2.4线段的垂直平分线
湘教版数学八年级上册2.4《作线段的垂直平分线》教学设计2
湘教版数学八年级上册2.4《作线段的垂直平分线》教学设计2一. 教材分析《作线段的垂直平分线》是湘教版数学八年级上册2.4节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了线段的基本概念、线段的性质、线段的运算等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握作线段的垂直平分线的方法，并能够应用到实际问题中。
教材通过引导学生探究线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察能力、推理能力和动手能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的基本知识，对于线段的性质和运算有一定的了解。
但是，对于如何作线段的垂直平分线，学生可能还没有直观的认识。
因此，在教学过程中，教师需要通过实物演示、动手操作等方式，帮助学生建立起对作线段垂直平分线的直观认识。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握作线段的垂直平分线的方法，并能够应用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过观察、推理、动手操作等过程，培养学生的观察能力、推理能力和动手能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：作线段的垂直平分线的方法。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握线段的垂直平分线的性质。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，引导学生理解作线段垂直平分线的方法和性质。
2.演示法：教师通过实物演示，帮助学生直观地理解作线段垂直平分线的过程。
3.动手操作法：学生通过动手操作，加深对作线段垂直平分线的理解和掌握。
4.小组讨论法：学生分组讨论，培养团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：直尺、圆规、三角板、多媒体设备等。
2.学具：直尺、圆规、三角板、练习本等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾线段的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过实物演示或者利用多媒体展示作线段垂直平分线的过程，引导学生观察和思考。
3.操练（10分钟）学生分组进行动手操作，尝试作线段的垂直平分线。
2.4线段的垂直平分线
结论
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言： ∵CD⊥AB,AO=BO ∴PA=PB
动脑筋
我们知道线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线 段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P在线 段AB的垂直平分线上吗？
(1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在 线段AB的垂直平分线上.
本课节内容 2.3
线段的垂直平分线
动脑筋
如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A′ 关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在 的直线l 与线段AA′有什么关系？
说一说
我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图
已知点A与点Ａ′关于直线l对称，如果沿直线l折 叠，则点A与点Ａ′重合，AD=A′D，∠1 =∠2 = 90°，
几何语言： ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上
例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC 的 垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证： 点O在AC的垂直平分线上.
证明∵ 点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA = OB.
同理OB = OC. ∴ OA = OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上.
根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂 直平分线上”， 要作线段AB的垂直平分线， 关 键是找出到线段AB两端距离相等的两点.
做一做
作法 ①为分 半别 径以 画点 弧，A，两B弧为相圆交心于，点以C大和于点12D；AB 的长
②过点C,D作直线CD，则直线CD就是线段AB 的垂直平分线.
做一做
因为线段AB的垂直平分线CD与线段 AB的交点就是线段AB 的中点， 所以可 以用这种方法作出线段的中点.
2.4 第2课时 作线段的垂直平分线
(1)当点P在直线l上.
这一步的目的是什么？
①在直线l 上点P 的两旁分别截
取线段PA， PB，使PA= PB；
C
1
②分别以A，B 为圆心 以大于2 AB
的长为半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP，
A
P·
Bl
则直线CP为所求作的直线.
(2) 当点P在直线l外.
①以点P 为圆心， 以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径
3. 如图，作出△ABC的BC边上的高.
A
C
B
4.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所 希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请
你确定学校的位置.
学校在连接任意两点的两条
B
线段的垂直平分线的交点处. C
A
课堂小结
线段垂直平 分线的作法
方法与 步骤
应用作图
过一点作直线的垂线
点在直线上 点在直线外
画弧， 交直线l于点A，B；
1
②分别以A，B 为圆心 以大于2 AB 的长为半径画
弧， 两弧相交于点C；
③过点C,P作直线CP，则直线CP为所
P·
求作的直线.
第一步的目的是什么？画弧的
A
半径为什么要大于P到l的距离？
Bl C
当堂练习
1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大 于 1 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，
2
半径画弧， 两弧相交于点C 和点D；
②过点C,D作直线CD，则直线CD为所求.
C
A·
E
特别说明：这个作法实际上就是
·B 线段垂直平分线的尺规作图，我
们也可以用这种方法确定线段的 D
2.4线段的垂直平分线(1)
12
O
A B
F
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线除了 具有“垂直、平分线段” 的性质外还有如下性质：
M P
线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等
A
o
N
B
线段垂直平分线的判定
到线段两端距离相等的点在线段的 垂直平分线上吗？
已知：线段AB ，PA=PB，如图， 点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 为什么？
三、线段垂直平分线的画法
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一 利用三角板过中点画垂线 方法二 尺规画法 ①分别以点A、B为圆心，大于 ½AB长为半径画弧交于点E、F ②过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB 的垂直平分线(如图) <二>想一想 1、作法中为什么要“大于½AB长为 半径”呢？ 2、为什么这样作出的直线就是线段 AB的垂直平分线呢？
线段的垂直平分线
折法、画法、性质、判定、应用
黄岗中学 孙道宏
如图,A,B表示两个仓库,要在A,B一侧的河 岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距 离相等,码头应建造在什么位置？
A● B●
驶向胜利 的彼岸
二、线段垂直平分线的折法
• 做一做： • 在半透明纸上画一条线段AB，折 纸使A与B重合，得到的折痕L就是线 段AB的垂直平分线. • 想一想： • 这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
B
A C L
线段垂直平分线的应用 已知:△ABC 的边AB,AC的垂直平分线相交 于点P.如图 说明：点P在BC的垂直平分线上 A
P
B
C
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
2.4线段垂直平分线的性质(1)
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线 段两上端点距离相等的所有点的集合
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF。
2、如图线段MN被直线AB 垂直平分，则ME=NE。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
?
PA=PB
几何语言叙述: ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上
A
C
B
这个结论是经常用来证明 点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 M 已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上. P 求证：PA=PB 证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90 度 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB
N ∴PA=PC. (到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
求证：点O在BC的垂直平分线上。 证明：连结OB。 ∵ ON是AB的垂直平分线（已知） N
例 题 扩 展
已知：在Δ ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。
A
B
C
湘教版数学八年级上册2.4《作线段的垂直平分线》说课稿1
湘教版数学八年级上册2.4《作线段的垂直平分线》说课稿1一. 教材分析《作线段的垂直平分线》是湘教版数学八年级上册第2章《几何变换》中的一个重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了线段的基本概念、线段的性质、垂线的性质等知识的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，使学生能够掌握作线段的垂直平分线的方法，理解线段垂直平分线的性质，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经具备了一定的几何知识基础，对线段的概念和性质有一定的了解。
但是，学生对作图的方法和技巧还不够熟练，对线段垂直平分线的性质的理解还需要加强。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握作线段垂直平分线的方法，理解其性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握作线段的垂直平分线的方法，理解线段垂直平分线的性质。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的几何思维能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：作线段的垂直平分线的方法，线段垂直平分线的性质。
2.教学难点：作线段的垂直平分线的具体操作方法，对线段垂直平分线性质的理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、操作实验法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入线段的垂直平分线。
2.自主学习：学生通过阅读教材，了解作线段垂直平分线的方法。
3.合作交流：学生分组讨论，交流作图的方法和体会。
4.教师讲解：教师讲解作线段垂直平分线的具体方法，解释线段垂直平分线的性质。
5.操作实验：学生利用几何画板等工具，进行作图实验。
6.巩固练习：学生完成课后练习，巩固所学知识。
7.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出教学重点。
《2.4线段的垂直平分线》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级上册
《线段的垂直平分线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本作业的设计与实施，旨在使学生能够：1. 掌握线段垂直平分线的定义和性质。
2. 理解并能够应用垂直平分线在几何图形中的基本应用。
3. 培养学生的空间想象能力和几何图形的分析能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础知识巩固：- 复习线段垂直平分线的定义，包括其几何特性和数学表达。
- 掌握线段垂直平分线的性质，如线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。
2. 习题练习：- 设计一系列基础题目，如填空题、选择题，旨在加深学生对垂直平分线基本概念的理解。
- 设计应用题，让学生通过实际操作，理解垂直平分线在几何图形中的应用。
3. 拓展延伸：- 提供一些与垂直平分线相关的实际问题或拓展题目，如利用垂直平分线解决实际生活中的测量问题等。
- 引导学生自行探索和思考，培养学生的创新意识和自主学习能力。
三、作业要求针对本次作业，提出以下要求：1. 按时完成：学生需在规定时间内完成作业，并保证字迹工整、格式规范。
2. 独立思考：鼓励学生独立思考，不抄袭他人答案或参考书籍等资料。
3. 详细过程：在解题过程中，学生需写出详细步骤和思路，以培养解题能力和逻辑思维能力。
4. 注重质量：在保证完成速度的同时，更需注重作业的质量和准确性。
学生需仔细核对答案，确保无误后提交。
5. 深化理解：在完成基本题目后，尝试理解拓展延伸部分的题目，并将其应用于实际问题中，增强理论联系实际的能力。
四、作业评价1. 评判标准：依据学生对概念的理解、解题步骤的正确性及题目的完成情况进行评分。
对于能独立创新解决问题的学生给予额外加分。
2. 评价方式：教师批改后给出分数和评语，指出学生作业中的优点和不足，并给出改进建议。
同时，鼓励学生之间互相评价，互相学习。
3. 反馈机制：将评价结果及时反馈给学生，并针对学生的不足进行指导，帮助学生更好地掌握知识点。
五、作业反馈针对学生在作业中出现的普遍问题或典型错误，进行总结并再次讲解。
湘教版数学八年级上册2.4《线段垂直平分线的性质和判定》教学设计2
湘教版数学八年级上册2.4《线段垂直平分线的性质和判定》教学设计2一. 教材分析《线段垂直平分线的性质和判定》是湘教版数学八年级上册2.4的内容。
本节课主要讲述了线段垂直平分线的性质和判定方法。
通过本节课的学习，学生能够理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了线段的基本概念和性质，如线段的度量、比较、延长等。
同时，学生也掌握了平行线的性质和判定方法。
但是，对于线段垂直平分线的概念和性质可能较为陌生，需要通过实例和引导来帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解线段垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、推理等方法，探索线段垂直平分线的性质和判定方法。
3.情感态度价值观：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，培养逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：线段垂直平分线的性质和判定方法。
2.教学难点：线段垂直平分线的判定方法的推导和理解。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，激发学生的思考和探究欲望。
2.实例法：通过具体的实例，帮助学生理解和掌握线段垂直平分线的性质和判定方法。
3.合作学习法：学生分组讨论和合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示线段垂直平分线的性质和判定方法的实例。
2.教学素材：准备一些线段和直线的教具，用于展示和操作。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习线段的基本概念和性质，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示线段垂直平分线的定义和性质，引导学生观察和思考，让学生初步了解线段垂直平分线的概念。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个线段，尝试画出其垂直平分线，并说明理由。
教师巡回指导，引导学生正确操作和推理。
2.4线段的垂直平分线(第一课时)
下列图形是轴对称图形吗？
2条
ห้องสมุดไป่ตู้无数条
四条
A
B
线段是轴对称图形吗？它的对称轴在哪？
自学指导：自学课本P45----P47页，小组完成下列问题
1.线段是轴对称图形吗？线段垂直平分线的定义是什 么？你能用数学符号语言描述线段垂直平分线的定义 吗？ 2.线段垂直平分线的性质是什么？在性质的探究（2） 中，对于垂直平分线上的任意一点P分了哪两种情况？ 你能用几何证明的方法来说明吗？ 3.到线段两端距离相等的点一定在线段的垂直平分线 上吗？也需要分类探究吗？请你说明一下。 4.如何用尺规做出已知线段的垂直平分线？明确作图 方法及步骤；在作图过程中，为什么必须以大于 1/2 1 2 AB的长为半径画弧呢？
已知：线段AB和任意一点P，满足PA=PB 求证：P点在线段的垂直平分线上
A P • B
证明：(1)当P在线段AB上时 ∵PA=PB ∴P为线段AB的中点 ∴点P在线段AB的垂直平分线上
（2）当点P不在AB上时 取AB的中点O，连接PO ∵O为AB的中点 ∴AO=BO 在△AOP与△BOP中 AO=BO OP=OP PA=PB ∴ △AOP ≌ △BOP(SSS)
已知：线段AB，直线MN是线段AB的垂直平分线 交点为O，P为MN上任意一点 求证：PA=PB 证明：（1）当P点在AB上时
∵MN是线段AB的垂直平分线 ∴P为线段AB的中点 ∴PA=PB （2）当P点不在AB上时 连接PA，PB ∵MN为线段AB的垂直平分线 ∴∠AOP= ∠BOP=90 º ，AO=BO 在△AOP与△BOP中 AO=BO ∠AOP= ∠BOP OP=OP
F
作法中为什么要“大于½AB长为半 径画弧”呢？
假若以A,B为圆心，
2.4.线段的垂直平分线(2)
单县实验中学初二数学学案课题§2.4线段的垂直平分线（第二课时）主备吴维国审核初二数学组【学习目标】1、掌握过一点作已知直线的垂线的作图。
2、通过多种形式的参与，掌握线段的垂直平分线的性质，会用它解决相关的问题。
3、自主探究，体验数学学习的快乐。
【预习导学】1、什么叫做线段的垂直平分线？2、线段的垂直平分线有哪些性质【学习过程】（一）、合作探究实验探究：用直尺和圆规怎样画已知直线的垂线呢？（自主预习课本，画已知直线的垂线）a、已知：直线l及直线上一点P求作：过点P作直线l的垂线作法：b、根据以上作法，探究如何过直线外一点作直线的垂线已知：直线l及直线外一点P求作：过点P作直线l的垂线作法：（二）、性质应用问题探究：海伦是古希腊的一位数学家、测量学家。
相传，有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l边让坐骑饮水，怎样走路程最近呢（如图）？”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理。
作法：理由：(三)、课堂练习1、如图所示，△ABC 与△DEF 是关于直线l 的对称图形，请作出对称轴l.2、如图，已知△ABC,求作AC 边上的高。
（四）、课堂小结本节课你有哪些收获？（五）、作业某大型农场拟在公路L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C ，使A 、B 两地到加工厂C 的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）。
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学以致用
1.解答前面所提出的问题： 如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A、B 两个仓库，要在江岸边建造一个码头，使它到A、 B两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 分析：（1）所建造的码头要满足几个条件？ ①在江岸边 ②到A、B两个端点 A ● O 答：码头应 的距离相等 ● B 建在点P P （2）码头位置 的位置 应为江岸边与 春陵江 线段AB的垂直 平分线的交点.
2.如图，在△ABC中，AC=15cm,AB=10cm,E是BC 的中点，若Δ ABD的周长是25cm， 求证：DE是线段BC的垂直平分线 由于E是BC的中点，根据线段垂直平分线 分析： DE⊥BC 的定义需要证明___________ A 证明 ∵Δ ABD的周长是25cm ∴AB+BD+AD=25cm D ∴BD+AD=15cm B 又CD+AD=AB=15cm C E ∴BD+AD=CD+AD ∴BD=CD 即Δ BDC是等腰三角形 ∵E是BC的中点 ∴DE⊥BC（三线合一） ∴DE是线段BC的垂直平分线
（2）如图，在△ABC中，AB< AC，BC边上的 垂直平分线DE交BC于点E，AC=15cm， Δ ABD的周长是24cm，求AB的长. A
D B
E
C
中考 如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平 试题 分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周
长等于18cm，则AC的长等于（ C ）.
学习目标
1.理解掌握线段的垂直平分线的性质定理 的逆定理，并会应用这个逆定理判断一 个点是否在线段的垂直平分线上. 2.能够运用直尺和圆规作出一条线段的垂 直平分线.
举一反三，拓展思维
1.课本70页练习2 已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明∵AC=BC ∴点C 在线段AB的垂直平分线上 ∵AD=BD ∴点D也在线段AB的垂直平分线上 ∴CD为线段AB的垂直平分线 又AB与CD相交于点O ∴AO=BO
知识应用
1.解答前面所提出的问题： 如图，现在知道点C到线段AB 两端的距离相等， 即CA=CB，点D到线段AB 两端的距离也相等， 即DA=DB，那么根据上面条件你能画出线段AB的 C 垂直平分线吗？ ①由CA=CB可知点C在什么 A B 线上？根据是什么？ D 点C 在线段AB的垂直平分线上 ②由DA=DB可知点D在什么线上？根据是什么？ 点D也在线段AB的垂直平分线上 ③由上可见直线CD是线段AB的垂直平分线吗？
线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对称轴.
探究交流：
（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的 垂直平分线 MN； M （2）在线段AB的垂直平分线MN上 P 任取一点P,连接PA，PB， （3）测量PA、PB的长度， 你有什么发现？ ● A B O PA=PB （4）你能用语言表达这个结论吗？
A.6cm
解析
B.8cm
C.10cm
D.12cm
∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等). 又∵在△BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， ∴BE+CE=10cm. ∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm. 故应选择C.
作业布置
课本72页A组2，3
如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距 离的A、B两个仓库，要在江岸边建造一个码 头，使它到A、B两个仓库的距离相等，码 头应建在什么位置?
A●
1.结合具体例子认识什么是线段的垂直 平分线，理解线段的垂直平分线所满 足的两个条件.
2.探索掌握线段垂直平分线的性质定理及 其逆定理. 3.能应用线段垂直平分线的性质定理找出 线段相等.
●
A′(A)
●
由上得到线段的垂直平分线的定义：
________ 垂直 且_______ 平分 一条线段的直线叫作这条线
段的垂直平分线.（中垂线） 用符号语言表示：如图 ∵_______ l ⊥AB ，_______ AC=BC ∴直线l 是线段AA′ 的垂直平分线
l
A C B
想一想： 线段是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？
（2） 当点P在线段AB外时, P 因为PA =PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P 作PC⊥AB，垂足为点C A● ┐ ● B C 则AC = BC. （三线合一） 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 条件：点到线段两端的距离相等 结论：这个点在线段的垂直平分线上
知识回顾
垂直 且_______ 平分 一条线段的直线叫作这条 1.________ 线段的垂直平分线. 2.线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的距离相等 ____________________________________l 3.如图，直线l 是线段AB的垂直平分线, BC ，PA=_____. PB 则PC____AB ，AC=____ ⊥ 两 点确定一条直线. 4.____ A C B P
分析：
2.已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平 分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O 在AC的垂直平分线上.
分析： 根据“到线段两端距离相等的点在线段的
OA=OC 垂直平分线上”可知需要证明__________. 证明∵点O在线段AB的垂直平分线上 ∴OA=OB 同理OB=OC ∴ OA=OC ∴ 点O 在AC的垂直平分线上 小结：判断证明一个点在线段的垂直平分线上， 需要找出这个点到线段两端的距离相等
D
C
4.自主练习交流：
（1）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线 分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°， ∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数. 解 ∵ DE是AB的垂直平分线 ∴ AE=BE ∴ ∠BAE＝∠B＝30° 又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC
∴ ∠CAE＝∠BAC-∠BAE ＝80°-30° ＝ 5 0°
提出问题
如图，现在知道点C到线段AB 两端的距离 相等，即CA=CB，点D到线段AB 两端的距 离也相等，即DA=DB，那么根据上面条件你 能画出线段AB的垂直平分线吗？
C A D B
探究交流
1.想一想： 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等，反过来，它的逆命题怎么说？ 到线段两端距离相等的点在线段的垂直 平分线上. 2.证明：已知一点P到线段AB 两端的 距离PA与PB相等，那么点P在 l 线段AB的垂直平分线上吗？ ●B A● (1) 当点P在线段AB上时， P 因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
3.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的 垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. (1)求∠ECD的度数；(2)若CE＝5，求BC长． A 解(1)∵ DE是AC的垂直平分线 ∴ EA=EC
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
E ∴ ∠ECD＝∠A＝36（等边对等角） ° (2)∵AB=AC ∠A＝36° ∴ ∠B＝∠ACB （等边对等角） B 0 -360 180 _______ ＝720 ＝ 2 又∵∠BEC＝∠A+∠ECA=72° ∴ ∠B＝∠BEC ∴ BC = EC =5 （等角对等边）
2.过一点作已知直线的垂线 由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过 在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线 上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
练习
用尺规完成下列作图 （只保留作图痕迹，不要求写出作法）.
课本72页练习1,2
作业布置
课本73页4，7
2.如图，△ABC中，AB=9cm,AC＝15cm，BC的 垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E， A 求△ABD的周长 D 解: ∵ DE是BC的垂直平分线 ∴ BD=DC B E ) C (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ∴ △ABD的周长 =AB+BD+AD =AB+DC+AD =AB+AC =9+15=24(cm) 方法小结：应用线段的垂直平分线性质定理可帮 助我们找到线段相等关系，即线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等．
N
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 相等．
探究交流：
（5）理由： ∵直线MN是线段AB 的垂直平分线， M ∴点A与点B关于直线MN对称 P ∴沿直线MN折叠，点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合 ● 于是PA= PB. A O
N 由此得出线段垂直平分线的性质定理：
B
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 条件：点在线段的垂直平分线上 结论：这个点到线段两端的距离相等
做一做 如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线
分析： 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直 平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键 是找出到线段AB两端距离相等的两点.
线段的垂直平分线的作法的应用：
1.作线段的中点.
因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点 就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出 线段的中点.
观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A 与点A′
关于线段CD 所在的直线l 对称，你发现线段 CD 所在的直线l 与线段AA′ 有哪些关系？ ①l⊥AA′ ：l 垂直AA′ ②AD=A′ D：l 平分AA′
现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如下图：
已知点A与点Ａ′ 关于直线l 对称 l 如果沿直线l折叠， 1 2 A 则点A与点Ａ′ 重合， D 所以AD=A′D，∠1 =∠2 = 90°， 即直线l 既垂直线段AA′，又平分线段AA′． 直线l 就叫做线段AA′ 的垂直平分线