第1章 数学基础2-脉冲函数和卷积.ppt
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《现代光学》课件第1章
(1.1-28)
29
第1章 现代光学的数学物理基础
可将r0、r1和r的表达式作泰勒展开，取旁轴近似为 (1.1-29)
30
第1章 现代光学的数学物理基础
由于振幅随r的变化比较缓慢，故振幅因子中的r可作 近似： r≈d，于是得到旁轴近似条件下轴外点光源发出的 球面波在(x,y,z1)面上的复振幅分布的表达式为
(1.1-22)
21
第1章 现代光学的数学物理基础
3. 柱面波 均匀无限长同步辐射的线光源发出的光波为柱面波。 柱面波的特征是： 相位间隔为2π的等相面是一组等间距同 轴柱面，光波场中各点的振幅与该点到轴线的距离的平方 根成反比。
22
第1章 现代光学的数学物理基础
图1.1-3 柱面波示意图
23
第1章 现代光学的数学物理基础
复振幅为
令 (1.1-24)
25
第1章 现代光学的数学物理基础
对于给定的观察面，z1为常量，则U0也是与x、y无关 的常量。显然U0不影响该面上复振幅的相对分布。于是该 观察面上的复振幅可简写为
(1.1-25)
26
第1章 现代光学的数学物理基础
2. 球面光波场中任意平面上的复振幅 这里以发散球面波为例讨论。如图1.1-4所示，点光源 Q(x0,y0)在(x0,y0,z0)面内，观察点P(x,y)在(x,y,z1)面内，两平 面间距离为d=z1－z0。Q到P的矢径为r，z0到P的矢径为r0， Q到z1的矢径为r1，这些矢径的长度分别为
由式(1.1-4)与式(1.1-2)，可以给出相应的光学拉格朗 日函数定义：
(1.1-5) 此处，z可假定起着与拉格朗日力学中的时间相同的作用。 与经典力学中的情况类似，我们同样能够引入哈密顿量。 根据经典力学中广义动量p和q的定义:
29
第1章 现代光学的数学物理基础
可将r0、r1和r的表达式作泰勒展开，取旁轴近似为 (1.1-29)
30
第1章 现代光学的数学物理基础
由于振幅随r的变化比较缓慢，故振幅因子中的r可作 近似： r≈d，于是得到旁轴近似条件下轴外点光源发出的 球面波在(x,y,z1)面上的复振幅分布的表达式为
(1.1-22)
21
第1章 现代光学的数学物理基础
3. 柱面波 均匀无限长同步辐射的线光源发出的光波为柱面波。 柱面波的特征是： 相位间隔为2π的等相面是一组等间距同 轴柱面，光波场中各点的振幅与该点到轴线的距离的平方 根成反比。
22
第1章 现代光学的数学物理基础
图1.1-3 柱面波示意图
23
第1章 现代光学的数学物理基础
复振幅为
令 (1.1-24)
25
第1章 现代光学的数学物理基础
对于给定的观察面，z1为常量，则U0也是与x、y无关 的常量。显然U0不影响该面上复振幅的相对分布。于是该 观察面上的复振幅可简写为
(1.1-25)
26
第1章 现代光学的数学物理基础
2. 球面光波场中任意平面上的复振幅 这里以发散球面波为例讨论。如图1.1-4所示，点光源 Q(x0,y0)在(x0,y0,z0)面内，观察点P(x,y)在(x,y,z1)面内，两平 面间距离为d=z1－z0。Q到P的矢径为r，z0到P的矢径为r0， Q到z1的矢径为r1，这些矢径的长度分别为
由式(1.1-4)与式(1.1-2)，可以给出相应的光学拉格朗 日函数定义：
(1.1-5) 此处，z可假定起着与拉格朗日力学中的时间相同的作用。 与经典力学中的情况类似，我们同样能够引入哈密顿量。 根据经典力学中广义动量p和q的定义:
信息光学基础1-3卷积
03. 数学基础3： 卷积
学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的 两个效应
展宽效应：卷积非零值 范围等于被卷积两函数 的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出 二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1
学习目标： – 了解卷积运算的定义. – 熟练掌握卷积运算. – 了解卷积的物理意义.
2016/10/8
– 01 卷积的定义 – 02 卷积的物理意义 – 03 卷积的性质 – 04 卷积的matlab实现
为什么要引入卷积运算？
物
成像系统
像
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
3）线性/分配律
a、b ——任意常数
[af (x, y) bh(x, y)] g(x, y) af (x, y) g(x, y) bh(x, y) g(x, y)
f (x, y) [ah(x, y) bg(x, y)] af (x, y) h(x, y) bf (x, y) g(x, y)
卷积结果
y (t )
15 8 9 8
3 -1 0 1
2
2
t 2
卷积的 两个效应
展宽效应：卷积非零值 范围等于被卷积两函数 的非零值范围之和。
平滑效应
卷积运算实例1: 计算rect(x)*rect(x)
解：1.用哑元画出 二个 rect()
2.将rect()折叠后不变;
rect() 1
2 y2 l / 2
[ (x+d/2) - (x-d/2)]
卷积的运算实例2
1） rect( x ) rect( x )
a
a
2）设有两函数分别为 f (x) (x)step(x) ，
h(x) rect( x 1) 求：g(x)=f (x) h(x) 。 2
f1( ) f2(t ) 2
1 0.5
-1 0 t 1 1 t 1
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积.ppt
R1 i t
C
L
iL 0
et
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在 t 0 时刻的等效
电路如下图所示.电路将在 作.
vc
0
和iL
0
的作用下工
R1
C
L
iL 0
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
根据上图系统满足微分方程
d2 dt 2
izi
0
2 3 2 0
第2章 连续系统的时域分析 解得特征根为
1 1, 2 2
所以，齐次解为
yc (t) c1e-t c2e-2t
由于f(t)=t2，因此，设特解为
yp (t) p2t2 p1t p0
将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有
2 p2t 2 (2 p1 6 p2 )t (2 p0 3 p1 2 p2 ) 2t 2 2t
dt
给定0-状态起始值为r 0- ，确定它的0+状态r 0+ 。
第2章 连续系统的时域分析
设： d r t a ' t b t cu t （#）
dt
积分一次 0 t 0 得
r t a t but （*）
将（#）式和（*）式代入原方程
a ' t b t cu t 3a t bu t 3 ' t
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，
因而有：
i 0+
=
1 R1
e 0+
vc
0+
1 1
4
6 5
14 5
A
d dt
i
C
L
iL 0
et
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在 t 0 时刻的等效
电路如下图所示.电路将在 作.
vc
0
和iL
0
的作用下工
R1
C
L
iL 0
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
根据上图系统满足微分方程
d2 dt 2
izi
0
2 3 2 0
第2章 连续系统的时域分析 解得特征根为
1 1, 2 2
所以，齐次解为
yc (t) c1e-t c2e-2t
由于f(t)=t2，因此，设特解为
yp (t) p2t2 p1t p0
将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有
2 p2t 2 (2 p1 6 p2 )t (2 p0 3 p1 2 p2 ) 2t 2 2t
dt
给定0-状态起始值为r 0- ，确定它的0+状态r 0+ 。
第2章 连续系统的时域分析
设： d r t a ' t b t cu t （#）
dt
积分一次 0 t 0 得
r t a t but （*）
将（#）式和（*）式代入原方程
a ' t b t cu t 3a t bu t 3 ' t
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，
因而有：
i 0+
=
1 R1
e 0+
vc
0+
1 1
4
6 5
14 5
A
d dt
i
单位脉冲函数与其他函数的卷积关系
一、概述单位脉冲函数是信号与系统理论中的重要概念，也是许多信号处理问题的基础。
在信号处理中，卷积运算是一种重要的数学工具，可以用来描述系统对信号的响应。
本文将探讨单位脉冲函数与其他函数的卷积关系，分析单位脉冲函数在卷积中的作用，以及与其他函数的卷积结果。
二、单位脉冲函数的定义单位脉冲函数在连续时间中通常用δ(t)表示，在离散时间中通常用δ[n]表示。
其定义如下：1. 连续时间单位脉冲函数：δ(t) = {1, t = 0;0, t ≠ 0.}2. 离散时间单位脉冲函数：δ[n] = {1, n = 0;0, n ≠ 0.}单位脉冲函数在t=0（或n=0）处取值为1，其余位置处取值为0。
三、单位脉冲函数与其他函数的卷积在信号处理中，卷积运算描述了两个信号之间的响应关系。
对于连续时间信号f(t)和g(t)的卷积定义如下：(f * g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ对于离散时间信号f[n]和g[n]的卷积定义如下：(f * g)[n] = ∑f[k]g[n-k]现在我们来探讨单位脉冲函数与其他函数的卷积关系。
四、单位脉冲函数与自身的卷积对于连续时间单位脉冲函数δ(t)，与自身进行卷积运算的结果如下：(δ * δ)(t) = ∫δ(τ)δ(t-τ)dτ= δ(t)可见，连续时间单位脉冲函数与自身卷积的结果仍为单位脉冲函数。
对于离散时间单位脉冲函数δ[n]，与自身进行卷积运算的结果如下：(δ * δ)[n] = ∑δ[k]δ[n-k]= δ[n]同样地，离散时间单位脉冲函数与自身卷积的结果仍为单位脉冲函数。
五、单位脉冲函数与其他信号的卷积1. 单位脉冲函数与连续时间矩形信号的卷积考虑连续时间矩形信号r(t)，其表达式为：r(t) = {1, |t| < a;0, |t| > a.}其中a为常数，表示矩形信号的宽度。
与单位脉冲函数进行卷积运算，可得：(δ * r)(t) = ∫δ(τ)r(t-τ)dτ= r(t)这表明，单位脉冲函数与连续时间矩形信号卷积的结果仍为矩形信号。
§2.4 卷积
f1(τ ) ⋅ f2 (t −τ )
乘积的积分
∫
∞
−∞ 1
f (τ )Байду номын сангаас f2 (t −τ )dτ
卷积的图示
f1 (t )
f 2 (t )
1
0 .5 0
求f1 (t ) ∗ f 2 (t )的步骤： 第一步：将函数f1 (t ), f 2 (t )的自变量用τ 代换
f1 (τ ) f 2 (τ )
f (t) = ∫ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
−∞
∞
1. f1(t) → f1(τ ) 积分变量改为 2.
倒 置
τ
对τ延时t， －(τ- t)= t- τ 积分结果为t 的函数
f2 (t) → f2 (τ ) f2 (−τ ) → f2 (t −τ ) → 时延
3.相乘 相乘
一群神人！没有他们，世界将会怎样？ 一群神人！没有他们，世界将会怎样？
认识卷积
从数学的角度分析： 从数学的角度分析： 信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号 空间，通常就是时域到频域，（还有z域 域），信 ，（还有 空间，通常就是时域到频域，（还有 域，s域），信 号的能量就是函数的范数（信号与函数等同的概念）， 号的能量就是函数的范数（信号与函数等同的概念）， 大家都知道有个Paserval定理就是说映射前后范数不 大家都知道有个 定理就是说映射前后范数不 在数学中就叫保范映射， 变，在数学中就叫保范映射，实际上信号处理中的变 换基本都是保范映射，只要 换基本都是保范映射，只要Paserval定理成立就是保 定理成立就是保 范映射（就是能量不变的映射）。 范映射（就是能量不变的映射）。
欧拉于1707年出生在瑞士巴塞尔。1720年他十三岁时 年出生在瑞士巴塞尔。 欧拉于 年出生在瑞士巴塞尔 年他十三岁时 就考入了巴塞尔大学，起初他学习神学， 就考入了巴塞尔大学，起初他学习神学，不久改学数 他十七岁在巴塞尔大学获得硕士学位， 学。他十七岁在巴塞尔大学获得硕士学位，二十岁受 凯瑟林一世的邀请加入圣彼得斯堡科学院。 凯瑟林一世的邀请加入圣彼得斯堡科学院。他二十三 岁成为该院物理学教授，二十六岁就接任著名数学家 岁成为该院物理学教授， 但尼尔·伯努利的职务，成为数学所所长。两年后， 但尼尔 伯努利的职务，成为数学所所长。两年后， 伯努利的职务 他有一只眼睛失明，但仍以极大的热情继续工作， 他有一只眼睛失明，但仍以极大的热情继续工作，写 出了许多杰出的论文。 出了许多杰出的论文。
常用脉冲序列及其应用PPT课件
诊断准确性
通过使用不同的脉冲序列参数，医生可以获得不同分辨率、对比度和组织特异性的图像， 从而提高诊断准确性。
临床应用
脉冲序列在临床中广泛应用于脑部、心脏、肝脏、骨骼等部位的成像，帮助医生准确判断 病变位置、大小和性质。
物质检测
01 02
物质检测
脉冲序列在物质检测中也有广泛应用，如光谱分析和化学分析。通过发 送脉冲信号激发物质中的原子或分子，接收它们返回的信号，可以了解 物质的成分和结构。
面临的挑战与展望
技术瓶颈与挑战
目前，脉冲序列技术的发展仍面临一些技术瓶颈和挑战，如信号噪声比、成像 深度等问题的制约。
未来展望
随着科研人员的不断努力和技术的发展，相信未来脉冲序列技术将会取得更大 的突破，为医学影像领域带来更多的创新和变革。
05 结论
脉冲序列的重要地位
01
脉冲序列是MRI技术的核心组成 部分，对于获取高质量的MRI图 像起着至关重要的作用。
加强国际合作与交流，共同推动脉冲 序列技术的创新和发展，为全球医学 影像技术的发展做出贡献。
感谢您的观看
THANKS
物理实验
在物理学实验中，脉冲序列用于研究物质的基本性质，如 电子、原子和分子的行为。
生物医学研究
在生物医学研究中，脉冲序列用于研究生物组织的生理和 生化过程，如神经传导、心脏功能和药物作用机制等。
04 脉冲序列的发展趋势与展 望
技术创新与优化
持续研发新型脉冲序列
随着技术的不断进步，科研人员正致 力于开发出更加高效、快速的脉冲序 列，以满足临床和科研的需求。
科学研究
脉冲序列在科学研究中也发挥了 重要作用，可用于研究物质的微 观结构和宏观性质，如化学、物
理、生物学等领域。
通过使用不同的脉冲序列参数，医生可以获得不同分辨率、对比度和组织特异性的图像， 从而提高诊断准确性。
临床应用
脉冲序列在临床中广泛应用于脑部、心脏、肝脏、骨骼等部位的成像，帮助医生准确判断 病变位置、大小和性质。
物质检测
01 02
物质检测
脉冲序列在物质检测中也有广泛应用，如光谱分析和化学分析。通过发 送脉冲信号激发物质中的原子或分子，接收它们返回的信号，可以了解 物质的成分和结构。
面临的挑战与展望
技术瓶颈与挑战
目前，脉冲序列技术的发展仍面临一些技术瓶颈和挑战，如信号噪声比、成像 深度等问题的制约。
未来展望
随着科研人员的不断努力和技术的发展，相信未来脉冲序列技术将会取得更大 的突破，为医学影像领域带来更多的创新和变革。
05 结论
脉冲序列的重要地位
01
脉冲序列是MRI技术的核心组成 部分，对于获取高质量的MRI图 像起着至关重要的作用。
加强国际合作与交流，共同推动脉冲 序列技术的创新和发展，为全球医学 影像技术的发展做出贡献。
感谢您的观看
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物理实验
在物理学实验中，脉冲序列用于研究物质的基本性质，如 电子、原子和分子的行为。
生物医学研究
在生物医学研究中，脉冲序列用于研究生物组织的生理和 生化过程，如神经传导、心脏功能和药物作用机制等。
04 脉冲序列的发展趋势与展 望
技术创新与优化
持续研发新型脉冲序列
随着技术的不断进步，科研人员正致 力于开发出更加高效、快速的脉冲序 列，以满足临床和科研的需求。
科学研究
脉冲序列在科学研究中也发挥了 重要作用，可用于研究物质的微 观结构和宏观性质，如化学、物
理、生物学等领域。
卷积的性质 ppt课件
f1 1 u(t 1)
f 2 e(t1)u(t 1)
s f1 f2 [1 u(t 1)] [e(t1)u(t 1)]
ppt课件
18
1* e (t1)u(t 1) u(t 1) e (t1)u(t 1)
e ( 1)u(
= r(t) r(t1) – r(t 2) + r(t-3)
ppt课件
4
一.卷积代数
mutative law f1 f2 f2 f1
f (t) h(t) f h
h(t )
h f
f(t)
2.distributive law f1 [ f2 f3 ] f1 f2 f1 f3
d 2r d 2t
h(t) (t) r(t) 2 (t 1) (t 2)
h3(t) r(t)
ppt课件
25
点评:本题是求反卷积的问题。 利用了sintu(t) 两次求导后出现冲激函数 和自身，具有这一特点的函数，求反卷积 用本例的方法比较简单。
ppt课件
26
16
4.P85.2-19(b) f1 1 1
解:方法一:t<0时:
f 2 e(t1)u(t 1)
－1
t 1
f1 f2
1 e(t 1)d
e(t1)
e
e0
0 1
t>0时:
1
t 1
2 e f1 f2 e(t 1)d 2e(t 1)d
y‘ zs
(t
)
f
’(t) h(t)
f '(t) (t) etu(t)带入上式，有
广义函数、脉冲函数的基本概念与性质
广义函数、脉冲函数的基本概念与性质广义函数、脉冲函数的基本概念与性质 1 广义函数的产生一般地，给定非空数集A、B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A 到集合B的一个函数。
函数是数与数之间的一种对应关系，是经典数学分析的一个基本概念，是代数学中最重要的概念之一。
自然科学的发展表明，古典的函数概念是不够的，或是不完全适合的。
于是，广义函数论随之兴起。
广义函数包括通常的函数在内，甚至更广。
它应是无限次可导和自由地进行极限交换。
广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支，例如微分方程、随机过程、流形理论等等，它还被应用到群的表示理论，特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。
历史上第一个广义函数是由物理学家P。
A。
M。
狄拉克引进的，他因为陈述量子力学中某些量的关系时需要引入了“函数”:当x?0时，=0，但x=0时，=?。
,x,x,x，，，，，，按20世纪前所形成的古典数学概念是无法理解这样奇怪的函数的。
然而物理学上一切点量，如点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力、瞬时源等物理量用它来描述不仅方便、物理含义清楚，而且当它被当作普通函数参加运算，如对它进行微分和傅里叶变换，将它参与微分方程求解等所得到的数学结论和物理结论是吻合的。
这就迫使人们要为这类怪函数确立严格的数学基础。
最初理解的方式之一是把这种怪函数设想成直线上某种分布所相应的“密度”函数。
所以广义函数又称为分布，广义函数论又叫做分布理论。
用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。
后来随着泛函分析的发展，L。
施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论，接着И。
盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。
2 广义函数的定义把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。
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二、性质
1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证)
设f(x)在x0点连续, 则
f (x)d (x x0 )dx f (x0 )
通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.
2. 缩放性质 scaling
d (ax) 1 d (x)
证明思路:二者对检验函数在
a
积分中的作用相同.(练习) 推论: d (x)是偶函数
n
b f (x0 nb)d [x (x0 nb)] n
练习 1-7 画函数图形
(1)
f1(
x)
1 a
c
omb
x a
rec
t
x 5a
(2)
f
2
(
x)
1 a
comb
x a
rec
t
xa 5a
n
n
利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.
f(x)
comb(x)
x.
0
0
x=
二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)
x 0y
x
练习
1-4：已知连续函数f(x)，若x0>b>0,利用d 函
数可筛选出函数在x= x0+b的值，试写出 运算式。 1-5: f(x)为任意连续函数， a>0, 求函数
卷积 概念的引入：
a
回到前面的例题
f (x )
x
1/f0
x
探测器输出的光功率分布:
g(x)
xa 2
f
(x )dx
f
(x )rect( x
x )dx
f
(x) rect( x )
xa 2
a
a
计算这个卷积:
g(x)
f
(x) rect
x
xa 2
f
(x )dx
§1-2 脉冲函数 d -Function
一、定义 (续)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则
d (x) 0, x 0
d
-
( x)f
( x)dx
f
( 0)
f(x)称为检验函数.
d -函数的图示:
d (x)
1 x
0
d (x,y)
y
1
x
0
§1-2 d -函数
f(x)=2+cos(2f0x)
练习
若 f (x) h(x) g(x) 证明： h(x) f (x) g(x)
证:
h(x) f (x) h(x ) f (x x )dx f (x x )h(x )dx
令 x-x = x’
f (x')h(x x')d(x') f (x')h(x x')dx'
x0-1/2 x0 x0+1/2
面积的值 即为g(x0).
|x| >1; g(x) = 0
g(x) 1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
x
-1 0 1
rect(x)*rect(x) = tri(x)
g(x)= f(x)[d(x+a) d(x-a)]
并作出示意图。 1-6：已知连续函数f(x)， a>0和b>0 。求出
下列函数：
(1) h(x)= f(x)d(ax-x0)
(2) g(x)= f(x)comb[(x- x0)/b]
§1-2 d -函数 练习
1-4:
f (x)d [x (x0 b)]dx f (x0 b)
§1-3 卷积 convolution
三、计算方法--借助几何作图
步骤:
1.用哑元 画出函数f()和h(); 2.将h()折叠成h(-);
3.将h(-)移位至给定的x, h[-( -x)]= h(x -);
4.二者相乘;
f()
h()
1/3
0
46
f()
1/5 0
1/3
0
46
-9
h(x-)
59
h(-)
1/5 -5 0
5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).
练习: 计算
rect(x)*rect(x)
x-9 x-5
g(x) 2/15
0
x0 4 6
x 9 11 13 15
§0-3 卷积 convolution
三、计算方法--几何作图法
练习: 计算
rect(x) *rect(x)
f (x')h(x x')dx' g(x)
作业 1-8
若 f (x) h(x) g(x)
证明：
f (x x0 ) h(x) g(x x0 )
§1-3 卷积 convolution
四、性质
1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x)
f (x)rect( x
x)dx
f
(x )rect (
x x )dx
xa 2
a
a
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入 (II)
物体分布
成像系统
像平面分布
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
1-5: g(x) = f(x)[d (x+a)-d (x-a)] = f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a) = f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)
作图
1-6:
h(x) = f(x) d (ax- x0)
d a x
x0 a
1 a
§1-2 脉冲函数 d -Function
一、定义
定义1. d (x) 0, x 0
d (x)dx 1
-ห้องสมุดไป่ตู้
可描述: 单位质量质点的密度,
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满:足:
lnim fn ( x) 0, x 0
- fn (x)dx 1
a xa2
xa 2
[2
xa 2
cos(2f0x )]dx
2a
sin[2f0 (x
a 2)] sin[2f0 (x 2f0
a 2)]
2a
cos(2f 0 x) sin(f 0 a) f0
a2
sin
c(
f0a) cos(2f0x)]
讨论这个结果
f(x 2)h(x-x 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果. 需用卷积运算来描述
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入
物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
x
f(x 2)h(x-x 2) x
即任意函数与d(x) 卷积后不变
利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a
a
a
=
b
*
b
作业
1-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的 透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数 为N.
则 lim n
fn
( x)
d
( x)
单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度,
fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx),
单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等.
等等.
物理系统已无法分
辨更窄的函数
练习: 画出rect(x), 10rect(10x), sinc(x), 10sinc(10x) 的示意图.
5. 卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 则
f x h x b g x b b b
§1-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f (x) d (x) f (x )d (x x )dx f (x)
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入
例题
用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x)
扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出 光强分布。
卷积 概念的引入
a
1. 筛选性质 sifting (由定义3直接可证)
设f(x)在x0点连续, 则
f (x)d (x x0 )dx f (x0 )
通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.
2. 缩放性质 scaling
d (ax) 1 d (x)
证明思路:二者对检验函数在
a
积分中的作用相同.(练习) 推论: d (x)是偶函数
n
b f (x0 nb)d [x (x0 nb)] n
练习 1-7 画函数图形
(1)
f1(
x)
1 a
c
omb
x a
rec
t
x 5a
(2)
f
2
(
x)
1 a
comb
x a
rec
t
xa 5a
n
n
利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.
f(x)
comb(x)
x.
0
0
x=
二维梳状函数: comb(x,y)= comb(x) comb(y)
x 0y
x
练习
1-4：已知连续函数f(x)，若x0>b>0,利用d 函
数可筛选出函数在x= x0+b的值，试写出 运算式。 1-5: f(x)为任意连续函数， a>0, 求函数
卷积 概念的引入：
a
回到前面的例题
f (x )
x
1/f0
x
探测器输出的光功率分布:
g(x)
xa 2
f
(x )dx
f
(x )rect( x
x )dx
f
(x) rect( x )
xa 2
a
a
计算这个卷积:
g(x)
f
(x) rect
x
xa 2
f
(x )dx
§1-2 脉冲函数 d -Function
一、定义 (续)
定义3: 设任意函数f(x)在x = 0点连续, 则
d (x) 0, x 0
d
-
( x)f
( x)dx
f
( 0)
f(x)称为检验函数.
d -函数的图示:
d (x)
1 x
0
d (x,y)
y
1
x
0
§1-2 d -函数
f(x)=2+cos(2f0x)
练习
若 f (x) h(x) g(x) 证明： h(x) f (x) g(x)
证:
h(x) f (x) h(x ) f (x x )dx f (x x )h(x )dx
令 x-x = x’
f (x')h(x x')d(x') f (x')h(x x')dx'
x0-1/2 x0 x0+1/2
面积的值 即为g(x0).
|x| >1; g(x) = 0
g(x) 1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x 0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
x
-1 0 1
rect(x)*rect(x) = tri(x)
g(x)= f(x)[d(x+a) d(x-a)]
并作出示意图。 1-6：已知连续函数f(x)， a>0和b>0 。求出
下列函数：
(1) h(x)= f(x)d(ax-x0)
(2) g(x)= f(x)comb[(x- x0)/b]
§1-2 d -函数 练习
1-4:
f (x)d [x (x0 b)]dx f (x0 b)
§1-3 卷积 convolution
三、计算方法--借助几何作图
步骤:
1.用哑元 画出函数f()和h(); 2.将h()折叠成h(-);
3.将h(-)移位至给定的x, h[-( -x)]= h(x -);
4.二者相乘;
f()
h()
1/3
0
46
f()
1/5 0
1/3
0
46
-9
h(x-)
59
h(-)
1/5 -5 0
5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).
练习: 计算
rect(x)*rect(x)
x-9 x-5
g(x) 2/15
0
x0 4 6
x 9 11 13 15
§0-3 卷积 convolution
三、计算方法--几何作图法
练习: 计算
rect(x) *rect(x)
f (x')h(x x')dx' g(x)
作业 1-8
若 f (x) h(x) g(x)
证明：
f (x x0 ) h(x) g(x x0 )
§1-3 卷积 convolution
四、性质
1. 卷积满足交换律 Commutative Property f(x)*h(x) = h (x)* f (x)
f (x)rect( x
x)dx
f
(x )rect (
x x )dx
xa 2
a
a
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入 (II)
物体分布
成像系统
像平面分布
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
1-5: g(x) = f(x)[d (x+a)-d (x-a)] = f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a) = f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)
作图
1-6:
h(x) = f(x) d (ax- x0)
d a x
x0 a
1 a
§1-2 脉冲函数 d -Function
一、定义
定义1. d (x) 0, x 0
d (x)dx 1
-ห้องสมุดไป่ตู้
可描述: 单位质量质点的密度,
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满:足:
lnim fn ( x) 0, x 0
- fn (x)dx 1
a xa2
xa 2
[2
xa 2
cos(2f0x )]dx
2a
sin[2f0 (x
a 2)] sin[2f0 (x 2f0
a 2)]
2a
cos(2f 0 x) sin(f 0 a) f0
a2
sin
c(
f0a) cos(2f0x)]
讨论这个结果
f(x 2)h(x-x 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果. 需用卷积运算来描述
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入
物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
x
f(x 2)h(x-x 2) x
即任意函数与d(x) 卷积后不变
利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a
a
a
=
b
*
b
作业
1-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的 透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数 为N.
则 lim n
fn
( x)
d
( x)
单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度,
fn(x)可以是Nrect(Nx), Nsinc(Nx), NGaus(Nx),
单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 二维圆域函数等等.
等等.
物理系统已无法分
辨更窄的函数
练习: 画出rect(x), 10rect(10x), sinc(x), 10sinc(10x) 的示意图.
5. 卷积的缩放性质 Scaling 若f(x)*h(x) = g(x), 则
f x h x b g x b b b
§1-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f (x) d (x) f (x )d (x x )dx f (x)
§1-3 卷积 convolution
一、概念的引入
例题
用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x)
扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出 光强分布。
卷积 概念的引入
a