乘法公式定理(题型扩展)

乘法公式的复习

一、复习:

(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2

②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2

③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4

④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2

⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]

=(xy)2-(z+m)2

=x2y2-(z+m)(z+m)

=x2y2-(z2+zm+zm+m2)

=x2y2-z2-2zm-m2

⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)

=(x-y)2-z2

=(x-y)(x-y)-z2

=x2-xy-xy+y2-z2

=x2-2xy+y2-z2

⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)

=(x2-y2)(x2+y2)

=x 4-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。 解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-

例3：计算19992-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=24096

=161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032（2）1982

解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9 =10609

（2）1982=(200-2)2 =2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4 =39204

例8．计算

（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)

解：（1）原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b]=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2

（2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2-( y 2-4y +4)=9x 2-y 2+4y -4

例9．解下列各式

（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2的值。 （2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2，ab 的值。 （3）已知

a (a -1)-(a 2-

b )=2，求

22

2

a b ab +-的值。 （4）已知13x x

-=，求44

1

x x +

的值。 分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵a 2+b 2=13，ab =6

∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+2⨯6=25 (a -b )2=a 2+b 2-2ab =13-2⨯6=1 （2）∵(a +b )2=7，(a -b )2=4

∴ a 2+2ab +b 2=7 ① a 2-2ab +b 2=4 ② ①+②得 2(a 2+b 2)=11，即2211

2

a b += ①-②得 4ab =3，即34

ab =

（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2

()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22112222

a b =-=⨯-=

（4）由13x x -=，得19x x 2

⎛⎫-= ⎪

⎝⎭ 即22129x x +-= 2

2111x x ∴+= 221121x x 2

⎛

⎫∴+= ⎪⎝

⎭ 即4412121x x ++= 441119x x +=

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 分析：由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=52