复变函数与积分变换第二版本-9.4 拉普拉斯变换的应用及综合举例PPT资料27页
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复变函数与积分变换PPT课件
复变函数与积分变换是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。复变函数是自变量为复数的函数，其基础包括复数的概念、表示及运算。复数形如z=x+iy，其中x和y分别为实部和虚部，i为虚数单位。复数的模定义为|z|=√(x²+y²)，幅角是复数在复平面上与实轴正方向的夹角。复数有代数、三角和指数三种表示方法，且可以进行加、减、乘、除四则运算。复数的加减运算满足平行四边形法则或三角形法则，乘法运算则是模相乘、幅角相加，除法运算为模相除、幅角相减。复变函数的极限与连续性是进一步研究解析函数理论和方法的基础。此外，积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换等，是解决微分方程、信号处理等问题的重要工具，其ห้องสมุดไป่ตู้键公式和方法也在文档中进行了详细汇总。
复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt
对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换， 对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例 求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
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2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作 的.
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* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。
拉普拉斯变换及其性质课件
信号重建
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
拉普拉斯变换及其应用ppt课件
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9
实例 求下面这个函数f(t)的拉氏变换式。
ftt2e2tsint
解法一：利用手算。 解法二：利用MATLAB软件。
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10
教材表2-1是常用函数的拉氏变换表，要求会查表。
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11
第二节 拉氏变换的运算定理
有九个定理（或者说九个性质），教材介绍了5个。要 熟悉这5个定理的结论与用途。
24
【例2-5】已知某系统的微分方程为：
Tdctctrt
dt
方程式中，r(t)是输入信号；c(t)是输出信号；T是常数。 方程的初始条件为零。
若系统的输入量是单位阶跃函数，则系统输出量的变化 曲线是怎样的？
解法一：利用手算。 解法二：利用MATLAB软件。
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25
图2-3 典型一阶系统的单位阶跃响应曲线
5
【例2-1】 求单位阶跃函数1(t)的拉氏变换式。
1(t) 1
0
t
解： F(s) L[1(t)]
1
e
st
dt
0
1 s
e st
0
1 s
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6
【例2-2】 求单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换式。
解： F(s)L[(t)] (t)estdt 0
li m01sest
0
lim1es
0 s
求下面这个函数的拉氏变换。函数式中an、an-1、…、a1、a0 都是常数。
d n c t d n 1 c t
d c t
a n d tn a n 1 d tn 1 a 1 d t a 0 c (t)
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21
第三节 拉氏反变换
拉氏反变换的定义公式为：
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
信号处理
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
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根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
《复变函数》教学课件-Laplace变换的应用
对方程的两边取Laplace变换, 并考虑到边界条 件,则
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s2Y (s) sy(0) y(0) 2[sY (s) y(0)] Y (s) 0
即
y(0) Y (s) (s 1)2 .
取其逆变换，可得
y(t ) y(0)tet . 为了确定y(0), 令t l, 代入上式,由第二个边界条 件可得
4 y(l ) y(0)lel .
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从而 于是
y(0) 4 el , l
y(t) 4 tetl . l
常系数线性微分方程的边值问题可以先当作初值问题 来求解而所得微分方程的解中含有未知的初值可由已 知的边值而求得，从而最后确定微分方程满足边界条 件的解.
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形式
Y(s)
s2
1 3 1 4 8 8,
(s 1)(s 1)(s 3) s 1 s 1 s 3
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取逆变换,最后得
y(t) 1 et 3 et 1 e3t 4 88
1 (3et 2et e3t ). 8
这便是所求微分方程满足初始条件的解.
所以Y (s) H (s) . 求Laplace逆变换. 1 F(s)
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例4 求 方 程 组
y x x y et 2
2
y
x
2
y
x
t
满足初始条件
y(0) y(0) 0,
x(0)
x(0)
0
的 解.
解设L [ y(t )] Y (s),L [ x(t )] X (s).对方程组 的两边取Laplace变换, 并考虑到初始条件, 则
复变函数与积分变换讲义详细.
2 2
0
x
2 2
z z r x y ----复数z的模 z与x轴正向的夹角弧度 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
x
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
z r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z )
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
[解] 1)
i cos . 5 5 r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
得知线段
z1 z2
的中点为
例3 求下列方程所表示的曲线:
z1 z2 z 2
1) 2) 3)
| z i | 2; | z 2i || z 2 |; Im(i z ) 4.
[解]：1)
| z i | 2
y x i
设 z = x + i y , 方程变为
| x ( y 1)i | 2 x ( y 1) 2,
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
z xx yy x y xy i ( z 0) z x x x x
1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
0
x
2 2
z z r x y ----复数z的模 z与x轴正向的夹角弧度 ----复数z的辐角(argument)
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
x
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
z r (cos i sin )
利用欧拉公式 e i = cos + i sin 得指数表示式:
z re
i
(r z , Arg z )
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
1) z 12 2i; 2) z sin
[解] 1)
i cos . 5 5 r | z | 12 4 4. z在第三象限, 因此
得知线段
z1 z2
的中点为
例3 求下列方程所表示的曲线:
z1 z2 z 2
1) 2) 3)
| z i | 2; | z 2i || z 2 |; Im(i z ) 4.
[解]：1)
| z i | 2
y x i
设 z = x + i y , 方程变为
| x ( y 1)i | 2 x ( y 1) 2,
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
z xx yy x y xy i ( z 0) z x x x x
1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
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第
P218 例9.6
九 章
拉 解 (1) 令 Y (s)[y (t)],
普
对方程两边取 Laplace 变换，有
拉 斯
s 2 Y ( s ) s( 0 ) y y ( 0 ) 2 Y ( s ) 0 ,
变
换
代入初值即得 s2 Y (s) 2 Y (s) 0 ,
Y(s)
(2)
求 Laplace 逆变换，得
x(t)7et1tet3e3t.
42 4
9
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第 九 章
拉 解 (1) 令 X (s)[x (t)], 对方程两边取 Laplace 变换有
普 拉 斯
s2 X (s) 2 s( X s) 2 X s(s 2 (s 1 )2 1 )1,
拉 步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； 普
拉
(2) 求解代数方程得到象函数；
斯 变
(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。
换 微分方程(组)
得到象函数
Laplace
正变换
求解
Laplace
逆变换
象函数的 代数方程(组)
微分方程(组) 的解
2
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
变
换
u ( t ) t u ( t ) ( t 1 ) u ( t 1 ) ,
1
t
由于 [ u(t)] 1 , s
[t u(t)]
1 s2
,
(1t)u(t)
利用线性性质及延迟性质有 [f(t)]1 ss12s12es.
8
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
6
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第 九 章
拉
普 解 (1) 令 X (s)[x (t)], Y (s)[y (t)],
拉
斯
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
变
换
s( X s)s2 Y (s)e s,
2X(s)s3Y(s)2es.
s
求解得 X(s) 1 es, Y(s)0.
s 1
s 1
5
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第 九 章
拉
普 解 (1) 令 X (s)[x (t)], Y (s)[y (t)], 拉
斯 变 换
求解得 X(s) 1 , Y(s) 1 .
s 1
s 1
(2) 求 Laplace 逆变换，得 x(t)y(t)et.
2 2 s s2 Y (Y ( ss )) (s s2 X 1 ( )s X )( s2 )s (Y s s )2 (s 1 X (1 s)) .s 1 2.
求解得
X(s)
2s1 s2(s1)2
变 换
X(s)[s(2(1s) 21 )1]2.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x(t) 1[X(s)]et
1[
2s (s21)2
]
et 1[(s211)]tet 1[ s211]tet sint.
10
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第 九 章
换
求解此方程得
X(s)
3! (s1)4
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x(t) 1[X(s)]t3et.
4
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第 九 章
P229 例9.19
拉
普 解 (1) 令 X (s)[x (t)], Y (s)[y (t)], 拉
斯
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
s22
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
y(t) 1[Y(s)]sin t.
3
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第
九
章
解 (1) 令 X (s)[x (t)], 拉
普
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得
拉
斯 变
s3 X (s) 3 s2 X (s) 3 s( X s) X (s)6, s 1
s
(2) 求 Laplace 逆变换，得 x (t)u (t 1 ), y(t)0.
7
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第 二、综合举例
九 章
拉 P231 例9.21
普 解 如图，函数 f (t) 可写为 拉
f (t)
斯
f ( t ) ( 1 t ) u ( t ) ( t 1 ) u ( t 1 ) 1 (t1)u(t1)
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
第 九
§9.4
Laplace 变换的应用及综合举例
章 一、求解常微分方程(组)
拉 普
二、综合举例
拉 斯
*三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
变
换
1
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第 一、求解常微分方程(组)
九 章 工具
[ f ( n ) ( t ) ] s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) .
拉
普 解 (1) 令 X (s)[x (t)], Y (s)[y (t)], 拉
斯
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
变
换
整理得
(s s2 Y ( 1 s )) Y (ss )2 X s(s) X ( s)s (X ss ()s s Y 1 2 ( )s 2),s 1 1 2 s,
第 九 章
拉 解 (1) 令 X (s)[x (t)],
普 拉
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有
斯 变
s 2 X (s ) s 1 4 [s(X s ) 1 ] 3 X (s )1, s 1
换
s26s6 X(s)(s1)2(s3)
4(s7 1)2(s1 1)24(s3 3).
变
换
整理得
(ss X (s 1) X1 (s ) X Y (s()s )Y (ss) s 1,s 11,
3 sX Y ((ss)) 1 ( s 32 X )Y (s()s )2 Y s(s )1 . 2.
s1s1
求解得 X(s) 1 , Y(s) 1 .