自动控制原理动态误差计算公式
自动控制原理--控制系统的稳态误差
二、给定作用下的稳态误差
设系统开环传递函数为：
其中K为开环增益，v为系统中含有的积分环节数 对应于v=0,1,2的系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统。
稳态误差的定义
• 误差定义为输入量与反馈量的差值
• 稳态误差为误差的稳态值 • 如果需要可以将误差转换成输出量的量纲
• 稳态误差不仅与其传递函数有关，而且与输入 信号的形式和大小有关。其终值为：
稳态误差计算
误差的定义：
E(s) R(s) B(s)
lim ess ()
( L1[ E ( s )])
（1）系统是稳定的； （2）所求信号的终值要存在。
例27 已知系统如图3-36所示。当输入信号 rt ，1干t扰信 号 n时t，求1t系 统的总的稳态误差。
Ns
Rs
Es
K1
K2 s
Y s
Bs
图3-36 例3-15系统结构图
解：⑴对于本例，只要参数 K1, K均2大于零，则系统一定是稳 定的。
⑵在r t 信1t号 作用下（此时令 n）t 0
s0
s0
1 s K1K2
K2 s K1K2
1 s
1 K1
由以上的分析和例题看出，稳态误差不仅与系统本身
的结构和参数有关，而且与外作用有关。利用拉氏变换
的终值定理求得的稳态误差值或者是零，或者是常数，
或者是无穷大，反映不出它随时间的变化过程。另外，
对于有些输入信号，例如正弦函数，是不能应用终值定
最后由终值定理求得稳态误差 ess
ess
自动控制原理公式
自动控制原理公式自动控制系统最常用的数学描述是利用控制工程中的数学模型。
数学模型是通过分析和建立系统的动态行为方程、传输函数或状态空间方程来描述系统的数学形式。
以下是一些常用的控制原理公式：1.闭环系统传递函数公式闭环系统传递函数是表示控制器输出信号C(s)与参考输入信号R(s)之间的关系的函数。
通常表示为T(s)或G(s)。
2.开环传递函数公式开环传递函数是表示控制器输出信号和系统输入信号之间的关系的函数。
通常表示为G(s)。
3.比例控制器公式比例控制器是最简单的控制器之一，其输出信号与误差信号之间的关系为：C(t)=Kp*e(t)，其中Kp为比例增益，e(t)为误差信号。
4.积分控制器公式积分控制器输出信号与误差信号的时间积分之间的关系为：C(t) = Ki * ∫e(t)dt，其中Ki为积分增益。
5.微分控制器公式微分控制器输出信号与误差信号的时间微分之间的关系为：C(t) = Kd * de(t)/dt，其中Kd为微分增益。
6.传递函数的极点和零点公式传递函数的极点和零点是指传递函数的分母和分子中令传递函数等于零的根。
传递函数的极点和零点对系统的稳定性、阻尼比、过渡特性等有重要影响。
7.控制系统稳定性判据公式控制系统稳定性判据是通过判断传递函数的极点位置来评估系统的稳定性。
例如，对于一阶系统，系统稳定的条件是极点实部小于零；对于二阶系统，系统稳定的条件是极点实部均小于零。
8.级联控制系统公式级联控制系统是由两个或多个控制回路组成的系统。
级联控制系统的传递函数可以通过将各个回路的传递函数相乘来获得。
9.PID控制器公式PID控制器是包含了比例控制器、积分控制器和微分控制器的三个组成部分的控制器。
PID控制器的输出信号与误差信号的线性组合关系为：C(t) = Kp*e(t) + Ki∫e(t)dt + Kd *de(t)/dt。
以上是一些常见的自动控制原理公式，用于描述和分析控制系统的特性和行为。
自动控制原理公式
自动控制原理公式自动控制原理是研究物理系统中要求自动控制和调节的基本原理和方法的一门学科。
它是现代控制工程和自动化科学的基础，涉及到的内容包括物理系统的建模、控制系统的设计与分析、控制技术的应用以及控制系统的性能评价等方面的内容。
下面将介绍几个自动控制原理中常用的公式及其含义。
1.误差函数误差函数是用来衡量实际输出值与期望输出值之间差距的函数。
在控制系统中，常用的误差函数有如下两种形式：a. 均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）RMSE表示实际输出值和期望输出值之间的平均误差，其计算公式如下：RMSE = sqrt(1/n * Σ(y_i - y_hat_i)^2)其中，n表示样本数量，y_i表示实际输出值，y_hat_i表示期望输出值。
b. 平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）MAE表示实际输出值和期望输出值之间的绝对平均误差，其计算公式如下：MAE = 1/n * Σ，y_i - y_hat_i其中，n表示样本数量，y_i表示实际输出值，y_hat_i表示期望输出值。
2.比例控制器比例控制器是一种简单的控制器，其根据实际输出值和期望输出值之间的差异，按比例改变控制量的大小。
比例控制器的控制量计算公式如下：u(t)=K_p*e(t)其中，u(t)表示控制量，e(t)表示误差，K_p表示比例增益。
3.积分控制器积分控制器是在比例控制器的基础上加入积分项，用来解决比例控制器无法完全消除稳态误差的问题。
积分控制器的控制量计算公式如下：u(t) = K_p * e(t) + K_i * ∫e(t) dt其中，u(t)表示控制量，e(t)表示误差，K_p表示比例增益，K_i表示积分增益。
4.微分控制器微分控制器是在比例控制器的基础上加入微分项，用来改善控制系统的动态性能。
u(t) = K_p * e(t) + K_d * de(t) / dt其中，u(t)表示控制量，e(t)表示误差，K_p表示比例增益，K_d表示微分增益，de(t)/dt表示误差的导数。
《自动控制原理》第六章：控制系统误差分析
e(t)=μ(p)xi(t) εxo(t) x (t) - y(t) (t) =
i
X oi (s)
E (s )
(s)
Y (s)
N (s )
拉氏变换： E(s)=μ(s)Xi(s) -Xo(s)
G1 ( s )
＋
G2 (s)
X o (s)
H (s )
ε(s) =Xi(s) - Y(s)
K1
＋
K 2 xo (t ) s
解：（1）由于系统是一阶系统，故只要参数K1K2大于零，则 系统就稳定。
1 1 ]0 （2）输入引起的误差： ess1 lim[s K2 s 0 1 K1 S s
（3）干扰引起的误差：
ess 2 lim sE 2 ( s ) lim[ s
以单位反馈为例，输入引起的误差分析：
X i (s)
E (s )
G (s )
X o (s)
X o ( s) G ( s) 1 E (s) (s) [ X i ( s )] G ( s) 1 G (s) G (s) ess lim sE ( s )
s 0
1 lim[ s X i ( s )] s 0 1 G (s)
ess 1 1 Kv
1 K
( 0) ( 1)
( 2) 0 0型系统误差无穷大；1型有限2型及以上 系统，Kv为无穷，而稳态误差为零。
加速度输入下稳态精度
定义： 静态加速度误差
2 K ( r s 1) ( k s 2 2 k k s 1) r 1
令系统中xi(t)=0 。
X i (s)
(s)
Y (s)
自动控制原理第3章
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
《自动控制原理》第三第讲
误差系数 Kp Kv Ka
单位阶跃 输入
r(t) = u(t)
单位速度 输入
r(t) = t
单位加速 度输入
r(t) = 1 t 2 2
0
K0 0
1 1+K
I
∞ K0
0
II
∞ ∞K
0
∞
∞
1
∞
K
1
0
K
1. 稳态误差与输入信号有关；与开环增益有关；与积分环节的个 数有关。
2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
R(s)
E(s) -
G1 ( s)
+ G2 (s) C(s)
H (s) (b)
通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差
(E=R-HC)，扰动作用产生的误差为扰动误差。认为扰动输入时 系统的理想输出为零，故从输出端的误差信号为：
En
= C理想
− C实际
=
−C实际
=
−Cn
= − G2 1+ G1G2 H
=
lim sv+1R(s)
s→0
lim sv + K
s→0
由上式可见, ess 与系统的型号v﹑开环增益K及输入信号
的形式及大小有关，由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号
﹑斜坡信号(即等速度信号) ﹑抛物线信号(即等加速度信号) 或者为这三种信号的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用 下的稳态误差问题.
Ka
m
G(s)H (s)
=
K sv
∏ (τ is +1)
i =1
n−v
∏ (Tjs +1)
自动控制原理实验报告 (2)
实验一 典型环节的模拟研究及阶跃响应分析1、比例环节可知比例环节的传递函数为一个常数：当Kp 分别为0.5，1，2时，输入幅值为1.84的正向阶跃信号，理论上依次输出幅值为0.92，1.84，3.68的反向阶跃信号。
实验中，输出信号依次为幅值为0.94，1.88，3.70的反向阶跃信号， 相对误差分别为1.8%,2.2%,0.2%. 在误差允许范围内可认为实际输出满足理论值。
2、 积分环节积分环节传递函数为：（1）T=0.1(0.033)时，C=1μf (0.33μf )，利用MATLAB ，模拟阶跃信号输入下的输出信号如图： T=0.1 T=0.033与实验测得波形比较可知，实际与理论值较为吻合，理论上T=0.033时的波形斜率近似为T=0.1时的三倍，实际上为8/2.6=3.08，在误差允许范围内可认为满足理论条件。
3、 惯性环节惯性环节传递函数为：if i o R RU U -=TS1CS R 1Z Z U U i i f i 0-=-=-=1TS K)s (R )s (C +-=K = R f /R 1,T = R f C,（1） 保持K = R f /R 1 = 1不变，观测T = 0.1秒，0.01秒（既R 1 = 100K,C = 1μf ，0.1μf ）时的输出波形。
利用matlab 仿真得到理论波形如下： T=0.1时 t s （5%）理论值为300ms,实际测得t s =400ms 相对误差为：（400-300）/300=33.3%,读数误差较大。
K 理论值为1，实验值2.12/2.28，相对误差为（2.28-2.12）/2.28=7%与理论值较为接近。
T=0.01时t s （5%）理论值为30ms,实际测得t s =40ms 相对误差为：（40-30）/30=33.3%由于ts 较小，所以读数时误差较大。
K 理论值为1，实验值2.12/2.28，相对误差为（2.28-2.12）/2.28=7%与理论值较为接近（2） 保持T = R f C = 0.1s 不变，分别观测K = 1，2时的输出波形。
自动控制原理_第5章_3 (8)
[例3-19] 单位反馈系统的开环传递函数为：
K G ( s) s T1s 1T2 s 1
I型系统的开环放大倍数 K K v （静态速度误差系数）
II型系统的开环放大倍数 K K a （静态加速度误差系数）
14
增大开环放大倍数
K 可以
减小0型系统在阶跃输入作用下的稳态误差；
减小I型系统在斜坡输入作用下的稳态误差；
减小II型系统在加速度输入作用下的稳态误差。
注释 增大开环放大倍数只能减小某种输入信号 下的稳态误差值； 增大开环放大倍数不能改变稳态误差的性质。
c0 c1s c2 s cl s R ( s )
2 l
c0 R( s) c1sR( s) c2 s R( s) cl s R( s)
2 l
动态误差系数除了通过对 e ( s) 求各阶导数而获得 以外， 还可以通过长除法将 e ( s) 写成幂级数的形式 而获得。
20
1
减小或消除输入信号作用下的稳态误差
采用PI或PID控制是加入串联积分环节的常用方法。 PI
比例+积分
比例+积分+微分
PID
21
PI控制器
R(s)
E (s)
-
Kp
+
U (s)
G0 ( s )
Y (s)
KI s
PI控制器的传递函数为：
KI K p s K I Gc ( s) K p s s
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自动控制原理动态误差计算公式
在自动控制系统中，动态误差是评估系统性能的重要指标之一。
它表示系统在输入信号发生变化时，输出信号与期望值之间的差异。
动态误差的大小直接反映了系统的稳定性和响应速度。
动态误差的计算公式是通过对系统的输入-输出特性进行分析得出的。
在这个公式中，包含了系统的传递函数和输入信号的频率响应。
下面我们将详细介绍动态误差计算公式的推导过程。
我们假设系统的传递函数为G(s)，输入信号为R(s)，输出信号为C(s)，期望输出信号为D(s)。
根据控制理论的基本原理，系统的动态误差可以表示为以下形式：
E(s) = D(s) - C(s)
其中，E(s)为误差信号的 Laplace 变换，s为复变量。
为了求得误差信号的频率响应，我们需要对上式进行变换。
通过拉普拉斯变换和传递函数的定义，我们可以得到：
C(s) = G(s) * R(s)
将上式代入动态误差的定义式中，得到：
E(s) = D(s) - G(s) * R(s)
进一步整理，得到：
E(s) = D(s) - G(s) * R(s) = D(s) - G(s) * [D(s)/H(s)]
其中，H(s)为输入信号的传递函数。
这个式子表示了动态误差与系统传递函数、输入信号传递函数和期望输出信号之间的关系。
我们知道，频率响应是系统稳定性和性能的重要指标之一。
通过对系统的频率响应进行分析，可以得到系统的动态特性。
在动态误差计算中，我们需要关注系统的幅频特性和相频特性。
幅频特性描述了系统对不同频率信号的衰减程度。
在动态误差计算中，我们需要考虑幅频特性对误差的影响。
具体来说，我们需要计算幅频特性与期望输出信号之间的差异。
相频特性描述了系统对不同频率信号的相位差。
在动态误差计算中，我们需要考虑相频特性对误差的影响。
具体来说，我们需要计算相频特性与期望输出信号之间的差异。
动态误差的计算公式是基于系统的传递函数、输入信号的传递函数和期望输出信号之间的关系推导出来的。
在实际应用中，我们可以通过测量系统的频率响应和输入-输出特性来计算动态误差。
通过分析动态误差，我们可以评估自动控制系统的性能，并进行系统参数的优化和调整。
动态误差计算公式为我们提供了一个量化系
统性能的指标，可以帮助工程师设计和改进自动控制系统。
总结一下，动态误差是评估自动控制系统性能的重要指标之一。
动态误差的计算公式基于系统的传递函数、输入信号的传递函数和期望输出信号之间的关系推导出来。
通过分析动态误差，我们可以评估系统的稳定性和响应速度，并进行系统参数的优化和调整。
动态误差计算公式为工程师提供了一个量化系统性能的指标，有助于设计和改进自动控制系统。