos 2 1 n
m 1或 m 2 2
B’
B
m cos n=360/
-2
-1 180
2
-1 -1/2 120
极射赤平投影图
六次旋转反映轴Ls6
极射赤平投影图
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素
对称元素 对称变换 基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
一次
360° L1 1
独立
对称轴
二次
三次
四次
直线
围绕直线的旋转
180° 120° 90°
L2
L3
L4
2
3
4
独立
独立
独立
六次
60° L6 6
独立
对称元素符号 宏观晶体的宏观对称要素
对称元素
对称中心
点
对称面
平面
旋转反伸轴
三次 四次
六次
直线和直线上的定点
对称变换 对于点的倒反 对于平面反映 绕直线旋转和点的倒反
基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
360° C 1
独立
·或C
180° P m
独立
双线或粗线
120° Li3 3
L3+C
90° Li4 4
独立
60° Li6 6 L3+P
第二篇 几何结晶学
主要内容：
第一章：晶体的对称原理 第二章：对称元素的组合 第三章：晶体所有可能的对称组合 第四章：空间点阵 第五章：晶体的定向及晶系 第六章：等效点系 第七章：单形和复形及其例举
问题的提出1：怎么从外形上辨别这些晶体？
问题的提出2：人工宝石是宝石，还是假宝石？
人工宝石确实是宝石，那么关于“假”这个问题怎么解释呢？从广义 上来说，不是天然的，就可以被算做“假”的。从狭义上来说，“假” 宝石一般是用其他品种的宝石冒充来的，比如说用塑料、水晶等冒充钻 石，或者用锆石、碳化硅冒充钻石，因为不是同一类的东西，所以可以 毫无疑问的说这是假的。
1.1 宏观对称要素
宏观对称的主要特征：
--有限图形的对称。 --对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）。
对称操作(symmetry operation)
能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复 的动作(对称操作)---包括旋转、反映、反演、旋转反映、 旋转反演。
1.1 宏观对称要素
对称元素和相应的对称操作：
对称面—P 操作为反映。 可以有多个对称面存在， 如3P、6P等.
该切面是 对称面
该切面不是矩 形体的对称面
对称面：
对称自身—L1 什么操作也没有进行 最低的一种对 称元素.
对称轴—Ln
操作为旋转 。其 中n代表轴次， 指旋转360度相 同部分重复的 次数。旋转一 次的角度为基
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，Li6 = L3 + P 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他
旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代 替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。 但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误 认为L2。
为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的平面结构不能 构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶 体结构。
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平 面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对
称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
(X, Y, Z)
X Y
a11 x a 21 x
a12 a22
y y
a13 a23
z z
Z a31x a32 y a33 z
3
0
0
90
4
1 1/2 60
6
2
1
360
1
对称中心—C 操作为反伸(演)。只可能在晶体中 心，只可能一个。
反伸操作演示：
但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。 凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平 行、同形等大。
对称中心：习惯符号C
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
转角 ，关系为：
n=360/ 。
二次旋转轴L2
投影符号：或
三次旋转轴L3
投影符号：
极射赤平投影图
四次旋转轴L4
投影符号：
极射赤平投影图
六次旋转轴L6
投影符号：
极射赤平投影图
晶体的对称定律-开普勒的老问题：为什么天上不下五角形的雪花？
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分 布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种， 不可能出现n = 5， n > 6的情况。
说点题外话，在市场上，商家听到“这颗 红宝石是不是真的”这种问题，就会知道 顾客是外行。如果遇上奸商，人家就会狠 狠宰你一刀。因此，如去珠宝店买东西， 不妨问问商家“这颗红宝石是不是合成的 啊？”商家一听就知道顾客还是懂点知识 的，也就不会太过分了。
第一章 晶体的对称原理
对称：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复，既相对又相称
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，
一定要找出最高的。
旋转反映轴 –Lsn ：操作为旋转+反映的复合操作 一次旋转反映轴Ls1
二次旋转反映轴Ls2
极射赤平投影图
三次旋转反映轴Ls3
极射赤平投影图
四次旋转反映轴Ls4
一次旋转反伸轴Li1
极射赤平投影图
Li 1= C
二次旋转反伸轴Li2
极射赤平投影图
Li 2= P
三次旋转反伸轴Li3
极射赤平投影图
Li 3= L3C
四次旋转反伸轴Li4
极射赤平投影图
Li 4
六次旋转反伸轴Li6
极射赤平投影图
Li 6= L3P
值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其 它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry)； 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis)； 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rotoreflection axis)
B与B＇, BB＇必然平行与AA＇
A’
-a O
aA
2/n n 2/n
B’
B
证明
A’
-a O
aA
B' B ma 2 OB cos 2 2a cos 2
n
n
2/n n 2/n
m cos 2
2
n
cos 2 1 n
m 1或 m 2 2
B’
B
m cos n=360/
-2
-1 180
2
-1 -1/2 120
极射赤平投影图
六次旋转反映轴Ls6
极射赤平投影图
对称元素符号
宏观晶体的宏观对称要素
对称元素 对称变换 基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
一次
360° L1 1
独立
对称轴
二次
三次
四次
直线
围绕直线的旋转
180° 120° 90°
L2
L3
L4
2
3
4
独立
独立
独立
六次
60° L6 6
独立
对称元素符号 宏观晶体的宏观对称要素
对称元素
对称中心
点
对称面
平面
旋转反伸轴
三次 四次
六次
直线和直线上的定点
对称变换 对于点的倒反 对于平面反映 绕直线旋转和点的倒反
基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号
360° C 1
独立
·或C
180° P m
独立
双线或粗线
120° Li3 3
L3+C
90° Li4 4
独立
60° Li6 6 L3+P
第二篇 几何结晶学
主要内容：
第一章：晶体的对称原理 第二章：对称元素的组合 第三章：晶体所有可能的对称组合 第四章：空间点阵 第五章：晶体的定向及晶系 第六章：等效点系 第七章：单形和复形及其例举
问题的提出1：怎么从外形上辨别这些晶体？
问题的提出2：人工宝石是宝石，还是假宝石？
人工宝石确实是宝石，那么关于“假”这个问题怎么解释呢？从广义 上来说，不是天然的，就可以被算做“假”的。从狭义上来说，“假” 宝石一般是用其他品种的宝石冒充来的，比如说用塑料、水晶等冒充钻 石，或者用锆石、碳化硅冒充钻石，因为不是同一类的东西，所以可以 毫无疑问的说这是假的。
1.1 宏观对称要素
宏观对称的主要特征：
--有限图形的对称。 --对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）。
对称操作(symmetry operation)
能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复 的动作(对称操作)---包括旋转、反映、反演、旋转反映、 旋转反演。
1.1 宏观对称要素
对称元素和相应的对称操作：
对称面—P 操作为反映。 可以有多个对称面存在， 如3P、6P等.
该切面是 对称面
该切面不是矩 形体的对称面
对称面：
对称自身—L1 什么操作也没有进行 最低的一种对 称元素.
对称轴—Ln
操作为旋转 。其 中n代表轴次， 指旋转360度相 同部分重复的 次数。旋转一 次的角度为基
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，Li6 = L3 + P 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他
旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代 替， Li6在晶体对称分类中有特殊意义。 但是，在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误 认为L2。
为什么呢？
1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的平面结构不能 构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶 体结构。
证明
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平 面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对
称轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
(X, Y, Z)
X Y
a11 x a 21 x
a12 a22
y y
a13 a23
z z
Z a31x a32 y a33 z
3
0
0
90
4
1 1/2 60
6
2
1
360
1
对称中心—C 操作为反伸(演)。只可能在晶体中 心，只可能一个。
反伸操作演示：
但这种反伸操作不容易在晶体模型上体现。 凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两两反向平 行、同形等大。
对称中心：习惯符号C
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
转角 ，关系为：
n=360/ 。
二次旋转轴L2
投影符号：或
三次旋转轴L3
投影符号：
极射赤平投影图
四次旋转轴L4
投影符号：
极射赤平投影图
六次旋转轴L6
投影符号：
极射赤平投影图
晶体的对称定律-开普勒的老问题：为什么天上不下五角形的雪花？
由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分 布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种， 不可能出现n = 5， n > 6的情况。
说点题外话，在市场上，商家听到“这颗 红宝石是不是真的”这种问题，就会知道 顾客是外行。如果遇上奸商，人家就会狠 狠宰你一刀。因此，如去珠宝店买东西， 不妨问问商家“这颗红宝石是不是合成的 啊？”商家一听就知道顾客还是懂点知识 的，也就不会太过分了。
第一章 晶体的对称原理
对称：物体(或图形)中相同部分之间有规律重复，既相对又相称
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对称要素，
一定要找出最高的。
旋转反映轴 –Lsn ：操作为旋转+反映的复合操作 一次旋转反映轴Ls1
二次旋转反映轴Ls2
极射赤平投影图
三次旋转反映轴Ls3
极射赤平投影图
四次旋转反映轴Ls4
一次旋转反伸轴Li1
极射赤平投影图
Li 1= C
二次旋转反伸轴Li2
极射赤平投影图
Li 2= P
三次旋转反伸轴Li3
极射赤平投影图
Li 3= L3C
四次旋转反伸轴Li4
极射赤平投影图
Li 4
六次旋转反伸轴Li6
极射赤平投影图
Li 6= L3P
值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其 它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：