函数的单调性问题教师版

知识点5：函数单调性的定义及应用：
定义：在函数()x f y =的定义域A 的某一区间I 内任取1x ,2x I ∈,且21x x <. ○
112x x <⇔()()12f x f x <,则称()x f y =在区间I 上为增函数； ○
212x x <⇔()()12f x f x >,则称()x f y =在区间I 上为减函数. 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集； （3）函数单调性的定义中，有两层意思：
①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <恒成立．
（4）图象特征：图象是上升趋势的为增函数；图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则f(x)=0的根 （ C ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］（D ）A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根
题型1：证明函数的单调性：步骤：一设，二作差，三变形判断符号，四结论 变形常用的手段有：通分，提取公因式、配方法、有理化、因式分解。

1.利用单调性的定义证明函数+2
()+1
x f x x =
在(-1,)+∞上是减函数。

解：在(-1,)+∞上任取12x x <， 则121212+2+2
()()+1+1x x f x f x x x -=-2121
(+1)(+1)x x x x -=
因为211x x >>-，所以21210,+1>0,+10x x x x ->>。

2121>0(+1)(+1)x x x x -∴，所以21()()0f x f x ->；即21()>()f x f x ， 故+2()+1
x f x x =在区间(-1,+)∞上为减函数。

练.证明函数3
()2f x x =-在R 上的单调递增。

题型2.函数单调性的判定，有一些规律
〈1〉若()x f y =↑,()x g y =↑,则()()x g x f y +=↑.（若)(x f 单增,)(x g 单减,则)()(x g x f -单增） 〈2〉若()x f y =↓,()x g y =↓,则()()x g x f y +=↓. 〈3〉若()x f 是增函数，那么()x f 是增函数，()()x f x f 1
,
-（00)(<>或x f 部分）是减函数。

〈4〉若()x f 是减函数，那么
()x f 是减函数，()()x f x f 1
,-（00)(<>或x f 部分）是增函数。

1.设()f x 是定义在A 上的减函数，且()0f x >，则下列函数①32()y f x =-；②
21()y f x =+
；③1()()y f x f x =-；④1
()()
y f x f x =-,其中为增函数的个数是（ ） （A ）1 （B ） 4 （C ）2 （D ）3
解：()f x 是定义在A 上的减函数，且()0f x >， ()y f x ∴=-、1()y f x =为增函数，1
()
y f x =-为
减函数， 32()y f x ∴=-、2
1()
y f x =+、1()()y f x f x =-为增函数，故选D 。

2.讨论函数())0(,12
≠-=a x ax
x f 在区间(-1，1)内的单调性.
解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝
2
1
11x ax --
2
2
21x ax -＝
)
1)(1()
1)((2
2212121x x x x x x a --+-
∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 2
1)(1-x 2
2)＞0
于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2).
故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数. 题型3：求单调区间：利用图象求函数的单调性 1.常见函数的单调性
(1)一次函数:)0(≠+=k b kx y , 0>k ,一次函数在R 上单调递增,0<k ,一次函数在R 上单调递减. (2)二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ,二次函数的单调性决定于开口方向和对称轴, (3)反比例函数)0(≠=
k x
k
y ,若0>k ,则函数在区间)0,(-∞和),0(+∞都是单调递减, 若0<k ,则函数在区间)0,(-∞和),0(+∞都是单调递增,(注意不能说在定义域内单调递增). 1．函数y ＝
1
1
＋x 的单调区间为____（－∞，－1），（－1，＋∞） 2．函数y ＝＝x 2
－6x ＋10在区间（2，4）上是（ C ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增
D ．选递增再递减．
3.函数()(1)f x x x =-在区间A 上是增函数，则区间A 是 （ ）
(A)[0,)+∞ (B) (,0]-∞ (C) 1[0,]2 (D) 1
(,)2
+∞
4．函数f （x ）＝2x 2
－3｜x ｜的单调减区间是____［0，43］，（－∞，－4
3）
练：函数f （x ）＝|2x 2
－3x|的单调减区间是____ 练：2312)(+--=x x x f 的单调区间。

5.
求函数()f x =
解：令2
160x -+≥，即216x ≤，44x ∴-≤≤
，
y =
20),16y u u x =>=-+复
合而成，[4,0]x ∈-时，2
16u x =-+单调递增；当[0,4]x ∈时，216u x =-+单调递减；
又0)y u =>
为增函数，y ∴=[4,0]-上单调递增，在[0,4]上单调递减。

题型4：已知单调区间求参数
1.函数f (x )=4x 2
－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25
2．函数f （x ）＝－x 2
＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ A ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－5
解：本题作出函数f （x ）＝－x 2
＋2（a －1）x ＋2的图象，可知此函数图象的对称轴是x ＝a －1，由图
象可知，当a －1≥4，即当a ≥5时，函数f （x ）＝－x 2
＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数． 3.2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在区间]4,1[-上单调,则a 的取值范围是( ). 4.若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =__-6______。

5.已知函数)(x f 为定义在区间]3,1[-的增函数,且满足:)1()12(+<-x f x f ,则x 的范围是( ).
A.)2,(-∞
B.),2(+∞
C.)2,0(
D.)2,0[
解 由题意,则可得不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤-+<-3113121112x x x x ,解得:⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≤≤<22202x x x ,即20<≤x ,所以正确选项为D.
练.已知()x f y =是定义在（-2，2）上的增函数，若()()m f m f 211-<-，则m 的取值范围是 (-)3
2
,21 .
题型5：抽象函数的单调性 1.函数()x f 对任意的R b ,a ∈,都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,()1>x f .
（1）求证：函数()x f 是R 上的增函数；
（2）若()54=f ,解不等式()
3232
<--m m f
练.函数()x f 对任意的R b ,a ∈,都有()()()f a b f a f b +=+,并且当0>x 时,()0f x <.且有()12f =-.试求函数()x f 在区间[]3,4-上的最大值.
2.设函数()x f 的定义域为+
R ,且满足条件()14=f ,对于任意+
∈R x ,x 21,有()()()2121x f x f x .x f +=,当
21x x >时,有()()21x f x f >.
（1）求()1f 的值； （2）如果()()36213≤-++x f x f ,求x 的取值范围. 练.若函数()x f 是定义在()+∞,0上的增函数,且对一切()+∞∈,b ,a 0,都有()()b f a f b a f -=⎪⎭
⎫
⎝⎛.（1）求()1f 的值；
（2）若(),f 14=解不等式()216>⎪⎭
⎫
⎝⎛-+x f x f。