122-2函数的表示法(第2课时)
【高中数学教学设计】1.2.2函数的表示法
§1.2.2函数的表示法一、教学目标知识与技能1.明确函数的三种表示方法；2.了解简单的分段函数及应用；3.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。
过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法二、教学重难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象三、教学过程新课导入我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的定义域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题（一）、研探新知1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2．明确三种方法各自的特点？ （解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。
图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（二）、例题讲解例1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数． 分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略） 注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域；③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．画出函数||y x =的图象 解：由绝对值的概念，我们有所以，函数||y x =的图象如下图所示（三）、课堂练习课本第24页习题7（四）课堂小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
（五）课后作业x。
高一数学必修一课件1.2.2函数的表示法
例 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？ （1）集合A={P︱P是数轴上的点}，集合B=R，对应 关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）集合A={P︱P是平面直角坐标系中的点}，集合 B={(x，y)︱x R, y R }，对应关系f：平面直角坐标 系中的点与它的坐标对应； （3）集合A={x︱x是三角形}，集合B={x︱x是圆}， 对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）集合A={x︱x是新华中学班级}，集合B={x︱x是 新华中学的学生}，对应关系f：每一班级都对应班里 的学生.
y
王伟 张城
100 90 80 70 60 0 图1 1
赵磊
班级平均分
2
3
4
5
6
x
y
王伟 张城 赵磊 班级平均分
100 90 80 70 60 0 1 2 3 4 5 6 x
图2
在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班 为了更容易的看出学 级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀.张诚 生的学习情况，将离散的 同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波 点用虚线连接。 动，而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水 平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的 数学成绩在稳步提高.
y = -1/6（x – 4 ）2 + 6 （0≤ x ≤ 10） 当x = 0 时，y =10/3. 所以装饰物的高度为10/3m .
1.2.2
函数的表示法
新课导入
回想初中知识函数的表示方法有哪 几种？ 解析法，列表法，图象法. 用图象表示两个变量之 间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
例 1 在礼品盒的专卖店里，某种包装盒的单价是3元，
1.2.2 函数的表示法(2)
问题
如何判断一个对应关系是不是映射？
A 求 正弦 B
1
30 0
2
45 0
2 2
60 0
3
时42分36秒 云在漫步
A 求 平方 B
3
9
－3
2
4
－2
1
1
－1
2019年6月25日星期二3时42分36秒 云在漫步
A 开 平方 B
3
9
－3
4
巩固练习
P26）4
系统小结 1、函数的三种表示法及其各种的优点 2、分段函数 3、映射的概念
2019年6月25日星期二3时42分36秒 云在漫步
2019年6月25日星期二3时42分36秒 云在漫步
问题
①自变量的范围是怎样得到的？②自变量的范围为什么分 成了四个区间？区间端点是怎样确定的？③每段上的函数 解析式是怎样求出的？
2019年6月25日星期二3时42分36秒 云在漫步
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，自变量x的 取值范围是（0，20]
由公交车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x ≤ 5
中的点与它的坐标对应； (3)集合A＝｛x|x是三角形｝，集合B＝｛x|x是圆｝，对 应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； (4)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x是 新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对应班里 的学生；
2019年6月25日星期二3时42分36秒 云在漫步
y=
3, 5< x ≤ 10 4, 10<x ≤ 15
5, 15<x ≤ 20
2019年6月25日星期二3时42分36秒 云在漫步
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
高中数学复习提升-1.2.2函数的表示法
1.2.2函数的表示法（一）【学习目标】（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；【学习重难点】重点：(1)会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
(2)求函数的解析式。
难点：对函数解析式方法的掌握。
【预习自测】1、已知(3)f x x -=，则(1)f = （ ）A.4B.3C.2D.12、已知2()2f x x x =+，则(21)f x +的解析式为 。
3、已知21(),()2f x g x x x ==+，求()()f g x 的解析式。
4、已知2(1)f x x -=，求函数()f x 的解析式。
【新课讲授】引例：1.某种笔记本的单价是5元,买x(x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元,试用三种表示法表示函数y=f(x).解：①解析法：{}5,1,2,3,4,5y x x =∈②列表法③图象法知识点归纳：1.解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
2.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
3.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
辨析：优点缺点联系解析法①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出在定义域内的任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情景时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示出自变量取较少的有限值时的对应关系图象法能形象、直观地反映出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大求函数的解析式例1、求下列函数的解析式：已知f(x)为一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求函数()f x的解析式。
【练习】1.1、若一次函数()y f x=满足(())94f f x x=+，求函数()f x的解析式。
1.2.2函数的表示法
3，x>2
x2，0≤x≤1 D.f(x)＝2，1<x<2
3，x≥2
1 23 45
答案
本课结束
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解析答案
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2.f(x)的图象如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点
在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是( B )
2x2，0≤x≤1 A.f(x)＝2，1<x<2
Байду номын сангаас
3，x>2
2x2，0≤x<1 B.f(x)＝2，1≤x<2
3，x≥2
2x2，0≤x≤1 C.f(x)＝2，1<x≤2
1000
x
O
1 23 4 5
思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？ 答 三种表示方法的优、缺点比较：
优点
缺点
①简明、全面地概括了变量间的关系；
解析法 ②可以通过解析式求出任意一个自变
不够形象、直观
量所对应的函数值
不通过计算就可以直接看出与自变量 一般只能表示部分自变量
列表法
的值相对应的函数值
定义 用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系
用 图象 表示两个变量之间的对应关系 列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系
答案
[例1]某手机每台售价为1000元，现一经销商购进5部手机，试求出
售出台数x (x ∈{1,2,3,4,5})与收款数y之间的函数关系，分别用列表
法、图象法、解析法表示出来.
解析答案
典例精讲：题型一：函数解析式的求解
[例] (1)已知f(x)是一次函数， 且f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(x)．
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x) ＝2x，求f(x)的解析式．
高一1.2.2函数的表示法
1.2.2 函数的表示法一、知识点1、区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{}[]b≤≤；|=x,axba；；{}(]b≥,=+∞|axax.-x≤；{}[)x,b|∞=2、函数的表示法（1）函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.（2）分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．3、映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).4、函数值域的求法（1）观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；（2）配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；（3）判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；（4）换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.二、课堂练习1、求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.2、已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.3、求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).类型三、函数的表示方法4、求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为y 1，y 2(元)，Ⅰ. 写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？ 解：Ⅰ：y 1=50+0.4x ，y 2=0.6x ；Ⅱ： 当y 1=y 2时，50+0.4x=0.6x ，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同； Ⅲ： 若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x ， 0.4x=150 ∴x=375（分钟） 采用第二种方式：200=0.6x ，∴应采用第一种(全球通)方式.3、画出下列函数的图象（1）()⎩⎨⎧>≤=0,10,0x x x F （2）(){}3,2,1,12∈+=n n n G。
122函数的表示法(第1、2课时)
例4.已知函数
f
x
x x
2
则 f f 2 ?
x 0
, (x 0)
练习 若函数
x 1
f
(x)
f
(x
2)
(x 0) ,
(x 0)
则 f (3) ?
观察下列对应，并思考是不是函数：
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
观察下列对应，并思考是不是函数：
①开平方
3
9
-3
4
2 -2
1
1
-1
列表法表示： 笔记本数 x 1 2 3 4 5
钱数 y 5 10 15 20 25
图象法表示： 25
20 15
10 5
O
例2、画出函数 y | x | 的图象。
解：由绝对值的概念，我们有
x, x 0 y x, x 0 所以，函数 y | x | 的图象如下图所示
3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3
2, 0 x 5
y
3, 5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
2, 0 x 5
y
3, 5 x 10 4,10 x 15
5,15 x 20
5
4
3
2
1
O
5 10 15 20
我们把像例2，例3这样的函数称为分段函数。
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同 部分，有不同的对应关系的函数，对它应有以下两 点基本认识： （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几 个函数； （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值 域是各段值域的并集。
2. 列表法：
1.2.2函数的表示法
例题剖析
例3 某种笔记本的单价是5元，买x（x{1,2,3,4,5}） 个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数 y=(x)。 解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝用解 析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数表示为 笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分
■
▲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. . . .
▲
.
■ ▲
王伟
♦
▲
♦ ▲
■
■
♦
♦ 张城
▲ ■
■
♦
赵磊
60 0
1
2
3
4
5
6
x
例5 画出函数y=|x|的图象. 解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.y
5
4 3 2
1 -3 -2 -1 0 1
2 3 x
有些函数在它的定义域中，对于自变量X的不同取值 范围，对应关系不同，这样函数通常称为分段函数。
第一次 第二次 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 87 76 65 78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
y 100
90 80
70
.
班♦ 平 均 分
■
▲
. . . .
▲
应关系f，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这个