组合数学导论
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学论
a,b : integer; procedure init; begin
clrscr; repeat write ('a='); readln(a); until(a>1)and(a<=maxn); repeat write ('b='); readln(b); until(b>1)and(b<=maxn); end; procedure main; var i,j begin : integer; { 建立递归边界}
A1 A2 Am
= S Ai
i 1 m
{1, 2 ,, n} 的2组合
A A
i
j
{1, 2,, n} 的3组合
A A
i
j
Ak (1) m A1 A2 Am
例 1： （足球胜利问题）获胜球队的 n 个球迷把他们的帽子抛向空中，帽子随便返回， 一顶帽子回到 n 个球迷中的一个， 恰好有 k 个球迷取得他们自己返回的帽子有多少种形式？ 分析：设 h(n,k)是选取 k 个幸运的帽子所有者的方式，显然有 n h(n, k ) k h(n k ,0) 事实上，k 顶帽子回归它的所有者，余下的 n-k 顶帽子都未回归它的所有者。我们引 入错排的定义：改变每一项原先位置的排列则称为错排列，显然 h(n-k,0)就是一个错排列。 N 个元素的错排列记 n 则 h(n-k,0)=（n-k） 下面我们引用容斥原理来计算 n 设 I={1,2,„,n 的所有全排列} 显然|I|=n!； I 的子集 Si={数 i 排在 I 位置上的全排列}。因数字 I 不动，所以|Si|=(n-1)!(i=1,2,…,n)； 同理， Si1 Si 2 Si 3 Sik 表示 i1 ， i 2 ，…， i k 位置上的全排列的集合，这就是说， 在 1,2,…,n 中除了 i1 ， i 2 ，…， i k 这 k 个数被固定外，其余 n-k 个数可以任意排列，所以
组合数学(4)概论
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Байду номын сангаас
例6 1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数
解：1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外.
故有9×9×9×9－1＝6560个. 含1的有：9999－6560=3439个 另: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有94 个,
注: 本例指围棋，现代围棋采用十九路，即有 19×19=361个交叉点可落黑子、 白子或留空。
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例4从包括五本不同的计算机书，三本不同的数学书和两 本不同的美术书中，选择两本不同的书有多少种方法？
运用乘法原理，我们发现可以选择两本书，一本计 算机书和一本数学书，有5×3=15种方法。同理，我们 也可以选择一本计算机书和一本美术书，有5×2=10种 方法。我们也可以选择一本数学书和一本美术书，有 3×2=6种方法。因为这些选法的集合互不相交，所以我 们可以用加法原理得出共有15+10+6=31种方法从不同的 计算机书、数学书和美术书选择两本。
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主席有2种选择，剩下的就分别是5和4种，共有：
2 × 5×4=40。 (c) [解法一] 类似于(b) 的证明，如果刘五是主 席，有20种方法。同理，如果刘五是秘书，有 20种可能。如果刘五是会计，也有20种可能。 因为这三种情况两两互不相交，根据加法原理， 共有20+20+20=60种可能。
9999－7380=2619个
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例7 一个由张一,王二,李三,赵四,刘五和陈六组 成的六人委员会要选出一个主席，一个秘
组合数学解析
组合数学解析在数学领域中，组合数学是研究离散结构的一门学科，它主要关注于物体的集合以及它们之间的排列、组合和选择方式。
组合数学广泛应用于计算机科学、信息技术、统计学、天文学等多个领域，在许多实际问题的建模和解决中都起到了重要的作用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指一组对象按照一定顺序进行排列的方式，而组合则是指从一组对象中选取一部分对象进行组合的方式。
排列和组合的计算公式为：排列公式：P(n,m) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]其中，n表示对象的总数，m表示要排列或组合的对象的数量，n!表示n的阶乘。
2. 二项式系数在组合数学中，二项式系数表示的是两个数的二项式展开系数，它也是组合数学中的重要概念。
二项式系数的计算公式为：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]二项式系数在组合数学中起到了非常重要的作用，它们具有许多重要的性质和应用。
二、组合数学的应用领域1. 组合数学在计算机科学中的应用在计算机科学中，组合数学是一门非常重要的学科。
组合数学的许多概念和方法被广泛应用于算法设计、图论、密码学、数据压缩等领域。
例如，在算法设计中，对于排列和组合的问题，组合数学可以提供有效的算法和优化策略。
在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码算法的安全性。
2. 组合数学在信息技术中的应用在信息技术领域中，组合数学也扮演着重要的角色。
例如，编码理论中的纠错码和压缩码的设计就依赖于组合数学的概念和方法。
另外，在网络优化、通信网络设计等问题中，组合数学的知识也能够提供宝贵的解决思路。
3. 组合数学在统计学中的应用在统计学中，组合数学可以用于描述和统计样本空间以及事件的可能性。
组合数学中的概率论和统计学概念有紧密的联系，例如样本空间的总数、事件的发生概率等都可以通过组合数学的方法进行计算和分析。
此外，组合数学还在实验设计、随机模型等方面发挥着重要作用。
组合数学引论课程设计
组合数学引论课程设计一、课程背景组合数学是数学的一个分支，它研究的是离散的对象和结构，这些对象和结构可看做是数量和属性等的集合。
在计算机科学、信息技术和通信工程等领域有着广泛应用。
组合数学的基本问题包括计数问题、排列问题、子集和图等问题，这些问题都是许多计算机程序设计中的重要内容。
因此，本次课程设计拟定组合数学引论作为课程内容，介绍组合数学中的基本概念和方法，以帮助学生掌握相关的知识和技能。
二、课程目标1.理解组合数学的基本概念，学习计数原理，掌握排列、组合和分步法等计算方法；2.学会使用数学语言和符号，逐步提高证明能力；3.加强解决实际问题的能力，掌握在计算机程序设计中的组合数学相关技术。
三、课程内容本课程介绍组合数学的基本概念和计数原理，并针对相关的计算方法进行详细的讲解。
以下是课程的大纲：1.组合数基本概念 . 组合数的定义和性质 . 笛卡尔积和二项式定理2.计数原理 . 加法原理和乘法原理 . 排列与组合3.容斥原理 . 基本原理 . 排列组合应用4.递推法 . 递推关系式 . 斐波那契数列5.分治方法 . 约瑟夫问题 . 归并排序6.生成函数 . 普通生成函数 . 指数生成函数四、课程设计本次课程设计主要包括课程作业和课程实验两个环节：1.课程作业：由老师布置一些作业题目，让学生将课程所学的知识应用到实践中，提高其计算和分析能力。
2.课程实验：设计两个实验，让学生深入理解组合数学的基本概念和计算方法。
–实验1：研究斐波那契数列的递归和递推两种计算方法的时间复杂度；–实验2：使用python编写生成函数，并对应用范围进行分析。
五、总结本次组合数学引论课程重点介绍了组合数的基本概念和计数原理，并深入讲解了递推法、容斥原理、分治方法和生成函数等重要技术。
学生不仅能够掌握组合数学的基本知识，还能应用到计算机程序设计等实际问题中。
通过课程作业的布置和课程实验的设计，学生的计算和分析能力得到了提高。
高等代数中的组合数学 基本概念与方法
高等代数中的组合数学基本概念与方法高等代数中的组合数学：基本概念与方法组合数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是离散结构的数学对象。
在高等代数中，组合数学的基本概念和方法被广泛应用于解决各种复杂的问题。
本文将介绍高等代数中组合数学的基本概念和方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指从一组对象中选取若干个对象进行排序的方式，而组合是指从一组对象中选取若干个对象，不考虑排序的方式。
2. 阶乘与二项式系数阶乘是指自然数相乘的结果，例如n的阶乘（n!）表示从1到n的所有自然数相乘的结果。
二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，记作C(n,k)或者nCk。
二、基本方法与技巧1. 计数原理计数原理是组合数学中最基本的方法之一，它包括加法原理、乘法原理和减法原理。
通过运用计数原理，可以对复杂的问题进行分析和解决。
2. 递推关系式在组合数学中，递推关系式是一个常用的方法，通过推导递推关系式，可以将复杂的组合问题转化为简单的递推计算过程。
3. 生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具，可以将组合问题转化为代数问题。
通过生成函数，可以求解各种组合数的性质和关系。
4. 容斥原理容斥原理是组合数学中用于处理包含关系的方法之一。
通过运用容斥原理，可以解决一些包含排列和组合问题的复杂情况。
5. 逆序排列与有限差分逆序排列和有限差分是组合数学中的两个重要方法，可以用于求解排列和组合问题中的一些性质和关系。
三、应用案例分析1. 组合数学在密码学中的应用通过组合数学的方法，可以破解密码中的一些加密算法，提高密码的安全性。
2. 组合数学在网络传输中的应用通过组合数学的方法，可以优化网络传输中数据的传输效率，提高网络传输的稳定性和可靠性。
3. 组合数学在图论中的应用组合数学在图论中有广泛的应用，通过组合数学的方法，可以分析和解决图的连通性、最短路径等问题。
数学专业的论与组合数学
数学专业的论与组合数学组合数学是数学的一个重要分支，其研究对象是离散的、具有结构性质的对象，涉及到计数、排列、组合等问题。
作为数学专业的一门重要课程，组合数学在数学研究和应用中起着非常重要的作用。
本文将从组合数学的基本概念、应用领域以及数学专业学生应掌握的相关知识等方面进行论述。
一、组合数学的基本概念1. 排列和组合组合数学研究的核心是排列和组合。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干个元素的方式，而组合则是从一组元素中按照一定的方式选择若干个元素的集合。
排列和组合的概念与数学中的阶乘、二项式系数密切相关。
2. 图论与树组合数学中的图论与树是基本的研究对象。
图论即研究顶点和边构成的图的性质和问题，而树可看作没有回路的连通图。
在计算机科学等领域中，图论与树的研究有重要的应用。
3. 置换与组合恒等式置换是指元素的排列，组合恒等式则是戴德金恒等式的推广。
组合恒等式在组合数学的研究中具有重要的作用，可以帮助解决很多计数问题。
二、组合数学的应用领域1. 计算机科学组合数学在计算机科学中有广泛的应用。
在数据结构、算法、密码学等方面，组合数学的方法和理论为解决实际问题提供了重要的工具和思路。
2. 组合优化与运筹学组合数学在组合优化和运筹学中有重要应用。
比如，旅行商问题、图着色问题、网络流等都是组合优化方面的经典问题，而这些问题的求解离不开组合数学的方法和技巧。
3. 通信与密码学在信息通信和密码学领域，组合数学的应用非常广泛。
哈夫曼编码、纠错码、密码系统等都涉及到组合数学的概念和算法。
4. 组合拆分与集合分割组合拆分与集合分割是组合数学中涉及到的重要问题。
在概率论、统计学等领域，组合拆分与集合分割的方法被广泛地应用于求解实际问题。
三、数学专业学生应掌握的组合数学知识1. 基本概念和方法数学专业的学生应该掌握组合数学的基本概念，如排列、组合、置换等，并能够应用这些概念解决简单的计数问题。
2. 图论与树图论与树是数学专业学生应该掌握的重要知识点。
组合数学 第一章
例 1 在1000到9999之间有多少个各位数字不 到 之间有多少个各位数字不 同的奇数? 同的奇数 首先, 个位数可取1, 共五种选择; 解 首先 个位数可取 3, 5, 7, 9共五种选择 共五种选择 其次, 千位数不能是0, 其次 千位数不能是 也不能取个位已选定的 所以有八种选择; 数, 所以有八种选择 然后, 百位数有八种选择; 最后, 然后 百位数有八种选择 最后 十位数有七种 选择. 选择 由乘法法则,所求的数共有 所求的数共有5× × × 由乘法法则 所求的数共有 ×8×8×7=2240个. 个
21
1.3.2 相异元素不允许重复的圆排列 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 如果把集合的元素排成一个圆,这种排列叫圆 排列,也叫环排列 环排列. 排列,也叫环排列.若两个圆排列由相同的元素所组 且其中任何两元素的相对位置保持不变, 成，且其中任何两元素的相对位置保持不变,这样 的圆排列认为是同一种排列. 元集S 定理 从 n元集 中不重复地取 个围成圆排列 元集 中不重复地取r 叫做圆形r 排列) (叫做圆形 -排列)，则不同的排列总数为
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解决组合问题常需要特殊的方法, 解决组合问题常需要特殊的方法,即使是在使用 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时, 组合数学中的基本原理和方法去解决问题时,仍需要 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时, 巧妙地应用它们.因此,在解决组合问题时,学习组合 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的. 典型问题的解题经验和方法是非常重要的 数学中典型问题的解题经验和方法是非常重要的.常 用的方法有： 用的方法有： （1）数学归纳法 （2）迭代法 （3）一一对应法 （4）组合意义法 （5）数论方法
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1.3.1 相异元素不允许重复的排列数和组合数 一、排列 个元素的集合S中有序选取的 定义 从n个元素的集合 中有序选取的 个元素 个元素的集合 中有序选取的r个元素 叫做S的一个 排列,不同排列的总数记作 的一个r-排列 不同排列的总数记作P(n, r)或 叫做 的一个 排列 不同排列的总数记作 或 如果r 则称这个排列为S的全排列,简称为 简称为S P . 如果 = n, 则称这个排列为 的全排列 简称为
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——吴文俊 院士
中国首届最高科技奖获得者
• 很好的数学基础一辈子终身受益。
• 大学本科期间不应该问这个课有 什么用，这是对你一生知识的某 种锻炼，将来发挥的作用是难以 估量的。
——王选 院士
当代毕昇 三院院士 2001年中国最高科技奖获得者
• 给这个学生三个钱币，让他走。 他居然想从几何学中捞到实利。
组合计数 组合算法 组合编码 组合设计 组合优化
• 洛书或九宫图
• 杨辉(1227—1279)
1 42
75 3 86 9
(1)九子斜排
9 42
75 3
86 1
(2)上下对易
9 42 35 7 86
1
(3)左右相更
49 2
35 7 81 6
(4)四维挺出
• 贾宪(约11世纪)
1 11 12 1 13 3 1 146 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
• Leonardo Fibonacci(意大利 1175—1259) 公元1202年，提出Fibonacci问题
1，1，2，3，5，8，13，21，34，
55，89，144，233，377，…
• 令 f n 表示第n月初兔子对数
f 0=0,f1=1 f n=f n1+f n2
n
n
f
(2)徐利治 等著.计算组合学.上海科 学技术出版社 (3)万哲先 编著.代数和编码.科学 出版社
• 参考书目（二）
(4)(美)Richard A.Bruadi著.组合数学. 冯舜玺,罗平,裴伟东译.机械工业出 (5)孙淑玲,许胤龙 编著.组合数学 引论.中国科学技术大学
• 友情推荐(一) 南开大学组合数学中心
——欧几里得
几何学之父 《几何原本》作者
• 在几何学中，没有专为国王设置 的捷径。 ——欧几里得
几何学之父 《几何原本》作者
• 我敬爱柏拉图，但我更爱真理。
——亚里士多德
• 吾爱吾师，吾尤爱真理。
——当代大学生
• 选用教材
组合数学 殷剑宏 编著 机械工业出版社
• 参考书目（一）
(1)陈景润 编著.组合数学简介.天津 科学技术出版社.
• 殷老师的工作(四)
• ①殷剑宏 吴开亚. 图论及其算法. 中 国科学技术大学出版社. 2003
• ②殷剑宏. 组合数学(普通高等教 育规划教材). 机械工业 出版社.2006
春有百花秋有月， 夏有凉风冬有雪。 只要组合不挂课， 便是人间好时节。
心存虔敬，口吐莲花。 幽默风趣，善于节制。
横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。
(/) 中国数学会分支机构 成立于1985年5月
历任学会主任 或理事长： 徐利治 朱 烈 李修睦 谢力同 刘桂真 范更华
邵嘉裕 管梅谷 陈永川
• 殷老师的工作(一)
• ①殷剑宏.一类特殊de Bruijn有向图的谱. 山东大学学报(理学版).2004
• ②殷剑宏.二分图的Laplace矩阵的最大特 征值.合肥工业大学学报(自然版).2004
• ③殷剑宏.相容关系的最大相容类的生成 算法.合肥工业大学学报(自然版).2004
• ④殷剑宏.一个生成Hasse图的有效算法. 合工大学报(自然版).2005
• 殷老师的工作(二)
• ⑤殷剑宏.有向de Bruijn图的谱.浙江大学 学报(理学版).2005
• ⑥殷剑宏.一类（0，1）矩阵的谱.合肥工 业大学学报(自然版).2005
组合数学 Combinatorics
• 组合数学
• 源于古老的东方数学 • 是讨论众多对象的安排与分布方法，研
究离散的、有限结构的科学 • 涉及几何、代数、分析的思想 • 主要内容不是证明定理，而是着重于
计算的过程、方法、步骤，这个方法 步骤就相当于计算机科学 中的所谓算法。
• 组合数学基本内容
(/) 创建于1997年 具有国际影响的组合数学研究机构 中心主任：陈永川 教授(南开大学副校长) 中心学术委员会主任：万哲先 院士 中心编辑的国际刊物: 《组合年刊》 《Annals of Combinatorics》
• 友情推荐(二) 中国组合数学与图论学会
• ⑦殷剑宏、汪荣贵.超立方体的Laplace矩 阵的谱.浙江大学学报(理学版).2007
• ⑧殷剑宏、汪荣贵、薛峰.生成图的全部 极大独立集的一般方法. 合工大学报(自然版).2008
பைடு நூலகம்
• 殷老师的工作(三)
• ⑨殷剑宏、罗珣.一个生成组合的新算法. 合肥工业大学学报(自然版)
• ⑩殷剑宏、胡敏一个生成排列的新算法. 合肥工业大学学报(自然版) ……
1010
000 010
101 111
1111
1001 0101 0110
0001
0010 1011
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011
00001111001011010000
• 23阶二进度de Bruijn有向图
111 0
1
1
0
0
0
1
0
1
0100
• 每个时代都有自己的数学，组合 数学就是信息时代的数学。
n
11 5
5
2
11 5
5
2
lim f n 1 50.618
f n n1
2
• 牛顿(Newton Isaac 1643—1727)
1665年，牛顿发现二项式定理
abn n Cknankbk k0
1x
Ck xk
k0
• 一个组合数学问题：
能否构造一个长为2n的二进制环状 串，使得二进制环状串中总共2n个 长为n的不同截断作为2n 个长为n的 二进制串来说互不相同。
1946年，荷兰数学家de Bruijn解决。
• 23阶二进度de Bruijn有向图
100
1100
110
1000 0100 1101 1110
0000