13第十一章动量定理
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第十一章 质心运动定理动量定理
第十一章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。
2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算 1）矢径形式 M r m r i i c 或 Mr m r ic i c 2）直角坐标形式Mx m x i i c ，M y m y i i c ，M z m z i i c 其中 k z j y i x r i i i i 为第i 个质点到固定点O 的矢径。
k z j y i x r c c c c 为质点系的质心到固定点O 的矢径。
ic r 为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。
m i 为第i 个质点的质量，i m M 为质点系（刚体、刚体系）的质量。
（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P2）投影形式ix i x v m p ，iy i y v m p ，iz i z v m p ，222z y x P P P P注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。
（3）动量定理（质心运动定理）n i (e)i F dt p d 1 )(1n i (e)i c F a M 式中 n i c i i v M v M p 1 ，是质点系某瞬时的动量， n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。
c a 为质点系心的加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。
（2）质点系动量定理、质心运动定理。
2．难点：质点系动量定理、质心运动定理的应用。
第十一章 动量定理
rC =
式中
∑ m r = ∑ mr M ∑m
i i i
（11-3）
M = ∑ mi 为质点系总质量。质心在直角坐标系中的坐标可表示为
xC =
∑ mx
M
yC =
∑ my
M
zC =
∑mz
M
（11-4）
质点的位置反映了质点系各质点的分布情况。若质点系在地球附近受重力作用，则质 点 mi 的重量为 mi g，质点系总重量为 Mg。只要对质心坐标公式的分子分母同乘以 g，即得 到静力学中的重心坐标公式。可见，在重力场中，质心与重心相重合，但应注意，重心只 在地球表面附近才有意义，而质心在宇宙间依然存在。 当质点系运动时，它的质心也随着运动。质心运动的速度
（11-13）
式（11-13）表明质点系的动量在任一轴上的投影对时间的导数，等于作用于质点系的外力
dp = ∑ F e dt
将上式两边对应积分，时间从 t1 到 t2，动量从 p1 到 p2，得
p2 − p1 = ∑ ∫ F e dt = ∑ I e
t2 t1 e
（11-14）
式中 I e 表示力 F 在时间（t2-t1）内的冲量。式（11-14）表示质点系动量在任一时间内的 改变，等于作用在该质点系所有外力在同一时间内冲量的矢量和，这就是积分形式的质点 系动量定理，也称为质点系的冲量定理。 将式（11-14）投影到直角坐标轴上，得
p y = − m A v A sin θ + 0 = − mv sin θ
系统的动量大小为
p=
2 px + p2 y = mv 2 (1 + cos θ )
其方向可由方向余弦来确定
cos α = px =− p 1 + cos θ 2 (1 + cos θ ) , sin β = py p =− sin θ 2 (1 + cos θ )
第11章 1 动量 动量定理
第十一章动量 近代物理
第 1 课时 动量 动量定理
读 基础知识
基础回顾： 一、动量 1.定义：物体的质量与速度的乘积. 2.表达式：p＝mv，单位：kg·m/s. 3.动量的性质 (1)矢量性：方向与瞬时速度方向相同. (2)瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻而言的. (3)相对性：大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量. 4.动量与动能、动量的变化量的关系 (1)动量的变化量：Δp＝p′－p. (2)动能和动量的关系：Ek＝2pm2 . 二、冲量和动量定理 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量. (2)公式：I＝Ft. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量. (2)公式：mv′－mv＝F(t′－t)或 p′－p＝I. 3.动量定理的理解 (1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结 果. (2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的 矢 量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和. (3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义. 自查自纠： (1)一个物体的运动状态变化，它的动量一定改 变。( ) (2)动量越大的物体，其速度越大。( ) (3)两物体的动量相 等，动能也一定相等。( ) (4)物体的动量变化量等于某个力的冲量。( ) (5)物体沿水平面运动，重力不做功，重力的冲量也等于零。( ) (6)系统的动量守恒时，机械能也一定守恒。( ) (7)若在光滑水平面上的两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
第 1 课时 动量 动量定理
读 基础知识
基础回顾： 一、动量 1.定义：物体的质量与速度的乘积. 2.表达式：p＝mv，单位：kg·m/s. 3.动量的性质 (1)矢量性：方向与瞬时速度方向相同. (2)瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻而言的. (3)相对性：大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量. 4.动量与动能、动量的变化量的关系 (1)动量的变化量：Δp＝p′－p. (2)动能和动量的关系：Ek＝2pm2 . 二、冲量和动量定理 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量. (2)公式：I＝Ft. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量. (2)公式：mv′－mv＝F(t′－t)或 p′－p＝I. 3.动量定理的理解 (1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结 果. (2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的 矢 量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和. (3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义. 自查自纠： (1)一个物体的运动状态变化，它的动量一定改 变。( ) (2)动量越大的物体，其速度越大。( ) (3)两物体的动量相 等，动能也一定相等。( ) (4)物体的动量变化量等于某个力的冲量。( ) (5)物体沿水平面运动，重力不做功，重力的冲量也等于零。( ) (6)系统的动量守恒时，机械能也一定守恒。( ) (7)若在光滑水平面上的两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)√
11动量定理
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第十一章 动量定理
例11-2 在静止的小船中间站着两个人，其中m1＝50kg， 面向船首方向走动1.5m。另一个人m2＝60kg，面向船尾方 向走动0.5m 。若船重 M ＝150kg ，求船的位移。水的阻力 y 不计。 甲 乙 尾 首 【解】 x 因无水平力 水平方向质心守恒， 又初始静止
（6）
（7）
又 t 0， 0，x A 0 ，代入（7）式得 C 0， 由此存在
ml ml xA sin sin( 0 sin t ) mM mM
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第十一章 动量定理
例11-4 如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量 均为 m，OA杆的长度为 l1，AB杆的长度为 l 2 ，轮的半径为 R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA的角速度为 ，则整个系统的动量为多少？
式中 mv——质点动量；矢量，其大小等于质点的 质量m与它在某瞬时速度v的乘积，其单位 kg m / s
或N s 。
写成微分形式
d (mv) Fdt
（11－2）
这是微分形式的质点动量定理
Fdt 称之为冲量。
⒉ 质点动量定理的积分形式
在t1与t2时刻， m v2 m v 1
t2
t1
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第十一章 动量定理
mv2 z mv z Fz dt S z 1
t1
t2
mv2 y mv y Fy dt S y 1
t1
t2
（11－5）
mv2 x mv x Fx dt S x 1
t1
t2
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零 ，F 0 ， 则 有 m v2 m v 0 ，则质点动量保持不变。 1 若 Fx 0，则有 mv2 x mv x 0 。 1
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
理论力学第11章动量定理
动量定理关注物体的运动状态，而能量守恒定律关注物体的能量转化与守恒。在一些特定情况下，两个 定律是相关的。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
第十一章动量定理
( p2 y p1 y I ye )
p2 z p1z I z( e )
例题1质量为1 kg的小球，以v1=4m/s的速度与一固定水平面相 碰撞，＝30o，小球弹起的速度为v2=2m/s，β＝60o。 求：作用于小球的冲量的大小和方向。
y
解：以小球为研究对象，并取如图所示的 坐标系。
(2) p带=
d 2R 2(d R) = m v = p m2v mv mv 带 L L L
二、冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用 时间内对物体作用的累积效应的度量。 1、常力的冲量·· ·· ··常力矢量与其作用时间的乘积。
I Ft
2、变力的冲量
与动量的量纲相同
v
2、质点系的动量 （1）质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量主矢，简 称为质点系的动量。用 p 表示。
p mi vi pi
i 1 i 1
n
n
[例] 三物块用绳连接如图示，其质量为 m1=2m2 =4m3 ，如绳的质量和变形 均不计， 则三物块均以同样的速度v运动。求该质点系的动量。
n N* 56.3 P
N*
例题3 已知定子m1，转子m2 ；角速度ω；偏心距为e。求基础对电机的反力。
解： 研究定子与转子组成的系统，受力如图， 系统的动量为 p = p 1+ p 2 C1 m1 g Fx ω y
∴ p = p2 = m2ωe 设 t =0时，C1C2铅直，则φ=ωt 时， p x=m2 ωe cosωt
I y Fy (t )dt
t2 t1
I z Fz (t )dt
t2 t1
3、力系的冲量 作用于质点系中力系的各力冲量的矢量和称为力系的冲量，即
第十一章：动量定理
内力:
r Fi
(i
)
内力性质:
（1）
∑
r Fi
(i
)
=0
（2）
∑
r M
O
(
r Fi
(
i
)
)
=
0
质 点:
( ) r
dPi
=
d
m i vri
dt
dt
= Fri(e) + Fri(i )
质点系:
(∑ ) ( ) d mivri
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ dt
d =
r dP dt
=
mivri = dt
Fri( e )
∑ r
dP = dt
Fri( e )
∑ ∑ ∑ dPx =
dt
F (e) ix
dPy = dt
F (e) iy
dPz = dt
F (e) iz
若 ∑ Fx(e) ≡ 0 , 则 px = 恒量
已知
m1, m2 , o1o2
= e,ω
=
常量，求：Fvx
,
v Fy
解: P = m2ω e
Px = m2ω e cosω t Py = m2ω e sinω t
=
tr F dt
0
冲量量纲： FT = MLT −2T = MLT −1 = MV
单位：
N ⋅ s 或 kg ⋅ m / s
动量量纲：
单位：
MV = MLT −1 = MLT −2T = FT kg ⋅ m / s 或 N ⋅ s
冲量与动量的量纲相同
§11-2 动量定理
1.质点的动量定理
mar
=
m
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称为质点动量定理的微分形式,即质点动量的增量
等于作用于质点上的力的元冲量.
在 t 1 ~ t 2 内, 速度由 v 1 ~ v 2 , 有
mv2mv1t1 t2FdtI
称为质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: F i ( e ),
内力性质:
内力: F i ( i )
（1） Fi(i) 0
（2） M O(Fi(i))0
（3） Fi(i)dt0
质 点: d (m iv i) F i(e )d t F i(i)d t
质点系: d ( m iv i) F i( e ) d t F i( i) d t
得 d p F i(e )d t d Ii(e )
内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
在直角坐标轴上的投影式为:
maCxFx(e)
maCy Fy(e)
在自然轴上的投影式为:
maCz Fz(e)
mdvC dt
F(e) t
质心运动守恒定律
m vC2
F (e) n
0
F(e) b
若 F(e) 0
若
F (e) x
0
则 v C 常矢量
则 v C x 常矢量
或
dp dt
Fi(e)
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
在 t 1 ~ t 2 内,动量由 有 p 1 ~ p 2
n
p2 p1 Ii(e) i1
称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点 系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量 的矢量和.
例11-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为
m2
,转子质量为 m
1 .定子和机壳质心
O
1
,转子质心O
,
2
O1O2 e ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力
解: p m2e
px m2ecost
py m2esint
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1gm2g
Fxm2e2sint
第三节 质心运动定理
1．质心
rC
m i m
ri ,
m mi
xC
mi m
x
i
,
yC
m i y m
i
,
zC
miz m
i
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC)
n
Fi(e) i1
得
mdvC dt
n
Fi(e) i1
n
或 maC Fi(e) i1
称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积
等于作用于质点系外力的矢量和.
m [( vC 1sinvC 2cos vC 3)i
(vC1cosvC2sin)j]
m [(1lsin455lcos2l)i(1lcos455lsin)j]
2
2
2
2
m l[(12532)i(1251)j]
2 2 2 10
2 2 2 10
第二节 动量定理
1.质点的动量定理 d(mv) F 或 d(mv)Fdt dt
F y(m 1m 2)gm 2e2co st
电机不转时,F x 0 , Fy (m1m2)g称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
力. 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力
本题的附加动约束力为
x 方向: m2e2sint
y 方向: m2e2cost
例11-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是 定常流动.求管壁的附加动约束力.
xC m 12 rco sm 2rco sb m 1 1m 2
应用质心运动定理,解得
FxFr2m 21m2cost
Fmax Fr2m 21 m2
[例4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子 质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转 子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析，Fx(e) 0, 水平方向 p x 常量。
运动分析， 设大三角块速度 v 小三角块相对大三角块速度为 v r ，
则小三角块va v vr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M(v)mvax0 M ( v) m (v rx v) 0
vv rxM m m S S rxM m m SM m m SrxM m m (ab)
例11-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不 变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D, 如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活 塞上作用一恒力F .
不计摩擦及滑块B的质
量,求:作用在曲柄轴A处的
最大水平约束力Fx .
解:如图所示
m 1m 2aC xF xF
即 q V ( v b v a ) P F a F b F
设 FFF F 为静约束力; F 为附加动约束力
由于 pF aF bF 0
得 FqV(vbva)
[例2] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解:dt 内流过截面的质量及动量变化为
pp 0p a 1 b 1p a b ( p b b 1 p a 1 b ) ( p a 1 b p a a 1 ) pbb1 paa1
qVdt(vbva)
由动量定理,有
q V d t ( v b v a ) ( P F a F b F ) d t
动量定理微分形式的投影式
dpx dt
F (e) x
dpy dt
F (e) y
动量定理积分形式的投影式
p2xp1x Ix(e) p2yp1y Iy(e)
dpz dt
F (e) z
p2zp1z Iz(e)
3．质点系动量守恒定律
若F(e) 0 , 则 p = 恒矢量
若
F (e) x
0, 则
p x = 恒量
基础作用在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 分析受力， 受力图如图示 运动分析：定子质心加速度a1=0，
〔例１〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,
曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也
为m。求当 = 45º时系统的动量。解:源自曲柄OA：m,
vC1
1 2
l
滑块B：m, vC3 2l
连杆AB：m, vC2
25lAB
5l
2
pm vC 1m vC 2m vC 3
等于作用于质点上的力的元冲量.
在 t 1 ~ t 2 内, 速度由 v 1 ~ v 2 , 有
mv2mv1t1 t2FdtI
称为质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量.
2.质点系的动量定理
外力: F i ( e ),
内力性质:
内力: F i ( i )
（1） Fi(i) 0
（2） M O(Fi(i))0
（3） Fi(i)dt0
质 点: d (m iv i) F i(e )d t F i(i)d t
质点系: d ( m iv i) F i( e ) d t F i( i) d t
得 d p F i(e )d t d Ii(e )
内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.
在直角坐标轴上的投影式为:
maCxFx(e)
maCy Fy(e)
在自然轴上的投影式为:
maCz Fz(e)
mdvC dt
F(e) t
质心运动守恒定律
m vC2
F (e) n
0
F(e) b
若 F(e) 0
若
F (e) x
0
则 v C 常矢量
则 v C x 常矢量
或
dp dt
Fi(e)
称为质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和;或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和.
在 t 1 ~ t 2 内,动量由 有 p 1 ~ p 2
n
p2 p1 Ii(e) i1
称为质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点 系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量 的矢量和.
例11-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为
m2
,转子质量为 m
1 .定子和机壳质心
O
1
,转子质心O
,
2
O1O2 e ,角速度 为常量.求基础的水平及铅直约束力
解: p m2e
px m2ecost
py m2esint
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1gm2g
Fxm2e2sint
第三节 质心运动定理
1．质心
rC
m i m
ri ,
m mi
xC
mi m
x
i
,
yC
m i y m
i
,
zC
miz m
i
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC)
n
Fi(e) i1
得
mdvC dt
n
Fi(e) i1
n
或 maC Fi(e) i1
称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积
等于作用于质点系外力的矢量和.
m [( vC 1sinvC 2cos vC 3)i
(vC1cosvC2sin)j]
m [(1lsin455lcos2l)i(1lcos455lsin)j]
2
2
2
2
m l[(12532)i(1251)j]
2 2 2 10
2 2 2 10
第二节 动量定理
1.质点的动量定理 d(mv) F 或 d(mv)Fdt dt
F y(m 1m 2)gm 2e2co st
电机不转时,F x 0 , Fy (m1m2)g称静约束力;
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束
力. 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力
本题的附加动约束力为
x 方向: m2e2sint
y 方向: m2e2cost
例11-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是 定常流动.求管壁的附加动约束力.
xC m 12 rco sm 2rco sb m 1 1m 2
应用质心运动定理,解得
FxFr2m 21m2cost
Fmax Fr2m 21 m2
[例4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子 质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转 子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析，Fx(e) 0, 水平方向 p x 常量。
运动分析， 设大三角块速度 v 小三角块相对大三角块速度为 v r ，
则小三角块va v vr 由水平方向动量守恒及初始静止；则
M(v)mvax0 M ( v) m (v rx v) 0
vv rxM m m S S rxM m m SM m m SrxM m m (ab)
例11-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不 变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D, 如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C .在活 塞上作用一恒力F .
不计摩擦及滑块B的质
量,求:作用在曲柄轴A处的
最大水平约束力Fx .
解:如图所示
m 1m 2aC xF xF
即 q V ( v b v a ) P F a F b F
设 FFF F 为静约束力; F 为附加动约束力
由于 pF aF bF 0
得 FqV(vbva)
[例2] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解:dt 内流过截面的质量及动量变化为
pp 0p a 1 b 1p a b ( p b b 1 p a 1 b ) ( p a 1 b p a a 1 ) pbb1 paa1
qVdt(vbva)
由动量定理,有
q V d t ( v b v a ) ( P F a F b F ) d t
动量定理微分形式的投影式
dpx dt
F (e) x
dpy dt
F (e) y
动量定理积分形式的投影式
p2xp1x Ix(e) p2yp1y Iy(e)
dpz dt
F (e) z
p2zp1z Iz(e)
3．质点系动量守恒定律
若F(e) 0 , 则 p = 恒矢量
若
F (e) x
0, 则
p x = 恒量
基础作用在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 分析受力， 受力图如图示 运动分析：定子质心加速度a1=0，
〔例１〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,
曲柄OA及连杆AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也
为m。求当 = 45º时系统的动量。解:源自曲柄OA：m,
vC1
1 2
l
滑块B：m, vC3 2l
连杆AB：m, vC2
25lAB
5l
2
pm vC 1m vC 2m vC 3