常见函数解析式的形式.docx

常见函数解析式的形式(课堂拓展1)
扶沟高中张富成
一般函数
用一个等于号直接连接变量X和函数y的等式。

类型
1、一次函数
2、二次函数
3、反比例函数、等
定义域：若无特殊说明指使解析式有意义x的集合。

求函数的定义域的主要考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R;
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即＞0)；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0;
⑷当为指数式时，对零指数幕或负整数指数幕，底不为0；
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集；
⑹实际问题建立的甫数，除了要考虑使解析式意义外，还要考虑实际意义对口变量的要求; ⑺对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合；
8、其他。

分段函数
定义：分段函数;对于口变量x的不同的取值范圉，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数，而不是儿个函数；
定义域：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集.
复合函数
定义：设y=f(u),定义域是B, u=g(x),定义域是A当x在u=g(x)的定义域A中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域B内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=fTg(x)］称为复合函数，其屮x称为自变量,u为屮间变量,y为因变量(即函数)。

定义域：若函数y二f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f［g(x)］的定义域
是D二｛x|xWA,且g(x) eB｝综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

说明：定义域是指X的范围。

而同一个对应法则(即同一个f)中括号里面的范围应该是相同的。

比如y=f(u),定义域为u的范围,而u和f［g(x)］有相同的对应法则f,所以u和g(x) 的范围是相同的。

【评析】(1)已知f(x)的定义域,求f［g(x)］的定义域,一般设u=g(x),则u的取值范围就是f(x)的定义域，同时也是g(x)的值域，通过己知g(x)的值域，再求x的范围，即解不等式可求得；
(2)已知f ［g(x)］的定义域为D,求f(x)的定义域,就是求g(x)在D上的值域.
抽象函数
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。

一般形式
不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。

一般形式为y=f(x),
或许还附有定义域、值域等，如：y 二f(x),(x>0,y>0)。

常见函数的抽象函数形式
幕函数：f(xy)=f(x)f(y) 正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)
对数函数：f(x)+f(y)二f(xy) 三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) 指数函数：f(x+y)=f(x)f(y) 周期为n 的周期函数：f(x)二f(x+n) 函数题型
作图题
例1作出函数f(x)=|x+l|+|x ・l|的图像。

求函数值
,, 对 +1 (% < 1) n ,
1、 已知.心)彳 (、则./(2)二 [-2x4-3 (x>l)
A. -7
B. 2
C.-1
D. 5
，2 x ，兀 > 0,
2、 已知，则/(x) = m = o,那么/{/[/(—3)]}的值等于
( ) 0,x < 0.
A. 0
B. 7t C ・龙2 D ・ 9 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式 去
求值，直到求出值为止。

3、 已知函数f(x), g(x)分别由下表给出 X 1
2 3 X 1 2 3 f(x)
1 3 1 g(x)
3 2 1 则f[g ⑴]的值为 ________ ;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值为
『x-4(x>6)
4、已知 f(x)=l / ( x + 2 )( x<6 )
5、已知函数心)对任意实数X 都满足条件f(2
若f ⑴"，则f(2—
7 设函数/(兀)的定义域为R ,且对w R,恒有= /(x) + /(y),若
则 f(3)=()
6、 6^设函数/(%)= x-3,(x> 10)
/(/(兀 + 5)),(兀
V10) 则 /(5) = _______________________________
/(8) = 3J|J/(V2)=()
8、已知f(2x + l) = x2-2x f则f(3)= _______________________________ .
9 已知函数f(x), g(x)同时满足：g(x-y) = g(x)g(y) + f(x)f(y) ； f(-l) = -l ,
/(0) = 0, /(1) = 1,求g(0),g(l),g(2)的值.
求自变量的值
例9己知J(x)=\X +1则/(a)二1则实数a的值是 _____ .
〔-2兀 + 3 (x>l) *
求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的解，再求它们的并集即可。

求某条件下自变量的范围
例8已知Ax)=\X +1:则人Xo)<5则实数Xo取值范围是________ .
［-2x4-3 (%>1)
求某条件下自变量的范围的方法：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可。

函数定义域的类型和求法
定义域是指X的范围。

而同一个对应法则(即同一个f)中括号里面的范围应该是相同的。

比如，定义域为u的范I韦I，而u和Inx有相同的对应法则f,所以u和Inx的范围是相同的。

一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列岀关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

J/ - 2x- 15
y = --------------------
例1求函数限+3|-8的定义域。

二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

例2 (1)已知f仗)的定义域,求Hg仗)］的定义域。

其解法是：己知£仪)的定义域是［a, b］求的定义域是解a-g(x)-b,即为所求
的定义域。

例3已知仪)的定义域为［-2, 2］,求f (，一°的定义域。

(2)已知f［g(x)〕的定义域,求f(x)的定义域。

其解法是：已知f【g(x)］的定义域是［a, b］,求f(x)定义域的方法是:由求gg
的值域，即所求f（x）的定义域。

例4已知f（2x + l）的定义域为[1, 2],求f（x）的定义域。

三、逆向型
即己知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于己知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5己知函数厂仏'-论+ m + 8的定义域为R求实数口的取值范围。

吃）=严+ 了
例6已知函数+ 4kx + 3的定义域是R,求实数k的取值范围。

四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，求函数的定义域。

五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例8已知f（x）的定义域为[0, 1],求函数F（x）= f（x+Q + f（x_Q的定义域。

求函数的表达式
求函数解析式的基本方法
1.复合函数定义（配凑法）
例1 己知/（X-1）" + 2,求/（X）.
2.换元法
例2 若.f（x+l） = 2F + I,求/（尢）.
3.解方程组法
若己知满足某个等式，这个等式除/（兀）是未知量外，述出现其他未知量（如/（一力，
I兀丿,进而得到兀兀）的解析（x丿等）.可以利用相互代换得到方程组，消去/（一兀）
或
式・例3 若2/（%）-/（一x）二兀+1,求/（兀）.
4.待定系数法
当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设 /（力=祇+区心0）,再利用恒等原理确定其系数.
5.特值法
此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式屮，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式.
例6.已知函数f㈤的定义域为R ,并对一切实数x , y都有
2f(x-y)= f(x) + 3f(y)+x(x + 2y + l)?求f(x)的解析式。