11动量定理Hxj
理论力学11 动量定理
mv
M
mv Mv
p M vC
C
（11-5）
质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。
例 图（a） ，长为l，质量为m 的均质细杆，在平面 内绕 O 轴转动，角速度为w。
细杆质心的速度为：
细杆的动量大小为：
1 vC lw 2
vC = 0 O
w
C vO C
w
C A （a） vC
11 动量定理
11.1 动量与冲量
11.1.1 动量 1.质点的动量
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢 量，方向与v 相同。单位是kgm/s。
动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
2.质点系的动量 质点系中所有各质点的动量的矢量和。
(e)
0, 则 p
(e)
x
0则 , px
mv 常矢量。 mv 常量。
x
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质 点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
例11-2 在水平面上有物体 A 与 B，m A = 2 kg， m B = 1kg，今 A以某一速度运动而撞击原来静止的 B 块。 撞击后，A 与B 一起向前运动，历时2s 而停止。设A、 B 与平面的摩擦因数 f s= 0.25，求撞击前 A 的速度，以 及撞击时 A、B 相互作用的冲量。
11.2.2 质点系的动量定理
d e i ( m v ) F F 对质点系内任一质点 ， dt 对整个质点系： d ( mv ) F e F i dt
⒈ 矢量形式
F
i
0
dp (e) F 质点系的动量定理 dt 质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力 的矢量和。 ⑴ 微分形式
动量和动量定理精ppt课件
⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量） 间的互求关系。
⑶实际上现代物理学把力定义为物体动量的变化率： ∑ F=Δp／ Δt （这也是牛顿第二定律的动量形式）
⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢
量必须以同一个规定的pp方t精选向版为正。
8
2.动量定理具有以下特点：
①矢量性：合外力的冲量∑F· Δt 与动量的变化量Δｐ均
为矢量，规定正方向后，在一条直线上矢量运算变为代数运算；
②相等性：物体在时间Δｔ内物体所受合外力的冲量等于物体 在这段时间Δｔ内动量的变化量；因而可以互求。
③独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量；
A、向下，m(v1-v2) C、向上，m(v1-v2)
B、向下，m(v1+v2) D、向上，m(v1+v2)
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13
例5 水平面上一质量为m的物体，在水平恒力F
作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经时间t 后
撤去外力，又经过时间2t 物体停下来，设物体所受阻
力为恒量，其大小为（
C）
Ａ．F Ｂ． F / 2 Ｃ． F / 3 Ｄ． F / 4
动量和动量定理
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1
• 在上一节我们学过，mv这个量是我们在 碰撞中所追寻到的守恒量，故mv这个量 具有特殊的含义。我们把这个量命名为 动量。
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2
一、动量概念及其理解
（1）定义：物体的质量及其运动速度的乘积称为
该物体的动量
p=mv
（2）特征：
①v为瞬时速度，故动量是状态量，它与某一时刻 相关；
动量定理知识点精解
动量定理·知识点精解1．冲量的概念(1)冲量是描述力在某段时间内累积效应的物理量，是描写过程的物理量。
(2)力的冲量是矢量对于具有恒定方向的力来说，冲量的方向与力的方向一致；对于作用时间内方向变化的力来说，冲量的方向与相应时间内物体动量改变量的方向一致。
冲量的运算应使用平行四边形法则。
如果物体所受合外力的冲量都在同一条直线上，那么选定正方向后，冲量的方向可以用正、负号表示，冲量的运算就简化为代数运算了。
(3)冲量的计算若物体受到大小、方向都不变的恒力作用，力的冲量的数值等于力与作用时间的乘积，冲量的方向与恒力方向一致；若力为同一方向均匀变化的力，该力的冲量可以用平均力计算；若力为一般变力则不能直接计算冲量。
(4)冲量的绝对性由于力与时间均与参考系无关，所以力的冲量也与参考系的选择无关。
2．冲量的公式由冲量的定义知，冲量用I 表示，力F在时间t内的冲量可以表示为：I＝F·t3．冲量的单位(1)冲量单位由力和时间单位决定，在国际单位制中，冲量单位是：牛顿·秒。
(2)冲量的单位1牛·秒=1秒·千克·米/秒2＝1千克·米/秒，同动量变化量的单位相同，但在使用过程中，两者的单位不能混用，注意区别。
4．动量定理(1)物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的增加量，这就是动量定理。
设质量为m的物体受恒定合外力F的作用，在Δt时间内，速度由v1变为v2，其动量的改变为ΔP＝mv2-mv1，合外力F的冲量为I=FΔt，又因F=ma，a=(v2-v1)/Δt联立得：FΔt＝ma·Δt＝mv2-mv1＝ΔP。
(2)动量定理的研究对象是单个物体或可视为单个物体的系统。
当研究对象为物体系时，物体系总动量的增量等于相应时间内物体系所受的合外力的冲量。
所谓物体系总动量的增量是指系统内各物体的动量变化量的矢量和。
所谓物体系所受的合外力的冲量是指系统内各物体所受的一切外力的冲量的矢量和，而不包括系统内部物体之间的相互作用力(内力)的冲量；这是因为内力总是成对出现的，而且它们的大小相等、方向相反，其矢量和总等于零。
动 量 定 理
质点系外力： R
e
Fi
e
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互 i 作用力；用 F i 表示。
质点系内力： R
i
Fi
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
R Fi 0
i
i
M o mo Fi i 0
i
解：取整体为研究对 象，其受力如图所示， 系统质心的位置：
xC
mx m
i i
Ci
1 m1l cost m1 3l cost m2 4l cost m1 m2 m3
4m1 m2 l cost 2m1 m2
将上式对时间求二阶导数，有
4m1 m2 2 C x l cost 2m1 m2
则力在时间段 t1 t 2 内的冲量为：
I F dt
t1
t2
单位为：N· s
§11－2 动量定理 一、质点的动量定理 牛顿第二定律： F ma
dv 质点运动微分方程： a dt
dv F ma m dt d F mv dt d P F dt
（m为常量，）
根据质心运动定理，有
4m1 m2 l 2 cost Fox P
Fox P 4m1 m2 l 2 cost
P M vc
即：质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系 的动量。
计算方法：投影法
c PX mvcx mx c Py mvcy my c Pz mvcz mz
二、冲量
1、常力的冲量： 2、变力的冲量
I Ft
元冲量：变力在微时间段内的冲量；即：
最新动量、冲量和动量定理知识点
（一）动量、冲量和动量定理1、动量：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量。
是矢量，方向与速度方向相同；动量的合成与分解，按平行四边形法则、三角形法则。
是状态量；通常说物体的动量是指运动物体某一时刻的动量，计算物体此时的动量应取这一时刻的瞬时速度。
是相对量；物体的动量亦与参照物的选取有关，通常情况下，指相对地面的动量。
单位是kg·m/s；2、动量和动能的区别和联系①动量的大小与速度大小成正比，动能的大小与速度的大小平方成正比。
即动量相同而质量不同的物体，其动能不同；动能相同而质量不同的物体其动量不同。
②动量是矢量，而动能是标量。
因此，物体的动量变化时，其动能不一定变化；而物体的动能变化时，其动量一定变化。
③因动量是矢量，故引起动量变化的原因也是矢量，即物体受到外力的冲量；动能是标量，引起动能变化的原因亦是标量，即外力对物体做功。
④动量和动能都与物体的质量和速度有关，两者从不同的角度描述了运动物体的特性，且二者大小间存在关系式：P2＝2mE k3、动量的变化及其计算方法动量的变化是指物体末态的动量减去初态的动量，是矢量，对应于某一过程（或某一段时间），是一个非常重要的物理量，其计算方法：（1）ΔP＝P t－P0，主要计算P0、P t在一条直线上的情况。
（2）利用动量定理ΔP＝F·t，通常用来解决P0、P t；不在一条直线上或F为恒力的情况。
（二）冲量1、冲量：力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量。
是矢量，如果在力的作用时间内，力的方向不变，则力的方向就是冲量的方向；冲量的合成与分解，按平行四边形法则与三角形法则。
冲量不仅由力决定，还由力的作用时间决定。
而力和时间都跟参照物的选择无关，所以力的冲量也与参照物的选择无关。
单位是N·s；2、冲量的计算方法（1）I＝F·t。
采用定义式直接计算、主要解决恒力的冲量计算问题。
（2）利用动量定理Ft＝ΔP。
主要解决变力的冲量计算问题，但要注意上式中F为合外力（或某一方向上的合外力）。
动量定理(考前必看)
动量、动量定理知识讲解一、冲量1．定义：作用在物体上的力和力的作用时间的乘积，叫作该力对这物体的冲量．在碰撞过程中，物体相互作用的时间极短，但力却很大，而且力在这段短暂的时间内变化十分剧烈，因此很难对力和物体的加速度作准确的测量；况且对这类问题有时也并不需要了解每一时刻的力和加速度．而只要了解力在作用时间内的累积作用和它所产生的效果这类问题，虽然原则上可以用牛顿运动定律来研究，但很不方便．为了能简便地处理这类问题，就需要应用冲量这一概念．一般将作用时间短，在短时间内变化大，且能达到很大瞬时值的力叫做冲击力，常简称为冲力．冲量是力对时间的累积效应，它是一个过程物理量．只要有力，而且力作用了一段时间，不论力的大小，作用时间的长短，总有力的冲量．一般计算冲力，都是指平均冲力．分析平均冲力，用平均冲力的冲量代替变力的冲量，是中学物理中经常遇到的．如碰撞一类问题，所提到的冲力，一般都是指这种平均冲力．平均冲力是指这样一个恒力，在相同的时间间隔内，这个力的冲量对物体产生的效果和实际变力的冲量所产生的效果完全相同．注意：（1）冲量是力对时间的累积效应．（2）讲冲量必须明确是哪个力的冲量．2．公式：通常用符号I来表示冲量，即3．单位：在国际单位制中，力F的单位是N，时间t的单位是s，所以冲量Ft的单位是牛秒，符号是N·s。
4．冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的如果力的方向在作用时间内不变，冲量的方向就跟力的方向相同．注意：两个冲量相同，必定是大小相等方向相同．二、动量1．定义：物体的质量跟其速度的乘积，叫做物体的动量．注意：（1）动量是状态量，我们讲物体的动量，总是指物体在某一时刻的动量，因此计算时相应的速度应取这一时刻的即时速度，（2）动量具有相对性，选用不同参考系时，同一运动物体的动量可能不同，通常在不说明参考系的情况下，指的是物体相对于地面的动量．在分析有关问题时要指明相应的参考系。
2．公式：动量通常用符号p来表示，即。
动量定理：动量、冲量、动量变化的基本概念、用动量定理解释各种现象、动量定理的应用及处理流体问题
动量定理：动量、冲量、动量变化的基本概念、用动量定理解释各种现象、动量定理的应用及处理流体问题1．动量⑴定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量，p ＝mv 。
⑵动量表征物体的运动状态，是矢量，其方向与速度的方向相同，两个物体的动量相同必须是大小相等、方向相同。
⑶动量与动能的区别和联系：动量、动能和速度都是描述物体运动的状态量；动量是矢量，动能是标量；动量和动能的关系是2 2k p E m=。
⑷动量的变化量①0t p p p ?=-。
②动量的变化量是矢量，其方向与速度变化的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关。
③求动量变化量的方法：021t p p p mv mv ?=-=-，p Ft ?=2．冲量⑴定义：力和力的作用时间的乘积，叫做该力的冲量，I ＝Ft 。
⑵冲量表示力在一段时间内的累积作用效果，是矢量，其方向由力的方向决定，如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就和力的方向相同。
动量定理1．内容：物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的变化量。
Ft p p '=-或Ft mv mv '=- 应用⑴根据F ＝ma 得v v p p F ma mt t ''--===，即pF t=?，可见合外力等于物体动量随时间的变化率。
①当Δp 一定时，Δt 越短，F 越大；Δt 越长，F 越小。
②当F 一定时，Δt 越长，动量变化Δp 越大；Δt 越短，动量变化Δp 越小。
分析问题时，要弄清变化量和不变量。
动量、动能、冲量、动量的变化的辨析【例1】一物体沿光滑斜面下滑，在此过程中( ) A ．斜面对物体的弹力做功为零 B ．斜面对物体的弹力的冲量为零 C ．物体动能的增量等于重力所做的功 D ．物体动量的增量等于重力的冲量动量定理：动量、冲量、动量变化的基本概念、用动量定理解释各种现象、动量定理的应用及处理流体问题【例2】A、B两球质量相等，A球竖直上抛，B球平抛，两球在运动中空气阻力不计，则下述说法中正确的是( ) A．相同时间内，动量的变化大小相等，方向相同B．相同时间内，动量的变化大小相等，方向不同C．动量的变化率大小相等，方向相同D．动量的变化率大小相等，方向不同【例3】蹦极跳是勇敢者的体育运动。
动量定理
3、要注意用动量定理解题的方法和步骤。
作业
课本P122，练习二1，2，3，4
板书设计
教学后记：
平均作用力是多大？
②考虑铁锤重量，铁锤钉钉子的
平均作用力又是多大？
③你分析一下，在计算铁锤钉钉子
的平均作用力时，在什么情况下可以不
计铁锤的重量？
小 结
1、本节课我们学习了动量定理，可得到冲量的求解方法：
①对于大小、方向都不变的恒力，它们的冲量可用I=Ft计算。
②对于变力，既可用I=Ft求出，也可通过I=△P，间接求出。
1、讨论：在动量变化量△p一定的情况下，F之t间有什么关系？
学生：F和t成反比。
教师：据上述关系，我们得到：
要△p一定时，要增大力F，可缩短作用时间：要减小力F，可以使力的作用时间延长。
2、解释导语中的现象：
鸡蛋掉到泡沫塑料垫上，延长了作用时间故作用力减小，所以鸡蛋没被击破。
3、演示课本绪言中的“瓦碎蛋全“。
2、出示分析思考题：
①你准备选哪个物体作为研究对象？
②在上述过程中研究对象受到哪些力的作用？合力的作用时间多长？
③物体初动量和末动量各是多大？
④选定哪个方向为正方向？
⑤本题中的力是恒力还是变力？
⑥能用动量定理求解吗？
3、学生回答守上述问题后，安排一定的时间阅读课本的分析和解量过程。
4、学生总结运用动量定理解题的步骤：
3、抽查并在实物投影仪上展示：
①初动量为p=mv，p′=mv′
②物体的加速度
③∴
教师：我们把上述表达式整理后得到：
学生叙述：要这个表达式中，各个物理量分别是什么？
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convervation of momentum)。
显然，此时质点将作匀速直线运动状态或牌静止状态。
这个结论就是牛顿第一定律。
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理论力学
第十一章 动量定理
三、质点系的动量定理 设某质点系由n个质点组成，则根据质点的动量定理，有
d m iv i F ie F iid t F ie d t F iid t
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第十一章 动量定理
§11-2 动量定理
一、质点的动量定理
dp d (mv) ma F dt dt
或 dp d(mv) Fdt
11- 5
因此，质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量，此
即质点的动量定理(theorem of momentum)的微分形式。
t
p p0 mv mv0
0 0 m gt t F N t
代解入之已，知数据，得FN=mg tt+1=mg 1t 2gh+1 锤对工件的平均压F N 力= m 与g 之 tt大+ 1 小 = 相3 0 0 等0 ，9 .8 方 0 向.1 0 1 相2 反9 .1 8 .。5 + 1 1 6 5 6k N■
二、 冲 量
常力的冲量(impulse) — 力与作用时间的乘积称为力的冲量。即
I Ft
冲量是矢量，其的方向与常力的方向一致。其单位为 N·s(也可化为kg·m/s,可见冲量与动量的单位是一致的。)
变力的动量
其中，
t
I0Fdt
dI Fdt
称为元冲量。
114
与动量类似，可以给出其直角坐标投影形式。而且可以证 明，合力的冲量等于各分力的冲量之矢量和。
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第十一章 动量定理
隔板
水池
？ 抽去隔板后将会
发生什么现象
水
光滑台面
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第十一章 动量定理
§11-1 动量与冲量
一、 动 量 质点的动量(momentum) — 质点的质量与质点速度的乘积
pm v
11-1
动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速度的方 向一致。其单位为 kg·m/s
理论力学
第十一章 动量定理
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第十一章 动量定理
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第十一章 动量定理
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第十一章 动量定理
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第十一章 动量定理
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第十一章 动量定理
？ 台式风扇放置在光滑的台
面上的台式风扇工作时，会 发生什么现象
p m iv ixi m iv iyj m iv izk
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根据质点系质心的位矢公式
rC
miri mi
miri m
mvC mivi
p mivi mvC
O
vC O
C
第十一章 动量定理
z
mn C
rC ri
o
x
m2
m1 mi
y
vC
C
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例 理题论1力 学
Fdt I
0
11 6a
因此，在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点
上的力在同一时间内的冲量。此即质点的动量定理(theorem
of momentum)的积分(或有限)形式。
另外，还可给出动量定理的投影形式。
pi p0i mvi mv0i
t 0
Fidt
Ii
i
x,
y, z 11 6b 河南理工大学力学系
这样的方程共有n个，将这n个方程两端分别相加，则有
d m iv iF ie d tF iid t
由内力的性质可知，
Fiidt 0
又因为，
d m iv i d m iv i d p
vC= l
系统的总质量
mC= mA+ mB=2m
系统的总动量大小
C
O
t
vB
x
B
p mCvC 2ml
方向沿 vC 方向
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？1
1
O
求：图示系统的总动量。
第十一章 动量定理
O1
？2
求：图示系统的动量及质心的速度。
v
v
v
A
O
BHale Waihona Puke AOB河南理工大学力学系
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第十一章 动量定理
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二、质点的动量守恒定律
第十一章 动量定理
dp d(mv) Fdt
t
p p0 mv mv0
Fdt I
0
11 6a
特殊情况下，若质点不受力或作用于质点上的合力恒为零， 则根据动量定理
mv 常矢量
这就表明，若质点不受力或作用于质点上的合力恒为零，则
质点的动量保持不变，此即质点的动量守恒定律(law of
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第十一章 动量定理
例11-1 锤的质量m=3000kg，从高度h=1.5m处自由下落到受锻压的工件上，
工件发生变形，历时△t=0.01s，求锤对工件的平均压力。
解: 以重锤为研究对象，进行受力分析
重锤所受工件的反力为变力，取其平均反力来表示
由运动学知识知，重锤下落的时间为
t 2h g
取如图所示的坐标轴，则由质点的动量定理有
AB =
C
O
t
vB
B
vA AB DA 2l cost vB AB DB 2l sin t
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p mAvA mBvB
2ml(sin t i cost j)
第十一章 动量定理
y vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
AB
D
再求其矢量和。
p mAvA mBvB
AB =
C
O
t
vB
vA AB DA 2l cost x vB AB DB 2l sin t
B
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第十一章 动量定理
解：第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然 后计算系统的动量。
质点系的质心在C处，其速度矢量垂直于OC，数值为：
y vA
A vC
AB
D
质点系的动量(momentum of particle system) —质点系中各
质点动量的矢量和，称为质点系的动量，又称为质点系 动量的
主矢。 又可写为
p m ivi
1 1 -2
p m iv i= m id d r ti= d d t m ir i
1 1 -3
实际计算时，可以利用速度的投影形式计算动量
第十一章 动量定理
椭圆规机构中，OC＝AC＝CB＝l；滑块A和B的质量均为 m，曲 柄OC和连杆AB的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度 绕O轴旋转。 图示位置时，角度 t 为任意值。
求：图示位置时，系统的总动量。
vA
A
vC
解：第一种方法：先计算各个质点的动量，
AB
D
再求其矢量和。
p mAvA mBvB