赵洪銮《离散数学》第五章8-9节
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《离散数学》第五章
⊕4b）⊕4c=
a
c)， 满足结合律。 ⊕4(b ⊕4c)，即⊕4满足结合律。
0是单位元，0的逆元是 ，1和3互为逆元，2的逆 是单位元， 的逆元是 的逆元是0， 和 互为逆元 互为逆元， 的逆 是单位元 元是2。 是一个群。 元是 。 <Z4； 4>是一个群。 ⊕ 是一个群
14
定义5-8:如果群 如果群<G; * >的运算 是可交换的，则称该群为 的运算*是可交换的 定义 的运算 是可交换的，
5
三、 子半群和子独异点
定义5-5 定义
<S； >的子代数，则称<T； >是<S； >的子半群。 ； 的子代数，则称 ； 是 ； 的子半群。 的子代数 的子半群
∗
设<S； >是一个半群 ，若 <T； ； 是一个半群 ； ∗
∗
例6
= {2n | n ∈ N} N3 = {3n | n ∈ N}, N4 = {4n | n ∈ N}, L
交换群或阿贝尔群。 交换群或阿贝尔群。
15
二、循环群
1．群中元素的幂 对于任意a∈ ， 对于任意 ∈G， a0=e,
anƮ=e, ( a−1)n+1 = (a−1)n ∗ a−1 (n=0,1,2,…) （*） ） 引进记号 a−n = (a−1)n = a−1 ∗ a−1 ∗ ⋅ ⋅ ⋅ ∗ a−1 ( n个a-1 ) 个 因此（ 因此（ ）式可表示为 (a −1 )0 = e, a−n−1 = a−n * a−1 对于任意整数
1
5.1 半群和独异点 一、半群 半群 定义5-1 定义
二元运算， 二元运算，如果 是半群。 是半群。∗ > < s; 是一个非空集合， 设S是一个非空集合， 是S上的一个 是一个非空集合 上的一个 是可 结 合 的 , 则 称 代 数 系 统
赵洪銮《离散数学》第五章1-2节
＊α β γ δ
验证＊, △满足吸收律。
学习如登山， 苦战能过关。
解：a＊ (aΔb)=max(a,min(a,b))=a aΔ (a＊b)=min(a,max(a,b))=a
因此*，Δ满足吸收律。
15
定义5-2.6 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的
x∈A,都有x＊x=x,则称运算＊是等幂的。(若某些元素满足，称为 等幂元)
7
例1 设A={x|x=2n,n∈N}, 加法运算，乘法运算是否封闭？ 注意:通常用。，*，.，…等符号表示二元运算，称为算符。
8
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的
x,y∈A，都有x*y=y*x,则称二元运算*是可交换的。
例2 设Q是有理数集合，△是Q上的二元运算，对于任意的 a,b∈Q，a△b=a+b-a·b，问运算△是否可交换。 解：∵a△b=a+b－a·b=b+a－b·a=b△a, ∴△是可交换的。
(1) N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。 (2) n阶实矩阵上的加、乘。 (3) 集合S的幂集上的∪、∩ 、 。
10
例3 设A是一个非空集合，☆是A上的二元运算，对于任意 a,b∈A,有a☆b=b,证明☆是可结合的。
证明：对于任意的a,b,c∈A (a☆b) ☆c=b☆c=c
而 a☆(b☆c)=a☆c=c
β＊（ α △β），（β ＊ α ）△（ β ＊β）
13
定义5-2.5 设Δ、*是可交换二元运算，对于任意的x,y∈A，都有
x*(xΔy)=x
xΔ(x*y)=x
称*，Δ满足吸收律。
如： 集合上的∪和∩满足吸收律。
即，任意集合A，B满足
赵洪銮《离散数学》第五章3-4节
证明：因为<S, *>是半群。对于b∈S，由*的封闭性，
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i， 所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下： 对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不 相同。 咋证呢？
12
3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。 因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。 由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。 例如： ？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*
有
b∈S，b2=b*b∈S，…，bi∈S，…，bn∈S，
因S是有限集，j>i，使得bi=bj，令p=j-i， 所以有 bi=bp*bi，显然对于q≥i，有bq=bp*bq，
7
∵p≥1，∴总可以找到k≥1，使得 kp≥i，
对于S中的元素bkp，就有
10
例4：设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m的同
余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元运算+m和×m
分别如下： 对于任意的[i],[j] ∈ Zm
[i] +m[j] = [(i+j)(mod m)]
[i] ×m[j] = [(i × j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行或两列都不 相同。 咋证呢？
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3) ∵ [0] +m[i]= [i] +m[0]= [i]，
∴ [0]是< Zm, +m >中的幺元。
∵ [1] ×m[i]= [i] ×m[1]= [i]， ∴ [1]是< Zm, ×m >中的幺元。 因此，代数系统< Zm, ＋m >，< Zm, ×m >都是独异点。 由定理5-3.3可知这两个运算表中任何两行或两列都不相同。
5-3
半群
1、广群、半群及其性质
定义 5-3.1 ：一个代数系统 <S,*> ，其中 S 是非空集合， * 是S上的一个二元运算，如果运算 *是封闭的，则称代数系统 <S,*>为广群。 例如： ？？
1
定义5-3.2：一个代数系统<S,*>，其中S是非空集合，*
离散数学课件(第5章)
的概率。
02
条件概率的性质
条件概率具有可交换性、可结合性、可分解性和归一性等性质。
03
条件概率的计算公式
条件概率的计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A∩B)表示事件A
和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
独立性
事件的独立性
如果两个事件之间没有相互影响， 即一个事件的发生不影响另一个 事件的发生，则这两个事件是独
要点二
详细描述
关系的并运算是指两个关系的并集，表示两个关系中都存 在的关联；关系的交运算是指两个关系的交集，表示同时 存在于两个关系的关联；关系的差运算是指两个关系的差 集，表示存在于一个关系但不存在的关联；关系的逆运算 是指一个关系的逆关系，表示元素之间的关联方向相反。 这些运算可以用来对关系进行操作和变换，以得到所需的 关系。
路径与回路
总结词
路径是指一系列节点和边的有序集合，而回 路是指路径中至少有一条边是有向的。
详细描述
路径是指从图中的一个节点出发，经过一系 列的边和节点，最后回到起始节点或有终止 节点的一条路径。在路径中，所有的边都是 无向的。而回路则是指至少有一条边是有向 的路径，即起点和终点相同的路径。在图论 中，回路的概念非常重要，因为许多问题可
立的。
独立性的性质
独立性具有传递性、对称性和可 分解性等性质。
独立性的计算公式
如果事件A和事件B是独立的，则 P(A∩B)=P(A)P(B)，即两个独立 事件的概率乘积等于它们各自的
概率。
05
离散随机过程
随机变量
定义
分类
随机变量是定义在样本空间上的可测函数 ，它将样本点映射到实数轴上。
离散随机变量和连续随机变量。
离散数学李盘林版第一到5章
§2 公式的等价关系
1. 等价的概念
公式A与B公式等价：若A B为重言式. 记为A B 。
注意 与 的不同。 A B 当且仅当 A与B在每种真值指派下 的真值均相同。 例：A→B A∨B 因为p→q p∨q
p q p→q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
p∨q 1 1 0 1
―或者” 么”
“要么 要
―若，则” “如果，那么”
ห้องสมุดไป่ตู้
双条件连接词
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 1 0 0 1
―当且仅当” ―充要条件”
符号化命题
（1）郑州不是河北省的省会。 解:令p表示“郑州是河北的省会”，则该 命题可表示为 p （2）2+3=5并且2×3≠5。 解: 令p表示“2+3=5‖，q表示“2×3=5‖ ， 则该命题可表示为p∧ q
3. 命题公式
命题公式（递归定义）
（1）一个字母（命题变元）是命题公式。 （即原子公式）。 （2）若A，B是命题公式，则A，A∧B， A∨B，A→B，AB也都是命题公式。 （3）每个命题公式都是有限次使用（1）,（2） 产生的。 注：命题公式中的逻辑连接词的优先级依次为 ，∧，∨，→ ，
举例
1. p ∧ q 的真值表： p q p∧q 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 2. p∨q → r的真值表： p q r p∨q → r 000 1 001 1 010 1 011 0 100 1 101 0 110 1 111 0
复杂公式的真值表见例1.1.9
5. 公式的类型
(1)（p→q)∧p→q; (2) ┐(p→(p∨q))∧r; (蕴含等值式) (蕴含等值式) (德摩根律)
离散数学(第五章)
举例：
令 x的个体(gètǐ)域为正整数。 A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
x (A(x) B(x)) 存在既是奇数又是偶数的正整数。
x A(x) x B(x) 存在为奇数的正整数且存在为偶数的正整数。
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
量词与联结词∧，∨的关系(guān xì)总结： 1)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
例：设个体域是整数集，则下列命题(mìng tí)的真值为真的是 （）
A． y x(x·y=1)
B． x y (x·y≠0)
C． x y (x·y=y2)
D． y x(x·y=x2)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
(A(a1)B(a1)) …. (A(an)B(an)) (A(a1)… A(an)) (B(a1)… B(an)) xA(x) x B(x)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规 则 ∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例(jǔ ： lì) 令 x的个体域为正整数。
(x)P(x) ❖ 可以看出命题(1)(2)意义完全相同，(3)(4)意义也完全相同
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规则
（2）量词否定(fǒudìng)转换律 ¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x) x¬P(x)
下面证明：¬xP(x) x¬P(x) 设个体域为： S={a1,a2,…an} ¬xP(x) ¬(P(a1) P(a2) … P(an))
上述二命题的否定为： (a)上海不是一个小城镇 ¬A(s) (b)有一些自然数不是偶数 ¬x(N(x)E(x))x¬(N(x)E(x)) x¬(¬N(x)E(x)) x (N(x) ¬E(x)) 结论：对于非量化命题的否定只需将动词否定，而对于 量化命题的否定不但对动词进行否定而且对量词同时 进行否定，其方法是： x的否定变为x ， x的否定变 为x 。
令 x的个体(gètǐ)域为正整数。 A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
x (A(x) B(x)) 存在既是奇数又是偶数的正整数。
x A(x) x B(x) 存在为奇数的正整数且存在为偶数的正整数。
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
量词与联结词∧，∨的关系(guān xì)总结： 1)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
例：设个体域是整数集，则下列命题(mìng tí)的真值为真的是 （）
A． y x(x·y=1)
B． x y (x·y≠0)
C． x y (x·y=y2)
D． y x(x·y=x2)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
(A(a1)B(a1)) …. (A(an)B(an)) (A(a1)… A(an)) (B(a1)… B(an)) xA(x) x B(x)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规 则 ∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例(jǔ ： lì) 令 x的个体域为正整数。
(x)P(x) ❖ 可以看出命题(1)(2)意义完全相同，(3)(4)意义也完全相同
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规则
（2）量词否定(fǒudìng)转换律 ¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x) x¬P(x)
下面证明：¬xP(x) x¬P(x) 设个体域为： S={a1,a2,…an} ¬xP(x) ¬(P(a1) P(a2) … P(an))
上述二命题的否定为： (a)上海不是一个小城镇 ¬A(s) (b)有一些自然数不是偶数 ¬x(N(x)E(x))x¬(N(x)E(x)) x¬(¬N(x)E(x)) x (N(x) ¬E(x)) 结论：对于非量化命题的否定只需将动词否定，而对于 量化命题的否定不但对动词进行否定而且对量词同时 进行否定，其方法是： x的否定变为x ， x的否定变 为x 。
离散数学第五章__谓词逻辑
自由变元，关键是要看它在A中是约束出现，还
是自由出现。
例 指出下列各合式公式中的量词辖域、个体变元 的约束出现和自由出现。 (1) (x) (P(x)→(y) Q(x,y)),量词(x)的辖域是 P(x) → (y) Q(x,y),量词(y)的辖域是Q(x,y),对 于(y)的辖域而言，y为约束出现，x为自由出 现。对于(x)的辖域而言，x和y均为约束出现， x约束出现2次，y约束出现1次。 (2) (x) H(x)∧L(x,y),量词(x)的辖域是H(x) ，x 为约束出现，L(x,y)中的x和y都为自由出现。 对于整个公式而言，x的约束出现1次，自由出 现1次，y自由出现1次。
一些大学生有远大理想 (x)(S(x)∧I(x))
④令N(x)：x是自然数， P(x)：x是素数。则 有的自然数是素数 (x)(N(x)∧P(x))
在该例的解答中，由于命题中没有指明个
体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，
因而都使用了特性谓词，如S(x)、N(x)。 而且还可以看出，量词与特性谓词的搭配 还有一定规律，即全称量词后跟一个条件式， 而特性谓词作为其前件出现；存在量词后跟一 个合取式，特性谓词作为一个合取项出现。
２.原子谓词
原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象， 比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常元被 替换成个体变元，如x1,x2,· · · ,xn，这样便得了 一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元 原子谓词。 定义5.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变元(如x1， x2，…，xn)组成的P(x1，x2，…，xn)，称它为 n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。 而个体变元的论述范围，称为个体域或论域。
当n=1时，称一元谓词，如S(x) 当n=2时，称为二元谓词，如P(x，y) … 特别地，当n=0，称为零元谓词。
离散数学课件(第5章)
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 1、运算 【定义5.1.1】 设A是非空集合，一个从An到B的 映射,称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 如果B A，则称该n元运算是封闭的。 在定义5.1中，当n=1时，f称为集合A上的一 元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。 在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、 “∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c， 记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记 作*a或*(a)。
第五章：代数结构
4.吸收律 【定义5.2.4】 设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运算， 如果对于任意a,bA，有 a*(a∘b)=a ；a∘(a*b)=a 则称运算∗和运算∘满足吸收律。 【例5.7】设N为自然数集合，*和∘是集合N上的二元运算，定义 为： aN，bN a*b=max(a,b)， a∘b=min(a,b) 验证运算*和∘适合吸收律。 解：aN，bN 若a＞b，a*(a∘b)=a*min(a,b)=a*b=max(a,b)=a 若a＜b，a*(a∘b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a 若a＝b，a*(a∘b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a 即 a*(a∘b)=a 同理可证a∘(a*b)=a ∘适合吸收律。 因此运算*和
河南理工大学电子教案
《离散数学》教案
计算机科学与技术学院
课程学时：64 主 讲：宋 成
第三篇：代数系统
本篇用代数方法来研究数学结构，故 又叫代数结构，它将用抽象的方法来研 究集合上的关系和运算。 代数的概念和方法已经渗透到计算 机科学的许多分支中，它对程序理论， 数据结构，编码理论的研究和逻辑电路 的设计已具有理论和实践的指导意义 本篇讨论一些典型的代数系统及其 性质。
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*>的同态，f是一个双射函数，A≌B。 如果g(a)=4，g(b)=3，g(c)=2，g(d)=1，g也是由<A, *>到<B, +>的一个同构。
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7
➢ 当两个代数系统是同构的，它们之间的映射可以是不唯 一的。 ➢ 同构的两个代数系统，可看成是本质相同但形式不同的 代数系统。 ➢ 如果代数系统U，V是同构的，则从V，U也必定存在一 个同构的映射f-1，故U，V是互为同构的。
对于y, z∈R，应有 f(y+z) = 2y+z = 2y×2z = f(y) ×f(z) 所以 函数f: R→R是一个从<R, +>到<R, ×>的同态。
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3
➢ f(A)={x|x=f(a), a∈A}⊆B ➢由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多个同态。
a
b c a★c
A
B
·
证明：(1)任何代数系统<A,*>都可以通过恒等映射与它自身同构， 所以同构关系具有自反性。 (2) 若f是<A, *>到<B, ◇>的同构映射且<A, *>≌<B, ◇>，则f的逆f -1 是<B, ◇>到<A, *>的同构映射且<B, ◇>≌<A, *>，所以同构关系具 有对称性。 (3) 设f是<A, *>到<B, ◇>的同构映射，g是<B, ◇>到<C, ★>的同构 映射，则g ◦f是<A, *>到<C, ★>的同构映射，所以同构关系具有传 递性。 由以上(1)，(2)，(3)知同构关系是等价关系。
*>是同构的。记为<A, ★ > ≌ <B, *>，简记作A≌B
如：1. 设 f：R→R，定义为对任意x∈R，f(x)=2x 2．设 f : N→Nk,定义为对任意x∈N, f(x)=x（mod k） 3．设H={x|x=dn, d是某一个正整数，n∈I}, 定义映射f：I→H为对任意n∈I, f(n)=dn
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6
例1 设A={a, b, c, d}，B={1, 2, 3, 4}，在A，B上定义的二 元运算如下所示，证明<A, ★> 和<B, *>同构。
★a b c d
* 1234
a abcd b baac c bddc
1 1234 2 2113 3 2443
d abcd
4 1234
证明：
设f(a) =1，f(b)=2，f(c)=3，f(d)=4，由表可得f是<A, ★>到<B,
·
f(A)
f(a)=f(b)
f(a)*f(c)=f(b)*f(c)
b★c
f
· f(c)
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4
例 <I, •>，I是整数集，•是普通乘法运算，其运算结果的特征用
另一个代数系统<B, ⊙>来表示，B={正、负、零}，⊙是定义在B
上的二元运算， 正 n>0 f（n）= 负 n<0 零 n=0
⊙ 正负 零
同态与同构：
两个代数系统之间的联系，保持原有的形态 和性质（本质相同，形式不同）
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1
5-8 同态与同构
1、同态、同态象、满同态、单一同态、同构
定义5-8.1 设<A, ★>和<B, *>是两个代数系统，★和*分别是A， B上的二元（n元）运算，设f是A到B的一个映射，使得对任意的 a1, a2∈A，有
正 正负 零 负 负正 零 零 零零 零
对于任意的a，b∈I，有
f(a•b)=f(a)⊙f(b)，映射f是由<I, •>到<B, ⊙>的一个同态。即<B, ⊙>描述了<I, •>中运算结果的基本特征。
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5
定义5-8.2 f：<A, ★ >到<B, *>的一个同态，如果 f是从A到B的一个满射，则f是满同态； f是从A到B的一个入射，则f是称为单一同态； f是从A到B的一个双射，则f是同构映射，并称<A, ★ >ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ<B,
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8
2、同态、自同构及相关性质
定义5-8.3 设<A, ★>是一个代数系统，如果 f是由<A，★>
到<A，★>的同态，则称f为自同态。如果g是由<A，★>到 <A，★>的同构，则称g为自同构。
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9
定理5-8.1 设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构 关系是等价关系。
=f(x★e) =f(x)=a =f(e★x) =f(e)*f(x) =f(e)*a。 那么f(e)是f(A)中的幺元。所以<f(A),*>是独异点。
f (a1★a2) = f(a1) * f(a2)
则称f为由<A, ★>到<B，*>的一个同态映射，(简称同态)，称<A, ★>同态于<B，*>（或称为f运载★到*），记为A～B。把 <f(A),*>称为<A，★>的一个同态象。
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2
例 给定代数系统<R, +>和<R, ×>，设函数f: R→R，f(x)=2x ， 证明f是一个从<R, +>到<R, ×>的同态
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11
<A,★> 是半群，在f 作用下，同态象<f(A),*>也是半群
证明：(a) 若f是由<A,★>到<B,*>的一个同态映射，则f(A)B (1)封闭性：a, bf(A)，必有x, yA使得f(x)=a，f(y)=b， 在A中必有z= x★y，
a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)f(A)。 (2)可结合性： a, b, cf(A)，必有x, y, zA使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c ★在A上是可结合的，所以 a*(b*c) =f(x)*( f(y)*f(z)
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定理5-8.2 设f是从代数系统<A, ★ >到<B, *>的同态映射。 (a) 如果<A, ★> 是半群，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也是半群。 (b)如果<A, ★>是独异点，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也是独异点。 (c)如果<A, ★> 是群，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也 是群。
=f(x)*f(y★z)=f(x★(y★z)) =f((x★y)★z) =f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z)= ( a*b ) *c 。
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<A,★>是独异点，在f 作用下，同态象<f(A),*>也是独异点
(b)设<A, ★>是独异点，e是A中的幺元， 考察f(e) ：af(A)，必有xA使得f(x)=a，所以 a*f(e)=f(x)*f(e)