立体几何与空间向量优秀教案
强烈)空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何教案一、教学目标1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算规则。
2. 能够运用空间向量描述和解决立体几何问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 空间向量与立体几何的相互应用。
三、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其表示方法。
2. 空间向量的加法、减法、数乘和点乘运算的规则。
3. 运用空间向量解决立体几何问题。
四、教学方法与手段1. 采用讲解、示例、练习相结合的方法进行教学。
2. 使用多媒体课件、模型等教学辅助工具，帮助学生直观理解空间向量与立体几何的概念和运算。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及其表示方法。
2. 第二课时：空间向量的加法、减法、数乘运算。
3. 第三课时：空间向量的点乘运算。
4. 第四课时：空间向量在立体几何中的应用（一）。
5. 第五课时：空间向量在立体几何中的应用（二）。
【导入新课】通过复习相关基础知识，引导学生回顾平面几何中的向量概念和运算规则，为新课的学习做好铺垫。
【知识讲解】1. 空间向量的概念及其表示方法。
讲解空间向量的定义，举例说明空间向量的表示方法，如用箭头表示、用坐标表示等。
2. 空间向量的加法、减法、数乘运算。
讲解空间向量的加法、减法、数乘运算的规则，并通过示例进行演示。
3. 空间向量的点乘运算。
讲解空间向量的点乘运算的定义和计算方法，并通过示例进行演示。
【课堂练习】针对本节课所学内容，设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
【拓展与应用】1. 运用空间向量描述和解决立体几何问题。
通过示例，讲解如何运用空间向量描述和解决立体几何问题，如求解空间中的距离、角度等。
2. 空间向量在立体几何中的应用。
通过示例，讲解空间向量在立体几何中的应用，如几何体的体积、表面积等计算。
【小结】【作业布置】布置一些有关空间向量与立体几何的练习题，让学生课后巩固所学知识。
高三数学复习教案10套立体几何与空间向量
yk iA(x,y,z)O jxzlB'O'A'B O A βα1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k r r r ，以点O 为原点，分别以,,i j k r r r 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O叫原点，向量 ,,i j k r r r都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++u u u r r r，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz-中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r ， 112233a b a b a b a b ⋅=++r r ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a =r ， 则222123||a a a a a a =⋅=++r r r ．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a ba b a b a a a b b b ⋅⋅==⋅++++r rr r r r ．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-uuu r uuu r7．直线和平面所成角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π] （2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角8．公式：已知平面的斜线a 与内一直线b 相交成θ角，且a 与相交成1角，a 在上的射影c 与b 相交成2角，则有θϕϕcos cos cos 21=ϕ2ϕ1c b aθPαO ABED'B'C'A'ODACBαHDCBA9 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--10．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角（1）二面角的平面角范围是[0,180]o o ；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直11 两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面12．面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 13．面面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 练习：1设231(,,)a a a a =r ，231(,,)b b b b =r，且a b ≠r r ，记||a b m -=r r ，求a b -r r 与x 轴正方向的夹角的余弦值2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿ 3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，⑴求以向量AC AB ,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a r 分别与向量AC AB ,垂直，且|a r |＝3，求向量a r的坐标4．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45oo，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值5．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为22,4,42，求二面角的大小6．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求：（1）AO 与A C ''所成角； （2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）平面AOB 与平面AOC 所成角7已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，（1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线；（2）求异面直线1CC 和1BD 的距离参考答案： 1设231(,,)a a a a =r ，231(,,)b b b b =r，且a b ≠r r ，记||a b m -=r r ，αHDCBA求a b -r r与x 轴正方向的夹角的余弦值解：取x 轴正方向的任一向量(,0,0)c x =r，设所求夹角为α，∵22331111()(,,)(,0,0)()a b c a b a b a b x a b x -⋅=---⋅=-r r r∴1111()()cos ||||a b c a b x a bmx m a b c α-⋅--===-⋅r r r r rr ，即为所求 2． 在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝＿＿＿解：(2,4,0),(1,3,0),BA BC =--=-u u u r u u u rQcos ,||||BA BC BA BC BA BC ⋅∴===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴∠ABC ＝45°3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a r 分别与向量AC AB ,垂直，且|a r |＝3，求向量a r的坐标分析：⑴21||||cos ),2,3,1(),3,1,2(==∠∴-=--=AC AB BAC Θ ∴∠BAC ＝60°，3760sin ||||==∴οAC AB S ⑵设a r＝(x,y,z)，则,032=+--⇒⊥z y x AB a33||,023222=++⇒==+-⇒⊥z y x z y x解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a r ＝(1,1,1)或a r＝(－1，－1，－1).4．直角ABC ∆的斜边AB 在平面α内，,AC BC 与α所成角分别为30,45o o，CD 是斜边AB 上的高线，求CD 与平面α所成角的正弦值解：过点C 作CH α⊥于点H ，连接,,AH BH OH ，则30CAH ∠=o，45CBH ∠=o，CDH ∠为所求CD 与α所成角，记为θ， 令CH a =，则2,AC a BC ==，则在Rt ABC ∆中，有AC BC CD AB ⋅==βαlP C B图1AED'B'C'A'ODACB在Rt CDH ∆中，sin CH CD θ==∴CD 与平面α所成角的正弦值2. 5．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为4,，求二面角的大小分析：点P 可能在二面角l αβ--内部，也可能在外部，应区别处理解：如图1是点P 在二面角l αβ--的内部时，图2是点P 在二面角l αβ--外部时， ∵PA α⊥ ∴PA l ⊥ ∵AC l ⊥ ∴面PAC l ⊥ 同理，面PBC l ⊥而面PAC I 面PBC PC = ∴面PAC 与面PBC 应重合 即,,,A C P B 在同一平面内，则ACB ∠是二面角l αβ--的平面角在Rt APC ∆中，1sin 2PA ACP PB ∠=== ∴30ACP ∠=o在Rt BPC ∆中，sin 2PB BCP PC ∠===∴45BCP ∠=o故304575ACB ∠=+=ooo（图1）或453015ACB ∠=-=ooo（图2） 即二面角l αβ--的大小为75o 或15说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角6．如图，正方体的棱长为1，'B C BC O '=I ，求：（1）AO 与A C ''所成角；（2）AO 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）平面AOB 与平面AOC 所成角 解：（1）∵//A C AC '' ∴AO 与A C ''所成角就是OAC ∠∵,OC OB AB ⊥⊥平面BC ' ∴OC OA ⊥（三垂线定理）βαlPCB图2AO ED 1C 1B 1A 1DCBA OD 1C 1B 1A 1D CB A在Rt AOC ∆中， 2,2OC AC == ∴30OAC ∠=o （2）作OE BC ⊥，平面BC '⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角 在Rt OAE ∆中，22115,1()22OE AE ==+= ∴5tan 5OE OAE AE ∠== （3）∵,OC OA OC OB ⊥⊥ ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC 即平面AOB 与平面AOC 所成角为907已知正方体1AC 的棱长为a ，E 是1CC 的中点，O 是对角线1BD 的中点，（1）求证：OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线；（2）求异面直线1CC 和1BD 的距离 解：（1）解法一：延长EO 交1A A 于F ，则F 为1A A 的中点，∴//EF AC ， ∵1CC AC ⊥，∴1C C EF ⊥，连结1,D E BE ，则1D E BE =， 又O 是1BD 的中点，∴1OE BD ⊥，∴OE 是异面直线1CC 和1BD 的公垂线（2）由（1）知，OE 122AC ==． 解法二：建立空间直角坐标系，用坐标运算证明（略）引申：求1B C 与BD 间的距离解法一：（转化为1B C 到过BD 且与1B C 平行的平面的距离） 连结1A D ，则1A D //1B C ，∴1B C //平面1A DB ，连1AC ，可证得1AC BD ⊥，1AC AD ⊥，∴1AC ⊥平面1A DB ，∴平面1AC ⊥平面1A DB ，且两平面的交线为1A O ，过C 作1CE AO ⊥，垂足为E ，则CE 即为1B C 与平面1A DB 的距离，也即1B C 与BD 间的距离，在1A OC ∆中，111122OC A A CE AO ⋅=⋅，∴CE a =． （解法二）：坐标法：以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(,0,0),(,,0),(0,,0)A a B a a C a ，11(,,),(,0,),(0,0,0)B a a a A a a D ， 由（解法一）求点C 到平面1A DB 的距离CE ，设(,,)E x y z ， ∵E 在平面1A DB 上，∴111A E A D A B λμ=+u u u u r u u u u r u u u r，即(,,)(,0,)(0,,)x a y z a a a a a λμ--=--+，∴x a a y a z a a a λμμλ=-⎧⎪=⎨⎪=--⎩， ∵1,CE A D CE BD ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u r ，∴(,2,)(,0,)0(,2,)(,,0)0x y z a a x y z a a ---=⎧⎨---=⎩，解得：23λμ==，∴111(,,)333CE a a a =--u u u r，∴3CE a =． 解法三：直接求1B C 与BD 间的距离设1B C 与BD 的公垂线为1OO ，且11,O B C O BD ∈∈，设(,,)O x y z ，设DO BD λ=u u u r u u u r，则(,,)(,,0)x y z a a λ=--，∴0x a y a z λλ=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴(,,0)O a a λλ--，同理1(,,)O a a a μμ，∴1((),,)OO a a a a μλλμ=++u u u u r ，∴111,OO BD OO B C ⊥⊥u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ， ∴1110,0OO BD OO B C ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，解得：21,33λμ=-=，1OO =u u u u r 111(,,)333a a a -，1||OO =u u u u r ．。
空间向量与立体几何教案
空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
第一课时空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理；3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
a 平行于b 记作a ∥b。
注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义。
空间向量在立体几何中的应用教案
空间向量在立体几何中的应用教案教案标题：空间向量在立体几何中的应用一、教学目标：1. 理解空间向量的概念和性质；2. 掌握空间向量的运算法则；3. 理解和掌握空间向量在立体几何中的应用。
二、教学内容：1. 空间向量的概念和性质；2. 空间向量的运算法则；3. 空间向量在立体几何中的应用。
三、教学过程：1. 知识导入通过复习二维向量的性质和运算法则，引入空间向量的概念。
2. 理论讲解讲解空间向量的概念、性质和运算法则，包括向量的加法、减法、数量积和向量积等。
3. 练习与讨论以几何问题为例，引导学生运用空间向量的知识解决相应的几何问题。
例如，通过向量积的应用求解三角形的面积、判断四边形是否是平行四边形等。
4. 实例分析选择一些典型的例题进行详细分析和讲解，帮助学生理解和巩固概念和运算法则。
例如，通过两条直线的法向量来判断直线的位置关系。
5. 拓展应用通过讨论一些拓展性和应用性的问题，帮助学生将空间向量的知识应用到更多的实际问题中。
例如，利用向量的数量积求解棱柱的体积，利用向量的向量积判断平面和直线的位置关系等。
6. 归纳总结对本节课所学内容进行总结和概括，帮助学生加深对空间向量的理解和掌握。
四、教学资源：1. 教科书和课外参考书；2. 相关的几何题目和练习题；3. 板书和投影仪等。
五、教学评价：1. 课堂讨论和提问，查看学生对空间向量的理解和应用能力；2. 批改学生的练习题和作业，评估学生的掌握程度；3. 考试或小测验，检验学生对空间向量知识的吸收和应用能力。
六、教学延伸：可以运用计算机软件或在线平台进行立体几何模拟和实践，帮助学生更加直观地理解和掌握空间向量的应用。
空间向量与立体几何：教学设计
空间向量与立体几何：教学设计1. 课程概述本课程旨在帮助学生深入理解空间向量与立体几何的基本概念，方法和技能。
通过本课程的学习，学生将能够熟练运用空间向量解决立体几何问题，提高空间想象能力和解题能力。
2. 教学目标2.1 知识与技能1. 掌握空间向量的基本概念，如向量的定义，模长，方向等。
2. 学会空间向量的线性运算，如加法，减法，数乘和标量积。
3. 熟悉空间向量在立体几何中的应用，如计算距离，角和体积等。
2.2 过程与方法1. 培养学生的空间想象力，能够将实际问题转化为向量问题。
2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力。
3. 培养学生通过向量分析，发现和解决几何问题的思维习惯。
2.3 情感态度与价值观1. 培养学生对数学的兴趣和热情，感受数学的美。
2. 培养学生克服困难，解决问题的勇气和信心。
3. 教学内容3.1 空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向3.2 空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积3.3 空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积4. 教学方法采用讲授，讨论，练习和实验等多种教学方法，以帮助学生更好地理解和掌握空间向量与立体几何的知识。
5. 教学评价通过课堂表现，作业，小测和期末考试等方式，评价学生在知识，技能和情感态度方面的进步。
6. 教学计划第一周：空间向量基本概念1. 向量的定义2. 向量的模长3. 向量的方向第二周：空间向量的线性运算1. 向量加法2. 向量减法3. 数乘向量4. 标量积第三周：空间向量在立体几何中的应用1. 计算距离2. 计算角3. 计算体积第四周：综合练习与复习1. 课堂练习2. 小组讨论3. 期末考试复习7. 教学资源1. 教材：空间向量与立体几何2. 课件：PowerPoint3. 练习题：纸质和在线4. 视频：教学视频和动画8. 教学建议1. 鼓励学生在课堂上积极提问，培养问题意识。
立体几何与空间向量优秀教案
空间向量及线性运算【本课重点】1、理解空间向量地概念，掌握空间向量地线性运算及性质；2、通过平面向量向空间向量地推广，体会数学地类比和归纳地思想方法.【预习导引】1、在空间，既有___________又有_____________地量叫空间向量.空间向量可以用________表示；__________地长度叫向量地模；凡是方向相同且长度相等地有向线段表示同一向量或______________.2、已知空间向量b a ,，在空间任取一点O ，作b AB a OA ==,，则=+b a ___________； 作b OB a OA ==,，则=-b a ___________；作)(,R OA OP a OA ∈λλ==，则=OP ______.3、空间向量地加法和数运算满足运算律：（1）__________________________________;(2)________________________________; (3)____________________________________.4、如果表示空间向量地有向线段互相_____或____，那么这些向量叫_________或_______向量a 与b 平行，记为____________.5、对空间任意两个向量a 与b （0≠a ），b 与a 共线地充要条件是存在实数λ,使_________.【典例练讲】例1、如图，M,N,P ,Q,R,S 为平行六面体1111ABCD A B C D -所在棱中点，化简下列向量表达式，并标出化简结果地向量.(1) AB BC + (2) 1AB AD AA ++(3) 112AB AD CC ++(4) 11()3AB AD AA ++(5) 11BC BB B D -- (6) MN PQ RS ++例2、如图，在长方体111OADB CA D B -中，3OA =，4OB =，2OC =，1OI OJ OK ===，点,E F 分别是11,DB D B 地中点.设OI i =，OJ j =，OK k =.试用向量,,i j k 表示1OD 、1OA 、OE 、OF .例3、如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 地中点，(1)若2CF FD =，连接EF ,CE ,AF ,BF 化简下列各式，并在图中标出化简得到地向量： ①AC CB BD ++； ②AF BF AC --； ③1223AB BC CD ++； (2)若F 为CD 地中点，求证：1()2EF AD BC =+.例4、已知六面体1111ABCD A B C D -是平行六面体（如图）. （1）化简11223AA BC AB ++，并在图上标出结果； （2）设M 是底面ABCD 地中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上地四等分点（靠近点1C ）， 设1,MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβγ地值ABCEFDA B 1BD 1 C 1 B 1A 1D C B A S RQPNM共面向量定理【本课重点】空间共面向量地概念、判定、性质及运用. 【预习导引】1、_______________________________叫共面向量.2、在平面向量中，向量b 与向量)0(≠a a 共线地充要条件是存在实数λ，使得a b λ=；在空间向量中，已知向是b 与a 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面地充要条件是存在有序实数组（x,y ）,使得=p ____________.3、已知空间四点O 、A 、B 、C 满足OB OA OC β+α=，则A 、B 、C 三点共线地充要条件是________________.4、已知A 、B 、C 三点不共线，则点O 在平面ABC 内地充要条件是存在有序实数对x,y,使=OA _______________.5、设空间任意一点O 和不共线地三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=（其中x+y+z=1）试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？并证明你地结论.【典例练讲】例1、正方体1111ABCD A B C D -，E 和F 点分别为面1111A B C D 与11BB C C 地中心，判断下列几组向量是否为共面向量：（1）1111,,BC A D D D ；（2）111,,EF C D D D ；（3）11,,A B DC EF .例2、如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且13BM BD =，13AN AE =.求证：//MN CDE 平面.例3、证明：三个向量12332a e e e =-++，123462b e e e =-+，12331211c e e e =-++共面.例4、（1）对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量OA 、OB 、OC 、OD ，求证：A 、B 、C 、D 四点共面地充要条件为存在四个不全为零实数,,,αβγδ，使得0OA OB OC OD αβγδ+++=，且0αβγδ+++=;（2）设空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，当,,x y z 满足什么条件时，能够使得,,,P A B C 四点共面.F ED 1 C 1B 1 A 1D CB A · · F EABCOMNG空间向量基本定理【本课重点】空间向量基本定理及其运用. 【预习导引】1、如果3个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p ，存在___________地有序实数组{x,y,z}，使=p ____________________.{321,,e e e }称为空间地一个________，321,,e e e 叫做______________.当321,,e e e 两两互相垂直时称为____________,当321,,e e e 为两两垂直地单位向量时称为__________________,通常用____________表示.2、已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 地中点，G 在AN 上，且AG=2GN ，c OC b OB a OA ===,,，用c b a ,,作为基底，则向量MN 可表示为____________;OG 可表示为___________.3、如图，已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量_________.OG =【典例练讲】例1、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知DA a =，DC b =，1DD c =，点G 是侧面11B BCC 地中心，试用向量,,a b c 表示下列向量：111,,,DB BA CA DG .例2、在正方体OADB CA D B '''-中，点E 是AB 与OD 地交点，M 是OD '与CE 地交点，(1)试分别用向量,,OA OB OC 表示向量OD '和OM ;（2）,,OI OJ OK 分别为,,OA OB OC 方向上地单位向量，试用,,OI OJ OK 表示,,OA OB OC .例3、已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，点,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在直线MN 上，且2MG GN =，试用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG .例4、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11A D ，1D D ，11DC 地中点，请选择恰当地基底向量.证明：（1）//EG AC ；（2）平面EFG //平面1AB C .GDCBD 1AC 1B 1A 11空间向量地坐标表示【本课重点】空间向量地坐标表示、运算及空间向量平行地坐标表示. 【预习导引】1、 若),,(111z y x A ，),,(222z y x B 那么=AB _________________.2、 设),,(111z y x a =，),,(222z y x b =,R ∈λ,那么（1）=+b a ___________________; (2) ）=-b a ___________________;（3）a λ=_____________________; (3) 若)0(//≠a b a ，则____________.3、已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x ＞0.若a ∥b ，则x 地值为__________.4、给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在地直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一地实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 地内部．其中真命题是________．【典例练讲】例1、已知1111ABCD A B C D -是棱长为2地正方体，E 、F 、G 、H 、I 、J 分别为图中所示各棱地中点，P 为正方体地中心，建立如图所示地空间直角坐标系. （1）、试写出图中各点地坐标；（2）、x 轴，y 轴，z 轴上地点地坐标有什么特点？例2、（1）已知(1,3,8)a =-，(3,10,4)b =-，求a b +，a b -，3a ，32a b -.（2）已知A ，B ，C 三点坐标分别为(2,1,2)-，(4,5,1)-，(2,2,3)-，求满足下列条件地P 点地坐标：①1()2OP AB AC =-；②1()2AP AB AC =-.例3、已知(2,1,1)a =-，(1,3,2)b =-，(2,1,3)c =--和(3,2,5)d =，试求实数,,λμν， 使d a b c λμν=++.例4、（1）、已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =，若//a b ，求,x y 地值；（2）、已知空间四点(2,3,1)A -，(2,5,3)B -，(10,0,10)C 和(8,4,9)D ，求证：四边形ABCD 为梯形.空间向量地数量积(1)【本课重点】空间向量数量积、夹角及求法. 【预习导引】1、设b a ,是空间两个非零向量，过空间任一点O 作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫向量a 与b 地__________,记作________,范围为________.若<b a ,>=0,则向量a 与b __________；若<b a ,>=π,则向量a 与b ____________；若<b a ,>=2π,则向量a 与b 互相_____________，记为b a ⊥.b a ⊥⇔____________2、设b a ,是空间两个非零向量，把cos ||||b a <b a ,>叫做向量a 与b 地数量积，记为______________. 并规定：零向量与任一向量地数量积为0.空间向量地数量积地运算律：(1)_____________________;(2)________________________;(3)_______________________.3、已知,a b 是空间两个向量，若3,2a b ==，7,a b +=则,a b 地夹角为_________.4、如图所示，空间四边形OABC 中，,.OA BC OB AC ⊥⊥求证：.OC AB ⊥【典例练讲】例1、如图，已知空间四边形ABCD 地每条边和对角线都等于1，点E 、F 分别是AB ，AD 地中点，计算：EF BA ⋅，EF BD ⋅，EF DC ⋅.例2、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 地夹角均为60︒，且||1a =，||2b =，||3c =，试求：2()a b +，2(2)a b c +-，(32)()a b b c --.例3、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1,90ACD ∠=︒，将它沿着对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，求BD 间地距离.例4、在三棱锥O-ABC 中，已知侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，求证：底面ABC ∆是锐角三角形.AEF A B D C空间向量地数量积(2)【本课重点】空间向量数量积地坐标运算. 【预习导引】1、 设),,(111z y x a =，),,(222z y x b =则(1)||a =___________________________; (2)=⋅b a _________________________;(3)cos <b a ,>=____________________; (4)b a ⊥⇔________⇔_________________.2、若),,(111z y x A ，),,(222z y x B ,则AB 中点M 地坐标为____________________________;=AB ________________________;=||AB ______________________________.3、“0a b ⋅<”是“,a b <>为钝角”地_____________条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分也不必要”）4、已知(1,1,)a t t t =--，(2,,)b t t =，则b a -地最小值为________.【典例练讲】例1、(3,5,4)a =-，(2,1,8)b =，计算：（1）23a b +，34a b -，ab ，||a ，|23|a b + (2)cos ,a b <>;(3)求向量23a b +与a 地夹角;(4)确定,λμ地关系,使a b λμ+与z 轴垂直.例2、已知(1,5,1)a =-，(2,3,5)b =-. （1）若()//(3)ka b a b +-，求k 地值； （2）若()(3)ka b a b +⊥-，求k 地值.例3、已知(1,0,1),(2,2,2),(0,2,3)A B C ，求(1)线段AB 地中点坐标和AB 地长度； (2)AB AC 与地夹角地正弦值;(3)求ABC ∆地面积; (4)到C 点地距离为1地P （x,y,z ）地坐标,,x y z 满足地条件.例4、在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD 地中点，G 在棱CD 上，且14CG CD =，H 是1C G 地中点，应用空间向量法解决下列问题:(1)求证：1EF B C ⊥; (2)求EF 与1C G 所成角地余弦值; (3)求FH 地长. E A 1D 1C 1B 1H直线地方向向量和平面地法向量【本课重点】直线地方向向量和平面地法向量. 【预习导引】1、直线l 上地_____________________________叫做直线l 地方向向量.2、如果表示非零向量n 地有向线段所在直线与平面α______,那么称向量n 与平面α_______,记着___________,此时，把向量n 叫做平面α地_____________.3、下列说法正确地是________.(1) 一条直线地所有方向向量都互相平行;(2)一个平面地所有法向量都互相平行; (3)平面地法向量一定是非零向量;(4)向量n 是平面α地法向量，向量a 是与平面α平行或在平面α内，则有0=⋅a n . 4、(1)在空间直角坐标系O xyz -中，下列向量中不是y 轴地方向向量地是_______.○1(0,1,0); ○2(0,-1,0); ○3(0,12,-1); ○4(0,1,1)(2)过空间三点(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A B C 地平面地一个法向量为__________.【典例练讲】例1、(1)在正方体1111ABCD-A B C D 中，求证：1DB 是平面1ACD 地法向量；(2)已知：A(1,2,1)，B(3,2,3)，C(5,3,1)，求平面ABC 地一个单位法向量.例2、在空间直角坐标系中，设平面α经过点000P(x ,y ,z )，平面α地法向量是e (a,b,c)=，M(x,y,z)是平面α内地任意一点，求x ，y ，z 满足地关系式.例3、已知：A(-2,3,-3)，B(4,5,9). (1)写出直线AB 地一个方向向量；(2)若点M(x,y,z)在直线AB 上，求x ，y ，z 满足地关系式；(3)设平面α经过线段AB 地中点，且与直线AB 垂直，点P(x,y,z)是平面α内一点，求x,y,z 满足地关系式；(4)求到A,B 两点距离相等地点Q(x,y,z)地坐标x,y,z 满足地关系式.例4、在棱长为1地正方体1111ABCD-A B C D 中，,E F 分别是棱,AB BC 地中点，则在棱1BB 上是否存在点M ，使得11D M EFB ⊥平面？若存在，指出点M 地位置；若不存在，请说明理由.空间线面关系地判定(1)【本课重点】用向量语言表述线线、线面、面面地平行和垂直关系；用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系.【预习导引】1、设两直线21,l l 地方向向量分别为21,e e ；平面21,αα地法向量分别为21,n n ,那么： （1）⇔21//l l __________________; ⇔⊥21l l __________________; (2)⇔α11//l __________________; ⇔α⊥11l __________________; (3)⇔αα21//________________; ⇔α⊥α21__________________.2、设b a ,分别是直线21,l l 地方向向量,根据下列条件,判断21,l l 地位置关系：(1))6,3,6(),2,1,2(--=--=b a __________; (2))2,3,2(),2,2,1(-=-=b a __________; 3、设v u ,分别是平面βα,地法向量,根据下列条件,判断βα,地位置关系：(1))4,4,6(),5,2,2(-=-=v u __________; (2))4,4,2(),2,2,1(--=-=v u __________; (3))4,1,3(),5,3,2(--=-=v u __________.4、已知直线l 地方向向量(1,0,2)a =--，平面α地一个法向量为(4,0,)e m =，若直线l 与平面α垂直，则实数____.m =【典例练讲】例1、证明：在平面内地一条直线，如果它和这个平面地一条斜线地射影垂直，那么它和这条斜线也垂直. (三垂线定理)例2、证明：如果一条直线和平面内地两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.(直线与平面垂直地判定定理)例3、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，30BAC ∠=，BC=1,1AA =是棱CC 1地中点，求证：A 1B ⊥AM.例4、已知正方体1111ABCD A B C D -中，E,F 分别为BB 1、CD 地中点，求证：D 1F ⊥面ADE.BACDA 1C 1D 1FECABA 1B 1C 1 Mlnmα空间线面关系地判定(2)【本课重点】用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系. 【预习导引】1、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1，AB=2AD ，点E 是线段C 1D 1地中点，则DE 与平面EBC 地位置关系是_________.2、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1地各棱长均相等，点D 是BC 上一点，AD D C 1⊥，则平面ADC 1与平面BCC 1B 1地位置关系____________.3、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AA 1地中点，点O 是BD 1地中点，则OM 是异面直线AA 1与BD 1地____________.4、已知(1,5,2),(3,1,),AB BC z =-=若,(1,,3),AB BC BP x y ⊥=--且BP ABC ⊥平面，则实数x,y,z 分别为_________________.【典例练讲】例1、在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ∠=︒，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30o 角，AE ⊥PD ，E 为垂足，试建立恰当地空间直角坐标系：(1)求证：BE ⊥PD ；(2)设(1,,)n p q =，满足PCD n ⊥平面，求n 地坐标.例2：在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D —中.（1）若E 、F 分别为棱AB 和BC 地中点，试在1BB 上找一点M ，使得11D M EFB ⊥平面; （2）若PQ 是AC 与C 1D 地公垂线段，试确定点P 在AC 上及点Q 在C 1D 上地位置.例3、如图，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1地底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=θ=∠BCD . （1）求证：BD C C ⊥1；（2）当CC CD1地值为多少时，能使A 1C BD C 1⊥平面，请给出证明.例4、如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，,AB BC kPA ==，点,O D 分别是,AC PC 地中点，OP ABC ⊥平面.(1)求证：//OD BA 平面P ；（2）当k 为何值时，O 在平面PBC 内地射影恰好为PBC ∆地重心? DCBD 1AC 1B 1A 1空间角地计算(1)【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】1、两条异面直线所成地角与它们地方向向量地夹角_______________.2、斜线与平面所成角是斜线与平面法向量地夹角_________________.3、两个平面所成地二面角与两个平面地法向量地夹角_____________.4、设b a ,分别是两条异面直线21,l l 地方向向量，且21,cos ->=<b a ，则异面直线21,l l 所成角为______. 5、正方体1111ABCD A B C D —中，M 是AB 地中点，则DB 1与CM 所成角地余弦值为_____.【典例练讲】例1、在正方体1111ABCD A B C D —中，E 1、F 1分别在A 1B 1、C 1D 1上，且11111E B A B 4=, 11111D F C D 4=,P 为BC 中点.(1)求BE 1与DF 1所成角地大小;(2)求直线1F P 和平面1D AC 所成角地大小;(3)求二面角11A BD C --地大小.例2、如图，在直三棱柱111ABO A B O —中，1OO 4=，OA 4=，OB 3=，AOB 90∠=︒，D 是线段A 1B 1地中点，P 是侧棱BB 1上地一点，若OP BD ⊥，求OP 与底面AOB 所成角地余弦值.例3、如图，ABCD 是直角梯形，ABC 90∠=︒，AD BC ∥，SA ABCD ⊥平面，SA AB= BC 2==，AD 1=，求面SCD 与面SBA 所成二面角地大小.例4、已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 地中点.(1)证明：AE ⊥PD ;(2)若H 为PD 上地动点，EH 与平面PADE —AF —C 地余弦值. OAB A 1B 1 O 1D PD 1DCABC 1B 1A 1ADCB S50 / 12空间角地计算(2)【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】1．若060CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________； 若0120CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________.2．若090CPA BPC APB =∠=∠=∠，Q 为异于P 地一点，PQ 与平面PAB 、平面PBC 、平面PAC 所成角分别为α、β、γ，则γ+β+α222cos cos cos ＝_________________.3．共点地三条直线PA 、PB 、PC 两两垂直，它们与平面ABC 所成角为γβα、、，则=++γβα222sin sin sin _____.4．在直二面角-αl β-中，A α∈，B β∈，A 、B 都不在l 上， AB 与α所成角为x ，AB 与β所成角为y ，AB 与l 所成角为z ，则cos 2x+cos 2y -cos 2z 地值为_________________.【典例练讲】例1、如图(1)所示，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6地等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角，如图(2)所示，(1)求证：1AC BO ⊥；(2)求二面角1O AC O ——地大小.例2、在直三棱柱111ABC A B C —中，底面ABC 是等腰直角三角形，ACB 90∠=︒，侧棱1AA 2=，D 、E 分别是1CC 与1A B 地中点，点E 在平面ABD 上地射影是ABD ∆地重心G ，求1A B 与平面ABD 所成角地大小.例3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=AB ， (1)求证：面PAC ⊥面PBD ；(2)求二面角P-BD-C 地大小； (3)在PC 上是否存在点E ，使得PB ⊥面ADE.例4、如图所示，四棱锥P ABCD -地底面ABCD 是半径为R 地圆地内接四边形，其中BD 是圆地直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD，PD =，E F ，分别是PB CD ，上地点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 地平行线交PC 于G ．(1)求BD 与平面ABP 所成角θ地正弦值； (2)证明：EFG △是直角三角形；(3)当12PE EB =时，求EFG △地面积．CA BDOO 1CABDOO 1（1（2AEPDC B ABA 1B 1C 1CEG DF C PG EA BD本章复习【本课重点】向量方法解决了有关空间直线、平面地平行、垂直和夹角等问题.【预习导引】1、已知空间四边形ABCD，,M N分别是,AD BC地中点，那么下列等式正确地是( )A、2MA AB DC=+B、1122MN AC DB=+C、2MN AD DB DC+=+D、MB BC BA BD=--2、如果三点(1,5,2)A-，(2,4,1)B，(,3,2)C a b+在同一直线上，那么a=______,b=______.3、在平行六面体1111ABCD A B C D-中，M为AC与BD地交点，若11A B a=，11A D b=，1A A c=，则向量1B M可表示为_____________.4、设A、B、C、D是空间不共面地四点，且满足AB AC0⋅=，AC AD0⋅=，AB AD0⋅=，则BCD∆为___________三角形.【典例练讲】例1、在正四面体PABC（四个面都是全等地等边三角形地四面体）中，若E、F分别在棱PC、AB上，且13CE AFPC AB==.⑴设PA a=,PB b=,PC c=,试用a b c、、表示⑵求异面直线PF与BE所成地角地余弦值.例2、在如图所示地空间直角坐标系中，正方体AC1地棱长为2，P、Q分别是BC、CD上地动点，且||PQ=，(1)确定点P、Q地位置，使得11B Q D P⊥；(2)当11B Q D P⊥时，求二面角C1-PQ-A地大小.例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，DAB∠为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD地中点，(1)试证：CD BEF⊥面；(2)设PA k AB=⋅，且二面角E-BD-C地平面角大于30o，求k地取值范围.例4、如图，在棱长为1地正方体ABCD A B C D''''-中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥A D'，截面PQGH∥AD'．(1)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；(2)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；(3)若D E'与平面PQEF所成地角为45，求D E'与平面PQGH所成角地正弦值．BAA BCDEFP QH GD′C′A′B′。
空间向量与立体几何教案
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P 92 练习 Ⅳ. 教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业⒈课本P 106 1、2、⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？ 板书设计：§9.5 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习 二、空间向量 三、例1⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结 ⒊运算律 ⒊运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
立体几何与空间向量优秀教案
空间向量及线性运算【本课重点】1、理解空间向量地概念，掌握空间向量地线性运算及性质；2、通过平面向量向空间向量地推广，体会数学地类比和归纳地思想方法.【预习导引】1、在空间，既有___________又有_____________地量叫空间向量.空间向量可以用________表示；__________地长度叫向量地模；凡是方向相同且长度相等地有向线段表示同一向量或______________.2、已知空间向量b a ,，在空间任取一点O ，作b AB a OA ==,，则=+b a ___________； 作b OB a OA ==,，则=-b a ___________；作)(,R OA OP a OA ∈λλ==，则=OP ______.3、空间向量地加法和数运算满足运算律：（1）__________________________________;(2)________________________________; (3)____________________________________.4、如果表示空间向量地有向线段互相_____或____，那么这些向量叫_________或_______向量a 与b 平行，记为____________.5、对空间任意两个向量a 与b （0≠a ），b 与a 共线地充要条件是存在实数λ,使_________.【典例练讲】例1、如图，M,N,P ,Q,R,S 为平行六面体1111ABCD A B C D -所在棱中点，化简下列向量表达式，并标出化简结果地向量.(1) AB BC + (2) 1AB AD AA ++(3) 112AB AD CC ++(4) 11()3AB AD AA ++(5) 11BC BB B D -- (6) MN PQ RS ++例2、如图，在长方体111OADB CA D B -中，3OA =，4OB =，2OC =，1OI OJ OK ===，点,E F 分别是11,DB D B 地中点.设OI i =，OJ j =，OK k =.试用向量,,i j k 表示1OD 、1OA 、OE 、OF .例3、如图，在空间四边形ABCD 中，E 是线段AB 地中点，(1)若2CF FD =，连接EF ,CE ,AF ,BF 化简下列各式，并在图中标出化简得到地向量： ①AC CB BD ++； ②AF BF AC --； ③1223AB BC CD ++； (2)若F 为CD 地中点，求证：1()2EF AD BC =+.例4、已知六面体1111ABCD A B C D -是平行六面体（如图）. （1）化简11223AA BC AB ++，并在图上标出结果； （2）设M 是底面ABCD 地中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上地四等分点（靠近点1C ）， 设1,MN AB AD AA αβλ=++试求,,αβγ地值ABCEFDA B 1BD 1 C 1 B 1A 1D C B A S RQPNM共面向量定理【本课重点】空间共面向量地概念、判定、性质及运用. 【预习导引】1、_______________________________叫共面向量.2、在平面向量中，向量b 与向量)0(≠a a 共线地充要条件是存在实数λ，使得a b λ=；在空间向量中，已知向是b 与a 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面地充要条件是存在有序实数组（x,y ）,使得=p ____________.3、已知空间四点O 、A 、B 、C 满足OB OA OC β+α=，则A 、B 、C 三点共线地充要条件是________________.4、已知A 、B 、C 三点不共线，则点O 在平面ABC 内地充要条件是存在有序实数对x,y,使=OA _______________.5、设空间任意一点O 和不共线地三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=（其中x+y+z=1）试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？并证明你地结论.【典例练讲】例1、正方体1111ABCD A B C D -，E 和F 点分别为面1111A B C D 与11BB C C 地中心，判断下列几组向量是否为共面向量：（1）1111,,BC A D D D ；（2）111,,EF C D D D ；（3）11,,A B DC EF .例2、如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且13BM BD =，13AN AE =.求证：//MN CDE 平面.例3、证明：三个向量12332a e e e =-++，123462b e e e =-+，12331211c e e e =-++共面.例4、（1）对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量OA 、OB 、OC 、OD ，求证：A 、B 、C 、D 四点共面地充要条件为存在四个不全为零实数,,,αβγδ，使得0OA OB OC OD αβγδ+++=，且0αβγδ+++=;（2）设空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++，当,,x y z 满足什么条件时，能够使得,,,P A B C 四点共面.F ED 1 C 1B 1 A 1D CB A · · F EABCOMNG空间向量基本定理【本课重点】空间向量基本定理及其运用. 【预习导引】1、如果3个向量321,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p ，存在___________地有序实数组{x,y,z}，使=p ____________________.{321,,e e e }称为空间地一个________，321,,e e e 叫做______________.当321,,e e e 两两互相垂直时称为____________,当321,,e e e 为两两垂直地单位向量时称为__________________,通常用____________表示.2、已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 地中点，G 在AN 上，且AG=2GN ，c OC b OB a OA ===,,，用c b a ,,作为基底，则向量MN 可表示为____________;OG 可表示为___________.3、如图，已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量_________.OG =【典例练讲】例1、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知DA a =，DC b =，1DD c =，点G 是侧面11B BCC 地中心，试用向量,,a b c 表示下列向量：111,,,DB BA CA DG .例2、在正方体OADB CA D B '''-中，点E 是AB 与OD 地交点，M 是OD '与CE 地交点，(1)试分别用向量,,OA OB OC 表示向量OD '和OM ;（2）,,OI OJ OK 分别为,,OA OB OC 方向上地单位向量，试用,,OI OJ OK 表示,,OA OB OC .例3、已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，点,M N 分别是对边,OA BC 地中点，点G 在直线MN 上，且2MG GN =，试用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG .例4、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是11A D ，1D D ，11DC 地中点，请选择恰当地基底向量.证明：（1）//EG AC ；（2）平面EFG //平面1AB C .GDCBD 1AC 1B 1A 11空间向量地坐标表示【本课重点】空间向量地坐标表示、运算及空间向量平行地坐标表示. 【预习导引】1、 若),,(111z y x A ，),,(222z y x B 那么=AB _________________.2、 设),,(111z y x a =，),,(222z y x b =,R ∈λ,那么（1）=+b a ___________________; (2) ）=-b a ___________________;（3）a λ=_____________________; (3) 若)0(//≠a b a ，则____________.3、已知向量a ＝(8，12x ，x )，b ＝(x,1,2)，其中x ＞0.若a ∥b ，则x 地值为__________.4、给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在地直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一地实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 地内部．其中真命题是________．【典例练讲】例1、已知1111ABCD A B C D -是棱长为2地正方体，E 、F 、G 、H 、I 、J 分别为图中所示各棱地中点，P 为正方体地中心，建立如图所示地空间直角坐标系. （1）、试写出图中各点地坐标；（2）、x 轴，y 轴，z 轴上地点地坐标有什么特点？例2、（1）已知(1,3,8)a =-，(3,10,4)b =-，求a b +，a b -，3a ，32a b -.（2）已知A ，B ，C 三点坐标分别为(2,1,2)-，(4,5,1)-，(2,2,3)-，求满足下列条件地P 点地坐标：①1()2OP AB AC =-；②1()2AP AB AC =-.例3、已知(2,1,1)a =-，(1,3,2)b =-，(2,1,3)c =--和(3,2,5)d =，试求实数,,λμν， 使d a b c λμν=++.例4、（1）、已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =，若//a b ，求,x y 地值；（2）、已知空间四点(2,3,1)A -，(2,5,3)B -，(10,0,10)C 和(8,4,9)D ，求证：四边形ABCD 为梯形.空间向量地数量积(1)【本课重点】空间向量数量积、夹角及求法. 【预习导引】1、设b a ,是空间两个非零向量，过空间任一点O 作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫向量a 与b 地__________,记作________,范围为________.若<b a ,>=0,则向量a 与b __________；若<b a ,>=π,则向量a 与b ____________；若<b a ,>=2π,则向量a 与b 互相_____________，记为b a ⊥.b a ⊥⇔____________2、设b a ,是空间两个非零向量，把cos ||||b a <b a ,>叫做向量a 与b 地数量积，记为______________. 并规定：零向量与任一向量地数量积为0.空间向量地数量积地运算律：(1)_____________________;(2)________________________;(3)_______________________.3、已知,a b 是空间两个向量，若3,2a b ==，7,a b +=则,a b 地夹角为_________.4、如图所示，空间四边形OABC 中，,.OA BC OB AC ⊥⊥求证：.OC AB ⊥【典例练讲】例1、如图，已知空间四边形ABCD 地每条边和对角线都等于1，点E 、F 分别是AB ，AD 地中点，计算：EF BA ⋅，EF BD ⋅，EF DC ⋅.例2、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 地夹角均为60︒，且||1a =，||2b =，||3c =，试求：2()a b +，2(2)a b c +-，(32)()a b b c --.例3、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=AC=1,90ACD ∠=︒，将它沿着对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，求BD 间地距离.例4、在三棱锥O-ABC 中，已知侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，求证：底面ABC ∆是锐角三角形.AEF A B D C空间向量地数量积(2)【本课重点】空间向量数量积地坐标运算. 【预习导引】1、 设),,(111z y x a =，),,(222z y x b =则(1)||a =___________________________; (2)=⋅b a _________________________;(3)cos <b a ,>=____________________; (4)b a ⊥⇔________⇔_________________.2、若),,(111z y x A ，),,(222z y x B ,则AB 中点M 地坐标为____________________________;=AB ________________________;=||AB ______________________________.3、“0a b ⋅<”是“,a b <>为钝角”地_____________条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分也不必要”）4、已知(1,1,)a t t t =--，(2,,)b t t =，则b a -地最小值为________.【典例练讲】例1、(3,5,4)a =-，(2,1,8)b =，计算：（1）23a b +，34a b -，ab ，||a ，|23|a b + (2)cos ,a b <>;(3)求向量23a b +与a 地夹角;(4)确定,λμ地关系,使a b λμ+与z 轴垂直.例2、已知(1,5,1)a =-，(2,3,5)b =-. （1）若()//(3)ka b a b +-，求k 地值； （2）若()(3)ka b a b +⊥-，求k 地值.例3、已知(1,0,1),(2,2,2),(0,2,3)A B C ，求(1)线段AB 地中点坐标和AB 地长度； (2)AB AC 与地夹角地正弦值;(3)求ABC ∆地面积; (4)到C 点地距离为1地P （x,y,z ）地坐标,,x y z 满足地条件.例4、在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD 地中点，G 在棱CD 上，且14CG CD =，H 是1C G 地中点，应用空间向量法解决下列问题:(1)求证：1EF B C ⊥; (2)求EF 与1C G 所成角地余弦值; (3)求FH 地长. E A 1D 1C 1B 1H直线地方向向量和平面地法向量【本课重点】直线地方向向量和平面地法向量. 【预习导引】1、直线l 上地_____________________________叫做直线l 地方向向量.2、如果表示非零向量n 地有向线段所在直线与平面α______,那么称向量n 与平面α_______,记着___________,此时，把向量n 叫做平面α地_____________.3、下列说法正确地是________.(1) 一条直线地所有方向向量都互相平行;(2)一个平面地所有法向量都互相平行; (3)平面地法向量一定是非零向量;(4)向量n 是平面α地法向量，向量a 是与平面α平行或在平面α内，则有0=⋅a n . 4、(1)在空间直角坐标系O xyz -中，下列向量中不是y 轴地方向向量地是_______.○1(0,1,0); ○2(0,-1,0); ○3(0,12,-1); ○4(0,1,1)(2)过空间三点(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)A B C 地平面地一个法向量为__________.【典例练讲】例1、(1)在正方体1111ABCD-A B C D 中，求证：1DB 是平面1ACD 地法向量；(2)已知：A(1,2,1)，B(3,2,3)，C(5,3,1)，求平面ABC 地一个单位法向量.例2、在空间直角坐标系中，设平面α经过点000P(x ,y ,z )，平面α地法向量是e (a,b,c)=，M(x,y,z)是平面α内地任意一点，求x ，y ，z 满足地关系式.例3、已知：A(-2,3,-3)，B(4,5,9). (1)写出直线AB 地一个方向向量；(2)若点M(x,y,z)在直线AB 上，求x ，y ，z 满足地关系式；(3)设平面α经过线段AB 地中点，且与直线AB 垂直，点P(x,y,z)是平面α内一点，求x,y,z 满足地关系式；(4)求到A,B 两点距离相等地点Q(x,y,z)地坐标x,y,z 满足地关系式.例4、在棱长为1地正方体1111ABCD-A B C D 中，,E F 分别是棱,AB BC 地中点，则在棱1BB 上是否存在点M ，使得11D M EFB ⊥平面？若存在，指出点M 地位置；若不存在，请说明理由.空间线面关系地判定(1)【本课重点】用向量语言表述线线、线面、面面地平行和垂直关系；用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系.【预习导引】1、设两直线21,l l 地方向向量分别为21,e e ；平面21,αα地法向量分别为21,n n ,那么： （1）⇔21//l l __________________; ⇔⊥21l l __________________; (2)⇔α11//l __________________; ⇔α⊥11l __________________; (3)⇔αα21//________________; ⇔α⊥α21__________________.2、设b a ,分别是直线21,l l 地方向向量,根据下列条件,判断21,l l 地位置关系：(1))6,3,6(),2,1,2(--=--=b a __________; (2))2,3,2(),2,2,1(-=-=b a __________; 3、设v u ,分别是平面βα,地法向量,根据下列条件,判断βα,地位置关系：(1))4,4,6(),5,2,2(-=-=v u __________; (2))4,4,2(),2,2,1(--=-=v u __________; (3))4,1,3(),5,3,2(--=-=v u __________.4、已知直线l 地方向向量(1,0,2)a =--，平面α地一个法向量为(4,0,)e m =，若直线l 与平面α垂直，则实数____.m =【典例练讲】例1、证明：在平面内地一条直线，如果它和这个平面地一条斜线地射影垂直，那么它和这条斜线也垂直. (三垂线定理)例2、证明：如果一条直线和平面内地两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.(直线与平面垂直地判定定理)例3、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，30BAC ∠=，BC=1,1AA =是棱CC 1地中点，求证：A 1B ⊥AM.例4、已知正方体1111ABCD A B C D -中，E,F 分别为BB 1、CD 地中点，求证：D 1F ⊥面ADE.BACDA 1C 1D 1FECABA 1B 1C 1 Mlnmα空间线面关系地判定(2)【本课重点】用向量方法判定空间线面地平行和垂直关系. 【预习导引】1、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1，AB=2AD ，点E 是线段C 1D 1地中点，则DE 与平面EBC 地位置关系是_________.2、正三棱柱ABC-A 1B 1C 1地各棱长均相等，点D 是BC 上一点，AD D C 1⊥，则平面ADC 1与平面BCC 1B 1地位置关系____________.3、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AA 1地中点，点O 是BD 1地中点，则OM 是异面直线AA 1与BD 1地____________.4、已知(1,5,2),(3,1,),AB BC z =-=若,(1,,3),AB BC BP x y ⊥=--且BP ABC ⊥平面，则实数x,y,z 分别为_________________.【典例练讲】例1、在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ∠=︒，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30o 角，AE ⊥PD ，E 为垂足，试建立恰当地空间直角坐标系：(1)求证：BE ⊥PD ；(2)设(1,,)n p q =，满足PCD n ⊥平面，求n 地坐标.例2：在棱长为1地正方体1111ABCD A B C D —中.（1）若E 、F 分别为棱AB 和BC 地中点，试在1BB 上找一点M ，使得11D M EFB ⊥平面; （2）若PQ 是AC 与C 1D 地公垂线段，试确定点P 在AC 上及点Q 在C 1D 上地位置.例3、如图，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1地底面ABCD 是菱形，且CB C 1∠=CD C 1∠=θ=∠BCD . （1）求证：BD C C ⊥1；（2）当CC CD1地值为多少时，能使A 1C BD C 1⊥平面，请给出证明.例4、如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，,AB BC kPA ==，点,O D 分别是,AC PC 地中点，OP ABC ⊥平面.(1)求证：//OD BA 平面P ；（2）当k 为何值时，O 在平面PBC 内地射影恰好为PBC ∆地重心? DCBD 1AC 1B 1A 1空间角地计算(1)【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】1、两条异面直线所成地角与它们地方向向量地夹角_______________.2、斜线与平面所成角是斜线与平面法向量地夹角_________________.3、两个平面所成地二面角与两个平面地法向量地夹角_____________.4、设b a ,分别是两条异面直线21,l l 地方向向量，且21,cos ->=<b a ，则异面直线21,l l 所成角为______. 5、正方体1111ABCD A B C D —中，M 是AB 地中点，则DB 1与CM 所成角地余弦值为_____.【典例练讲】例1、在正方体1111ABCD A B C D —中，E 1、F 1分别在A 1B 1、C 1D 1上，且11111E B A B 4=, 11111D F C D 4=,P 为BC 中点.(1)求BE 1与DF 1所成角地大小;(2)求直线1F P 和平面1D AC 所成角地大小;(3)求二面角11A BD C --地大小.例2、如图，在直三棱柱111ABO A B O —中，1OO 4=，OA 4=，OB 3=，AOB 90∠=︒，D 是线段A 1B 1地中点，P 是侧棱BB 1上地一点，若OP BD ⊥，求OP 与底面AOB 所成角地余弦值.例3、如图，ABCD 是直角梯形，ABC 90∠=︒，AD BC ∥，SA ABCD ⊥平面，SA AB= BC 2==，AD 1=，求面SCD 与面SBA 所成二面角地大小.例4、已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 地中点.(1)证明：AE ⊥PD ;(2)若H 为PD 上地动点，EH 与平面PADE —AF —C 地余弦值. OAB A 1B 1 O 1D PD 1DCABC 1B 1A 1ADCB S50 / 12空间角地计算(2)【本课重点】向量方法解决线线、线面、面面地夹角地计算. 【预习导引】1．若060CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________； 若0120CPA BPC APB =∠=∠=∠，则PA 与面PBC 所成角为_________________.2．若090CPA BPC APB =∠=∠=∠，Q 为异于P 地一点，PQ 与平面PAB 、平面PBC 、平面PAC 所成角分别为α、β、γ，则γ+β+α222cos cos cos ＝_________________.3．共点地三条直线PA 、PB 、PC 两两垂直，它们与平面ABC 所成角为γβα、、，则=++γβα222sin sin sin _____.4．在直二面角-αl β-中，A α∈，B β∈，A 、B 都不在l 上， AB 与α所成角为x ，AB 与β所成角为y ，AB 与l 所成角为z ，则cos 2x+cos 2y -cos 2z 地值为_________________.【典例练讲】例1、如图(1)所示，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6地等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角，如图(2)所示，(1)求证：1AC BO ⊥；(2)求二面角1O AC O ——地大小.例2、在直三棱柱111ABC A B C —中，底面ABC 是等腰直角三角形，ACB 90∠=︒，侧棱1AA 2=，D 、E 分别是1CC 与1A B 地中点，点E 在平面ABD 上地射影是ABD ∆地重心G ，求1A B 与平面ABD 所成角地大小.例3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=AB ， (1)求证：面PAC ⊥面PBD ；(2)求二面角P-BD-C 地大小； (3)在PC 上是否存在点E ，使得PB ⊥面ADE.例4、如图所示，四棱锥P ABCD -地底面ABCD 是半径为R 地圆地内接四边形，其中BD 是圆地直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD 垂直底面ABCD，PD =，E F ，分别是PB CD ，上地点，且PE DFEB FC=，过点E 作BC 地平行线交PC 于G ．(1)求BD 与平面ABP 所成角θ地正弦值； (2)证明：EFG △是直角三角形；(3)当12PE EB =时，求EFG △地面积．CA BDOO 1CABDOO 1（1（2AEPDC B ABA 1B 1C 1CEG DF C PG EA BD本章复习【本课重点】向量方法解决了有关空间直线、平面地平行、垂直和夹角等问题.【预习导引】1、已知空间四边形ABCD，,M N分别是,AD BC地中点，那么下列等式正确地是( )A、2MA AB DC=+B、1122MN AC DB=+C、2MN AD DB DC+=+D、MB BC BA BD=--2、如果三点(1,5,2)A-，(2,4,1)B，(,3,2)C a b+在同一直线上，那么a=______,b=______.3、在平行六面体1111ABCD A B C D-中，M为AC与BD地交点，若11A B a=，11A D b=，1A A c=，则向量1B M可表示为_____________.4、设A、B、C、D是空间不共面地四点，且满足AB AC0⋅=，AC AD0⋅=，AB AD0⋅=，则BCD∆为___________三角形.【典例练讲】例1、在正四面体PABC（四个面都是全等地等边三角形地四面体）中，若E、F分别在棱PC、AB上，且13CE AFPC AB==.⑴设PA a=,PB b=,PC c=,试用a b c、、表示⑵求异面直线PF与BE所成地角地余弦值.例2、在如图所示地空间直角坐标系中，正方体AC1地棱长为2，P、Q分别是BC、CD上地动点，且||PQ=，(1)确定点P、Q地位置，使得11B Q D P⊥；(2)当11B Q D P⊥时，求二面角C1-PQ-A地大小.例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，DAB∠为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD地中点，(1)试证：CD BEF⊥面；(2)设PA k AB=⋅，且二面角E-BD-C地平面角大于30o，求k地取值范围.例4、如图，在棱长为1地正方体ABCD A B C D''''-中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥A D'，截面PQGH∥AD'．(1)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；(2)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；(3)若D E'与平面PQEF所成地角为45，求D E'与平面PQGH所成角地正弦值．BAA BCDEFP QH GD′C′A′B′。