数学探究应用新思维
探究应用新思维_数学7年级11_40
当A 、B 两点中有一点在原点时,不妨设点A 在原点,如图①,AB OB b a b ==--|;当A 、B 两点都不在原点时,（1）如图②,点A 、B 都在原点的右边,AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-;（2）如图③,点A 、B 都在原点的左边,()AB OB OA b a b a a b =-=-=---=- （3）如图④,点A 、B 在原点的两边,()AB OA OB a b a b a b =+=+=+-=-; 综上,数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b =-.请回答:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________;②数轴上表示x 和1-的两点A 和B 之间的距离是_______,如果2AB =,那么x 为_______;③当代数式12x x ++-取最小值时,相应的x 的取值范围是_______.（南京市中考题）思维方法天地11.已知1a =,2b =,3c =,且a b c >>,那么a b c +-=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）12.在数轴上,点A 表示的数是3x +,点B 表示的数是3x -,且A 、B 两点的距离为8,则x =________.（“五羊杯”竞赛题）13.已知5x =,1y =那么x y x y --+=________.（北京市“迎春杯”竞赛题）14.（1）11x x ++-的最小值为__________.（“希望杯”邀请赛试题）（2）111213x x x ++-++的最小值为________.（北京市“迎春杯”竞赛题）15.有理数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示:,则代数式1111a ab a ba a ab b +---+-+--的值为（ ）. A.1-B.0C.1D.2（“希望杯”邀请赛试题）16.若()2210m n ++-=,则2m n +的值为（ ）. A.4-B.1-C.0D.4（北京市中考题）17.如图,已知数轴上点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 都不为0,且C 是AB 的中点.如果2220a b a c b c a b c +--+--+-=,那么原点O 的位置在（ ）.A.线段AC 上B.线段CA 的延长线上.iC.线段BC 上D.线段CB 的延长线上!（江苏省竞赛题）18.设1m x x =+-,则m 的最小值为（ ）. A.0B.1C.1-D.2（重庆市竞赛题）19.已知点A 在数轴上对应的数为a ,点B 对应的数为b ,且()2410a b ++-=,A 、B 之间的距离记作AB . （1）求线段的长AB ;（2）设点P 在数轴上对应的数为x ,当2PA PB -=时,求x 的值;（3）若点P 在A 的左侧,M 、N 分别是的中点,当点P 在A 的左侧移动时,式子PN PM -的值是否发生改变?若不变,请求其值;若发生变化,请说明理由.20.已知a b c abc x a b c abc=+++,且a 、b 、c 都不等于0,求1的所有可能值.; （“华罗庚杯”香港中学竞赛题）应用探究乐园21.绝对值性质（1）设a 、b 为有理数,比较a b +与a b +的大小.（2）已知a 、b 、c 、d 是有理数,9a b -≤,16c d -≤,且25a b c d --+=,求b a dc ---的值.（“希望杯”邀请赛试题）22.已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为1-,3,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x . （1）若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数.:（2）数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由. （3）当点P 以每分钟1个单位长的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长的速度向左运动,点B 以每分钟20个单位长的速度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P 点到点A 、点B 的距离相等?3.有理数的运算解读课标有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上.深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础.有理数的运算不同于算术数的运算:这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算.运算能力是运算技能与推理能力的结合.这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度.有理数运算常用的技巧与方法有: 利用运算律;以符代数;恰当分组;裂项相消;分解相约;错位相减等. 问题解决 例1（1）已知()()211,2,3,1n a n n ==+L ,记()1121b a =-,()()()()()21212211,,b 2111n n b a a a a a =--=---L L ,则通过计算推测n b 的表达式n b =_________.（用含n 的代数式表示）（成都市中考题）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是______.（“希望杯”邀请赛试题）试一试 对于（2）,运用相关概念的特征解题.例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（ ）.:A.0B.10C.2D.12（江苏省竞赛题）试一试 解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式. 例3 计算: （1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ; （广西竞赛题）（2）111112123123100+++++++++++L L ; （“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （“五羊杯”竞赛题）试一试 对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加;对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手.例4 在数学活动中,小明为了求2341111122222n +++++L 的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形.图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++L 的值; （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n +++++L 的值的几何图形.（辽宁省大连市中考题）试一试 求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键. 例5 在1,2,,2002L 前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值.分析与解 首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0.代数和的最小值能是0吗?能是1吗?由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手.因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯L 的奇偶性相同,即为奇数.因此,所求非负代数和不会小于1. 又()()()()1234567891011121314-++--++--++--+++Q L ()19992000200120021--+=,∴所求非负代数和的最小值为1.类比类比是一种推理方法,根据两#事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论.触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法. 例6 观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 问:（1）从上面的解题方法中,你发现了什么?用字母表示这一规律. （2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问.爱因斯坦曾说:“提出问题比解决问题更重要”.请用类比的方法尽可能多地提出类似的问题. 分析与解 （1）()11111n n n n =-++.（2）从连续自然数到连续偶数,从2个到3个,从分数到整数,类比可提出下列计算问题:①111244620122014+++⨯⨯⨯L ; ②111123234201220132014+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ; ③12233420122013⨯+⨯+⨯++⨯L ;④22221232012++++L .数学冲浪知识技能广场1.如图,每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:()135721n +++++-=L _______.（用n 表示,n 是正整数）.（第1题）（2012年潍坊市中考题）2.某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏,规则是:从前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加1,第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭,第2位同学报112⎛⎫+⎪⎝⎭,第3位同学报113⎛⎫+⎪⎝⎭……这样得到的20个数的积为________. （2012年河北省中考题）3.计算:（1）()211455365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=______.（“希望杯”邀请赛试题）（2）23181920223222-----+=L _______.（广西桂林市中考题）4.“数学王子”高斯从小就善于观察和思考,在他读小学时就能在课堂上快速地计算出12398991005050++++++=L ,今天我们可以将高斯的做法归纳如下: 1239899100S =++++++L ① 1009998321S =++++++L ②①+②有()21100100S =+⨯,5050S =. 请类比以上做法,回答下列问题:若n 为正整数,()35721168n +++++=L ,则n =_______.（2012年湖北省黄石市中考题）5.设0a <,在代数式|a ,a -,2009a ,2010a,a -,2a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,2a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭中负数的个数是（ ）. A.1B.2C.3D.4（“希望杯”邀请赛试题）6.我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下:100克以内0.7元,每增加100克（不足100克按100克计）0.4元.某人从成都邮寄一本书到上海,书的质量为470克,则他应付邮资（ ）元.A.2.3B.2.6C.3D.3.5（2012年四川省竞赛题）7.为了求23200812222+++++L 的值,可令23200812222S +=++++L ,则2342009222222S ++++=+L ,,因此2009221S S -=-所以23200820091222221+++++=-L .仿照上面推理计算出23200915555+++++L 的值是（ ）. A.200951-B.201051-C.2009514-D.2010514-（湖北省鄂州市中考题）8.下面是按一定规律排列的一列数: 第1个数:11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭; 第2个数:()()2311111113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; 第3个数:()()()()234511111111111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ……第n 个数:()()()232111111111112242n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是（ ）.A.第10个数B.第11个数C.第12个数D.第13个数（江苏省中考题）观察图形,解答问题:（2012年益阳市中考题）10.观察下列等式: 第1个等式:111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; 第2个等式:2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式:3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第4个等式:4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭; ……请解答下列问题:（1）按以上规律列出第5个等式:5a =______=_______;（2）用含n 的代数式表示第n 个等式n a =______=_______;（n 为正整数）; （3）求1234100a a a a a +++++L 的值.（2012年广东省中考题）思维方法天地 11.计算: （1）11111111111113243546979998100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L______.（“华罗庚杯”邀请赛试题）（2）1511914117111234567892612203042567290-+-+-+-+=_____. （“希望杯”邀请赛试题）（3）555111139139993311993311⎛⎫⎛⎫++÷++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____.（江苏省竞赛题）12.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a b +,a 的形式,又可分别表示为0,ab,b 的形式,则20042001a b +=______.13.已知31x x =+,则()2005264489x x ++=______.（“五羊杯”竞赛题）14.已知a 、b 、c 满足()()()0a b b c c a +++=且0abc <,则代数式的a b ca b c++值是________.（四川省竞赛题）15.11111161111161621212626313136+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值是（ ）. A.118 B.136 C.133 D.166（北京市竞赛题）16.如果4个不同的正整数m 、n 、p 、q 满足()()()()77774m n p q ----=,那么m n p q +++等于（ ）. A.10 B.21C.24D.26E.2817.如果3121231t t t t t t ++=,那么123123t t t t t t 的值为（ ）. A.1-B.1C.1±D.不确定（河北省竞赛题）18.观察下列各式: （1）211=; （2）32343++=; （3）2345675++++=; （4）2456789107++++++=;……请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是（ ）. A.210051006100730162011++++=L 2 B.210051006100730172011++++=L C.210061007100830162011++++=L D.210071008100930172011++++=L（济南市中考题）19.观察下面的等式: 224⨯=,224+=;313422⨯=,313422+=; 414533⨯=,414533+=; 515644⨯=,515644+=. （1）小明归纳上面各式得出一个猜想:“两个有理数的积等于这两个有理数的和”,小明的猜想正确吗?为什么?（2）请你观察上面各式的结构特点,归纳出一个猜想,并证明你的猜想.（“希望杯”邀请赛试题）20.同学们,我们曾经研究过n n ⨯的正方形网格,得到了网格中正方形的总数的表达式为2222123n ++++L .但n 为100时,应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来研究并解决这个问题.首先,通过探究我们已经知道()()()10112231113n n n n n ⨯+⨯+⨯++-⨯=+-L 时,我们可以这样做:（1）观察并猜想:()()()()2212101112101212120112+=+⨯++⨯=+⨯++⨯=++⨯+⨯, ()()()2221231011121231012123++=+⨯++⨯++⨯=+⨯++⨯++ ()()23123011223⨯=+++⨯+⨯+⨯,()()()22221134101112123+++=+⨯++⨯++⨯+_______101=+⨯+212323+⨯++⨯+______()()1234_______________=++++;……（2）归纳结论:()()()()222212310111212311n n n ++++=+⨯++⨯++⨯+++-⎡⎤⎣⎦L L()1012123231n n n =+⨯++⨯++⨯+++-⨯L=（_________________）+（_______________________） =____________+______________ 16=_____________; （3）实践应用::通过以上探究过程,我们就可以算出当n 为100时,正方形网格中正方形的总个数是________.（四川省内江市中考题）应用探究乐园21.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例如,求1234n +++++L 的值,其中n 是正整数.对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法（首尾两头加）,问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对n 的奇偶性进行讨论.如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观.现利用图形的性质来求1234n +++++L 的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,,n L 个小圆圈排列组成的,而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n +++++L 的值.为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形.此时,组成平行四边形的小圆圈共有n 行,每行有()1n +个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为()1n n +个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为()12n n +,即()112342n n n ++++++=L .（1）仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求()135721n +++++-L 的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）.（2）试设计另外一种图形,求()135721n +++++-L 的值,其中n 是正整数.（要求:画出图形,并利用图形作必要的推理说明）（山东省青岛市中考题）22.在“123456789□□□□□□□□□”的小方格中填上“+”、“-”号,如果可以使其代数和为n ,就称数n 是“可被表出的数”（如1是可被表出的数,这是因为123456789++--++--+是1的一种可被表出的方法）. （1）求证:7是可被表出的数,而8是不可被表出的数; （2）求25可被表出的不同方法的种数.（四川省竞赛题）4.信息技术中的数学问题解读课标伴随着计算机和网络技术的迅猛发展,人类社会已步入信息时代,并将迈入后信息化时代:IT 技术、赛伯空间、数字化技术、智能通讯等信息技术彻底改变着我们的生活方式与思维方式.计算器、计算机正深刻影响着数学学习内容和方式,现代信息技术是学习数学和解决问题的有力工具.近年出现的以信息技术为背景的问题是中考竞赛试卷一道靓丽的风景,这类问题将信息技术与数学知识有机融合和渗透,构思巧妙、立意新颖,其托容涉及计算机常识（数制、字节等）、计算机的数据输出、计算机中的数据处理、计算机运算程序、网络与通讯等. 解决这类问题的关键是找到数学知识与其内在的联系,将其转化为数学问题. ——问题解决——例1给出下列程序x k −−→−−→⨯−−→立方输入输出,且已知当输入的x 值为1时,输出值为1;输入的x 值为1-时,输出值为3-,则当输入的x 值为12时,输出值为____. （广西竞赛题）试一试 把程序流程图用代数式表示,由条件先求出k 、b 的值. 例2 计算机利用的是二进制数,它共有两个数码0、1,将一个十进制数转化为二进制数,只需把该数写成若干个2n数的和,依次写出1或0即可.如()()4321219162112020212110011=++=⨯+⨯+⨯+⨯+=十.为二进制下的5位数,则十进制数2004是二进制下的（ ）. A.10位数 B.11位数 C.12位数D.13位数（湖北省荆门市中考题）试一试本例渗透了计算机的基本知识—“二进制计算”,无论何种进制的数都可表示为与数位上的数字、进制值有关联的和的形式.例3 一条信息可通过如图所示的网络线由上（A 点）往下向各站点传送.例如信息到2b 点可由经1a 的站点送达,也可由经2a 的站点送达,共有两条途径传送,那么信息由A 点到达3d 的不同途径共有多少条.（第17届“希望杯”邀请赛试题） 试一试 在阅读理解的基础上,画出路线示意图,穷举得出结论.例4 你觉得手机很神奇吗?它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图像等信号,据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳.其实,这些信号在电脑芯片中都是以二进制数的形式给出的.每个二进制数都由0和1构成,电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”.一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数.例如“开”“开”“关”表示“110”.如图,电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连）,且相邻的两个元件不能同时是关的.（以下各小题要求写出解答过程）（1）若此电路上有4个元件,则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种?（请一一列出）;（2）若用k a 表示电路上()1k k ≥只电子元件所有不同的“开”“关”状态数,试探索k a 、1k a +、2k a +之间的关系式（不要求论证）;（3）试用（2）中探索出的递推关系式,计算10a 的值.（《时间学习报》数学文化节试题）试一试对于（1）,通过穷举,得出答案值;对于（2）,从特例入手,归纳出相应关系式. 例5 先阅读下面的材料,再解答后面各题.现代社会对保密要求越来越高,密码正在成为人们生活的一部分.有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解,其中Q 、W 、E 、…、N 、M 这26个字母依次对应1、2、给出一个变换公式:()()(),126,3,126,,3217,331,126,318,23xx x x x x x x x x x x x x x ⎧'=⎪⎪+⎪'=+⎨⎪+⎪≤≤≤≤≤≤'=+⎪⎩是正整数被整除是正整数被整除余是正整数被整除余 将明文转换成密文,如:42417193+→+=,即R 变为L ; 111118123+→+=,即A 变为S .将密文转换成明文,如:()2132117210→⨯--=,即X 变为P ; ()133138114→⨯--=,即D 变为F .（1）按上述方法将明文NET 译为密文;（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN ,请找出它的明文.（湖北省十堰市中考题）试一试对于（1）,由明文选择变换公式,求得相应整数,推出密文;对于（2）,逆用变换公式,即由x '导出x 值,推出明文,解题的关键是确定变换公式中x '的取值范围. 电话号码的破译 例6 同学们看电影、看电视时,经常遇到破译密码的故事情节.在军事上、商业上,为了保密,都采用密码.破译密码需要有解密的“钥匙”.下面我们也来破译一个电话号码:一名间谍在他所追踪的人拨打电话时（话机是拨盘式的,如图,话机上的数字排列顺序是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,图中画出了拨数字5时相应的小孔转过的路线）,随着拨号盘转回的声音,用铅笔以同样的速度在纸上画线,他画出的6条线如下:他很快就知道了那人拨的电话号码,这个号码是多少?（《时代学习报》数学文化节试题）分析与解 从电话拨盘上可以看出,拨1时,画出的线段最短,拨0时,画出的线段最长,由于画线速度相同,所以,每个数字所对应的线段应比它下一个数所对应的线段增加一个固定的长度.间谍所画下的这6条线段的长度互不相等,所表示的6个数字当然也不一样,在0~9这10个数字的6个数字中至少有2个数字是相邻的（想一想为什么）,因此,长度最接近的两条线段的长度差,就一定是上面所谈到的那个固定长度.通过对这6条线段进行度量,可以发现第一条线段与第二条线段最为接近,它们相差0.6厘米（相当于1个格子的宽度）.由于最长的线段与最短的线段相差5.4厘米（相当于9个格子的宽度）,因此可以断定最长的线段代表数字0,而最短的线段则代表1.第一条线段比第三条线段长3厘米,因此第一条线段代表156+=,同样可推知第六条线段代表3,第四条线段代表8,第二条线段代表5,所以这个电话号码是651803.数学冲浪知识技能广场1.二进制数为法国数学家莱布尼兹所创,例如二进制数1101表示十进制数3211212021⨯+⨯+⨯+,即相当于十进制数13,试将二进制数1101化为十进制数________.二进制数是现代计算机理论的基础.2.如图,是一个简单的数值运算程序,当输入x 的值为1-时,则输出的数值为_____.()32x −−→⨯-−−→-−−→输入输出（江苏省南通市中考题）那么,当输入数据是时,输出的数据是_______.（广东省深圳市中考题）4.在计算器上按照下面的程序进行操作:下表中的x 与y 分别是输入的6个数及相应的计算结果:上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是_______.（浙江省台州市中考题）5.在计算机程序中,二叉树是一种表示数据结构的方法.如图,一层二叉树的结点总数为1,二层二叉树的结点总数为3,三层二叉树的结点总数为7……照此规律,七层二叉树的结点总数为（ ）.（第5题）A.63B.64C.127D.128（呼和浩特市中考题）6.如图所示的运算程序中,若开始输入的x 值为48,我们发现第一次输出的结果为24,第二次输出的结果为12,……,则第2010次输出的结果为（ ）. A.6 B.3C.200632D.100332（山东省淄博市中考题）7.计算机是将信息换成二进制数进行处理的,二进制即“逢2进1”,如()21101表示二进制数,将它转换成十进制形式是321121202113⨯+⨯+⨯+=,那么将二进制数()21101转换成十进制形式是数（ ）. A.8 B.15 C.20D.308.按下列程序计算,把答案写在表格内:n n n n −−→−−→+−−→÷−−→-−−→平方答案（2）请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.（广东省中考题）9.密码在通信安全技术、国防军事中扮演着重要角色,下面6道算式,乍看真是莫名其妙！ ①8762+=;②535+=;③12823+=;④50954+=;⑤11155⨯=;⑥091-=. 当你知道这只是密码算式,各个密码数字各自对应另一个不同数字时,算式就合理了.10.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文（加密）,接收方由密文明文（解密）.已知有一种密码,将英文26个小写字母,,,,a b c z L 依次对应0,1,2,3,,25L 这26个自然数（见表格）.当明文中的字母对应的序号为β时,将10β+除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号,例如明文s 对应密文c .按上述规定,将明文“”译成密文.（广州市中考题）思维方法天地11.我们知道在十进制加法中,逢十进一,如9817+=,也可写成()()()1010109817+=;在四进制加法中,逢四进一,如()()()4443711+=,那么在n 进制中有等式()()()5543142n n n +=,则n =______.（深圳市“启智杯”数学思维能力竞赛题）12.某综合性大学拟建校园局域网络,将大学本部A 和所属专业学院B 、C 、D 、E 、F 、G 之间用网线连接起来.经过测算,网线费用如图所示（单位:万元）,每个数字表示对应网线（线段）的费用,实际建网时,部分网线可以省略不建,但本部及所属专业学院之间可以传递信息,那么建网所需的最少网线费用为_________万元.（第12题）（第13题）13.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出,按照“先进后出”的原则.如图堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b,a,取出数据的顺序是a, b;堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据e,d,c,取出数据的顺序则是c,d,e现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据）,则不同顺序的取法的种数有（）.A.5种B.6种C.10种D.12种（江苏省竞赛题）14.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相连,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为（）.A.19B.20C.24D.26（第14题）（第16题）15.写出一个四位数,它的各个数位上的数字都不相等（如6847）,用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大的数和一个最小的数,并用最大数减去最小数,得到一个新的四位数,对于新得到的四位数,重复上面过程,又得到一个新的四位数,一直重复下去,你发现了什么?请你用计算器,帮助你进行探索.16.某人租用一辆汽车由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位:小时）如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元,试指出此人从A城出发到B城的最短路线,并求出所需费用最少为多少元?（全国初中数学竞赛题）17.按下面的程序计算,若开始输入的值为正数x,最后输出的结果为656,那么满足条件的x的不同值最多有多少个?（浙江省中考题）18.在密码学中,你直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码.对于英文,人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25,现有4个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为1x ,2x ,3x ,4x .已知整数122x x +,23x ,342x x +,43x ,除以26的余数分别是9,16,23,12,请你通过推理计算破译此密码,写出这个单词,并写出此单词的汉语词意.（新疆建设兵团中考题）5.整式的加减解读课标代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,是后续学习中进行运算、解决问题的基础.在代数式中,我们把那些含相同的字母,并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类—称为同类项,一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项,整式的加减就是合并同类项.代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题,解这类问题的基本方法有:将字母的值代人或字母间的关系整体代人,而关键是对代数式进行恰当变形,其中去括号、添括号能改变代数式的结构,是变形求解的常用工具. ——问题解决—— 例1 平、乙、丙三家超市为了促销一种定价为m 元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是_______.（2012年黑龙江省绥化市中考题）试一试 用m 的式子分别表示三家超市降价后的价格. 例2 下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）.A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470（江苏省竞赛题）试一试 用字母表示数,从揭示100个连续自然数之和的规律入手.例3 已知关于x 的二次多项式()()3223325a x x x b x x x -++++-,当2x =时的值为17-,求当2x =-时该多项式的值.（北京市“迎春杯”竞赛题） 试一试 设法求出a 、b 的值,解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a 、b 的等式. 例4 有这样的两位数,交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数.例如,29就是这样的两位数,因为2299212111+==,请你找出所有这样的两位数.（江苏省竞赛题）试一试 设原数为发现的特点是解本例的出发点. 例5 如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要________枚棋子,摆第n 个图案需要_______枚棋子.（山东省青岛市中考题）1716116a ==+=+⨯;()21916121126a ==++=++⨯; ()33716121811236a ==+++=+++⨯;……猜想()2112346331n a n n n =++++++⨯=++L ,再将6n =代入该代数式得127.解法二 数形结合,分解图形,感悟从部分研究整体的思想.问题中“按照这样的方式摆下去”,何种方式并没有明确的界定,我们可以有不同的理解,如从平行四边形角度看,把图形分成三个平行四边形. 如图,图的序列号:1,2,3,4,5,L 图中的点的数目:7,19,37,61,91,L()171123a ==+⨯⨯; ()2191233a ==+⨯⨯; ()3371343a ==+⨯⨯; ()4611453a ==+⨯⨯;。
七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维近几年，小学数学教学改革的发展变得越来越迅速，有越来越多的教育专家倡导采用以探究、实践为主的课堂模式，以开发学生的创新能力，调动学生学习数学的积极性，提高学生学习数学的能力。
在这样的情况下，越来越多的学校采取了“七年级数学探究应用新思维”的教学模式。
七年级数学探究应用新思维，主要侧重于培养学生探究式思维，实现对新技能、新知识的探究与应用，渗透跨学科连接，学习数学的积极性激发得更加明显。
其核心就是培养学生的自主学习能力，让他们学会从多方面思考问题，综合分析数据，培养从多角度探究数学知识、解决问题的能力。
首先，教师要让学生掌握数学知识点，围绕某一学科数学知识，使学生深入探究、提出问题，让学生能够多角度探究、探究思维的形成成为可能；其次，要培养学生的实践能力和分析能力，教师可以指导学生运用新发现的知识，发现一些规律，并通过实际操作，加深对数学的理解和应用；最后，要激发学生的创新精神，让学生能发挥自己身上的能力，用独到的角度、思维去探究和解决问题。
在探究应用过程当中，教师要采用较多的多媒体和科技设备，比如电脑设备、科学仪器等，通过这些辅助设备，教师可以对学生实施更加有效、有趣、针对性的辅导，同时可以激发学生的创新能力，让他们学会以多方面角度探究和解决问题。
此外，学校可以在开展七年级数学探究应用新思维的教学模式的同时，开展科技教育、社会实践教育等一系列活动，让学生参与其中，扩展学生的知识面和眼界，建立起学术论文写作与课程学习的联系，真正做到教学和课外活动的有机结合，让学生学会以探究、实践为主的思维，获得真正的数学学习成果。
教学改革是一场长期的斗争，紧密相连的每一节课都要为改革的深入而努力。
“七年级数学探究应用新思维”的教学模式正是让学生拥有更多学习数学的机会和时间，让学生学会以探究、实践为主的思维，从而推进数学教学改革，更好、更深地挖掘学生的潜能，实现中学数学教学改革的最终目标。
七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维
近年来，数学教育更加注重学生自主学习能力和解决实际问题的能力，以促进学生学习数学的兴趣和科学素养。
数学探究应用新思维就是一种新的数学教学模式，主要是由学生自主探究而得到，侧重培养学生的学习习惯和能力，使学生能够灵活运用知识驱动回答问题的能力，发展创新思维。
首先，数学探究应用新思维以学生为主体，由他们自主探究，解决问题，不仅注重学生心智发展，而且培养学生自主学习、自我反思和研究问题的能力。
例如，从学生现有知识出发，引导学生尝试推翻概念，解决问题，拓展、发掘学生原有知识；同时，可以让学生通过比较不同概念之间的差异，思考和发现新的概念，进行探究，形成新的数学知识体系，有助于培养学生的分析、总结、推理、创新能力。
其次，数学探究应用新思维由学生自主发现，选择新方法并根据实际情况调整。
通过小组讨论，学生可以相互交流，寻求问题的解决方案，并自我协调和研究。
此外，也可以让学生在实践中发现规律，学会使用新方法，熟练掌握数学解决问题的方法，解决生活中的实际问题，提高数学实践能力。
此外，数学探究应用新思维还有助于改善学生的学习习惯和兴趣，鼓励学生发挥自己的知识和技能，并且培养学生勤奋努力、勇于探索、解决实际问题的意识，培养新思维。
通过数学探究应用新思维，发挥学生创造力、挑战性思维，增强学生的主观能力，发展学生的自主学习能力、创新能力、解决问题的
能力，更加深入和灵活地学习数学，提高学生数学素养。
因此，数学探究应用新思维在七年级数学教育中具有重要意义。
初中 数学探究应用新思维 数学培优新方法
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七年级·数学探究应用新思维
七年级·数学探究应用新思维如今，数学教育正在发生着前所未有的变化，以探究为基础应用新思维是这一变化的重要特征之一。
探究数学思维方法能够帮助学生改变传统的学习手段，为学生提供一种更有效的学习环境，加深对数学的理解，帮助学生发现和应用数学规律，从而引发他们更多的学习兴趣。
在这种新的数学思维方式下，学生可以通过探究来深入理解数学，而不是只依靠抽象思维来记忆。
首先，探究数学思维方法主要强调“以研究为基础”，这意味着学生需要认真观察、分析、思考，甚至创新，从而探究数学知识的意义，用这种方法引导学生探究数学知识，从而获得解决问题的能力。
也就是说，学生将从数学的概念和定律出发，大胆研究，挖掘数学知识背后的自然规律，从而使学生更加深入地理解数学知识，而不是被动地记忆知识。
其次，在运用探究式学习方法教授七年级数学时，老师需要正确认识学生的需求，为学生创建有效的学习环境，激发他们的学习兴趣，搭建平台，让他们运用探究的思维方式去探究数学中的规律，帮助他们发现和把握数学中的规律。
当学生们掌握了探究的技巧后，老师还需要鼓励他们，让他们更加自信地把握这些技巧，让他们在学习数学中更充实更快乐。
最后，当老师教学时，他还需要重视学生的研究能力。
通过积极激发并培养学生研究的能力，让学生发挥自己的创造力和想象力，在探究过程中获得更多的乐趣。
例如，老师可以给学生出不同的探究课题，让学生自己探究，以找出解决问题的方法，也可以让他们参与到实践环节，以加深对数学知识的理解，最终让学生掌握数学知识，运用数学知识解决问题。
总而言之，数学探究应用新思维的方法对七年级的学生来说是非常重要的，老师们在教学中可以使用这种方法，让学生们更好地理解数学知识，更加兴趣地学习，更加有效地解决问题，以达到最终的学习效果。
只有在老师的正确引导下，学生们才能充分利用探究数学思维方法，真正融入数学知识，从而获得更好的学习效果。
数学探究应用新思维 九年级
数学探究应用新思维九年级引言数学是一门对逻辑和推理有着重要意义的学科，它不仅是一种工具，还是一种思维方式。
在九年级，我们开始接触更深入、更抽象的数学概念和方法，这就需要我们以新的思维方式来探究和应用数学。
数学探究的意义探究性学习是一种积极参与的学习过程，它有助于培养学生的独立思考和问题解决能力。
在数学学科中，通过探究的方式学习，我们能够更好地理解数学的概念和原理。
此外，数学探究还能提高我们的逻辑思维能力，培养我们发现问题和解决问题的能力。
新思维方式在数学中的应用在九年级的数学学习中，我们将开始接触更多抽象的数学概念和方法。
新思维方式的应用对于我们理解这些抽象概念非常重要。
以下是一些新思维方式在数学中的应用示例：抽象思维在九年级中，我们将遇到更多抽象的数学概念，例如代数中的未知数和变量。
抽象思维是一种能够将具体问题转化为一般性问题的能力。
通过抽象思维，我们能够将一般性问题应用于具体情境中，帮助我们更好地理解和应用代数概念。
模型建立在数学中，模型是一种用来描述和解决问题的抽象方法。
通过模型建立，我们能够将实际问题转化为数学问题，并利用数学工具解决它们。
模型建立需要我们将问题进行抽象和简化，同时考虑到问题的各种因素和约束条件。
推理和证明数学中的推理和证明是以逻辑为基础的思维方式。
在九年级，我们将学习更复杂的数学定理和推理方法。
通过推理和证明，我们能够理解数学中的原理和规律，并应用它们解决问题。
创新和创造在数学中，创新和创造是非常重要的。
数学是一门充满挑战和创造力的学科，通过创新和创造，我们能够提出新的问题、发现新的数学规律，并应用它们解决现实世界中的问题。
数学探究案例以下是一些九年级数学探究案例，展示了如何应用新思维方式来探究和应用数学：黄金比例探究通过研究黄金分割在艺术、建筑等领域的应用，探究黄金比例的特性和美学意义。
二次函数的图像变换通过调整二次函数的参数，探究二次函数图像的平移、伸缩和翻转等变换规律。
见书识人黄东坡数学探究应用新思维七年级数学评测
见书识人黄东坡数学探究应用新思维七年级
数学评测
黄东坡，是宋代著名的文学家、书法家、政治家，他的文学作品不仅影响深远，而且在数学领域也有着独特的贡献。
黄东坡数学思想以求知欲强、探索精神旺盛著称，他在数学方面的探索也为后人提供了很多宝贵的经验和启示。
在七年级数学评测中，通过学生的见书识人，可以更好地了解他们对数学知识
的掌握情况。
黄东坡数学探究应用新思维，不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养学生的探索精神和创新能力。
通过评测，可以更好地了解学生在数学学习中的实际水平，从而为他们提供更好的学习帮助和指导。
在评测中，可以设置一些开放性问题，让学生自由发挥，展现他们的思维能力
和创造力。
例如，可以设计一些与黄东坡数学探究相关的问题，让学生根据自己的理解和想法进行解答，从而更好地展现他们的数学思维和能力。
此外，评测中也可以设置一些应用性的问题，让学生将数学知识运用到实际生
活中，培养他们的数学应用能力。
例如，可以设计一些与生活相关的数学问题，让学生通过计算和分析解决问题，从而培养他们的实际操作能力和解决问题的能力。
综上所述，通过见书识人，了解学生的数学学习情况，通过黄东坡数学探究应
用新思维，培养学生的数学思维和创新能力，通过七年级数学评测，更好地了解学生的数学学习水平，为他们提供更好的学习帮助和指导，这将有助于学生的全面发展和提高数学学习的效果。
愿学生们在数学学习中，能够不断探索，勇攀数学的高峰，为实现自己的数学梦想而努力学习！。
探究应用新思维：数学9年级
探究应用新思维：数学9年级以“探究应用新思维：数学9年级”为标题，近年来，数学教育发生了很大的变化，从传统的基于计算型思维的数学课程转变为更具探究和应用新思维的课程，在全球范围内得到了广泛的认可。
针对数学9年级的探究应用新思维，本文将着重讨论以下几个方面：首先，数学9年级的探究和应用新思维的重要性；其次，数学9年级的探究应用新思维的模式；最后，为了切实实施数学9年级的探究应用新思维所提出的建议。
数学9年级的探究应用新思维具有重要意义。
传统的数学课程主要让学生学习计算型思维，而不是探究新思维。
但是，实际上，学生需要在数学的学习中进行探究应用新思维，以解决实际问题、灵活处理复杂问题，以提升学习能力。
为此，课程设计和教学应着力推进探究应用新思维的发展，使学生能够发展相应的能力，以应对未来发展的需要。
数学9年级的探究应用新思维要遵循一定的模式。
首先，把重点放在数学思维本身，指导学生思考，指导学生发现实际问题的模式、困难和方法；其次，建立学生发现仍未完全解决的问题的能力，鼓励他们发现细节和解决问题的方法；第三，使学生学会总结实践经验，形成规律和普遍性；最后，引导学生探究学过的知识点在新问题中的应用，对新话题和新问题进行探究，建立新的推理和思维模式。
为了切实实施数学9年级的探究应用新思维，在教学实践中，应重视以下几点：首先，加强教学理论的学习，深入理解现代数学教育理论，具备探究应用新学习主题的思想；其次，注重调查研究，用调查研究的方法，收集课堂实际情况，帮助更好地设计课程；第三，丰富课堂教学的手段，多样化的教学手段可以让学生有更多的机会探究应用新思维；最后，加强督导和指导，帮助学生正确使用新思维，准确掌握探究应用新思维的技能和方法。
综上所述，数学9年级的探究应用新思维具有重要的意义，遵循一定的模式，应在教学实践中加强理论学习、调查研究、多样化手段以及督导指导，以切实实施数学9年级的探究应用新思维。
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一、填空
1、的意义是（）它的分数单位是（），它有（）个（）。
2、有a人参加学校举办的“道德伴随我成长”德育总结大会，其中上台参加文艺演出的学生占。
上台参加文艺演出的学生有（）人。
3、一根长2米的绳子，用去米，还剩下（）米；如果用去2米的，还剩下（）米。
4、一个分数，分子与分母的和是55，若分子、分母都减去5，所得的新分数约分后为，原分数为（）。
5、在、、、四个分数中，分数单位相同的是（），相等的分数是（）。
6、分数，当A=（）时，它是分母是15的最大真分数；当A=（）时，它是分母是15的最小的最简假分数。
7、一个分数加上它的一个分数单位等于1；减去它的一个分数单位等于，这个分数是（）。
8、有两种螺丝钉，一种用3角可以买4个，另一种用4角可以买3个，这两种螺丝钉的单价的最简整数比是（）。
9、一捆电线长30米，第一次剪去，第二次剪去米，还剩（）米。
10、修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。
两队合修（）天完成它的。
11、有甲、乙两只桶，把甲桶里的半桶水倒入乙桶，刚好装乙桶的，再把乙桶里的水倒出后，剩下15千克水。
甲桶可装水（）水。
12、一堆煤，第一次用去，第二次用去吨。
其中第（）次用去的数可用百分数表示。
13、小明家到学校的路程是560米，小明从家步行7分到达学校。
小明平均每分走这段路的（
），平均每分走（）米。
14、在、3.3、33.3%、0. 四个数中，最大的是（）；0. 、0.5 、5.4%、、0.54按从小到大的顺序排列为（）。
15、3÷5= =（）÷30=（）%=9 :（）=（）
16、今年我县有20%的中小学生享受了国家“两免一补”的扶贫政策，这里是把（）看做单位“1”。
17、李刚看一本书，第一天看了全书的，第二天比第一天多看了，第二天看了全书的（）。
18、电影票原价每张若干元，现在每张降价3元出售，观众增加一半，收入增加，这样的一张电影票原价（）元。
19、在2、0. 、7、10、320、3.5、中，自然数有（）；能同时被2、5整除的数有（
）；（）和（）相等；（）和（）是互质数。
20、05千克比4千克多（）%，4千克比5千克少（）%。
21、现在，3年定期存款的年利率是2.70%，到期时还要缴纳20%的利息税。
李明存了1000元钱，定期3年，到期时可得税后利息（）元。
22、一个班某天出席49人，缺席1人，这个班的出勤率是（）%。
23、小亮练习投篮160次，命中率是60%，他有（）次没有命中。
24、有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水含盐量为6%。
现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。
如果这项工作由你
来做，你打算用（）种盐水，取（）千克，加水（）千克。
25、有浓度（即药与药水的比）为5%的药水800克，再加入200克水，这时药水浓度为（
）。
26、按糖和水的比为1:19配制一种糖水，这种糖水的含糖率是（）%；现有糖50克，克配制
这种糖水（）克。
二、判断
1、一个数除以分数，商一定比原来的数大。
（）
2、10吨煤，用去了一半，还剩50%吨。
（）
3、把一根2米长的绳子平均分成3段，每段是米。
（）
4、最简分数的分子和分母一定是互质数。
（）
5、某班男生人数是女生人数的，这里把全班人数看作单位“1”。
（）
6、甲车的速度比乙车快，乙车的速度就比甲车慢。
（）
7、最简分数的分子一定比分母小。
（）8、假分数的倒数一定是真分数。
（）
9、分母是6的最简真分数的和是1。
（） 10、1米的和3米的一样长。
（）
11、甲数的和乙数的相等，那么甲数比乙数大。
（）
12、21：7不论是化简还是求比值，它的结果都等于3。
（）
13、一瓶油重0.45千克，也可以是重75%千克。
（）
14、把一跟2米长的绳子平均分成5段，每段是全长的。
（）
15、分数单位是的最简真分数只有4个。
（）16、除0外的任何自然数的倒数都小于1。
（）
17、一个自然数（0除外）除以一个真分数，商一定小于被除数。
（）
18、任何一个真分数的倒数一定是假分数。
（）
19、把5克盐放入100克水中配成盐水，盐水的含盐率是5%。
（）。