直线和圆的方程知识及典型例题

数学基础知识与典型例题

直线和圆的方程

直线和

圆的方

程知识

关系

直线的方程一、直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180

α<

o o

≤.

2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即

tan

kα

=.

注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

②当ο

90

=

α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在.

③过两点

111

(,)

P x y、

222

(,)

P x y

12

()

x x

≠的直线斜率公式21

21

tan

y y

k

x x

α

-

==

-

二、直线方程的五种形式及适用条件

名称方程说明适用条件

斜截式y=kx+b

k—斜率

b—纵截距

倾斜角为90°的直线

不能用此式

点斜式y-y0=k(x-x0)

(x0，y0)—直线上已

知点，

k ──斜率

倾斜角为90°的直线

不能用此式

两点式1

21

y y

y y

-

-

=1

21

x x

x x

-

-

(x1，y1)，(x2，y2)是

直线上两个已知点

与两坐标轴平行的直

线不能用此式

截距式

x

a

+

y

b

=1

a—直线的横截距

b—直线的纵截距

过（0，0）及与两坐标

轴平行的直线不能用

此式

一般式

A x+

B y+C=0

(A、B不全为零)

A、B不能同时为零

两直线的位置关系⑵两条相交直线

1

l与

2

l的夹角：

两条相交直线

1

l与

2

l的夹角，是指由

1

l与

2

l相交所成的四

个角中最小的正角θ，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围

是0,

2

π

??

?

?

?

,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时，

则有21

12

tan

1

k k

k k

θ

-

=

+

.

4.距离公式。

⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：A x+B y+C=0，则点P到直线l

的距离d=00

22

||

Ax By C

A B

++

+

；

⑵两平行直线l1:A x+B y+C1=0，l2:A x+B y+C2=0之间的距离

d=12

22

||

C C

A B

-

+

。

5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.

含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，

即旋转直线系和平行直线系.

⑴在点斜式方程y-y0=k(x-x0)中，

①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的

旋转直线系，

②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.

⑵已知直线l：A x+B y+C=0，

则①方程A x+B y+m=0（m为参数）表示与l平行的直线系；

②方程-B x+A y+n=0（n为参数）表示与l垂直的直线系。

⑶已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，

直线l2：A2x+B2y+C2=0，

则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0

表示过l1与l2交点的直线系（不含l2）

掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思

路.

例10. 经过两直线

11x－3y－9＝0与

12x＋y－19＝0的交点，且过

点(3,-2)的直线方程为

_______.

例11. 已知△ABC中，A（2，

-1），B（4，3），

C（3，-2），求：

⑴BC边上的高所在直线方

程；⑵AB边中垂线方程；⑶

∠A平分线所在直线方程.

例12. 已知定点

P（6，4）与定直线l1：y=4x，

过P点的直线l与l1交于第一

象限Q点，与x轴正半轴交

于点M，求使△OQM面积最

小的直线l方程.

简单的线性规划线性规划

⑴当点P(x0，y0)在直线A x+B y+C=0上时，其坐标满足方程A x0+B y0+C=0；

⑵当P不在直线A x+B y+C=0上时，A x0+B y0+C≠0，即A x0+B y0+C>0或A x0+B y0+C<0。这就是二元一次不等式的几何意义：二元一次不等式A x+B y+C>0（或<0）表示直线A x+B y+C=0上方或下方区域，其具体位置的确定常用原点（0，0）代入检验。

利用此几何意义，可以解决一类二元函数的最值问题。这就是线性规划的内容。

简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4

-，6）在直线0

2

3=

+

-a

y

x的两侧，则实数a的取值范围是()724

A a a

<->

或()724

B a

-<<()724

C a a

=-=

或（D）以上都不对例14. ABC

?的三个顶点的坐标为(2,4)

A，(1,2)

B-，(1,0)

C，点(,)

P x y在ABC

?内部及边界上运动，则2

y x

-的最大值为，最小值为。

例15. 不等式组：

10

x y

x y

y

-+

+

?

?

?

?

?

≥

≤

≥

表示的平面区域的面积是；

例个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高

例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：

根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元（利润=学费收入－年薪支出）

曲线和方程曲线与方程：在直角坐标系中,当曲线C和方程F(x，y)=0满足如下关系时：

①曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)=0的解；

②②以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上，则称曲线C为方程F(x，y)=0表

示的曲线；方程F(x，y)=0是曲线C表示的方程.

注:⑴如果曲线C的方程是F(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C上的充要条件是F(x0 ,y0)=0

⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。其特征是以数解形, 坐标法是几何问题代数化的重要方法。

⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限）、代、化.

曲线和方程例18. 点)

,

(6

2t

t

M适合方程3x

y=是点M在曲线3x

y=上的( )

(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)什么条件也不是

例19.曲线C

1

：x

y

x=

+2

2与C

2

：y

xy=

2的交点数是（）

(A)1个(B) 2个(C)3个(D)4个

例20. 已知定点)0,1

(-

A，)0,1(B，点M与A、B两点所在直线的斜率之积等于4

-，则点M的轨迹方程是

例22. 如图，圆

1

O与圆2O的半径都是1，124

O O=. 过动点P分别作圆1O、圆2O的切线PM PN

，（M N

，分别为切点），使得2

PM PN

=.

试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

例30.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，

⑴求实数m取值范围；⑵求圆的半径r取值范围；⑶求圆心轨迹方程

数学基础知识与典型例题(第七章直线和圆的方程)答案

例 例 例 例4. 1()2

-

、0,3 例5. 02=--y x 例 例 例8. 2x ＋3y ＋10＝0 例9. 0,8, 例10. 135290x y +-=

例11. 解:⑴∵ k BC =5,∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5

1- ∴ AD 所在直线方程y +1=5

1-(x -2) 即x +5y +3=0

⑵∵ AB 中点为（3，1），k AB =2,∴ AB 中垂线方程为x +2y -5=0 ⑶设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，

则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1，k AB =2,∴ 12112k k

k k

+-=

-+, ∴ k 2+6k -1=0,∴ k =-3-10（舍），k =-3+10 ∴ AE 所在直线方程为(10-3)x -y -210+5=0

评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y )为直

线AE 上任一点，则P 到AB 、AC

=，化简即可。还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。 例12. 解题思路分析：

直线l 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。 解:设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线∴P PM k k =Q

∴ 00444

66x x m

-=--解之得：0051x m x =-

∵ x 0>0，m >0∴ x 0-1>0

∴ 20000101

||4221

OMQ x S OM x mx x ?===-

令x 0-1=t ，则t >0,210(1)1

10(2)t S t t t

+=

=++≥40 当且仅当t =1，x 0=11时，等号成立,此时Q （11，44），直线l ：x +y -10=0 评注：

例 例14.42-例15.1

4

例16. 种蔬菜20亩,棉花30亩,水稻不种,总产值最高27万元.

例17.解：设初中x 个班，高中y 个班，则2030(1)

28581200x y x y +??+?

≤≤≤⑵

设年利润为s ，

则y x y x y x s 22.16.15.22.1215.04006.060+=?-?-?+?= 作出（1）、（2）表示的平面区域， 如图，过点A 时，S 有最大值， 由???=+=+1200

582830y x y x 解得A （18，12）.

易知当直线+2y=s

即学校可规划初中18个班，高中12个班, 6

.45122182.1max =?+?=∴s （万元）.

可获最大年利润为万元.

评 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求，求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：①根据实际问题的约束条件列出不等式，②作出可行域，写出目标函数，③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作时还是比较困难的．是函数方程思想的应用.

例 例 例20. x 2+)1(142±≠=x y 例21. (x 9

4)34()3422=-+-y 例22. 解：以12O O 的中点O 为原点，12O O 所

在直线为x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，.由已知2PM PN =， 得222PM PN =.因为两圆半径均为1，

所以22

1212(1)PO PO -=-.设()P x y ，，

则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 例 例 例 例

例27. x 2+(y -1)2=1 例28. x +y =0或x +7y -6=0

例29. 解：x 2+y 2－6x －8y =0即(x －3)2+(y －4)2=25， 设所求直线为y ＝kx 。

∵圆半径为5，圆心M （3，4）到该直线距离为3，

∴ 2

31

d k ==+， ∴22924169(1)k k k -+=+，∴7

24

k =。

∴所求直线为y x 24

7

=或0=x 。

例30.⑴m 满足[-2(m +3)]2+[2(1-4m 2)]2-4(16m 4+9)>0，

即7m 2-6m -1<0,∴1

17

m -<<

⑵半径r 22316

7617()77

m m m -++=--+ ∵ 117m -<<,∴ 3

7

m =时，max 47r =,

∴ 0

77

⑶设圆心P （x ，y ），则2

3

41

x m y m =+??=-? 消去m 得：y =4(x -3)2-1,又1

17

m -<<

∴ 2047

x <<

∴ 所求轨迹方程为(x -3)2=41

(y +1)（2047

x <<）