工程力学课件(华中科技大学)

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体积变化率： 体积变化率：
y
a(1+ε) ε
b(1-µε µε) µε 材料体元 V0=abc x 纵向应变 εx=ε， 则横向应变 εy=εz=-νε z 变形后尺寸为 a+∆a=a(1+ε)、 b(1-νε)和c(1-νε)。 (1+ε b(1-νε) c(1-νε) 体积为： V=abc(1+ε)(1-νε) 体积为： V=abc(1+ε)(1-νε)2 应变ε远小于1 略去高阶小量，得到： 应变ε远小于1，略去高阶小量，得到： V=abc[1+(1-2ν)ε] V=abc[1+(1故体积的改变量为： V=Vbc(1故体积的改变量为： ∆V=V-V0=abc(1-2ν)ε
ε = ∫ dε = ∫
l + ∆l dl l = ln( ) = ln 0 = ln(1 + e) l0 l l0 l0
关系：均匀变形，假定体积不变， 关系： 均匀变形，假定体积不变，A0 l 0=A l，则有： ，则有： σ=F/A=Fl /A0 l 0=(F/A0)[(l 0+∆ l )/ l 0]=S(1+e) >S ∆ ε=ln(1+e)=e-e2/2+e3 /3- … <e 误差：
FAy
1 2
F1
∆ l1 a a
F2 l
B a
A
∆ l2
F
3)力与变形间的物理关系： 3)力与变形间的物理关系 力与变形间的物理关系： ∆l1=F1l/E1A1 ； ∆l2=F2l/E2A2
2
平衡方程： 平衡方程： )=F +2F Fa=0 ΣMA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0 ΣFy=FAy+F1+F2=0 2)变形几何协调条件 变形几何协调条件: 2)变形几何协调条件: =2∆ ∆l2=2∆l1 ； 3)力与变形间的物理关系： 3)力与变形间的物理关系 力与变形间的物理关系： ∆l1=F1l/E1A1 ； ∆l2=F2l/E2A2
小变形下， 小变形下， 与材料无关 几何关系， 几何关系， 不涉及材料 与材料有关
不同材料，在不同载荷作用下，力学性能不同。 不同材料，在不同载荷作用下，力学性能不同。 构件必须“ 不发生破坏； 构件必须“强”，不发生破坏； 必须“刚硬” 不因变形过大而影响正常工作。 必须“刚硬”，不因变形过大而影响正常工作。 材料变形直至破坏的行为？什么条件下会发生破坏？ 材料变形直至破坏的行为？什么条件下会发生破坏？ 如何控制设计才能保证构件有必要的强度和刚度？ 保证构件有必要的强度 如何控制设计才能保证构件有必要的强度和刚度？
200mm
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应力
σ−ε
5.4 真应力、真应变 真应力、
工程应力S 工程应变e: 工程应力S、工程应变e: S=F/A0 ；e=∆l/l0 =( 0 )/ 0 =(l-l )/l = 真应力σ 真应变ε 真应力σ、真应变ε：
l0 ∆l dl
σb l σys
S-e
F
l
o 均匀变形
应变
σ = F/ A
3
5.2 低碳钢拉伸应力—应变曲线 低碳钢拉伸应力—
常用拉伸试样(圆截面 常用拉伸试样 圆截面): 圆截面 标距长度： 标距长度： l =10d 或5d 施加拉伸载荷F， 曲线; 施加拉伸载荷 ，记录 F—∆l曲线 ∆ 曲线 曲线。 或σ(=F/A)—ε(=∆l /l )曲线。 ε ∆ 曲线 低碳钢拉伸应力—应变曲线: 低碳钢拉伸应力—应变曲线 σ 弹性 屈服 强化 颈缩 四个阶段： 四个阶段：
b e p y s k 颈缩
F
d
l
F
弹性阶段：卸载后变形可恢复。 弹性阶段：卸载后变形可恢复。 阶段 屈服阶段：变形迅速增大， 屈服阶段：变形迅速增大，材料 似乎失去抵抗变形的能力。 似乎失去抵抗变形的能力。 强化阶段：恢复抵抗变形的能力。 强化阶段：恢复抵抗变形的能力。 ε 颈缩阶段： 颈缩阶段：到k点发生断裂。 点发生断裂。
杆横截面上的应力为： 杆横截面上的应力为： σ=6.28×103 /3.14 ×0.012=2×107 (Pa)=20(MPa) 弹性模量: 弹性模量: E= σ/ε轴向=2×107 /1×10-4 =2×1011 (Pa)=200(GPa)
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讨论2 铝块( E=70GPa、 讨论2：铝块( E=70GPa、ν=0.3 )如图，力F=200kN 如图，
200 0
A3钢 钢 (Q235)
10 20
球墨铸铁
200 0
200
青铜
20
ε (%)
0
ε (%)
ε (%) σ σ 0.2
脆性材料无 脆性材料无σys, 无颈缩， 强度指标σb。 无颈缩， 强度指标σ 延性材料可以没有屈服平台， 延性材料可以没有屈服平台，名义屈服 可以没有屈服平台 产生 塑性应变时的应力。 强度σ0.2为产生0.2%塑性应变时的应力。 强度σ 塑性应变时的应力 弹性阶段σ ε间也可有非线性关系。 弹性阶段σ--ε间也可有非线性关系。
k'
ε
屈服极限或屈服强度(yield 屈服极限或屈服强度(yield strength) σys： 材料是否出现塑性变形的重要强度指标。 材料是否出现塑性变形的重要强度指标。
7
弹性应变和塑性应变 屈服后卸载，卸载线斜率为E 屈服后卸载，卸载线斜率为E。 残余的塑性应变 塑性应变为 恢复的弹 残余的塑性应变为εp；恢复的弹 则有： 性应变为 性应变为εe，则有： ε=εe+εp .
如低碳钢、低合金钢、 δ>5%, 如低碳钢、低合金钢、青铜等 δ<5%, 如铸铁、硬质合金、石料等。 如铸铁、硬质合金、石料等。
低碳钢， 25%左右 左右， 60%。 低碳钢，δ约 25%左右，ψ约为 60%。
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材料的力学性能（或机械性能）指标为： 材料的力学性能（或机械性能）指标为：
弹性指标： 弹性指标： 弹性模量E: 弹性模量 材料抵抗弹性 弹性变形的能力 材料抵抗弹性变形的能力 强度指标： 强度指标： 屈服强度σ 材料发生屈服 屈服强度σys -材料发生屈服 极限强度σ 材料发生破坏 极限强度σb -材料发生破坏
1
σ
σb σys b y e p
E
s
k
o
k'
ε
延性指标： 延伸率δ 延性指标： 延伸率δ 和/或 面缩率ψ。 面缩率ψ
10
5.3 不同材料拉伸压缩时的机械性能
1) 不同材料的拉伸σ—ε曲线 不同材料的拉伸σ
σ
500 (MPa)
16Mn
σ
500
(MPa)
σ
500
(MPa)
铝合金
灰铸铁 玻璃钢
0.5 1
力的 平衡 条件
变形 几何 协调 条件
力与变 形间的 物理关 系
回忆例：刚性梁AB如图。受力F作用，求各杆内力。 AB如图 回忆例：刚性梁AB如图。受力F作用，求各杆内力。 解：1)力的平衡 ：平衡方程为： 1)力的平衡 平衡方程为： )=F +2F Fa=0 ΣMA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0 ΣFy=FAy+F1+F2=0 2)变形几何协调条件 变形几何协调条件: 2)变形几何协调条件: =2∆ ∆l2=2∆l1 ；
4
o
k'
1
5
“材料的力学性能 实验室” 实验室” 电子拉力试验机
6
由σ-ε曲线定义若干重要的
σ
b σys σe σp y e p k
材料性能和指标 ：
s 比例极限 σp： σ=Eε ε E σ-ε关系是线性、弹性的。 ε关系是线性、弹性的。 1 弹性模量 (Elastic Modulus) o E=σ/ε： op段直线的 σε 段直线的 斜率,反映材料抵抗弹性变形的能力 反映材料抵抗弹性变形的能力。 斜率 反映材料抵抗弹性变形的能力。 弹性极限σ 弹性， 段为非线性。 段为非线性 弹性极限σe：弹性，pe段为非线性。 数值相近。 σe与σp数值相近。
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延性和脆性： 延性和脆性：
度量材料塑性性能的重要指标。 度量材料塑性性能的重要指标。 延伸率δ 延伸率δn:
l1 − l0 δn = × 100 % l0
σ
b e p y sA0Fra bibliotekk A1 颈缩
面缩率ψ 面缩率ψ： ψ = A0 − A1 × 100%
A0
o
1 k'
ε
延性材料： 延性材料： 脆性材料： 脆性材料：
通过刚性板均匀作用于上端横截面上。试计算其尺 通过刚性板均匀作用于上端横截面上。 寸和体积的改变∆ 寸和体积的改变∆V。 解: 横截面上的压应力、压应变为 横截面上的压应力、 σz=F/A=200×103 /(100×200)=10(MPa) × εz=σ/E=10/(70×103 )=1.43×10-4 × × 纵向缩短: 纵向缩短 ∆Lz=εzLz =1.43×10-4 ×300=0.043mm ×
0 εp= 0.2% 11
ε
锰钢 硬铝 球铁 青铜 拉伸 曲线 灰铸 铁、 玻璃 钢、 拉伸 12 曲线
16Mn、A3钢 、 钢 拉伸曲线
2) 压缩时的机械性能
延性材料: 延性材料: 压缩与拉伸的σ 压缩与拉伸的σ-ε曲线 关于原点对称。 关于原点对称。 有基本相同的E、 有基本相同的 、σys。 材料愈压愈扁， 材料愈压愈扁，往往测 不出抗压极限强度。 不出抗压极限强度。
σb σys
E 1 o ε ε p e
σ
A B s
b
E 1 A'
εp
εe
ε
总应变ε是弹性应变与塑性应变之和。 总应变ε是弹性应变与塑性应变之和。 应变硬化： 强化阶段卸载，可使屈服极限σ 提高， 应变硬化： 强化阶段卸载，可使屈服极限σys提高， 塑性变形减小。 如预应力钢筋等） 塑性变形减小。（如预应力钢筋等）。 极限强度(ultimate 极限强度(ultimate strength) σb： 反映材料是否破坏的重要强度指标。 反映材料是否破坏的重要强度指标。