数学必修四课件 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时
1.4正弦函数_余弦函数的性质(1--4)ppt.ppt
归纳：余弦函数的单调性y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k 2 , 2k ](k Z)都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间L [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 ,4 ]L上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增1 大到 。1
当x在区间 L [2 , ]、[0， ]、[2，3 ]L 上时，
曲线逐渐下降， sinα的值由 1减小到 。1
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T
2
3
2
4 3
8
3
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T
2
1
2
3
6
3
当堂检测
（1）下列函数中，最小正周期是 的函数是（ D ）
思考：
1。今天是2013年11月25日，星期一，那么7 天后是星期几？30天后呢？为什么？这是 周期现象吗？
1.4.2 正弦函数余弦函数的性质 (人教A版必修4)优秀课件
正弦函数、余弦函数的图象和性质
温馨提示：(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定 义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单 调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线) 的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°， 而 0°<104°<160°<180°， 且 y＝cosx 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°.即 sin194°>cos160°.
题型三 正、余弦函数的最值
【典例 3】 (1)求函数 y＝3－4cos2x＋π3，x∈－3π，π6的最 大值、最小值及相应的 x 值．
即函数 y＝2sin4π－x的单调递增区间为 2kπ＋34π，2kπ＋74π，k∈Z. 令 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π，k∈Z. 即 2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z. 即函数 y＝2sin4π－x的单调递减区间为 2kπ－π4，2kπ＋34π，k∈Z.
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间 时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”， 即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． (3)①ω<0 时，一般用诱导公式转化为－ω>0 后求解； ②若 A<0，则单调性相反．
高中数学必修四课件-1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)-人教A版
• O
2
1
•
2
3• 2
2
5• 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx的图象对称轴为：
y sin x(x R)
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
强化练习：
(1) sin(
18
) 与 sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx
在
[
,
]
上是增函数
22
π
π
sin( ) sin( )
18
10
（2）.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
2
3
4
5 6 x
y=sinx的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中y 心为：
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例3：下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
人教版高中数学必修四课件：1.4.2正弦余弦函数的性质 (共29张PPT)
讲授新课
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
对称轴
y=sinx的对称轴为
x
k
,
k
Z.
y=cosx的对称轴为 x k , k2 Z.
讲授新课
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
对称中心
正弦函数是周期函数，2kπ
(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最 小正周期是2π.
那余弦函数呢？
讲授新课
问题：
(3) 对于函数y sin x, x R有
sin( 2 ) sin ,
63
6
能否说 2 是它的周期?
3
讲授新课
例1. 求下列三角函数的周期： (1) y 3cos x; (2) y sin 2x;
讲授新课
正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图象，
说出函数图象有怎样的对称性？其特点
是什么？
y
1
y＝sinx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
y
1
y＝cosx
x
6 4 2
o
2 4
6
1
讲授新课
正弦、余弦函数的性质2——奇偶性
6 4 2 sin( x) sin x
y
o 2 3 4
最新人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)优质课件
对称轴：x L 5 , 3 , 1 , 1 , 3 L
2 2 222
x k ,k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
余弦函数的图象 y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x L ,0, , 2 L
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
f ( x) cos x, x R 为偶函数
2.奇偶性
探究 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数的图象
练习
▪ P 46 练习2
(1)2cos x 3 (2)sin2 x 0.5
× cos x 3 1 2
√ sin x 0.5 [1,1]
1.周期性（复习）
(1) y sin x
T 2
y Asin( x ) T 2 | |
(2) y cos x
T 2
y Acos( x ) T 2 | |
x k ,k Z
对称中心： L ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)L
22 2
2
( k ,0) k Z
2
练习
▪ 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
第一章 三角函数§1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.1.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个，使得当x 取定义域内的 时，都有，那么函数f (x )就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的 .非零常数T 填要点·记疑点每一个值f (x ＋T )＝f (x )最小正周期2.正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x ＋2k π)＝ ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.3.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y ＝sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义域都是__，定义域关于对称.sin x 周期原点R(2)由sin(－x )＝知正弦函数y ＝sin x 是R 上的 函数，它的图象关于对称.(3)由cos(－x )＝知余弦函数y ＝cos x 是R 上的偶函数，它的图象关于对称.－sin x 奇原点cos x y 轴探要点·究所然情境导学自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性.探究点一 周期函数的定义思考1 观察正弦函数图象知，正弦曲线每相隔2π个单位重复出现其理论依据是什么？答 诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.思考2 设f(x)＝sin x，则sin(x＋2kπ)＝sin x可以怎样表示？把函数f(x)＝sin x称为周期函数，那么，一般地，如何定义周期函数呢？答 f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)这就是说：当自变量x的值增加到x＋2kπ时，函数值重复出现.一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.小结 为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)＝sin x称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈Z且k≠0).思考3 正弦函数y＝sin x的周期是否唯一？正弦函数y＝sin x 的周期有哪些？答 正弦函数y＝sin x的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期.探究点二 最小正周期导引 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 周期函数不一定都有最小正周期.如：f(x)＝C(C为常数，x∈R)，对于非零实数T都是它的周期，而最小正周期不存在.思考 我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y＝sin x的周期，那么函数y＝sin x有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？答 正弦函数y＝sin x有最小正周期，且最小正周期T＝2π.小结 如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期.例如，正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的最小正周期都是2π，它们的所有周期可以表示为2kπ(k∈Z且k≠0).探究点三 函数y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期思考 求函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(或f(x)＝A cos(ωx＋φ))的最小正周期？答 由诱导公式一知：对任意x∈R，都有A sin[(ωx＋φ)＋2π]＝A sin(ωx＋φ)，探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性导引 正弦曲线余弦曲线思考1 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称.思考2 上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数.根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立.例1 求下列三角函数的周期.(1)y＝3cos x，x∈R；解 ∵3cos(x＋2π)＝3cos x，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋2π，函数y＝3cos x，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝3cos x，x∈R的周期是2π.(2)y＝sin 2x，x∈R；解 ∵sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)＝sin 2x，∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π，函数y＝sin 2x，x∈R的值才能重复出现，所以，函数y＝sin 2x，x∈R的周期是π.∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，跟踪训练1 求下列函数的周期：(1)y＝cos 2x；(3)y＝|cos x|.解 ∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函数，反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.B∴f(x)是偶函数.(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；∴f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系.解 f(x)＝sin 2x＋x2sin x，又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.∴f(x)既是奇函数又是偶函数.当堂测·查疑缺 1234BD3.已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)－2＝ .解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(－x)＝－f(x).∴f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)为奇函数.呈重点、现规律。
最新1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)教学讲义PPT课件
( 2 )f(x ) c o s x ,x R 任意xR f( x )co s( x )co sx f (x)
f(x ) c o sx ,x R 为偶函数
正弦函数的图象 y
1
P
3 5 2
2 3
2
O 3 2 5 3 x
P ' 2 1 2
xk,k Z
对称中心： ( ,0 ),(,0 ),(3 ,0 ),(5 ,0 )
22 2 2
(k,0) kZ
2
练习
▪ 为函数 ysin(2x) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x 2
C .x 12
y
D.x0
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
解：经验证，当
y
2sin(1
x
)
的值才能重复出现.
26
所以,函数 y2sin(1x),xR的周期是π
26
思考(4)
yA si n x ( )x , R .A (0, 0) T 2
yA co x s( )x , R .A (0, 0)
| |
练习
▪ 已知函数 y f(x)的周期是3，且当 x[0,3] 时， f(x)x21 ，求 f(1),f(5),f(16). 思考： f(5)52126吗？
2 6
( 4 ) y A sx i n ) x , R ( .A ( 0 , 0 )
解：（1）∵ 3 c o s(x 2 ) 3 c o sx
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2π ，函数
人教A版高中数学必修四课件1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)20130417.pptx
1.等式是si否n 成30立o ？12如0o果这s个in等30o
式成立，能否说是12正0o弦函数的一个y sin x, x R
周期？为什么？
答：等式成立.
但是不是正12弦0o函数的一个周期，因为对于
任意的，不是x 都R成立si.n x 120o sin x
例1求下列函数的周期：
(1) y 3cos x, x R; (2) y sin 2x, x R; (3) y 2sin(1 x ), x R.
期.
思考：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数的周期可 以是哪些？
答：周期函数的周期不止一个.正弦函数的周期可以是
2 , 4 , 6…以及-2 ,-4 ,-6 …事实上，任何一个 常数都2k是它(k的周Z期且.k 0)
最小正周期:如果在周期函数的f所(x有) 周期中存在一个最小的 正数,则这个最小正数叫做的最小正f周(x期) .
思考：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是多少？ 如果没有，请说明理由.
答：正弦函数存在最小正周期，是. 2
思考：通过以上的探究，你能得到正弦函数在周期性方面 的什么结论？余弦函数呢？
结论：正弦函数是周期函数，2都k是(它k Z且k 0) 的周期，最小正周期是. 2
余弦函数也是周期函数，都是它2k (k Z且k 0) 的周期，最小正周期是.2
探究：根据正弦函数、余弦函数的图象，你能说出它们具有
哪些性质吗？
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π O
π
3π 5π x
2π
4π
6π
-1 y
y=cosx
2
2
1 2
2
2
2x
O
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)
第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数 图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域 值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
π (1)y＝sin2x＋3 ；(2)y＝|cos
x|.
π π 【解析】 (1)方法一(定义法)： y＝sin2x＋3＝sin2x＋3＋2π π ＝sin2x＋π＋3 ，
【答案】A
3π f(x)＝x· sin 2 ＋x 是(
)
9
• 求三角函数的周期问题
【例 1】 ( ) A．周期为 π 的奇函数 B．周期为 π 的偶函数 C．周期为 2π 的奇函数 D．周期为 2π 的偶函数 (2015 年广东中山二模)函数
π y＝2sin2x＋2 是
3 . 2
3 . 2
20
【特别提醒】 (1)探求三角函数的周期， 常用方法是公式法， 即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利 用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇 偶性， 关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asin ωx(Aω≠0) 或 y＝Acos ωx(Aω≠0)．
所以此函数的周期是 π.
13
π 2π 方法二(公式法)：利用公式 T＝ ，得 y＝sin2x＋3 的周期 |ω|
2π 为 ＝π. 2 (2)作出函数 y＝|cos x|的图象，如图所示，
观察图象可知此函数的周期是 π.
14
• 三角函数奇偶性的判断 • 【例2】 (2015年江西宜春校级期中)下列命 题中正确是( ) • A．y＝sin x为奇函数 • B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数 • C．y＝3sin x＋1为偶函数 • D．y＝sin x－1为奇函数
1
• 1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质 • 第1课时 • 正弦函数、余弦函数的性质(一)
2
目标定位 1.了解周期函数与最小正周 期的意义 2.了解三角函数的周期性和 奇偶性 3.会求函数的周期和判断三 角函数的奇偶性
重点难点 重点：三角函数 的性质 难点：三角函数 的性质的应用
3
• 1．函数的周期性 • (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T， f(x＋T)＝f(x) 使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ____________，那么函数f(x)就叫做周期函 最小的正数 数，非零常数T叫做这个函数的周期． • (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 _________，那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期．
x，则
19
【解析】∵f(x)的最小正周期为 π，
5π 2π 2π π π － ∴f 3 ＝f 3 ＋π＝f 3 ＝fπ－3＝f 3.
又 f(x)是偶函数，
π π π ∴f－3＝f3＝sin ＝ 3 5π ∴f 3 ＝
6
2．函数 A．π C．4π
x π － ＋ y＝sin 2 4的最小正周期为(
)
B．2π π D． 2
【答案】C
7
3．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函 数 y＝f(x)的图象是( )
【答案】B
8
4．(2015 年广东深圳期末)函数 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
15
• 【解题探究】利用函数的奇偶性判断方法逐 一判断即可． • 【答案】A • 【解析】y＝sin x为奇函数，正确；y＝|sin x|，因为f(－x)＝|sin(－x)|＝|sin x|，所以函数y ＝|sin x|是偶函数；y＝3sin x＋1，可知f(－x) ＝－3sin x＋1，函数不是奇函数也不是偶函 数；y＝sin x－1，可知f(－x)＝－sin x－1，函 数不是奇函数也不是偶函数．故选A.
18
【例 3】 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函 数．若 f(x)的最小正周期是 π 且当
5π f 3 的值是多少？
π 5π 【解题探究】利用周期性将 化到0，2 内再求值． 3
• 三角函数奇偶性与周期性的简单 综合
π x∈0，2 时，f(x)＝sin
10
【解题探究】利用诱导公式化简函数 后直接求出周期和奇偶性，确定选项．
【答案】B
π y＝2sin2x＋2 ，
然
【解析】因为
π y＝2sin2x＋2 ＝2cos
2x，所以该函数是偶函
数，周期为 π.故选 B.
11
【方法规律】求三角函数周期的三种方法 (1)定义法． (2)公式法．对 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 2π 是常数且 A≠0，ω≠0)，T＝ . |ω| (3)观察法(图象法)． 其中公式法是较常用的方法．
16
• 【方法规律】判断函数奇偶性应把握好的两 个方面 • (1)看函数的定义域是否关于原点对称． • (2)看f(x)与f(－x)的关系． • 对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱 导公式先将函数式化简后再判断．
17
•
• • • • • •
(2015年安徽亳州校级期中)关于函 数f(x)＝3sin x，g(x)＝3＋cos x的奇偶性的说 法正确的是( ) A．f(x)，g(x)都是偶函数 B．f(x)，g(x)都是奇函数 C．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数 D．f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 【答案】D 【解析】函数f(x)＝3sin x，因为f(－x)＝ 3sin(－x)＝－3sin x＝－f(x)，所以f(x)是奇函
4
• 2．正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 函 数 周 期 奇偶性 y＝sin x
2kπ(k∈Z且k≠0)
奇函数
y＝cos x
2kπ(k∈Z且k≠0)
偶函数
5
• 1．想一想 • 由于sin(30°＋120°)＝sin 30°，则120°是 函数y＝sin x的一个周期吗？ • 【解析】不是．因为对于函数y＝f(x)，使f(x ＋T)＝f(x)成立的x必须取定义域内的每一个 值才可以，即x的任意性．