数列综合运用(求数列的通项公式与前项和)

数列综合运用（求数列的通项公式与前n 项和）一.数列的通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例．等差数列{}na 是递增数列，前n 项和为nS ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}na 的通项公式.2.公式法：已知nS （即12()n a a a f n +++= ）求na ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

例．已知数列{}na 的前n 项和nS 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n．求数列{}n a 的通项公式。

3.作商法：已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321na a a a n = ，则=+53a a ______ ；4.累加法： 若1()n n aa f n +-=求na ：11221()()()nn n n n aa a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

例1. 已知数列{}na 满足211=a，nn a an n ++=+211，求na 。

例2：已知数列，且a 1=2，a n +1=a n +n ，求a n.5.累乘法：已知1()n na f n a +=求na ，用累乘法：121121n n nn n a a a aa a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。

例1. 已知数列{}na 满足321=a，nn a n n a11+=+，求na 。

例2：已知n nn a a a 3,311==+,求通项a n .6.已知递推关系求na ，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如()n f pa a n n +=+1只需构造数列{}nb ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式①()n f 为常数，即递推公式为qpa an n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例1. 已知数列{}na 中，11=a，321+=+n n a a ，求na .②()n f 为一次多项式 即递推公式为srn paann ++=+1（BAn b a B ，An a bn n n n--=++=则）例．设数列{}na ：)2(,123,411≥-+==-n n a a an n ，求n a .补充：1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为qpb bn n+=-1求之.③ )(n f 为n 的二次式，则可设CBn Ana b n n+++=2;（2）递推公式为nnn qpaa +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1nn n apa rq+=+,其中p ，q, r 均为常数）（解法：该类型复杂一些。

一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：qqa qp qa nn n n 111+∙=++）引入辅助数列{}nb （其中nn nqa b=），得：qb qp bn n 11+=+再应用类型（1）的方法解决。

例. 已知数列{}na 中，651=a,11)21(31+++=n n n a a，求n a 。

（3）递推公式为n n n qa pa a+=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a-=-+++其中s ，t 满足⎩⎨⎧-==+qst p t s ，再应用前面类型（2）的方法求解。

例. 已知数列{}na 中，11=a,22=a ,nn n a a a313212+=++，求na 。

7. 倒数法（形如11n nn a a ka b--=+或11n n n n aba ka a ---=的递推数列都可以用倒数法求通项。

） 例：1,13111=+⋅=--a a a a n n n8、rnn a p a⋅=+1型该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。

两边取对数得)lg(lg 1rn n a p a ⋅=+n n a r p a lg lg lg 1+=+设n n a b lg =∴原等式变为p rb b n n lg 1+=+即变为基本型。

例．已知3,2211n n a a a ==+，求其通项公式。

二.数列的前n 项求和的求法1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+ ，222112(1)(21)6n n n n +++=++ ，33332(1)123[]2n n n +++++= .例、已知3log1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例：求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aaa n ，…3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例题：设函数()241+=xx f ，(1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记()()()+∈+⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n,11......210，求na ,并求出数列{a n }的前n 项和。

4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 例： 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nxn x xx S………………………例：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn 前n 项的和.5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k=-++； ③2211111()1211kk k k <=---+，211111111(1)(1)1kk k kkk k k k-=<<=-++--；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!nn n n =-++； ⑥2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-.例1： 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例2： 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.三 数列通项课后练习1已知数列{}na 中，满足a 1＝６，a1+n +1=2(a n+1) （n ∈N +）求数列{}na 的通项公式。

2已知数列{}na 中，a n＞0,且a 1＝３，1+n a ＝na ＋１ （n ∈N +）3已知数列{}na 中，a 1＝３，a1+n ＝21a n ＋１（n ∈N +）求数列{}na 的通项公式4已知数列{}na 中，a 1＝１，a1+n ＝3a n＋２，求数列{}na 的通项公式5已知数列{}na 中，a n≠０，a 1＝21，a1+n ＝nn a a 21+ （n ∈N +） 求a n6设数列{}na 满足a 1=4，a 2=2，a 3=1 若数列{}n n a a-+1成等差数列，求a n7已知数列{}na 中，a 1=1，2a1+n = a n+ a2+n 求a n8已知nn n a a a )21(,211+==+,求a n.9已知n nn a a a2,211==+,求通项a n .10已知n n a nn a a 1,211+==+,求通项a n .11.求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ ；12.在数列{}na 中，11++=n n an，且S ｎ＝９，则n ＝ ；13.求和：111112123123n++++=+++++++ ；14.求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ⨯+，…前n 项和nS = ； 15. 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.课后练习1、等差数列{na }中，若45076543=++++a a a a a，则=+82a aA 、45B 、75C 、180D 、320 2、已知{na }是等比数列，且na ＞0，252645342=++a a a a a a，则=+53a aA 、5B 、10C 、15D 、203、等差数列{a n }中，a 1=3,a 100=36,则a 3＋a 98等于 ( ) (A)36 (B)38 (C)39 (D)424、含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( ) (A)nn 12+ (B)nn 1+ (C)nn 1- (D)nn 21+5、在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于 ( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 6、等差数列{a n } 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )(A)130 (B)170 (C)210 (D)160 7、已知数列)2)(1(1,,201,121,61++n n 则其前n 项和S n =________.8、数列前n 项和为S n =n 2+3n,则其通项a n 等于____________. 9、已知数列1, ,3,2,1nn n n n n --- , 前n 项的和为____________.10、已知数列{na }的前n 项和31=nSn(n ＋1)(n ＋2),试求数列{na 1}的前n项和.11、在数列{na }中，已知121n n n a a a +=+， 1na=,求数列的通项公式。