2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.2.2 椭圆及其标准方程(二)
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人教版选修1-2第二章2.2.2反证法课件
摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，
司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮
一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，
今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，有
意诱我入城，绝不能中计也。”
数学中常见实例分析：
1.a 0, b 0, a b 1, 求证：a, b中至少有
1
一个不大于 .
2
2.a, b, c不全为零，a b c 0, 求证：a, b, c
只有一个根．
点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个
根”两层意思．由于a≠0，因此方程至少有一
个根＝ .从正面较难说明为什么只有这个
根．故我们采用反证法．
试一试
求证：在一个三角形中，
至少有一个内角小于或等
于60°.
A
B
C
证明：假设结论不成立，即：
＜
＜
＜
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,
（1）a是实数。
（2)a大于2。
a小于或等于２
a不是实数
（3）a小于2。
（4）至少有2个
a大于或等于２
最多有1个
（5）最多有一个
（6）两条直线平行。
至少有两个
两直线不平行
巩固新知
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”
的第一步是 假设a=b 。
巩固新知
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相
中至少有一个大于0.
定义
假设原命题 不成立 ，经过正确的推理，最后得出矛
假设错误
盾，因此说明________，从而证明了
这样的证明方法叫做反证法.
原命题成立，
反证法常见的矛盾类型
司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮
一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，
今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，有
意诱我入城，绝不能中计也。”
数学中常见实例分析：
1.a 0, b 0, a b 1, 求证：a, b中至少有
1
一个不大于 .
2
2.a, b, c不全为零，a b c 0, 求证：a, b, c
只有一个根．
点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个
根”两层意思．由于a≠0，因此方程至少有一
个根＝ .从正面较难说明为什么只有这个
根．故我们采用反证法．
试一试
求证：在一个三角形中，
至少有一个内角小于或等
于60°.
A
B
C
证明：假设结论不成立，即：
＜
＜
＜
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,
（1）a是实数。
（2)a大于2。
a小于或等于２
a不是实数
（3）a小于2。
（4）至少有2个
a大于或等于２
最多有1个
（5）最多有一个
（6）两条直线平行。
至少有两个
两直线不平行
巩固新知
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”
的第一步是 假设a=b 。
巩固新知
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相
中至少有一个大于0.
定义
假设原命题 不成立 ，经过正确的推理，最后得出矛
假设错误
盾，因此说明________，从而证明了
这样的证明方法叫做反证法.
原命题成立，
反证法常见的矛盾类型
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法
综合法是中学数学证明中最常用的方法． 综合法是 从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
栏 目 链 接
栏 目 链 接
πL2 L2 πL2 L2 4 式成立， 只需证明 2 ＞ 成立， 即证明 2 ＞ ， 两边同乘以 2， 4π 16 4π 16 L
L 2 L2 1 1 得 ＞ ，因为上式成立，所以 π2π ＞ 4 . π 4
所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这 个圆的面积比这个正方形的面积大． 点评：分析法．
栏 目 链 接
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步
结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公
理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．
分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理 方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：
跟 踪 训 练
1 2 3 1．证明： ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
1 证明： 因为 logab＝ ， 所以左式＝log195＋2log193 logba ＋3log192＝ log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360＜log19361＝2， 1 2 3 所以 ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.2.2 事件的相互独立性
栏 目 链 接
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A
中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含 有3个基本事件．
栏 目 链 接
6 3 4 1 3 于是 P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，P(AB)＝ ， 8 4 8 2 8 3 显然有 P(AB)＝ ＝P(A)P(B)成立． 8 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
这时 A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女， 男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}． 1 3 1 于是 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ . 2 4 2 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)． 所以事件 A，B 不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女， 男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
栏 目 链 接
相互独立事件． 事件； A 与 B 是相互独立 ________事件，A 与 B 是________
基 础 梳 理 3．两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 P(A)P(B) 发生的概率的积，即P(AB)＝____________. 例如：甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个
2 1 1 － 解析：因为 P( A )＝ ，所以 P(A)＝ ，又 P(B)＝ ， 3 3 3 1 P(AB)＝ ，所以有 P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 9 独立但不一定互斥. 故选 C. 答案：C
自 测 自 评
3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个 问题的概率是 p1， 乙解决这个问题的概率是 p2， 那么 其中至少有一人解决这个问题的概率是( A．p1＋p2 B．p1· p2 C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2) )
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A
中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含 有3个基本事件．
栏 目 链 接
6 3 4 1 3 于是 P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ，P(AB)＝ ， 8 4 8 2 8 3 显然有 P(AB)＝ ＝P(A)P(B)成立． 8 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
这时 A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女， 男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}． 1 3 1 于是 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ . 2 4 2 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)． 所以事件 A，B 不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女， 男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
栏 目 链 接
相互独立事件． 事件； A 与 B 是相互独立 ________事件，A 与 B 是________
基 础 梳 理 3．两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 P(A)P(B) 发生的概率的积，即P(AB)＝____________. 例如：甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个
2 1 1 － 解析：因为 P( A )＝ ，所以 P(A)＝ ，又 P(B)＝ ， 3 3 3 1 P(AB)＝ ，所以有 P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件 A 与 B 9 独立但不一定互斥. 故选 C. 答案：C
自 测 自 评
3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个 问题的概率是 p1， 乙解决这个问题的概率是 p2， 那么 其中至少有一人解决这个问题的概率是( A．p1＋p2 B．p1· p2 C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2) )
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.2.3 椭圆的简单几何性质(一)
x2
y2
栏 目 链 接
点评：利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定
系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并 列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．
变 式 训 练
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；
(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．
2.5 1.1 1
3 0
… …
描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在 第一象限的图形；然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆， 如下图所示．
栏 目 链 接
点评：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程 化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标和顶
点坐标等．
变 式 迁 移 1．求椭圆 36x2＋9y2＝324的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点的坐标．
栏 目 链 接
题型二
例 2 程．
求椭圆的标准方程
2 (1)若椭圆 ＋ ＝1 的离心率是 ，求椭圆的标准方 k＋1 4 2
栏 目 链 接
x2
y2
(2)如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组 成一个正三角形，焦点在 x 轴上，且 a－c＝ 3，求椭圆的方程．
解析：(1)当 k＋1＞4，即 k＞3 时，a2＝k＋1，b2＝4，所以 c2＝k－3， 2 2 k － 3 1 x y 于是 e2＝ ＝ ，解得 k＝7，此时椭圆方程为 ＋ ＝1 . k＋1 2 8 4 当 0＜k＋1＜4，即－1＜k＜3 时， a2＝4 ， b2＝k＋1 ，所以 c2＝3－k ， 2 2 3 － k 1 x y 于是 e2＝ ＝ ，解得 k＝1，此时椭圆方程为 ＋ ＝1 . 4 2 2 4
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
栏 目 链 接
x 轴 ____ O(0,0) ________
______ e＝ 1
y轴 ____
性 质
顶点 离心率 开口方 向
向右 ____
向左 ____
向上 ____
向下 ____
基 础 梳 理 2.焦半径与焦点弦． 抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦 点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上 任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式
D．y＝4
栏 目 链 接
解析：对于此类问题，解决过程中尤其要注意所给的方 1 2 程形式是否是标准方程形式，否则容易出错．由 y＝－ x 得 8 x2＝－8y，故其准线方程是 y＝2. 答案：C
3．设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，
PA⊥l，A 为垂足．如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么|PF|＝( B )
变 式 迁 移
解析：(1)依题意知抛物线方程为 x2＝±2py(p>0)的形式， 又 ＝3，所以 p＝6,2p＝12，故方程为 x2＝±12y. 2 (2)线段 OA 的垂直平分线为 4x＋2y－5＝0，与 x 轴的交点 5 5 为 ，0，所以抛物线的焦点为 ，0，所以其标准方程是 y2＝ 4 4 5x. 答案：(1)C (2)y2＝5x
解析：抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.由抛物线 p p 定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p，即 x1＋x2＋2 2 2 5 ＝7，得 x1＋x2＝5，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 .因此点 M 2 5 7 到抛物线准线的距离为 ＋1＝ . 2 2
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.1.2 求曲线的方程
1
0＋9＋x1 x＝ ， 3
x1＝3x－9， 所以 y1＝3y.
因为点C(x1，y1)在曲线x2－y2＝18上运动，所以(3x
－9)2－(3y)2＝18，整理得(x－3)2－y2＝2，为所求轨迹方 程． 点评：代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y) 与相关动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在 某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动 点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，
变 式 迁 移
1．若A、B两点的坐标分别是(1,0)、(－1,0)，
且kMA· kMB＝－1，则动点M的轨迹方程是什么？ 答案: x2＋y2＝1(x≠±1)
栏 目 链 接
题型二 例2
定义法求曲线方程 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的
任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦， P(x，y)为线段 OQ 的中 1 点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为 ，0. 2 因为∠OPC＝90°， 所以动点 P 在以点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆上，所以圆的 12 1 方程为x－ ＋y2＝ (0<x≤1)． 2 4
代入法求曲线方程
例3 已知△ABC的两个顶点 A、 B的坐标分别为
A(0,0), B(9,0)，顶点C在曲线x2－y2＝18上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解析：设 M(x，y)为所求轨迹上任意一点，顶点 C(x1，y1)， 则由三角形重心公式得
栏 目 链 接
0＋0＋y y＝ ， 3
2
＋
(y－4)2＝ 4x2＋4y2，
0＋9＋x1 x＝ ， 3
x1＝3x－9， 所以 y1＝3y.
因为点C(x1，y1)在曲线x2－y2＝18上运动，所以(3x
－9)2－(3y)2＝18，整理得(x－3)2－y2＝2，为所求轨迹方 程． 点评：代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y) 与相关动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在 某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动 点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，
变 式 迁 移
1．若A、B两点的坐标分别是(1,0)、(－1,0)，
且kMA· kMB＝－1，则动点M的轨迹方程是什么？ 答案: x2＋y2＝1(x≠±1)
栏 目 链 接
题型二 例2
定义法求曲线方程 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的
任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦， P(x，y)为线段 OQ 的中 1 点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，则 M 的坐标为 ，0. 2 因为∠OPC＝90°， 所以动点 P 在以点 M 为圆心，以 OC 为直径的圆上，所以圆的 12 1 方程为x－ ＋y2＝ (0<x≤1)． 2 4
代入法求曲线方程
例3 已知△ABC的两个顶点 A、 B的坐标分别为
A(0,0), B(9,0)，顶点C在曲线x2－y2＝18上运动，求△ABC 的重心的轨迹方程．
解析：设 M(x，y)为所求轨迹上任意一点，顶点 C(x1，y1)， 则由三角形重心公式得
栏 目 链 接
0＋0＋y y＝ ， 3
2
＋
(y－4)2＝ 4x2＋4y2，
2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第二章 2.2.2反 证 法
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一
用反证法证明否定性命题
例1 设{an}，{bn}分别是公比为 p，q(p，q∈R，且 p≠q)的两个等比
数列，如果 cn＝an＋bn，证明数列{cn}不可能是等比数列．
栏 分析：因为结论是否定的，所以用反证法证明． 目 2 证明：假设{cn}是等比数列，则 c2＝c1c3， 链 2 2 2 接 即(a1p＋b1q) ＝(a1＋b1)(a1p ＋b1q )， 展开并整理得 a1b1(p－q)2＝0. 由于 a1，b1 是等比数列中的项， 所以 a1≠0，b1≠0，那么 p＝q，这与已知条件矛盾，所以，数 列{cn}不可能是等比数列．
分析：由于不知道到底是哪条抛物线一定与 x 轴有交点， 因而直接证明很难入手，可采取间接证明的方法来完成． 证明：假设三条抛物线都与 x 轴无交点，则方程 ax2＋2bx ＋c＝0 的判别式 Δ1＝4b2－4ac＜0. 同理，Δ2＝4c2－4ab＜0，Δ3＝4a2－4bc＜0， 栏 则 Δ1＋Δ2＋Δ3＜0，即 目 链 Δ1＋Δ2＋Δ3＝4a2＋4b2＋4c2－4ab－4bc－4ac 接 2 2 2 ＝2(a－b) ＋2(b－c) ＋2(c－a) ＜0， 这与 2(a－b)2＋2(b－c)2＋2(c－a)2≥0 相矛盾， 故假设错误． 所以，三条抛物线 y ＝ ax2 ＋ 2bx ＋ c ， y ＝ bx2 ＋ 2cx ＋ a ， ＋b(a，b，c 为非零实数)中至少有一条与 x 轴有交 点．
证明：假设 1， 3，2 是公差为 d 的等差数列 的三项，则 1＝ 3－md,2＝ 3＋nd，其中 m，n 为 正整数． 由上面两式消去 d， 得 n＋2m＝ 3(n＋m)．栏 目 因为 n＋2m 为有理数， 而 3(n＋m)为无理数，链 所以 3(n＋m)，因此假设不成立，即 1， 3，2 不能是同一等差数列中的三项．
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自 测 自 评
x2 y2 1．椭圆 ＋ ＝1 的焦距等于 2，则 m 的值为( A ) m 4
A．5 或 3 C．5 B．8 D．16
栏 目 链 接
x2 y2 2．已知椭圆 2＋ 2＝1 (a>b>0)，M 为椭圆上一动点， a b F1 为椭圆的左焦点，则线段 MF1 的中点 P 的轨迹是(
A．圆 B．椭圆 C．线段 )
变 式 迁 移 1．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到 两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程．
解析：由题意 2c＝16,2a＝9＋15＝24， ∴b2＝80. 又焦点可能在 x 轴上，也可能在 y 轴上， x 2 y2 y2 x2 ∴所求方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 144 80 144 80
栏 目 链 接
点评：椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1，F2 构成的△F1PF2 称 为焦点三角形． 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的 定义、三角形中的正弦定理和余弦定理等知识．对于求焦点三角形的 1 面积，若已知∠F1PF2，可利用 S＝ absin C 把|PF1|²|PF2|看成一个 2 整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|²|PF2|及余弦 定理求出|PF1|²|PF2|， 而无需单独求出|PF1|和|PF2|， 这样可以减少运 算量．
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 6 ②代入①解得|PF1|＝ . 5 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1|²|F1F2|²sin 120° 2 1 6 3 3 3 ＝ ³ ³2³ ＝ ， 2 5 2 5 3 3 即△PF1F2 的面积是 . 5
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基 础 梳 理 2．填表：
焦点在x轴上
2 2
焦点在y轴上
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标准方程 焦点坐标
2 2 y x x y 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a2＋b2＝1(a＞b＞0) a b
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a 、b 、c 的
关系
c2＝______________________________ a2－b2
x2 y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2
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题型一
利用椭圆的定义求轨迹方程
例1 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2
＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切， 求动圆圆心的轨迹方程．
解析：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M 内切于圆 C1， 所以|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， 所以|MC2|＝3＋r. 所以|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，
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题型三
例3
焦点三角形问题
如图所示，已知椭圆的方程为 ＋ ＝1，若点 4 3 P 在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2 的面积．
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x2 y2
解析：由已知 a＝2，b＝ 3，得 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1， 即|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理，得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|²cos 120°，
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x2
变 式 训 练
→＝2MP → 2．若将例 2“点 M 在 PP′上，并且PM ′”改为“点 M 在 直线 PP′上， 并且P→ ′M＝λ P→ ′P(λ ＞0)”， 则 M 点的轨迹是什么？
解析：当0＜λ ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆； 当λ ＝1时，点M的轨迹是圆； 当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆．
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题型二
与椭圆有关的轨迹问题
例 2 已知圆 x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线 → ＝2MP → 段 PP′，点 M 在 PP′上，并且PM ′，求点 M 的轨迹．
解析：设点 M 的坐标为(x，y)，点 P 的坐标为(x0，y0)， 则 x0＝x，y0＝3y. 2 因为 P(x0，y0)在圆 x2＋y2＝9 上，所以 x0 ＋y2 0＝9. 将 x0＝x，y0＝3y 代入，得 x2＋9y2＝9，即 ＋y2＝1. 9 所以点 M 的轨迹是一个椭圆．
第二章
圆锥曲线与方程
圆
2.2 椭
2．2.2 椭圆及其标准方程(二)
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掌握椭圆的定义于标准方程，会求与椭圆有关的
轨迹方程．
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基 础 梳 理
1．平面内与两个定点F1，F2的
_________________________________________________ 距离的和等于常数(大于|F1F2|) _______________________ 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 两焦点间距离 ______ 叫做椭圆的焦距． 焦点 ，__________________________
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所以动圆圆心 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆， 且 2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48， x2 y2 故所求轨迹方程为 ＋ ＝1. 64 48
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点评：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动
点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点 距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离， 若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就 是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
D．直线
自 测 自 评
1 解析：连 OP，MF2，则 OP∥MF2, |PO|＝ |MF2|，又|PF1| 2 1 1 ＝ |MF1|，所以|PO|＋|PF1|＝ (|MF1|＋|MF2|)＝a，由题意 2 2 的定义知，点 P 的轨迹是椭圆．故选 B. 答案：B
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自 测 自 评
3． 已知 A(0， －1)、 B(0,1)两点， △ABC 的周长为 6， 则△ABC 的顶点 C 的轨迹方程是( D ) A. ＋ ＝1(x≠±2) 4 3 B. ＋ ＝1(y≠±2) 3 4 C. ＋ ＝1(y≠0) 4 3 D. ＋ ＝1(x≠0) 4 3