高三数学下册基础达标复习题16.doc

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专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。

考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。

2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=，则A B =（） A ．{2,1}-- B ．{2,0}- C ．{0,1} D ．{0,2}【答案】D【分析】根据集合的交集运算，可求得答案. 【详解】集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=, 故{0,2}A B ⋂=，故选：D2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【答案】D【分析】利用复数的几何表示即得.【详解】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-， ∴z =12i -. 故选：D.3．()sin 45-︒=（）A B ．C ．12D ．12-【答案】B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 45sin 45-︒=-︒=. 故选：B4．已知函数2(),f x x x =∈R ，则（） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 既是奇函数又是偶函数D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.【详解】由题意，()()()22R,x f x x x f x ∈-=-==，即函数为偶函数. 故选：B.5．sin cos θθ=（）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ【答案】A【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ.故选：A.6．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >. 故选：C7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（） A ．0.24 B ．0.14 C ．0.06 D ．0.01【答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案. 【详解】依题意，两地都降雨的概率为0.20.30.06⨯=. 故选：C8．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（） A ．()f x x = B ．1()f x x=C ．2()log f x x =D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不符题意； 1()f x x=在(0,)+∞上单调递减，故B 符合题意；2()log f x x =在(0,)+∞上单调递增，故C 不符题意；()sin f x x =在(0,)+∞上不单调，故D 不符题意.故选：B.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形．若14,3AB AC AA ===，则该直三棱柱的体积为（）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，14,3AB AC AA ===，则BAC ∠ 为直角，故可得：11111114432422AB BC B A C A C V S AA AB AC AA -=⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= , 故选：D10．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则a b ⋅=（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案. 【详解】11011a b →→⋅=⨯+⨯=. 故选：B.11．“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形ABCD 是矩形，则它是平行四边形，反之,若四边形ABCD 为平行四边形，四边形ABCD 不一定是矩形，所以“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充分不必要条件. 故选：A.12．函数2()log (3)f x x =-的定义域为（） A ．(3,)+∞ B ．(0,)+∞C ．(3),-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由真数大于0可得. 【详解】由30x ->，得3x >. 故选：A13．如图，已知四边形ABCD 为矩形，则AB AD +=（）A ．BDB ．DBC ．ACD ．CA【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=. 故选：C14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（） A ．0.25 B ．0.3C ．0.5D ．0.75【答案】C【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】根据图象可知，两个小组高于80分的同学各有2人，所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是21222=+. 故选：C15．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥D ．若,m m αβ⊂∥，则αβ∥【答案】B【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD ，由线面垂直的性质可得B 正确. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，记底面ABCD 为α，EF 为m ，EH 为n ，显然A 不正确；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面CDHG 为β，故排除C ；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面ABFE 为β，可排除D ；由线面垂直的性质可知B 正确. 故选：B16．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（） A ．1 B ．2 C 2D 3【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴ 3b =故选：D.17．已知a ，b 是实数，且a b >，则（） A ．a b -<- B ．22a b <C ．11a b> D ．||||a b >【答案】A【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于a b >，所以a b -<-，A 选项正确.221,1,,a b a b a b ==-==，BD 选项错误.112,1,a b a b==<，C 选项错误. 故选：A18．已知0,0x y >>，且1xy =，则x y +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为,0x y >，所以2x y +≥=，当且仅当1x y ==时取“=”. 故选：B.19．已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】C【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.【详解】()2xf x =在[)0,∞+上是增函数，所以最小值为()0f ，没有最大值. 故选：C20．对于正整数n ，记不超过n 的正奇数的个数为()K n ，如(1)1K =，则(2022)K =（） A ．2022 B ．2020 C ．1011 D ．1010【答案】C【分析】根据题意求出正奇数的个数即可. 【详解】由题意，不超过2022的正奇数有202210112=个. 故选：C. 二、填空题21．计算：lg 2lg5+=___________．【答案】1【详解】lg2lg5lg101+==. 故答案为122．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为22,S S 甲乙，则：2S 甲______2S 乙（填“>”，“=”或“<”）．【答案】<【分析】计算出22,S S 甲乙，由此确定正确答案. 【详解】甲的得分平均值为8.17.98.07.98.18.05++++=，()2210.040.1455S =⨯=甲. 乙的得分平均值为7.98.08.18.57.58.05++++=，()22210.520.120.5255S =⨯+⨯=乙，所以22S S <甲乙. 故答案为：<23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标（℉），两种温标间有如下对应关系：根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断： ①25℃对应77℉； ②20-℃对应4-℉；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．其中所有正确推断的序号是_____________．【答案】①②③【分析】根据条件可得 1.832y x =+，然后逐项分析即得. 【详解】设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉,根据表格数据可知.,.,.,503268328632181818100200300---===---∴.32180y x -=-，即 1.832y x =+， ∴25℃x =时，77℉y =，20℃x =-时，4℉y =-，故①②正确；由.1832y x x =+=，可得40x =-，即摄氏温标40-℃对应的华氏温标为40-℉，故③正确.故答案为：①②③. 三、双空题24．已知函数()2,0,0,x x f x x <⎧⎪=≥则(1)f -=________；方程()1f x =的解为________．【答案】－2 1【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】(1)f -=2×(－1)＝－2；x ＜0时，f (x )＜0，故f (x )＝1＞0时，x ≥01=，解得x ＝1. 故答案为：－2；1. 四、解答题25．已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．【答案】(1)2()1f x x =+； (2)(0,2).【分析】（1）把点代入解析式可得0m =，即得；（2）利用一元二次不等式的解法即得. (1)由题意，(1)22f m =+=，所以0m =．所以()f x 的解析式为2()1f x x =+． (2)不等式()21f x x <+等价于220x x -<．解得02x <<．所以不等式()21f x x <+的解集为(0,2)．26．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)写出()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】(1)2π (2)12【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值. (1)()f x 的最小正周期为：221T ππ==. (2) 因为02x π≤≤，所以336x πππ-≤-≤．当36x ππ-=，即2x π=时，()f x 取得最大值12．27．阅读下面题目及其解答过程．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -．（Ⅰ）求证：1AC BD ⊥；（Ⅱ）求证：直线1D D与平面1AB C 不平行．解：（Ⅰ）如图，连接11,BD B D ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1D D ⊥平面ABCD ．所以①___________．因为四边形ABCD 为正方形，所以②__________．因为1D D BD D⋂=，所以③____________．所以1AC BD ⊥．（Ⅱ）如图，设ACBD O =，连接1B O ．假设1//D D 平面1AB C ．因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C平面11D DBB =④____________，所以⑤__________．又11//D D B B，这样过点1B 有两条直线11,B O B B 都与1D D 平行，显然不可能．所以直线1D D与平面1AB C 不平行．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项 ①A ．1D D AC⊥ B ．1D D BD⊥②A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥ ③A ．1BD ⊥平面1ABC B ．AC ⊥平面11D DBB④A ．1B OB ．1B B⑤ A ．11//D D B OB ．1D D与1B O为相交直线【答案】（Ⅰ）①A ②B ③B ；（Ⅱ）④A ⑤A【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案. 【详解】要证明1AC BD ⊥，可通过证明AC ⊥平面11D DBB 来证得，要证明AC ⊥平面11D DBB ，可通过证明1,D AC A BD D C ⊥⊥来证得，所以①填A ，②填B ，③填B.平面1AB C 与平面11D DBB 的交线为1B O ，所以④填A ，由于1//D D 平面1AB C ，因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C 平面111D DBB B O =，根据线面平行的性质定理可知，11//D D B O ，所以⑤填A.28．给定集合(,0)(0,)D =-∞+∞，()f x 为定义在D 上的函数，当0x <时，24()4xf x x =+，且对任意x D ∈，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使()f x 存在且唯一确定．条件①：()()1f x f x -+=；条件②：()()1f x f x -⋅=；条件③：()()1f x f x --=．解答下列问题：（1）写出(1)f -和(1)f 的值；（2）写出()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（3）设()()()g x f x m m =-∈R ，写出()g x 的零点个数．【答案】答案详见解析【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当0x >时，()f x 的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意()f x 的定义域为(,0)(0,)D =-∞+∞，当0x <时，24()4xf x x =+. 对于条件③，对任意x D ∈，都有()()1f x f x --=，以x -替换x ，则()()1f x f x --=，这与()()1f x f x --=矛盾，所以条件③不合题意. 若选条件①，当0x >时，0x -<，()()224411144x xf x f x x x -=--=-=+++. （1）()()44491,11145145f f --==-=+=++. （2）对于函数()()2404xh x x x =≠+，任取120x x <<，()()()()()()221221121222221212444444444x x x x x x h x h x x x x x +-+-=-=⨯++++()()22121122221244444x x x x x x x x +--=⨯++()()()()12212122124444x x x x x x x x ---=⨯++ ()()()()122122124444x x x x xx --=⨯++，其中210x x ->，当122x x <<-时，1240x x ->，()()()()12120,h x h x h x h x ->>，所以()h x 在(),2-∞-上递减.当1220x x -<<<时，1240x x -<，()()()()12120,h x h x h x h x -<<，所以()h x 在()2,0-上递增.所以在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<.同理可证得：()h x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减，()()()02,01h x h h x <≤<≤. 当0x >时，()()24114xf x h x x =+=++，由上述分析可知，()f x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减.且()12f x <≤. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，由（2）的分析可画出()f x 的大致图象如下图所示，所以，当1m <-或01m ≤≤或2m >时，()g x 的零点个数是0；当1m =-或2m =时，()g x 的零点个数是1；当10m -<<或12m <<时，()g x 的零点个数是2．若选条件②，当0x >时，0x -<，由()()1f x f x -⋅=得()()2144x f x f x x+==--，（1）()()441451,114544f f -+-==-==-+-. （2）对于函数()()2404xh x x x =<+，根据上述分析可知：()h x 在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增，且在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<. 对于()()2404x f x x x+=>-，任取120x x <<，()()2222122112122144441444x x x x f x f x x x x x ⎛⎫++++-=-=- ⎪--⎝⎭()2212121212414x x x x x x x x -+-=⋅()()12212112414x x x x x x x x ---=⋅()()122112414x x x x x x --=⋅.其中210x x ->.当1202x x <<<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x -<-<<，()f x 递增；当122x x <<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x ->->>，()f x 递减.所以()f x 的增区间为()0,2，减区间为()2,+∞.且()()21f x f ≤=-. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，结合上述分析画出()f x 的大致图象如下图所示，所以当0m ≥时，()g x 的零点个数是0；当0m <时，()g x 的零点个数是2．【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出()()12f x f x -的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.。

高中数学复习专题讲座(第16讲)三角函数式的化简与求值

题目高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍重难点归纳1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决快速阅读记忆：英语单词速记：/?id=330 更多资料下载：典型题例示范讲解例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值命题意图本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高知识依托熟知三角公式并能灵活应用错解分析公式不熟，计算易出错技巧与方法解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41 例2设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值命题意图本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力知识依托二次函数在给定区间上的最值问题错解分析考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错技巧与方法利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等解由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得f (a )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2(12a a a a a a∵f (a )=21, ∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)或－22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5例3已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值命题意图本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力知识依托熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识错解分析在求f -－1(1)的值时易走弯路技巧与方法等价转化，逆向思维解 (1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2 (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π例4 已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________解法一 ∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β4π π＜α+β＜43π,∴54sin(),cos().135αβαβ-=+==- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二 ∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=56)65406572(21=--学生巩固练习1 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( )A21B －2 C34 D21或－2 2 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=______3 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________4 不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5 已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值6 已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ) 求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件7 如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积8 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1 解析 ∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0 tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0), 又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0 解得tan 2β+α=－2 答案 B2 解析 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯- 答案247 3 解析 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π36556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案6556 4 答案 2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－17 解以OA 为x 轴 O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ 直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ 联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－2cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π) ∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π ∴21＜sin(2θ+6π)≤1∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为 AB 的中点，P (21,23)8 解设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t x 232-t2max 0.5min 0.50.50.514248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M t t tt t M t y M M y t x ∴===≤=++====>∴======- 当且仅当即在时是减函数时此时课前后备注。

2023苏州中考数学第16题

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C． D．的图象可能是（）2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝x﹣1与函数y=1xA．B． C．D．3.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对4．一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．二、填空题（共24分）5．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。

(x<0)图象上的点，过点6．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kxA作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。

三、解答题7.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E。

(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长。

9.如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。

求证：△ADE∽△BEC。

10.已知△ABC和△DEF中，有ABDE =BCEF=CAFD=23，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长。

11．吉万家超市今年的营业额为280万元，计划两年后的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？12.已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个解与方程x+1x−1=3解相同。

（1）求k的值；（2）求方程x2+kx﹣2＝0的另一个解．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C，在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2根号3，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称。

高三数学填空题练习试题集

高三数学填空题练习试题答案及解析1.函数的定义域为_____________．【答案】(0，1]【解析】有，可得0<x≤1【考点】函数的定义域2.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋e x(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．【答案】ln 6－【解析】由f(x)是奇函数得f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6)－e－ln 6＝ln 6－.3.函数的最大值为 .【答案】【解析】函数的定义域为，设，，则，所以，当时，.【考点】函数最值.4.若x，y满足约束条件，则的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，即将直线经过可行域，尽可能向上移动到点时，．【考点】线性规划.5.如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，，则的周长的取值范围是_______________.【答案】.【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点，作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.6.设，向量且，则．【答案】【解析】因为a⊥c,b∥c，所以有2x-4=0且2y+4=0，解得x=2,y=-2，即，所以，则．7.甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．【答案】0.036【解析】设甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.2×0.18＝0.036.8.某程序框图如右图所示，则输出的结果S为．【答案】【解析】第一次运行,，不满足；第二次运行，，不满足；第三次运行，，满足，输出S为.【考点】算法与程序框图9.设x>0,y>0,a=x+y,b=·,则a与b的大小关系是.【答案】b<a【解析】当sin θ=0时,cos2θ=1,∴b=x<x+y=a即b<a,当cos θ=0时,sin2θ=1,b=y<x+y=a,即b<a,当sin θ≠0且cos θ≠0时,∵x>0,y>0,∴x<x+y,y<x+y,∴<,<,∴b=·<·==x+y=a.综上b<a.10.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ=.【答案】3【解析】因为+=,+=,+=,且++=0,所以++=3.11.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是.【答案】2【解析】由已知得lga+lgb=0,即ab=1,于是+==a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故+的最小值是2.12.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为________．【答案】【解析】y′＝2x－，令y′＝1，得方程2x2－x－1＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，故与直线y＝x－2平行且与曲线y＝x2－ln x相切的直线的切点坐标为(1，1)，该点到直线y＝x－2的距离d ＝即为所求13.若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．【答案】(0,1)∪(2,3)【解析】对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.14.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 .【答案】【解析】因为抛物线的焦点为所以又所以而双曲线的渐近线方程为即.解答本题需注意双曲线的焦点位置.【考点】双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.15.已知定义在上的偶函数满足:,且当时,单调递减,给出以下四个命题:①;②为函数图像的一条对称轴;③函数在单调递增;④若关于的方程在上的两根,则.以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.【答案】①②④【解析】∵，∴当时，，∴，又∵函数是偶函数，∴，∴①正确；∵，，∴，∴，又是函数图像的对称轴，∴是函数图像的对称轴，∴②正确；∵函数的周期是4，∴在上的单调性与上的单调性相同，∴在上为减函数，∴③错误；∵是函数图像的对称轴，∴方程的两根关于对称，∴，∴④正确.【考点】1.函数的周期性；2.函数的奇偶性；3.函数的对称性；4.函数的单调性.16.已知点，过点的直线总与线段有公共点，则直线的斜率取值范围为______（用区间表示）.【答案】【解析】如图，，根据斜率的定义可知，当直线逆时针转时，斜率增大，当直线顺时针转时，斜率减小，故直线的斜率取值范围为.【考点】直线斜率的计算、直线斜率的定义.17.函数的最小正周期为 .【答案】【解析】因为，，所以，函数的最小正周期为.【考点】三角函数的和差倍半公式，三角函数的性质.18.设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为 .【答案】3【解析】由题意，抛物线的准线，它和不等式共同围成的三角形区域为，目标函数为，作出可行域如下图，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，点的坐标为，此时，故答案为：3．【考点】简单线性规划．19.曲线与直线所围成的平面图形的面积为.【答案】【解析】画出图形可知，所求面积,而,，，故.【考点】定积分求面积.20.在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为 .【答案】12【解析】设正项等比数列首项为，公比为，由题意可得解得，，故其通项公式为.记，由，即化简得，，因此只须即，解得由于为正整数，因此最大为的整数部分，也就是12．故答案为12.【考点】等比数列的求和公式，一元二次不等式的解法.21.在中，分别是的对边，已知，若，则的面积等于 .【答案】【解析】因为，所以，，∴.由余弦定理得，∴.∴.【考点】1.余弦定理；2.三角形面积公式；3.平方关系.22.在处有极大值，则常数的值为________.【答案】6【解析】由题意知在处导数为零且时，，而，所以，解得，而当时，，不合题意，所以.【考点】利用导数求函数的极值、利用导数判断函数单调性.23.在展开式中的系数为,则实数的值为 .【答案】【解析】通项公式：，所以展开式中的系数为，解得：.【考点】1.二项式通项；2.二项式系数.24.设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________【答案】【解析】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．【考点】考查椭圆的定义及运算，属容易题。

高三数学不等式试题答案及解析

高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。

【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。

6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。

2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)16 极值与最值(含详解)

专题16极值与最值【考点预测】知识点一：极值与最值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点.2．函数的最值函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<<（1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者．（2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）；（2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>；不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥；不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<；不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．（3）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<；不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤；不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（4）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔<不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>（5）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；（6）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；（7）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；（8）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；（9）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；（10）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；（11）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（12）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值（不含参）题型四：求函数的最值（含参）题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用题型七：不等式恒成立与存在性问题【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数()()()1xf x a x a =--∈e R ．当1a =时，求函数()y f x =的极值；例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设()e sin x f x x =.(1)求()f x 在[],ππ-上的极值； (2)若对[]12,0,x x π∀∈，12x x ≠，都有()()1222120f x f x a x x -+>-成立，求实数a 的取值范围. 例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数ln()()eln (e 2.71828ax f x x x=-=……自然对数底数）. (1)当e a =时，求函数f （x ）的单调区间； (2)当e a >时，（i ）证明：()f x 存在唯一的极值点：（ii ）证明：()(1)e f x a <- 例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数()f x 在区间(,π)-∞上只有两个零点．例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；(2)证明：()()ln F x f x x =-有两个零点．【方法技巧与总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（） A ．6B ．15-C ．6-或15D ．6或15-例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e x f x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（） A ．-1B ．2C ．-3D ．4例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （）A ．eB ．1e 2C ．12D ．14例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,例11．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知函数322()3f x x mx nx m =-++在1x =-处取得极值0，则m n +=（） A ．2B ．7C ．2或7D ．3或9例12．（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x =--在(0,1)内有极值，则实数a 的取值范围是（）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，若2x =是()f x 的极小值点，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ． ()1,-+∞例14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()321132f x x ax x =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·全国·高三专题练习）函数()()()321112132f x x m x m x =-++-在()0,4上无极值，则m ＝______．例16．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知函数()sin f x ax x =+，()0,πx ∈．(1)当1a =时，过()0,1做函数()f x 的切线，求切线方程；(2)若函数()f x 存在极值，求极值的取值范围．例17．（2022·北京市第十二中学三模）已知函数()ln ,af x x a x=+∈R .(1)当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间； (2)设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，求a 的取值范围. 例18．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数()ln (0)xae f x x x a x =+->.(1)若1a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在两个极小值点12,x x ，求实数a 的取值范围.例19．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数()32f x x ax bx =-++．(1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <；(2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．题型三：求函数的最值（不含参）例20．（2022·江苏徐州·模拟预测）函数12()||cos f x x x =-的最小值为_____________．例21．（2022·全国·高三专题练习）函数()e ln 1x x f x x x -=+的最小值为______．例22．（2022·四川·模拟预测（文））对任意a ∈R ，存在(0,)b ∈+∞，使得1eln a b +=，则b a -的最小值为_________．例23．（2022·河南郑州·三模（文））()x f x e x =-在区间[]1,1-上的最小值是（）A ．11e+B ．1C ．1e +D ．1e -例24．（2022·全国·高三专题练习）函数1(1),[3,4]x y x e x +=+∈-的最大值为（） A ．22e -B ．55eC ．54eD ．1e --例25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()1cos 0f x ax x a =-≠. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值.例26．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）已知函数32(),1f x x bx x a x =+-+=是()f x 的一个极值点．(1)求b 的值；(2)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最大值．题型四：求函数的最值（含参）例27．（2022·北京通州·高二期中）已知函数()32392f x x x x =--+．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,a 上的最小值．例28．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数f (x )=x -m ln x -m . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )有最小值g (m )，证明：g (m ) 1e≤在(0)+∞，上恒成立. 例29．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()2ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，求()f x 在区间[]1,2上的最大值．题型五：根据最值求参数例30．（2022·河北·模拟预测）已知0a >，函数()12ag x x x+=+-在[)2,+∞上的最小值为1，则=a __________．例31．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知函数()32112132x x f x x =+-+，若函数()f x 在()22,23a a -+上存在最小值.则实数a 的取值范围是________.例32．（2022·浙江湖州·高三期末）若函数()()2221e x f x x x a +=+++存在最小值，则实数a 的取值范围是___________.例33．（2022·陕西·模拟预测（理））若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是_________．题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用例34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f （x ）＝e x ＋ax ·sin x ． (1)求y ＝f （x ）在x ＝0处的切线方程； (2)当a ＝－2时，设函数g （x ）＝()f x x，若x 0是g （x ）在（0，π）上的一个极值点，求证：x 0是函数g （x ）在（0，π）上的唯一极小值点，且e －2<g （x 0）<e ．例35．（2022·四川泸州·三模（文））已知函数()313f x x ax =-+，R a ∈．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()()xg x f x e =⋅有且只有一个极值点，求a 的取值范围．例36．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数()e sin 1xf x ax x =-+-.(1)当2a =时，求函数()f x 的极值点； (2)当12a ≤<时，试讨论函数()f x 的零点个数.例37．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()()()211e 12ax f x x ax a x =--+-(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)判断函数()f x 的极值点的个数，并说明理由.例38．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数2()e (3)ln xf x x x x=---． (1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()072e 22f x --<<-．例39．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()2ln 1f x x x x =---． (1)证明：()f x 存在唯一的极值点； (2)m 为整数，()f x m >，求m 的最大值．题型七：不等式恒成立与存在性问题例40．（2022·辽宁·二模）若关于x 的不等式ln 1e x x x ax ++≤恒成立，则实数a 的取值范围为___________. 例41．（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数()ln 2f x x x ax =++．(1)当0a =时，求()f x 的极值；(2)若对任意的21,e x ⎡⎤∈⎣⎦，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．例42．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数()ln f x x x =，()()23g x x ax a R =-+-∈.(1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()12f xg x ≥恒成立，求a 的取值范围. 例43．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()()122211ln 2x f x x x x -+=+-++-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若对1x ∀、[]20,2x ∈，使()()1212f x f x a-≤-恒成立，求a 的取值范围.例44.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数()()ln 1f x x x =+. (1)求()f x 的最小值；(2)若()()212f x x m x -++-恒成立，求实数m 的取值范围.【方法技巧与总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知0x 是函数()12sin cos 3f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（） A ．1B ．12C ．37D ．572．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（） A ．y x =B ．()ln y x =-C ．e x y x =+D ．4y x x=+3．（2022·河南新乡·二模（文））已知0a >，函数()2313f x a x x =-的极小值为43-，则=a （）AB ．1C D4．（2022·内蒙古包头·一模（理））设0m ≠ ，若x m =为函数()()()2f x m x m x n =--的极小值点，则（） A ．m n >B ．m n <C ．1nm< D ．1n m> 5．（2022·河南·模拟预测（文））当x m =时，函数()3232ln f x x x x x =-+-取得最小值，则m =（）A ．23B ．1C ．32D ．26．（2022·四川凉山·三模（理））函数()2sin 2a f x x x =-，若()f x 在(0,)2π上有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．()0,1C ．(),0∞-D ．()1,0-7．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数2()(4)()f x x x a =--，a 为实数，(1)0f '-=，则()f x 在[]22-,上的最大值是（） A ．92B ．1C ．35D ．5027-8．（2022·宁夏·高三阶段练习（文））若函数()22e xx x af x +-=在区间(,1)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围为（） A ．(),1-∞-B ．()2,1--C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．1⎫-⎪⎪⎝⎭二、多选题9．（2022·重庆·三模）已知函数()21e xx x f x ++=（e 为自然对数的底数，e 2.72≈），则关于函数()f x ，下列结论正确的是（） A ．有2个零点B ．有2个极值点C ．在()0,1单调递增D ．最小值为110．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知()e xx f x =．则下列说法正确的有（）A ．函数()y f x =有唯一零点0x =B ．函数()y f x =的单调递减区间为()(),01,-∞⋃+∞C ．函数()y f x =有极大值1eD ．若关于x 的方程()f x a =有三个不同的根．则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭11．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（） A ．x R ∀∈，()()0f x f x ≥ B ．0x -是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点12．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()e e e x xf x a x x -=-+的图象关于直线12x =对称，则下列说法正确的是（） A ．e a = B ．()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．12x =为()f x 的极小值点 D ．()f x 仅有两个零点三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()()321112132f x x m x m x =-++-在()0,4上无极值，则m ＝______．14．（2022·天津河西·二模）若函数32()9f x x ax x =+--在1x =-处取得极值，则()2f =____________． 15．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数()1ln f x x x=+的极值点为___________. 16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()3,,43,,x x a f x x x x a ≥⎧=⎨-<⎩则下列命题正确的有：___________.①若()f x 有两个极值点，则0a =或112a <<②若()f x 有极小值点，则12a >③若()f x 有极大值点，则12a >-④使()f x 连续的a 有3个取值四、解答题17．（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调增区间和极值． 18．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知函数()21xf x x a-=+． (1)若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间及其最大值与最小值． 19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三期末（文））已知函数()ln a f x x x=-.(1)若3a =-，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在3,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围.20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()32213f x x x ax =+++在()1,0-上有两个极值点，12,x x ，且12x x <． (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：当102x -<<时，()1112f x >．21．（2022·北京·人大附中三模）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极大值，求a 的取值范围.22．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数2()e e,x f x ax a =+-∈R ．（注：e 2.71828=是自然对数的底数）(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)若()f x 只有一个极值点，求实数a 的取值范围；(3)若存在b ∈R ，对与任意的x ∈R ，使得()f x b≥恒成立，求-a b 的最小值．专题16极值与最值【考点预测】知识点一：极值与最值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤（1）先确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点.2．函数的最值函数()y f x =最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()f x 最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()f x ax bx c a x x x x m x x n =++=--<<<（1）当0a >时，最大值是1()f x 与()f n 中的最大者；最小值是2()f x 与()f m 中的最小者．（2）当0a <时，最大值是2()f x 与()f m 中的最大者；最小值是1()f x 与()f n 中的最小者．一般地，设()y f x =是定义在[]m n ，上的函数，()y f x =在()m n ，内有导数，求函数()y f x =在[]m n ，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()y f x =在()m n ，内的极值（极大值或极小值）；（2）将()y f x =的各极值与()f m 和()f n 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>；不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥；不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<；不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．（3）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<；不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤；不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（4）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔<不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>（5）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；（6）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；（7）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；（8）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；（9）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤；（10）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥；（11）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（12）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．【题型归纳目录】题型一：求函数的极值与极值点题型二：根据极值、极值点求参数题型三：求函数的最值（不含参）题型四：求函数的最值（含参）题型五：根据最值求参数题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用题型七：不等式恒成立与存在性问题【典例例题】题型一：求函数的极值与极值点例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数()()()1xf x a x a =--∈e R ．当1a =时，求函数()y f x =的极值；【解析】由题知，当1a =时，()e (1)x f x x =--，x ∈R∴()e 1xf x '=-，令()0f x '=，0x =． ∴(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴0x =是()f x 的极小值点，∴()f x 的极小值为()02f =，无极大值．例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设()e sin xf x x =.(1)求()f x 在[],ππ-上的极值； (2)若对[]12,0,x x π∀∈，12x x ≠，都有()()1222120f x f x a x x -+>-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)极小值为42eπ34π (2)e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】【分析】（1）直接求导计算即可．（2）将问题转化为()()222211f x ax f x ax +>+，构造新函数()()2g x f x ax =+在[]0,π上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以． (1)由()()e sin cos 0xf x x x '=+≤，[],x ππ∈-得()f x 的单调减区间是,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理，()f x 的单调增区间是3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故()f x 的极小值为442e f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭343e 42f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭. (2)由对称性，不妨设120x x π≤<≤，则()()1222120f x f x a x x -+>-即为()()222211f x ax f x ax +>+. 设()()2g x f x ax =+，则()g x 在[]0,π上单调递增，故()()e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立. 方法一：（含参讨论）设()()()e sin cos 20xh x g x x x ax '==++≥，则()010h =>，()e 20h a πππ=-+≥，解得e 2a ππ≥. ()()2e cos xh x x a '=+，()()0210h a '=+>，()()2e h a ππ'=-.①当e a π≥时，()()2e cos sin x h x x x ''=-⎡⎤⎣⎦，故，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2e cos sin 0x h x x x ''=-≥⎡⎤⎣⎦，()h x '递增；当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2e cos sin 0x h x x x ''=-≤⎡⎤⎣⎦，()h x '递减；此时，()()(){}()()min 0,20h x h h h a e πππ''''≥==-≥，()()h x g x '=在[]0,π上单调递增，故()()()010h x g x g ''=≥=>，符合条件.②当e e 2a πππ≤<时，同①，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x '递增；当,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x '递减；∵()()02104h h a π⎛⎫''>=+> ⎪⎝⎭，()()2e 0h a ππ'=-<，∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，0,4x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00h x '=.于是，当[)00,x x ∈时，()0h x '>，()()h x g x '=单调递增；当(]0,x x π∈时，()0h x '<，()()h x g x '=单调递减.∵()010h =>，()e 20h a πππ=-+≥，∴()()()(){}min 0,0g x h x h h π'=≥≥，符合条件.综上，实数a 的取值范围是e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.方法二：（参变分离）由对称性，不妨设120x x π≤<≤，则()()1222120f x f x a x x -+>-即为()()222211f x ax f x ax +>+. 设()()2g x f x ax =+，则()g x 在[]0,π上单调递增，故()()e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立.∵()010g '=>，∴()(),e sin cos 20xg x x x ax '=++≥在[]0,π上恒成立()e sin cos 2x x x a x+⇔-≤，(]0,x π∀∈.设()()e sin cos x x x h x x+=，(]0,x π∈，则()()2e 2cos sin cos x x x x x h x x --'=，(]0,x π∈.设()2tan 1x x x ϕ=--，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则()212cos x x ϕ'=-，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.由()0x ϕ'>，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，得()x ϕ在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,4ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；由()0x ϕ'<，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，得()x ϕ在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.故0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2042x ππϕϕ⎛⎫≤=-< ⎪⎝⎭；,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时()33042x ππϕϕ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭. 从而，()cos 2cos sin cos 0x x x x x x ϕ=--<，0,,22x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，又2x π=时，2cos sin cos 10x x x x --=-<，故()()2e 2cos sin cos 0x x x x x h x x --'=<，(]0,x π∈，()()e sin cos x x x h x x+=，(]0,x π∈单调递减，()()min e h x h πππ==-，(]0,x π∈. 于是，e e 22a a ππππ-≤-⇔≥.综上，实数a 的取值范围是e ,2ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数ln()()eln (e 2.71828ax f x x x=-=……自然对数底数）. (1)当e a =时，求函数f （x ）的单调区间；(2)当e a >时，（i ）证明：()f x 存在唯一的极值点：（ii ）证明：()(1)e f x a <-【答案】(1)函数()f x 的单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)证明见详解【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数单调性；（2）利用导数判断单调性，利用零点存在性定理判断零点，进而确定极值点，利用零点代换结合函数最值处理极值的范围． (1)21ln()e ()ax x f x x--'=，构建()1ln()e x ax x ϕ=-- 当e a =时，则()1ln(e )e x x x ϕ=--在()0,∞+上单调递减，且1()0eϕ=当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0x ϕ>，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ<则函数()f x 的单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)（i ）由（1）可知：当e a >时，()ϕx 在()0,∞+上单调递减11e ()1ln 0,()10e a a a ϕϕ=-<=->∴()ϕx 在()0,∞+内存在唯一的零点011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<则函数()f x 的单调递增区间为()00,x ，单调递减区间为()0,x +∞ ∴()f x 存在唯一的极值点0x（ii ）由（i ）可知：0000ln(())el (n )x f x f x x x a -≤=∵001ln()e 0ax x --=，即001e ln()x ax -=000000ln()e 1)e (ln eln x f x x x x x a ==---，且011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()el e 1n g x x x --=在11,e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减则()1eln e g x g a a a ⎛⎫<=+- ⎪⎝⎭构建()()()e 1eln e x h x x x =-->，则()()e 1e 0x xh x -'-=>当e x >时恒成立则()h x 在()e,+∞上单调递增，则()()()e e 20e h x h ≥=->则()()e 1eln e e x x x x ->+->，即()1e eln e a a a ->+- ∴()(1)e f x a <-例4．（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()ex xf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数()f x 在区间(,π)-∞上只有两个零点．【答案】(1)存在；极小值 (2)证明见解析【解析】【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对()g x '求导后，判断()g x '的单调性，结合零点存在性定理可得结果；（2）当0x <时，利用单调性得()0f x <恒成立，此时()f x 无零点；当0x =时，()0f x =；当0πx <<时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得()f x 在(0,π)上只有一个零点.由此可证结论正确. (1)由()sin e x xf x x =-，可得2e e 1()cos cos (e )e x x x x x xg x x x --=-=-，则2e (1)e 2π()sin sin ,0,(e )e 2x x x x x x g x x x x ----⎛⎫'=+=+∈ ⎪⎝⎭，令2()sin e x x h x x -=+，其中π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2e (2)e 3()cos cos 0(e )e x x x x x x h x x x ---'=+=+>，所以()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，即()g x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为π2π2π2(0)20,102e g g -⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g x g x '>单调递增，所以当0x x =时，函数()g x 取得极小值． (2)由e ()sin x x f x x =-，当0x <时，11e x x ->，所以()()f x g x '==1cos ex xx --0>，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()(0)0f x f <=，此时函数()f x 在(,0)-∞上没有零点；当0x =时，可得00(0)sin 00e f =-=，所以0x =是函数()f x 的一个零点；当0πx <<时，由()1()sin e sin e exx x x f x x x x =-=- ，令()e sin ,(0,π)xm x x x x =-∈，可得()1e (sin cos )x m x x x '=-+，令()ϕx 1e (sin cos )x x x =-+ 则()e (sin cos )e (cos sin )2e cos x x x x x x x x x ϕ'=-+--=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()2e cos 0x x x ϕ'=-<；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()2e cos 0x x x ϕ'=->，即()m x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为ππ2π1e 0,(π)1e 02m m ⎛⎫''=-<=+> ⎪⎝⎭，所以存在1π,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 使得()10m x '=，当()10,x x ∈时，()0m x '<；当()1,πx x ∈时，()0m x '>，又因为()1(0)0,(π)π0m x m m <==>，所以存在()21,πx x ∈使得()20m x =，即2x 是函数()f x 的一个零点．综上可得，函数()f x 在(,π)-∞上有且仅有两个零点．【点睛】关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键. 例5．（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；(2)证明：()()ln F x f x x =-有两个零点．【答案】(1)极大值，12π-；极小值，1-；(2)详见解析. 【解析】【分析】（1）由题可得()14f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，进而可得；（2）当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用导数可得函数的最小值，进而可得函数有两个零点，当37[,)44x ππ∈，7[,)4x π∈+∞时，利用导数可得()0F x >，即得. (1)∵()sin cos f x x x x =--，∴()1cos sin 14f x x x x π⎛⎫=-+=+' ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，可得2x π=-，或0x =，∴,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，∴2x π=-时，函数()f x 有极大值()122f ππ-=-，0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =-；(2)∵()()ln sin cos ln ,0F x f x x x x x x x =-=--->，∴()1()1cos sin ,0h x F x x x x x'==-+->，∴()2211sin cos 4h x x x x x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭，当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '>单调递增，即()F x '单调递增，又42()10,()2042F F ππππ''=-<=->，故存在0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0()0F x '=，所以()()()00,,0,x x F x F x '∈<单调递减，()()()03,,0,4x x F x F xπ'∈<单调递增， ∴30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()()0min 11sin1cos10F x F x F =<=--<，2222(e )e sin e cos e 20F ----=--+>，333()ln 0444F πππ=->，故30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln F x f x x =-有两个零点，当37[,)44x ππ∈0,()sin cos ln ln ln 44x F x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+≤=---=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于函数()ln x x x ϕ=-，则()1110x x x xϕ-'=-=>，又()10ϕ=， ∴37[,)44x ππ∈，()()10x ϕϕ>=，即()0F x >，此时函数()()ln F x f x x =-没有零点，当7[,)4x π∈+∞时，()sin cos ln ln ln 4F x x x x x x x x x x π⎛⎫=---=+-≥ ⎪⎝⎭，由上可知77()ln 044F x ππ≥>，故当7[,)4x π∈+∞时，函数()()ln F x f x x =-没有零点，综上，函数()()ln F x f x x =-有两个零点．【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.【方法技巧与总结】1．因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数例6．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若函数()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则a b -=（） A ．6 B ．15- C ．6-或15 D ．6或15- 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导函数()'f x ，然后根据在1x = 时()f x 有极值10，得到232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，求出满足条件的,a b ，然后验证在1x = 时()f x 是否有极值，即可求出-a b 【详解】()322f x x ax bx a =--+，2()32f x x ax b '∴=--又1x = 时()f x 有极值10∴ 232010a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，解得411a b =-⎧⎨=⎩ 或33a b =⎧⎨=-⎩当3,3a b ==- 时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥ 此时()f x 在1x = 处无极值，不符合题意经检验，4,11a b =-= 时满足题意 15a b ∴-=-故选：B例7．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（） A ．-1 B ．2 C ．-3 D ．4 【答案】B 【解析】【分析】对()f x 求导，由函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以0f a，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，对()f x 求导，求单调区间及极大值，由()f x 的极大值为4，列方程得解.【详解】解：()()()e xf x x a x b =--()2e x x ax bx ab =--+，所以()()()22e ex x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x xf x x a x a a x a x a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x '>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x '>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e ==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B 例8．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【答案】A 【解析】【分析】求出()f x '，分0a ≥，2a <-，20a -<<，2a =-分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案. 【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<；则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值.综上所述：2a <-满足条件故选：A例9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()2ln f x x ax =-的极值为12-，则=a （）A ．eB ．1e 2C ．12 D ．14【答案】C 【解析】【分析】求导得到导函数，考虑0a ≤和0a >两种情况，根据函数的单调性得到极值，计算得到答案. 【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()21122ax f x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 无极值，不符合题意；当0a >时，()2122a x a f x x⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，则()()111ln 2222f x f a ==--=-极大值，解得12a =．故选：C.例10．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（） A ．()2,2-B．(-C．⎡-⎣ D ．[]22-, 【答案】D 【解析】【分析】求()()222e x x a f x x a ⎡⎤++++⋅⎣⎦'=，由分析可得()2220y x a x a =++++≥恒成立，利用0∆≤即可求得实数a 的取值范围. 【详解】由()()22e xx a f x x =++⋅可得。

三年级（下册）数学100分综合练习卷（16）--（22）

三年级（下册）数学100分综合练习卷（16）--（22）三年级（下册）数学100分综合练习卷(16) 班别姓名座号比赛时间：40分钟满分：100分挑战计算极限，争当计算明星！加油！3×10＝80×40＝18×5＝40×60＝30÷10＝13×4＝25×20＝160×4＝300÷5＝720÷9＝16×6＝720÷0＝180÷20＝0÷90＝10×40＝12×50＝85÷5＝57÷3＝ 0＋8＝32×30＝70÷5＝25×4＝15×6＝630÷9＝450÷5＝12×40＝240÷6＝16×60＝84÷42＝600－50＝500×3＝0×930＝27×30＝84÷12＝420÷3＝910÷3＝91－59＝11×70= 1000÷5＝75÷15＝320－180＝30×40= 40＋580＝560÷4= 95÷1＝480＋90＝510÷7＝200÷4＝72÷4＝8000÷2＝102＋20＝4000÷50＝125－25×2＝50×0×8＝75＋25÷5＝32÷47×12＝45＋55÷5＝70×（40－32）＝90÷5×3＝10÷10×30＝6×（103－98）＝7＋3×0＝51－4×6＝420÷2×8＝ 750－（70+80）＝300÷2÷5＝三年级（下册）数学100分综合练习卷(17) 班别姓名座号二、笔算。

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A.- 6
C. D.
(数学4必修)第二章平面向量
［提高训练c组］
一、选择题
1.若三点A(2,3),B(3,d),C(4,b)共线，则有( )
A. a = 3,b = —5 B・a-b-¥\ =0 C. 2a- b = 3 D. a-2b = 0
2.设O<0 <27c ,己知两个向量OR = (cos&, sin。

)，
亦=(2 + sinO,2-cos&),则向量屈长度的最大值是( )
A. 72
B. V3
C. 3^2
D. 2^3
3.卜列命题正确的是( )
A •单位向量都相等
B・若2与乙是共线向量，与：是共线向量，贝叮与7是共线向量( )
C. \a + b\=\ a-b I,贝^\a-b = 0
D・若°o与％是单位向量,则&0厨=1
4.已知万，方均为单位向量，它们的夹角为60。

，那么a^b =( )
A. V7
B. Vio
C. V13
D. 4
5.已知向量d ,乙满足”1 = 1" =4,且Q.乙=2 ,则G与乙的夹角为
6.若平面向量乙与向量：=(2,1)平行，且1^1= 2^5，贝叮=(
A. (4,2) B・(一4,一2) C. (6,-3) D. (4,2)或(-4,-2)
二、填空题
1.已知向量a = (cos 0, sin ff),向量b =(73,-1) , WJ 2a-b的最大值是
2 若4(l,2),B(2,3),C(-2,5),试判断则厶ABC 的形状 ________________ .
3.若5 = (2,-2),则与2垂直的单位向量的坐标为______________ .
4.若向量G 1=1,1力=2,G—力=2,贝山方+力二____ .
5.平面向量a,方屮,已知a = (4,-3) , b =1, JEa b = 5 ,则向量方= __________ .
三、解答题
1.已知是三个向量，试判断下列各命题的真假.
(1)若乳5 =乳0且方工0,贝iJ5 = e
(2)向量万在方的方向上的投影是-•模等寸-同cos& (&是N与方的夹
角)，方向与Q在方相同或相反的一个向量・
2.证明:对于任意的a,b,c,d G R ,怛有不等式(ac+bd)2 < (a2 +/?2)(c2+d2)
3・平而向量5 = (V3,-1)J = 若存在不同时为0的实数£和r, 使
丘二万+(尸_3)方了二_転+厉,且丘丄歹，试求函数关系工弋£二.fa)・
4.如图，在直角AABC中，已知BC = a,若长为2d的线段PQ以点A 为中
点，问甩与荒
的夹角&取何值时丽•页的值最大？并求出这个方c
A D
数学4（必修）第二章平面向量［提高训练C组］
参考答案
一、选择题
1. C 殛=（1卫一3）,疋=（2』一3）,而〃紀"一3 = 20-6,2。

一/? = 3
2. C P}P2 =（2 + si n&-cos &,2-cos&-sin&）,
胴=j2（2-cos&）2+2sinS = J10-8cos&<718=3^2
3. C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当10时，7与7可以为任意向量；
G+庆i=G-亦,即对角线相等,此时为矩形，邻边垂直;还要
考虑夹角
4. C 0 + 3习二J矿+6厅方+ 9戸=Jl + 6cos600+9=V^
5. C cos0 = -^- = - = -,0 = -
砌 | 4 2 3
6 ・ D 设 b = ka = (2k,k\, 而\b\= 2^5 , 则屈
7 = 2 厉,k = ±，方二(4,2),或(一4, -2)
二、填空题
1. 4 2刁一7 = (2cos&—的,2sin& + l), 2a-h =^8 + 8sin(^-|) < V16 =4
2 直角三角形AB = (1,1), AC = (-3,3),AB AC = O,AB 丄犹
V2 V2 r V2 V2
(*亍或(-亍盲)
设所求的向量为(x,y\2x-2y = 0, x2 + y2
4.V6由平行四边形屮对角线的平方和等于四边的平方和得
a+h2 + a-h =2 犷+ 2b => 万 + b =2 茁+2b -a-b =2 + 2x4 —4 = 6
5. (f，一£)= (x,y\4x-3y = 5,x2 4-y2 = = = -|
三、解答题
1.解：(1 )若a-b =a-c且万北0,贝ljb=0,这是一个假命题
因为a^b=ac,a\b-c) = O9仅得Q 丄0-c)
(2)向量刁在丘的方向上的投影是一模等于同cos& (&是刁与方的夹角)，方向与万在5相同或相反的一个向量.这是一个假命题因为向量刁在方的方向上的投影是个数量，而非向量.
3. a =2, b = \
4. 解:•・•而丄 AC y
.\ABAC = 0. -AP = -AQ,~BP = AP-AB y CQ = AQ-AC,
.\~BPCQ =(AP-AB)(AQ-AC) = APAQ-APAC-ABAQ + ABAC
= -tz 2-AP AC + AB AP
=-a 2-AP (AB-^C)
2. 证明：设x = (a,b),y = (c,d) , WO x y = ac + bd,\x = yla 2 +/??, y = >Jc~ +cl 而丘 y
= |j||y|cos 3,\x y = x y|cos^ < x y
即 \x y < |^||.y| » 得 |ac + bd| 5 J a? +/?2 Jc? +c 厂
・・・(ac + bd)2 <(a 2 +/?2)(c 2 +d?)
i R
解：由 a = ^-l).b =(-,-)得 [a + (f 2 一3)b] (-ka +tb) = 0-ka 2+td b-k (r 2 -3)ab+t(t 2-3)b 2 = 0 _4R + F _ 3/ = 0,R =丄(r 3-3f ),/(/) = - (? 一 3r) 4 4
= -a 2 +-PQBC = -a 2 +-PQBC
— —a 1 + a 2 cos 0.
故当cos 。

= 1,即& = ()(P0与向相同)时,BP • C0最大.其最大值为0. Q H。