微积分的基本数学思想
谈微积分中的数学思想及其教学
谈微积分中的数学思想及其教学微积分，作为现代数学的重要分支，在科学技术、社会科学、经济学等领域有着广泛的应用。
微积分中的数学思想及其教学，不仅涉及到数学基础知识的学习，还关乎学生数学思维和解决实际问题能力的培养。
本文将详细探讨微积分中的数学思想及其教学，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学工具。
微积分中涉及的抽象思想主要包括无穷、极限和连续等概念。
无穷是指一个数列或函数在无限趋近于某个点时的情况，极限则是指数列或函数在某一趋势下的最终状态，而连续则描述了函数在某一点处的平滑过渡。
这些抽象概念的理解对于后续微积分的学习至关重要。
微积分中的计算思想主要包括导数、积分和级数等。
导数反映了函数在某一点处的变化率，可以应用于求解曲线切线、物体运动加速度等实际问题；积分则是微分的逆运算，用于求解面积、体积、长度等实际问题；级数则是由无穷多个数相加而成，可以用来表示函数、解决实际问题。
微积分中的优化思想主要包括方程、建模和实验等。
方程是解决问题的一种重要工具，可以用来求解未知量，如运用微分方程可以解决物理、化学、生物等领域的问题；建模则是指运用数学模型来描述实际问题，通过求解模型来得到实际问题的解；实验则是指通过设计实验来验证数学模型的有效性和精度。
微积分的教学目标应当是培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
具体而言，教学目标应当包括以下几个方面：(1)掌握微积分的基本概念和理论体系，如极限、导数、积分等；(2)学会运用微积分的基本方法和技能，如微分法、积分法、级数法等；(3)能够运用微积分的知识解决实际问题，如物理、工程、经济等领域的问题；(4)培养学生的数学思维和推理能力，提高学生的数学素养。
微积分教学重点和难点主要包括以下几个方面：(1)抽象概念的理解：如无穷、极限、连续等概念较为抽象，学生往往难以理解和掌握；(2)计算方法的掌握：如导数、积分、级数等的计算方法较为复杂，需要学生多次练习才能掌握；(3)优化思想的运用：如方程、建模、实验等优化思想需要学生具备一定的数学基础和实际经验，才能够理解和运用。
微积分与数学思想方法
数学思想方法的解释有多种多样，其中胡炯涛《数学教学论》广西教育出版社，一书中指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学知识之中，需要学习者去挖掘[6]。
数学思想方法分为两部分，一是数学思想，二是数学方法，其中数学思想是指我们对教材中理论知识及内容最本质的认识，而数学方法是数学思想的具体化形式，运用到实际的题目中[20]。
下面就具体来阐述一下微积分习题中的数学思想方法：5.1函数思想函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，是指用函数的概念、性质、特点去分析问题、转化问题和解决问题的一种思维，函数思想是一个基本的数学思想，方程，不等式问题可以在函数的观点下统一起来，数列是特殊的函数，集合论的知识作为建立函数的基础，也包括在其中[11]。
在新版教材微积分的内容中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工具，最后还是依据函数的基本性质去解决问题。
例如：一条长为的l 铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？[12]（新版教材人教A 版选修2–2课本37页习题）解：设其中一段铁丝的长度为x ，则另一段为x l -，面积为s根据题意得：整理得：求导数，并令导数等于零，解得：分析：这类题型在新版教材中为常见的一种题型，根据题意得到函数表达式，借助“微积分”这个工具，结合函数的性质来解决问题。
当 时导函数的函数值为零，这时函数取得最小值（函数的性质）。
例如：有一家宾馆有50个房间共旅客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果旅客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？4444xl x l x x s -⨯-+⨯=162222l lx x s +-=2l x =2l x =分析：这是一个生活中实际的问题，解决方法，根据题意列出函数表达式，我们要找到关键问题，利润是由房间数乘以房间定价让后减去房间数乘以房间维护费，所以关键就是房间数，我们设房间定价为x 元，利润为s ，则对进行求导x ，并令导数为零，得到350=x ，即可解得利润的最大值把数学问题用函数表示出来，借助“微积分工具”去解决数学问题，这是我们常用的方法，即函数思想结合“微积分”去解决问题。
教孩子简单的微积分思想
教孩子简单的微积分思想微积分是一门涉及数学中的极限、导数和积分等概念的重要学科。
虽然在传统的教学中一般在高中或大学阶段才开始学习微积分，但是我们可以通过启发式的方法和生动的例子，向孩子们传授一些微积分的思想，帮助他们培养逻辑思维和分析问题的能力。
1. 明确问题背景当我们教授微积分思想给孩子们时，首先要引入问题的背景，并确保孩子们了解问题的难点所在。
例如，在谈论速度时，可以向孩子们提出一个类似的问题：小明小朋友每天去学校要花费多长时间？这样的问题有助于孩子们意识到问题的本质，同时也能够为引入微积分的思想做好铺垫。
2. 引入简单的极限概念为了使孩子们理解极限的概念，我们可以通过一个有趣的例子来引导他们。
比如，让孩子们想像一个小球从山坡上滚下来的情景，我们可以问他们，如果山坡很陡峻，小球会以怎样的速度滚下来？通过这样的引导，我们可以告诉孩子们，当山坡越陡峭时，小球滚下来的速度越快，这就是极限的概念。
3. 导数的简单引入在引入导数的概念时，我们可以以速度的变化为例。
比如，让孩子们想象自行车骑行时的速度变化，我们可以告诉他们，速度的变化可以通过观察骑车的轨迹来确定。
如果他们骑的速度越来越快，那么他们骑车的轨迹就会逐渐向上弯曲。
这样，孩子们就能够理解导数的概念，即速度的变化率。
4. 引入积分的概念在引入积分的概念时，我们可以使用面积的概念。
让孩子们想象一个木板，上面有着各种不同形状的图案。
我们可以告诉他们，通过计算这些图案所占据的面积，就能了解木板上的图案分布情况。
这样，孩子们就能理解积分的概念，即图案占据的面积。
通过以上的几个步骤，我们可以帮助孩子们初步了解微积分的思想。
当然，这只是一个非常简单的启蒙，旨在培养孩子们的逻辑思维和问题解决能力。
如果孩子对微积分感兴趣，我们可以进一步教授更深入的微积分概念和技巧。
总之，教授孩子们微积分思想是一项有趣且富有挑战性的任务。
通过运用启发式的方法和生动的例子，我们可以帮助他们初步理解微积分的思想，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
微积分的基本思想和运算法则
微积分的基本思想和运算法则微积分是数学的一个重要分支，研究的是变化与运动的规律。
它的基本思想和运算法则是我们学习微积分的起点。
本文将介绍微积分的基本思想和运算法则，并探讨其在实际问题中的应用。
一、微积分的基本思想微积分的基本思想可以概括为两个方面：极限和导数。
1. 极限极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们用极限来研究函数的连续性、收敛性以及函数值的变化趋势等。
对于一个函数f(x)，当x趋向于某个特定的值a时，我们可以用以下符号表示：lim(x→a) f(x)其中，lim代表极限的意思，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x处的取值。
通过求解极限，我们可以得到函数在a点的性质和行为。
2. 导数导数是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为：f'(x) 或 dy/dx其中，f'(x)表示函数f在x处的导数，dy/dx表示函数y关于x的导数。
导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，它告诉我们函数在该点的变化速度和方向。
二、微积分的运算法则微积分的运算法则是指在对函数进行求导和积分时所遵循的规则和方法。
下面介绍几个常用的运算法则。
1. 基本导数法则基本导数法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律。
2. 链式法则链式法则是求解复合函数导数的一种方法。
对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过链式法则表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)链式法则在求解复杂函数的导数时非常有用，可以将复杂问题简化为简单问题的组合。
3. 积分法则积分法则是求解函数积分的一种方法。
常用的积分法则包括换元法、分部积分法、定积分法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的积分，从而计算函数的面积、曲线长度、体积等。
微积分的基本介绍
微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。
因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。
所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。
就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。
这个概念是成功的。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分的基本概念与性质
微积分的基本概念与性质微积分是数学中的一个重要分支，它研究函数的变化率和曲线的面积，是实现数学建模和理论推导的基础。
微积分的基本概念和性质对于深入理解和应用微积分都至关重要。
本文将介绍微积分的基本概念和性质，帮助读者对微积分有更清晰的了解。
一、微积分的基本概念1.1 函数与导数在微积分中，函数是一个很常见的概念。
函数关系可以通过图像、表达式或者散点给出，它描述了一个变量与另一个变量之间的依赖关系。
函数导数是描述函数变化率的工具，表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
1.2 极限与连续微积分中的极限是一种趋近某个值的概念。
当自变量趋近于某个特定的值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
极限是微积分中计算导数和定积分的基础。
而连续是一个函数在一段区间上没有任何断裂或间断点的特性。
若函数在某点处连续，则导数也存在，这种关系称为微积分基本定理。
1.3 定积分与不定积分定积分是计算曲线下面积的工具，也可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。
定积分可以用一系列无限小的面元相加的方式计算。
不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
不定积分和定积分是微积分中使用最广泛的工具，它们被广泛应用于物理、生物、经济等领域的建模与求解过程中。
二、微积分的性质2.1 导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，它有许多运算法则可以简化求导的过程。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商积法则等。
这些运算法则能够帮助我们快速计算函数的导数，从而更方便地研究函数的特性和行为。
2.2 积分的性质积分也有一些重要的性质。
其中，积分的线性性质是最基本也是最常用的性质之一。
根据积分的线性性质，我们可以将一个复杂的积分问题拆解为多个简单的积分问题，并逐个求解。
此外，积分还具有区间可加性、导数与积分的关系等性质，通过合理运用这些性质，可以更加灵活地进行积分运算。
微积分基本定理
微积分基本定理微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的变化率、积分和微分。
在微积分中，存在着一些重要的定理，其中最基本的定理是微积分基本定理，也称为牛顿－莱布尼茨公式。
微积分基本定理由两个部分组成：第一部分是微分学基本定理，第二部分是积分学基本定理。
第一部分：微分学基本定理微分学基本定理是指在定积分和不定积分之间的关系。
它声称如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且存在它的原函数F(x)，即F'(x) = f(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在a和b处的差值。
换句话说，定积分就是原函数在区间上的差值。
数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理的重要性在于，它给出了计算定积分的一种方法，通过求出函数的原函数，再计算原函数在区间的差值来得到定积分的值。
这在实际应用中非常有用，例如计算曲线下面积、求解概率密度函数等都可以利用微积分基本定理。
第二部分：积分学基本定理积分学基本定理是微积分中另一个重要的部分。
它描述了反过程，即求解函数的原函数的过程。
根据积分学基本定理，如果一个函数f(x)在[a, b]上连续，并且存在其原函数F(x)，那么函数f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在[a, b]上的增量。
也就是说，定积分就是原函数在区间上的增量。
数学表达式为：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这个定理可以用于求解函数的原函数。
通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以得到其原函数F(x)在a和b处的值。
综合应用：微积分基本定理在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，可以利用微积分基本定理计算物体的位移、速度和加速度等；在经济学中，可以用来计算边际效益和利润最大化问题；在工程学中，可以用于求解曲线的长度、曲率和曲线下面积等。
总结：微积分基本定理是微积分中的一个重要定理，它由微分学基本定理和积分学基本定理组成。
微积分的基本思想方法及其应用
马知恩 西安交通大学
国际数学教育委员会前主席 荷兰数学家H.Freudenthal说过:
“没有一种数学思想，以它被发现时的那个 样子发表出来。一个问题被解决以后，相 应地发展成一种形式化的技巧，结果使得 火热的思考变成了冰冷的美丽”。
微积分的基本思想方法及其应用
任何事物 运动 物质细棒 容器中液体 数量关系 空间物体 空间场 微观 速度 线密度 压强 变化率 面(体)密度 方向导数 变化率 改变量 宏观 位移 棒的质量 对底或壁的压力 改变量 质量
k 2 (2 x x)(x) 2 o(x)
故 (kx) x 是 V ( x) 的微分 V
2
h
0
k x dx
2 2
3
k 2h3
y f ( x), a x b
绕 x 轴旋转所得 旋转体的体积。
| V f 2 ( x)x | | f 2 ( x 2 ) f 2 ( x1 ) | | x | | f ( x 2 ) f ( x1 ) | | f ( x 2 ) f ( x1 ) | | x |
a a
b
x
f C[ a , b ] ,
f C[a, b] ,
dF f ( x) dx
或 dF f ( x)dx
n d 0
b
a
f ( x)dx lim f ( x k 1 )x k
k 1
•
为 f 的原函数 F ( x) 在点 x k 1关于 x k 的微分,当然是 F ( x) 增量的近似值。
(流体) 源的强度 旋转趋势与方向
l 导数
梯度
散度 旋度 通量 环流量 积分
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颜有祥
（广东科技学院基础部 广东 东莞 523083）
摘要： 微积分是一系列数学思想演变的结果，我们学习微积分时，更要感悟其中所蕴藏的重要数学思 想。只有充分认识和领悟了这几种思想才能更好地理解微积分、更深刻的认识微积分，更好地掌握微积 分的方法。数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。微积分中最基本数学思想应该包含： 有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。正确认识无限（即：无穷）是我们学习“微积分”的 基础；以直代曲的思想可以说是微积分方法的灵魂；极限思想则是微积分的核心。 关键词 数学思想；微积分；有限与无限思想；相互转化；以直代曲思想；极限思想；
作者简介：颜有祥 男 1949.11 湖南衡东 数学教研室主任 副教授 研究方向 基础数学教学与研究
数学思想是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。我们学习微积分时，更要感悟其中所蕴藏 的重要数学思想。
二．微积分中的基本数学思想
“微积分是漫长的一系列数学思想演变的结果，是经过许多数学家、思想家的艰苦努力才逐渐发展 起来的关于连续性和无穷小量的学说。它是随着变量与函数概念的采用而逐步建立起来的，是继欧几里 得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。 ”[3]203 微积分本身就是一种数学思想，它是许多科学家的思 想结晶，蕴涵了哲学的辨证思想。由于它的博大精深，学生们在初步学习微积分的时候，往往感到很迷 茫。微积分中包含了哪些最基本的数学思想和方法，依据它们各自的功能又如何把它们分类？这是一个 很有意义，比较复杂而有待认真探讨的课题。 我认为微积分中最基本数学思想应该包含：有限与无限思想、以直代曲的思想和极限思想等。只有 充分认识和领悟了这几种思想才能更好地理解微积分、更深刻的认识微积分，以至于灵活运用微积分这 个数学分析的工具。 1． 有限与无限思想 对有限与无限（即：无穷）的认识是我们学习“微积分”的基础。牛顿和莱布尼茨都认为微积分是 代数的扩展，它是“无穷”的代数，或者是具有无穷多个项的代数。[4]26 极限、无穷大量与无穷小量、 导数、定积分、级数等都蕴涵着无限的思想。有限与无限相比，有限是具体的，无限是抽象的，人们首 先完成了对有限的认识，而对无限的认识是有过一些曲折的过程的： 如：无限项相加 1-1+1-1+1-1+……应该是多少？ 如果运用结合律把它改写成（1-1）+（1-1）+（1-1）+ 是乎应等于 0？ 若把它改写成 1-（1-1）-（1-1）-（1-1）又是乎应等于 1？ 如果我们把它们的和设为 S，可以写出 S=1-（1-1+1-1+1-1+……）=1-S，于是又有 S=1/2？ 数学究竟怎么了？为什么会这样？经过进一步地分析研究，人们发现无限与有限是有本质区别的，我们 不能把有限范围内的规律和法则完全照搬到无限中去。我们对有限的研究已有章法可循，并积累了一定 的经验，而对无限个对象的研究.却往往不知所措。 将对无限的研究转化为对有限的研究，用有限去认识无限就成了解决无限问题的必由之路；另外， 将有限的间题转化成无限，用无限分割、无限求和的方法解决有限量问题也是微积分基本思想之一。有 限与无限的思想包含有这两个方面。 1） 通过有限认识无限：在微积分中，为了达到认识不确定的、无限的情形，常常是从确定的、有限的 情形出发的。
The basic mathematical thought calculus
Yan You xiang
（Department of Basic Courses，Guangdong Uniwersity of Science & Technology，Dongguan Guangdong 523083。China) Abstract: The Calculus is the result of a series of mathematical thought。When we are learning the Calculus, it is important to realize the mathematical thought hidden behind it.Only if you can comprehend and grasp the thoughts, you will understand the Calculus and have a good understanding of the Calculus methods well. Mathematical thought is the essence of mathematical knowledge and the bridge of translating knowledge into ability. The basic mathematical thoughts about the Calculus include definite and indefinite thought、the thought about replacing straight by curve、limit thought and so on. The correct understanding about the infinite is the basis of learning the Calculus.The thought about replacing straight by curve is the soul of the Calculus method and the limit thought is the core of the Calculus. Key words: mathematical thought ；The Calculus；definite and indefinite thought；The thought about
replacing straight by curve ；limit thought
一．数学思想
在现代汉语中，"ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ想"解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。 《辞海》中称 "思想"为理性认识。毛泽东在《人的正确思想从哪里来》一文中说："感性认识的材料积累多了，就会产 生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。”我们可以这么认为，思想是认识的高级阶段，是事物本质 的、高级抽象的、概括的认识。 数学思想，是指现实世界空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它 是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识[1]。 “纵然是把数学知识忘记了，但数学的精神、思想、方法也会深深地铭刻在头脑里，长久地活跃于 [2] 日常的业务中。 ” 通俗地说： 数学思想就是把所学的数学知识和公式都排空以后还存留在头脑中的东西。