数列中的整数问题

数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+∈，则称n 为奇数；若()2n k k Z =∈，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：①奇数±奇数=偶数②奇数±偶数=奇数③偶数±偶数=偶数④奇数⨯偶数=偶数⑤偶数⨯偶数=偶数⑥奇数⨯奇数=奇数（3）若,a b Z ∈，且a b <，则1a b ≤-（4）已知,,a b R a b ∈<，若n Z ∈，且(),n a b ∈，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若aZ ∈，称a 能被b 整除，则有：①b a≤②b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。

但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ∈∈，则n 的取值只能是3,4。

所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。

（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。

（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。

通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n 项和的项数，均为正整数。

二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =____例2：若数列12-=n a n ，求,m k （*,m k N ∈）的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++= .引申探究：若将(1)中1265m m m m k a a a a +++++++= 改成1265m m m m k a a a a +++++++= 300，试求,m k （*,m k N ∈）的值.思路：由题意知65)1)(12(1=+-+=+++++k k m a a a k n n n ，由*,m k N ∈知，2112≥+>-+k k m ，所以⎩⎨⎧=+=-+511312k k m ，故⎩⎨⎧==45k m .引申探究：由题意知300)1)(12(1=+-+=+++++k k m a a a k n n n ，由*,m k N ∈知，2112≥+>-+k k m ，且112+-+k k m 与同为奇数或同为偶数，又300)1)(12(=+-+k k m ，故112+-+k k m 与同为偶数，所以⎩⎨⎧⨯=+⨯⨯=-+⎩⎨⎧⨯=+⨯⨯=-+3215521252153212k k m or k k m 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==524911k m or k m .例3：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()211122n S n n n N *=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设()(21,)313(2,)n n a n k k N f n a n k k N **⎧=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩，是否存在m N *∈，使得()()155f m f m +=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由例4：已知各项均为整数的数列{}n a 满足371,4a a =-=，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=解：（1）设前6项的公差为d ，则5363212,414a a d d a a d d=+=-+=+=-+567,,a a a 成等比数列，()()2265741421a a a d d ∴=⋅⇒-=-解得：1d =6n ∴≤时，()334n a a n d n =+-=-561,2a a ∴==，则2q =7n ∴>时，6562n n n a a q --=⋅=54,62,7n n n n a n --≤⎧∴=⎨>⎩（2）思路：由于数列{}n a 分为两部分，当5n ≥时，即为公比是2的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，5n ≥后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的m 。

解：由（1）可得：{}:3,2,1,0,1,2,4,8,n a --- 则当1m =时，1231236a a a a a a ++=-=当2m =时，2342342342342,0,a a a a a a a a a a a a ++=-=++≠当3m =时，3453450a a a a a a ++==当4m =时，4564564564563,0,a a a a a a a a a a a a ++==++≠当5m ≥时，假设存在m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=则有()531221242m m --++=即：5312277227=2m m m ---⋅=⇒5m ≥ 273m ∴-≥2732287m -∴≥=>，从而277=2m -无解5m ∴≥时，不存在这样的m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=综上所述：1m =或3m =例5：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ，3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满m n；若不存在，请说明理由.足条件的(,)例6：已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 是其前n 项和，且满足221n n a S -=，令11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为nT （1）求数列{}n a 的通项公式及nT （2）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由。

例7：已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，且()2211210,n n n n n a a a a a n N *++---=∈（1）设1n n nb a a =-，求数列{}n b 的通项公式（2）设2221222212111,n n n nS a a a T a a a =+++=+++ ，求n n S T +，并确定最小正整数n ，使得n n S T +为整数例8：已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，若4224,21n n S S a a ==+（1）求na （2）对m N *∀∈，将{}n a 中落入区间()22,2mm内项的个数记为{}mb ①求m b ②记2122m m mc b -=-，{}mc 的前m 项和记为m T ，是否存在,m t N *∈，使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在，求出,m t 的值；若不存在，请说明理由例9：已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且对任意的n N *∈，都有：311222n n n a b a b a b n ++++=⋅ ，若18a =，则：（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式（2）试探究：数列{}n b 中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它(),2r r N r ∈≥项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由解：（1）311222n n n a b a b a b n ++++=⋅ ①()211221112n n n a b a b a b n +--+++=-⋅ ②①-②可得：()()()322212122n n n n n a b n n n n +++=⋅--=+≥令1n =，则4111122a b b =⋅⇒=令2n =，则()422113248a b a d b q =⋅⇒+=令3n =，则()523311422128a b a d b q =⋅⇒+=所以有：()()2848282128d q d q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：42d q =⎧⎨=⎩44,2nn n a n b ∴=+=（2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他r 项可设为12,,,r t t t b b b ，设存在某项m b ，则12122222r r tttm m t t t b b b b =+++⇒=+++ ，设12r t t t <<< ，则同除以12t，就例10：已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，其中,a b 均为大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的n N *∈，均存在m N *∈，使得3m n a b +=成立，则n a =____________思路：本题的关键是求出,a b ，已知,a b 均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系入手尝试求,a b 的值或范围：1123,2a b a b b a ba a b <⇒<<⇒<+，所以2a bba a b<⎧⎨<+⎩，从而根据不等号方向可得：223ba a b b b b <+<+=解得：3a <，所以132a a <<⇒=，从而()1313n m n a b a m b ba -+=⇒+-+=，代入2a =可得：()()11152521n n m b b b m ---+=⋅⇒=-+，因为1,21n b Z m Z -∈-+∈，所以11215n b m -=⎧⎨-+=⎩（舍）或12115n m b -⎧-+=⎨=⎩。