第11章 动量定理
第十一章 动量定理
rC =
式中
∑ m r = ∑ mr M ∑m
i i i
（11-3）
M = ∑ mi 为质点系总质量。质心在直角坐标系中的坐标可表示为
xC =
∑ mx
M
yC =
∑ my
M
zC =
∑mz
M
（11-4）
质点的位置反映了质点系各质点的分布情况。若质点系在地球附近受重力作用，则质 点 mi 的重量为 mi g，质点系总重量为 Mg。只要对质心坐标公式的分子分母同乘以 g，即得 到静力学中的重心坐标公式。可见，在重力场中，质心与重心相重合，但应注意，重心只 在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。 当质点系运动时，它的质心也随着运动。质心运动的速度
（11-13）
式（11-13）表明质点系的动量在任一轴上的投影对时间的导数，等于作用于质点系的外力
dp = ∑ F e dt
将上式两边对应积分，时间从 t1 到 t2，动量从 p1 到 p2，得
p2 − p1 = ∑ ∫ F e dt = ∑ I e
t2 t1 e
（11-14）
式中 I e 表示力 F 在时间（t2-t1）内的冲量。式（11-14）表示质点系动量在任一时间内的 改变，等于作用在该质点系所有外力在同一时间内冲量的矢量和，这就是积分形式的质点 系动量定理，也称为质点系的冲量定理。 将式（11-14）投影到直角坐标轴上，得
p y = − m A v A sin θ + 0 = − mv sin θ
系统的动量大小为
p=
2 px + p2 y = mv 2 (1 + cos θ )
其方向可由方向余弦来确定
cos α = px =− p 1 + cos θ 2 (1 + cos θ ) , sin β = py p =− sin θ 2 (1 + cos θ )
第11章 1 动量 动量定理
第 1 课时 动量 动量定理
读 基础知识
基础回顾： 一、动量 1.定义：物体的质量与速度的乘积. 2.表达式：p＝mv，单位：kg·m/s. 3.动量的性质 (1)矢量性：方向与瞬时速度方向相同. (2)瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻而言的. (3)相对性：大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量. 4.动量与动能、动量的变化量的关系 (1)动量的变化量：Δp＝p′－p. (2)动能和动量的关系：Ek＝2pm2 . 二、冲量和动量定理 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量. (2)公式：I＝Ft. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量. (2)公式：mv′－mv＝F(t′－t)或 p′－p＝I. 3.动量定理的理解 (1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结 果. (2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的 矢 量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和. (3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义. 自查自纠： (1)一个物体的运动状态变化，它的动量一定改 变。( ) (2)动量越大的物体，其速度越大。( ) (3)两物体的动量相 等，动能也一定相等。( ) (4)物体的动量变化量等于某个力的冲量。( ) (5)物体沿水平面运动，重力不做功，重力的冲量也等于零。( ) (6)系统的动量守恒时，机械能也一定守恒。( ) (7)若在光滑水平面上的两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
理论力学第11章动量定理
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
理论力学动量定理
p p0 恒矢量 px p0 x 恒量选择研究对象运动源自析 受力分析取坐标系 建立方程
求解计算 讨 论
Ch.11. 动量定理
例11-1 电动机的外壳固定在水平基础上，定子和机壳的质量为 m1，转子质量为m2，如图所示。设定子的质心位于转轴的中心O1， 但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距离为e。已知转子匀速转 动，角速度为ω 。求基础的水平及铅直约束力。 解：研究电动机外壳与转子组 成质点系
动量大小
动量的方向沿质心轨迹的切线方向，可用其方向余弦表示。
Ch.11. 动量定理
2. 质心运动定理
dp Fi ( e ) FR( e ) , dt p mvC
d (mvC ) Fi ( e ) dt
(e) maC ΣF (e) FR
质心运动定理
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢 量和（即等于外力的主矢）。这种规律称为质心运动定理。
2. 质点系的动量定理 第k个质点：
质点系内力之和
Ch.11. 动量定理
动量定理的微分形式：
dp F dt dI i( e)
i 1 (e) i i 1
n
n
dp Fi ( e ) FR( e ) dt dpy dpx dpz (e) (e) (e) F , F , F 或者 x y z dt dt dt
vb
dp pbb1 paa1 dm vb dm va qV (vb va )dt
Ch.11. 动量定理
动量定理
dp pbb1 paa1 qV (vb va )dt ( P Fa Fb F )dt
qV (vb va ) P Fa Fb F
第十一章 动量定理
FOx
P
d LO M Oi dt
Fy
Q
P 2 Q 2 P 3Q 2 LO l l l 3g g 3g
Q
Fx
M Oi
l P cos Ql cos 2
P 3Q 2 l 3g
P 2Q l cos 2
由上式解出
P 2Q 3g cos P 3Q 2l
J C Fd r
有:
x
aC
Fd f d FN
m 2 及: J C r 2
Fd
FN
得:
aC g (sin f d cos )
g 2 f d cos r
例14：匀质杆OA长l，重力为P。可绕过点O的水平轴转动，A端 铰接一半径为R、重力为Q的匀质圆盘，初瞬时OA杆处于水平 位置，然后系统无初速释放。略去各处摩擦，试求杆OA转到任 意位置（用角表示）时的角速度及角加速度。 解： 由圆轮受力图， J A＝0 A 因此A＝A0＝0， 圆盘在运动过程中作平移 整体对点O应用动量矩定理
或
Jz
d2 dt
2
M zi
例8 已知：半径为r，滑轮重力为G，将其视为圆环。物A 重力为P，物B重力为Q，且P>Q。试求(1)两重物的加速度 及轮的角加速度; (2)支座O处的约束力。 解： 研究对象为轮、物体A和B。
分析受力，
运动分析
d LO M Oi dt
Fy
对O点应用动量矩定理
d LI MI dt
vA
A
对杆AB
I
C
vC
vC
O
O C
I
q
第11章 动量定理.doc
第十一章 动量定理§11—1 动量与冲量一、动量质点的质量与速度的乘积。
单位：kg ·m/s质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
如图1所示，几种几何形状规则的均质刚体和刚体系动量。
图 1CC i i m m dtdm dt d ===∑ini i m ∑==1i i i ii i r m dtddt d m v m p ∑∑∑===mm ii C ∑=m =二、冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
若力F 为变量，在d t 时间间隔内，力F 的冲量称为元冲量力在时间t 内的冲量为单位：N ·s例1 OA 杆绕O 轴逆时针转动，均质圆盘沿OA 杆纯滚动。
已知圆盘的质量m ＝20 kg ，半径R ＝100 mm 。
在图示位置时，OA 杆的倾角为30o ，其角速度ω1＝1 rad/s ，圆盘相对OA 杆转动的角速度ω2＝4 rad/s ，求圆盘的动量。
解： 取C 为动点，动系与OA 固连于是所以方向水平向右。
⎰=tdt0dtd =t=120.210.2m/s 0.140.4m/s e r v OC v R ωω=⋅=⨯===⨯=sin 600.40.3464m/s2C a r v v v ===⨯=200.3464 6.93N s C p mv ==⨯=⋅§11—2 动量定理一、质点的动量定理二、质点系的动量定理三、质点系的动量守恒定理（1）当作用在质点系上外力的主矢量等于零时，即∑==ni e i 10F ，质点系动量=P 恒矢量，则质点系动量守恒。
（2）当作用在质点系上外力的主矢量在某一轴上投影等于零时，例如01=∑=ni exi F，质点系沿该轴x 的动量=x P 恒量，则质点系沿该轴x 的动量守恒。
()Idt F v m v m m dtdt==-=⎰00()()()()()dt dt dt m d i i e i i i e i i i +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()()()∑∑∑===+=ni i i ni e i n i i i dtF dt F v m d 111()∑==-ni e i1例2 如图3所示椭圆规尺，已知杆AB 的质量为12m ,曲柄OC 的质量为1m ，滑块A 、B 的质量均为2m ，OC=AC=CB=l ，曲柄OC 和杆AB 为均质，曲柄OC 以匀角速度绕O 轴转动，初始时，曲柄OC 水平向右。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十一章 动量定理§11—1 动量与冲量一、动量质点的质量与速度的乘积。
单位：kg ·m/s质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
如图1所示，几种几何形状规则的均质刚体和刚体系动量。
图 1CC i i v m r m dtdr m dt d p ===∑ini i m ∑==1i i i ii i m dtddt r d m m ∑∑∑===mm ii C ∑=m =二、冲量作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
若力F 为变量，在d t 时间间隔内，力F 的冲量称为元冲量力在时间t 内的冲量为单位：N ·s例1 OA 杆绕O 轴逆时针转动，均质圆盘沿OA 杆纯滚动。
已知圆盘的质量m ＝20 kg ，半径R ＝100 mm 。
在图示位置时，OA 杆的倾角为30o ，其角速度ω1＝1 rad/s ，圆盘相对OA 杆转动的角速度ω2＝4 rad/s ，求圆盘的动量。
解： 取C 为动点，动系与OA 固连于是所以方向水平向右。
⎰=tdtdtd =t=120.210.2m/s 0.140.4m/s e r v OC v R ωω=⋅=⨯===⨯=sin 600.40.3464m/s2C a r v v v ===⨯=200.3464 6.93N s C p mv ==⨯=⋅§11—2 动量定理一、质点的动量定理二、质点系的动量定理三、质点系的动量守恒定理（1）当作用在质点系上外力的主矢量等于零时，即∑==ni e i 10F ，质点系动量=P 恒矢量，则质点系动量守恒。
（2）当作用在质点系上外力的主矢量在某一轴上投影等于零时，例如01=∑=ni exi F，质点系沿该轴x 的动量=x P 恒量，则质点系沿该轴x 的动量守恒。
()Idt F v m v m m dtdt==-=⎰00()()()()()dt dt dt m d i i e i i i e i i i +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()()()∑∑∑===+=ni i i ni e i n i i i dtF dt F v m d 111()∑==-ni e iI p p 1例2 如图3所示椭圆规尺，已知杆AB 的质量为12m ,曲柄OC 的质量为1m ，滑块A 、B 的质量均为2m ，OC=AC=CB=l ，曲柄OC 和杆AB 为均质，曲柄OC 以匀角速度绕O 轴转动，初始时，曲柄OC 水平向右。
试求质点系质心的运动方程、轨迹以及质点系动量。
解：建立如图所示的坐标系，质点系质心的坐标为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++++=++=++++=t sin ωl )m m (m m m m m tsin ωl m t sin ωlm t sin ωl m y t cos ωl )m m (m m m m m t ωcos l m t cos ωl m t cos ωl m x cc 2121211211212121121123245222222324522222 （1） 式（1）为质点系质心的运动方程，上式消去时间t ，得123245232452212122121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++l )m m (m m y l )m m (m m x c c 即为质心的轨迹为一圆。
对式（1）求导得质点系动量，t sin ωωl m m xM P c x 24521+-== t cos ωωl m m y M P c y 24521+-==质点系的总动量大小为ωl m m P P P y x 2452122+=+= （2）质点系的总动量方向为)t ωπcos(t sin ωP P )cos(x +=-==2i P, t ωcoc PP )cos(y==j P,质点系的总动量与x 、y 的方向角为ωt π)(+=∠2i P, ωt )(=∠j P, （3）§11—3 质心运动定理一、 质量中心直角坐标形式为二、质心运动定理质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和（等于外力的主矢）。
mm mm iii ii C∑∑∑==m z m mz m z m y m m y m y m x m m x m x ii iii Ciiiiii C iiiiii C ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑======()()∑==n i e i C m dt d1()∑==ni e iC m1直角坐标轴上的投影式自然轴上的投影式三、质心运动守恒定理如果作用于质点系的外力主矢恒等于零，则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置始终保持不变。
如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标始终保持不变。
例3 曲柄连杆机构安装在平台上，平台放置在光滑的水平基础上，如图10-7所示。
曲柄OA 的质量为1m ，以匀角速度ω绕O 轴转动，连杆AB 的质量为2m ，且OA 、AB 为均质杆，OA=AB=l ，平台质量为3m ，滑块B 的质量不计。
设初始时，曲柄OA 和连杆AB 在同一水平线上，系统初始静止，试求（1）平台的水平运动规律；（2）基础对平台的约束力。
解：（1）求平台的水平运动规律选整体为研究对象，在曲柄O 处建立定坐标系oxy 。
由于平台放置在光滑的水平基础上，()()()∑∑∑===e zCz e Cy e x Cx F m a F m a F m a y ()()∑∑==e Ce n CF dtdv mF v m τρ2则系统水平方向不受力，系统质心运动守恒，又由于系统初始静止，则c x =恒量。
初始时系统质心的水平坐标为3213211232m m m x m lm l m x c ++++=其中，x 为初始时平台质心的水平坐标。
当曲柄转过t ω=ϕ时，平台质心移动了x ∆，系统质心的水平坐标为3213212232m m m )x x (m )x cos l(m )x cos l (m x c ++∆++∆++∆+=ϕϕ 由于21c c x x =，则平台的水平运动规律为321321321321232232m m m )x x (m )x cos l(m )x cos l (m m m m x m l m l m ++∆++∆++∆+=++++ϕϕ 即)t ωcos (l )m m m (m m x -+++=∆12332121（2）求基础对平台的约束力 系统质心的竖直坐标为32132122m m m y m sin lm sin l m y c ++++=ϕϕ其中，y 为平台质心的竖直坐标。
质心的加速度为t sin ωl ω)m m m (m m yc 2321212+++-=其中，平台质心的加速度0=y，因平台无竖向运动。
由质心运动定理∑1ni eiy cy F a M ==得基础对平台的约束力为g )m m m (F y)m m m (y c 321321++-=++ t sin ωlω)m m (g )m m m (F y 2221321+-++=例4 质量为1m 的均质曲柄OA ，长为l ，以等角速度ω绕O 轴转动，并带动滑块A 在竖直的滑道AB 内滑动，滑块A 的质量为2m ；而滑杆BD 在水平滑道内运动，滑杆的质量为3m ，其质心在点C 处，如图10-8所示。
开始时曲柄OA 为水平向右，试求（1）系统质心运动规律；（2）作用在O 轴处的最大水平约束力。
解：（1）求系统质心运动规律如图10-8所示建立直角坐标系Oxy ，系统质心坐标32132122m m m )lt cos ωl (m t cos ωl m t cos ωl m x c +++++=t cos ωl )m m m (m m m )m m m (l m 32132132132222+++++++= (1) t sin ωl )m m m (m m t sin ωm m m lm lm y c 3212132121222+++=+++= (2)（2）求作用在O 轴处的最大水平约束力 由质心运动定理 ∑==ni e ix cx F a M 1对式（1）求导质心的加速度为t cos ωωl )m m m (m m m xc 2321321222++++-=则作用在O 轴处水平约束力为t cos ωωl )m m m (Ma F cxox 2222321++-==最大水平约束力为2222321ωl )m m m (Ma F cxm ax ,ox ++==。