湖南省雅礼中学2021届高三第六次月考数学答案
湖南省长沙市雅礼中学2021届高三上学期第5次月考化学试题(含答案)
雅礼中学2021届高三月考试卷（五）化学命题人：黄铁明 审题人：吴建新考生须知：1.本试卷共20小题，满分为100分，考试时量75分钟。
2.请将第Ⅰ卷的选择题答案用2B 铅笔填写在机读答题卡上，将第Ⅱ卷的答案填写在答卷上。
本卷答案必须做在答题卡或答卷的相应位置上，做在试卷上无效。
3.本卷可能用到的相对原子质量：H -1 C -12 N -14 O -16 Na -23 Mg -24 Al -27 S -32 C -35.5 K -39 Fe -56 Cu -64 Mo -96 I -127第Ⅰ卷 选择题（共40分）一、单选题（本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意） 1.化学与生活密切相关，下列说法正确的是（ ）A 福尔马林可用于新冠病毒环境消毒和鱼肉等食品的防腐保鲜B 华为5G 手机芯片的主要成分是硅C.嫦娥五号外壳为钛合金，因它可防电离辐射D.用谷物酿造出酒和醋，酿造过程中只发生了氧化反应2.《本草衍义》中对精制砒霜过程有如下叙述：“取砒之法，将生砒就置火上，以器覆之，令砒烟上飞着覆器，遂凝结累然下垂如乳，尖长者为胜，平短者次之。
”砒霜的化学式是23As O ，是我国最古老的毒物之一，氧化性比Ag +弱，下列说法正确的是（ ） A.文中涉及的操作方法是蒸馏B.砒霜是最古老的毒物之一，有特殊的臭味C.砒霜是冶炼砷合金和制造半导体的原料D.银针探毒的方法在我国古代断案中被广为采用，是因为三氧化二砷可以与银反应 3.A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（ ） A.0.1mol 氨基（2NH —）含有的电子数为0.9A NB 用电解粗铜的方法精炼铜，当电路中通过的电子数为2A N 时，阳极应有64g Cu 转化为2Cu +C.将0.2mol 2Cl 通入足量水中，转移的电子数为0.2A ND.将一定量的2Cl 通入2FeBr 溶液中，当有2mol Br -转化为2Br 时，转移的电子数一定为3A N4.相同条件下，四个等体积的干燥圆底烧瓶中分别充满气体进行喷泉实验，经充分反应后，瓶内溶液的物质的量浓度关系正确的是（ ）A.===①②③④B.>>>①③②④C.=>=①②③④D.>>=①②③④5.常温下，下列各组离子可能在指定溶液中大量共存的是 A.0.11mol L -⋅KI 溶液中：Na +、K +，ClO -、OH -B.能使甲基橙变红的溶液中：Na +、4NH +、24SO -、3HCO -C.与Al 反应能放出2H 的溶液中：2Fe +、K +、3NO -、24SO -D.水电离的()121H110mol L c +--=⨯⋅的溶液中：K +、Na +、2AlO -、223S O -6.下列实验操作和现象及所得到的结论均正确的是（ ）7.根据陈述的知识，类推得出的结论正确的是（ ）A.锂在空气中燃烧生成的氧化物是2Li O ，则钠在空气中燃烧生成的氧化物是2Na O B 链状烷烃的结构和性质都相似，则分子组成不同的链状烷烃一定互为同系物 C.晶体硅熔点高、硬度大，则可用于制作半导体材料 D.金刚石的硬度大，则60C 的硬度也大8.某同学用23Na CO 和3NaHCO 溶液进行如图所示实验。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考卷(一)化学试题+答案
大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（一）化学命题人：于雯审题人：吴建新得分：______本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Na~23 Al~27 Si~28 P~31第Ⅰ卷（选择题 共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分，每小题只有一个选项符合题意。
）1．下列有关叙述错误的是（ ）A ．放电影时，放映机到银幕间光柱的形成是因为丁达尔效应B ．工业上一般可以采用电解饱和食盐水的方法制取NaOHC ．FeO 在空气中受热，能迅速被氧化成23Fe OD ．硬铝是一种铝合金，密度小、强度高，具有较强的抗腐蚀能力，是制造飞机和宇宙飞船的理想材料 2．设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（ ） A ．40gSiC 晶体中含有的Si C −的数目为A 2NB ．100g 质量分数为46%的25C H OH 的水溶液中含有的氧原子数目为A 4N C ．标准状况下，11.2L 3NH 与11.2LHF 均含有A 5N 个质子D ．1mol 614C H 中含有的σ键的数目为A 20N3．下列关于23Na CO 和3NaHCO 的说法中，错误的是（ ） A ．两种物质的溶液中，所含微粒的种类相同 B ．可用NaOH 溶液使3NaHCO 转化为23Na COC ．利用二者热稳定性差异，可从它们的固体混合物中除去3NaHCOD ．室温下，二者饱和溶液的pH 差约为4，主要是因为它们的溶解度差异 4．在给定条件下，下列制备过程涉及的物质转化均可实现的是（ ）A ．制备22HCl :NaCl H Cl HCl → →电解点燃溶液和B ．制备金属()22Mg :Mg OH MgCl Mg → →盐酸电解溶液C ．纯碱工业：2CO 323NaCl NaHCO Na CO →→△溶液D ．硫酸工业：22O H O2224FeS SO H SO → →高温5．下列过程中，对应的反应方程式错误的是（ ） A 草酸溶液与酸性高锰酸钾溶液反应 22424222MnO 16H 5C O 2Mn 10CO 8H O −+−+++=+↑+ B NaH 用作野外生氢剂22NaH H ONaOH H +=+↑ C 工业制备高铁酸钠()24Na FeO32423ClO 2Fe 10OH 2FeO 3Cl 5H O −+−−−++=++D绿矾()42FeSO 7H O ⋅处理酸性工业废水中的227Cr O −22332726Fe Cr O 14H 6Fe 2Cr 7H O +−+++++=++6．下列实验装置正确的是（ ）A ．制备()2Fe OHB ．制取少量2OC ．3NaHCO 受热分解D ．铝热反应7．下列实验操作和现象、结论或目的均正确的是（ ） 选项 操作和现象结论或目的A将新制的()3Al OH 沉淀分装在两支试管中，向一支试管中滴加2mol/L 盐酸，另一支试管中滴加2mol/L 氨水，沉淀均溶解 ()3Al OH 是两性氢氧化物B将镁条点燃后迅速伸入充满2CO 的集气瓶，瓶中产生浓烟并有2CO 能支持镁条燃烧黑色颗粒生成 C取2FeCl 溶液置于试管中，加入几滴酸性高锰酸钾溶液，酸性高锰酸钾溶液的紫色褪去2Fe +具有还原性D各取23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液少许于试管中，加入澄清石灰水，仅23Na CO 溶液中出现白色沉淀鉴别23Na CO 溶液与3NaHCO 溶液8．已知电对的标准电极电势()0E越高，其电对中氧化剂的氧化性越强。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考数学试卷(四)参考答案
雅礼中学2023届高三月考试卷（四）一、单项选择题：1．答案C 解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．2．答案B 解析由等差中项的性质可得，a 3＋a 6＋a 8＋a 11＝4a 7＝12，解得a 7＝3，∵a 7＋a 11＝2a 9，∴2a 9－a 11＝a 7＝3.3.答案C 解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b＋a 2b ＋≥12×＝94，4.答案C 解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为242＋102＝26(尺)，即为2丈6尺．5.答案B 解析直线x ＋ay －a －1＝0可化为(x －1)＋a (y －1)＝0，则当x －1＝0且y －1＝0，即x ＝1且y ＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M (1,1)，设圆的圆心为C (2,0)，半径r ＝2，当MC ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|MC |2＝24－2＝22，此时弦长AB 对的圆心角为π2，所以劣弧AB 的长为π2×2＝π.6．答案D 解析由题意，得x ＝15×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，y ＝15×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，则k ＝y －0.25x ＝30－0.25×40＝20，故A 正确；由经验回归方程可知，b ^＝0.25>0，变量x ，y 呈正相关关系，故B 正确；若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25，故C 正确；当x ＝52时，y ^＝0.25×52＋20＝33，故D 不正确．7.答案A 解析设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 24C 13C 35C 24－C 34C 23＝1848＝38.8．答案B 解析∵c cos A ＋a cos C ＝2，由余弦定理可得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2，整理可得b ＝2，又AC 边上的高为3，∴12×2×3＝12ac sin B ，即ac ＝23sin B，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＝1－2ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，∴cos B ≥1－33sin B ，即3sin B ＋3cos B ≥3，即≥32，∵B ∈(0，π)，∴B ＋π3∈B ＋π3∈，2π3，∴B ，π3，故∠ABC 的最大值为π3.二、多项选择题：9．答案AD 解析f (x )＝2cos 2x －x 1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin x对于A ，由y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin 2＝2sin x 故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[0，π]，所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈－π2，0，所以2x ＋π4∈－3π4，π4，所以x ∈－1，22，所以f (x )∈[－2，1]，所以f (x )在－π2，0上的最小值为－2，故选项D 正确．10.答案BCD 解析A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故A 错误；B 项，由已知可得B 1F ⊥A 1C 1，又平面ABC ⊥平面CAA 1C 1，所以B 1F ⊥平面CAA 1C 1.在矩形AEFA 1中，△DEF 的面积S ＝12×EF ×A 1F ＝12×2×1＝1.又B 1F ＝12A 1C 1＝1，所以三棱锥D －MEF 的体积V M －DEF ＝13S ×B 1F ＝13×1×1＝13，所以B 正确；C 项，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，因为BD ⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥BD ，所以C 正确；D 项，由题意可得四边形BB 1FE 为矩形，连接BF (图略)，则矩形BB 1FE 外接圆的圆心为BF 的中点O 1，且O 1F ＝O 1B ＝52.过O 1作O 1N ⊥EF ，垂足为N ，连接DN ，O 1D ，则O 1N ＝12，DN ＝1，O 1N ⊥DN ，故O 1D ＝52，所以O 1是四棱锥D －BB 1FE 的外接球的球心，外接球的半径为R ＝52，则外接球的表面积为S ＝4π＝5π，所以D 正确．11．答案AD 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2，＝my ＋p 2，2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.对于A ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2，故A 正确；对于B ，根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，故|AF |·|BF |12(my 1＋p )(my 2＋p )＝m 2y 1y 2＋pm (y 1＋y 2)＋p 2＝－m 2p 2＋2p 2m 2＋p 2＝p 2(m 2＋1)＝4p 2，所以m 2＋1＝4，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率k ＝1m ＝±33，故B 不正确；对于C ，由题意可知2＋p 2＝3，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ，故C 不正确；对于D ，由题意可知p ＝2，所以y 1＋y 2＝4m .易得sin ∠PMN ＝d r，其中d 是点P 到y 轴的距离，r 为以AB 为直径的圆的半径，且d ＝x 1＋x 22，r ＝|PM |＝|AB |2＝x 1＋x 2＋22.又x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，且y 1＋y 2＝4m ，所以d ＝2m 2＋1，r ＝2m 2＋2，所以sin ∠PMN ＝d r ＝2m 2＋12m 2＋2＝1－12(m 2＋1)，当m ＝0时，sin ∠PMN 取得最小值12，故D 正确．12.答案ABC 解析由题意，原不等式可变形为1e x －1x ≤x a －a ln x ，即1e x －1ln e x ≤x a －ln x a ，设f (x )＝x －ln x ，则当x ≥e 时，1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )恒成立，因为f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为x ≥e ，a >0，所以1e x>1，x a >1，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以要使1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )，只需1e x ≤x a ，两边取对数，得1x ≤a ln x ，因为x ≥e ，所以a ≥1x ln x.令h (x )＝x ln x (x ∈[e ，＋∞))，因为h ′(x )＝ln x ＋1>0，所以h (x )在[e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝e ，所以0<1x ln x ≤1e ，则a ≥1e ，故正实数a 的最小值为1e .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13．答案23解析方法一设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以(3＋a )2＋(1＋b )2＝4，①(3－a )2＋(1－b )2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2，可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝23.故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23.14.答案－2解析如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝AD →＋14AB →·34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2.15.答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x－x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.16．答案如图，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，焦距为2c ，由椭圆定义可得m ＋n ＝2a ，由双曲线定义可得m －n ＝2a 1，解得m ＝a ＋a 1，n ＝a －a 1，当|F 1F 2|＝4|MF 2|时，可得n ＝12c ，即a －a 1＝12c ，可得1e 1－1e 2＝12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 1e 2＝2e 222＋e 2，可设2＋e 2＝t (3<t <4)，则2e 222＋e 2＝2(t －2)2t＝＋4t －f (t )＝t ＋4t －4在(3,4)上单调递增，可得f (t )e 1e 2四、解答题：17.解(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·(a 1＋d )＝2(a 1＋3d )，整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又由a 1＋2d ＝5，可得a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又由数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，得新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×(1－22n ＋1)1－2＋(3＋2n ＋4)(2n ＋2)2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.18.解（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C c ABC b =∠，∴ac BD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.19.(1)证明因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，所以CF ＝1，BF ＝5.如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝3，所以AC ＝AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC ，故以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (1,1,0)，F (0,2,1)，BF →＝(0,2,1)．设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0,2)，于是DE →＝(1－m ，1，－2)．所以BF →·DE →＝0，所以BF ⊥DE .(2)解易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面DFE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )·n 2＝0，·n 2＝0，又DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1,1,1)1－m )x ＋y －2z ＝0，x ＋y ＋z ＝0，令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ，于是平面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1,2－m )，所以cos 〈n 1，n 2设平面BB 1C 1C 与平面DFE 的夹角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉，故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小，为33，即当B 1D ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小．20.解(1)进行一次试验，获得0分的概率为12×13＋12×23＝12，获得1分的概率为12×23＝13，获得2分的概率为12×13＝16，进行两次试验，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝4)＝16×16＝136，P (X ＝3)＝13×16×2＝19，P (X ＝2)＝12×16×2＋13×13＝518，P (X ＝1)＝13×12×2＝13，P (X ＝0)＝12×12＝14.所以分数X 的分布列为X01234P 141351819136E (X )＝0×14＋1×13＋2×518＋3×19＋4×136＝43.(2)①G (2)＝16＋13×13＝518，②据题意有，G (n )＝16G (n －2)＋13G (n －1)，其中n ≥3，设G (n )－λG (n －1)＝16G (n －2)＋13G (n －1)－λG (n －1)＝16G (n －2)(n －1)G (n －1)－λG (n －2)]＝16，解得λ＝1±76，所以{G (n )－λG (n －1)}是公比为13－λ的等比数列，其中n ∈N *，n ≥2，λ＝1±76.21.解(1)设y 由P (4,0)，可得|AP |2＋y 20＝y 4016－y 20＋16＝116(y 20－8)2＋12≥12，当y 0＝±22时，|AP |取得最小值23.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝my ＋t ，2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0，即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3,0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.22.解(1)f ′(x )＝2x sin x －(x 2－a )cos x sin 2x，f π，所以f (x )f y ＝πx ，所以f ＝π22，即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2.(2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x－2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0，设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈π2，g ′(x )>0，所以g (x )在区间π2，x h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x又g ′(0)＝－2<0，g π>0，所以存在x 0g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减，x ∈x 0g (x )单调递增．综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减，当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点；当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。
湖南省雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考(二)数学试题(含答案)
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。
雅礼中学2021届高三上学期第五次月考 数学试题(含解析)
雅礼中学2021届高三上学期第五次月考数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合{24}A x x =-<∣，{53}B x x =-<∣，则A B ⋂=（ ）A ．{54}x x -<<∣B ．{52}x x -<-∣C ．{23}x x -∣D ．{34}x x <∣ 2．设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．从5名同学中选若干名分别到图书馆食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ） A.20种 B ．50种 C ．80种 D ．100种4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化．若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（GDP ）y （单位：万亿元）关于年份代号x 的回归方程为 6.6050.36(1,2,3,4,5,6,7)y x x =+=，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ） A ．14.04万元 B ．202.16万元 C ．13.58万元 D ．14.50万元5．随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 后的温度T 将满足()012ta a T T T T ⎛⎫⎪⎭⋅-=- ⎝，其中a T 是环境温度，h 称为半衰期．现有一杯85℃的热茶，放置在25℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要10分钟，则欲降温到45℃，大约需要多少分钟？（lg 20.3010≈，1g 30.4771≈）（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 7．在直角三角形ABC 中，90A ︒∠=，2AB =，4AC =，P 在ABC 斜边BC 的中线AD 上，则()AP PB PC ⋅+的最大值为（ ）A ．258 B ．52 C ．254 D ．2528．已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，若函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.如果a 、b 、c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项成立的是（ ）A ．ab ac >B ．22cb ab < C ．()0c b a -> D ．()0ac a c -< 10．已知方程2225 3102x y ax ay a a +++++-=，若方程表示圆，则a 的值可能为（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．3 11.．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ）A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90° B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形 C ．二面角11D BC B --的大小为30°D ．正方体1111ABCD A B C D -12．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受得到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．函数41sin[(21)]()21i i x f x i =-=-∑的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）A ．函数()f x 为周期函数，且最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点(2,0)π对称C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称 D ．函数()f x 的导函数()f x '的最大值为4 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分．13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，直线:2l y x b =+经过抛物线C 的焦点，且与C 相交于A 、B 两点．若||5AB =，则p =________．14．数列1，2-，2，3-，3，3-，4，4-，4，4-，5，5-，5，5-，5，…的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2021项是________．15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m 的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为rad /min 3π的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，已知筒车中心O 到水面BC 的距距离为2m ，初始时刻其中一个盛水筒位于点0P 处，且0(// ) 6POA OA BC π∠=，则8min 后该盛水筒到水面的距离为________m ．16．正方体1111ABCD A B C D -的长为1，E ，F 分别为BC ，1CC 的中点．则平面AEF 截正方体所得的截面面积为________；以点E 11ACC A 的交线长为________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①sin 2B B +=，②cos220B B +-=，③222b ac -=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若4a =，c =，________，求ABC的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n N ++++=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1(1)n n n n b a a +=-+，求数列{}n b 的前2020项和2020S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==，D= 2BC C =，//AB CD ，2ADC π∠=．（1）求证：PD AB ⊥；（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．20．（本小題满分12分）在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜，在每局比赛中，发球方贏得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两队进行排球比赛：（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率；（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各 14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者 获得下一个球的发球权．设两队打了(6)x x 个球后甲赢得整场比赛，求x 的值及相应的概率()p x ．21．（本小题满分12分）如图，点A 为椭圆221:21C x y +=的左顶点，过A 的直线1l 交抛物线22:2(0)C y px p =>于B ，C 两点，点C 是AB 的中点．（1）若点A 在抛物线2C 的准线上，求抛物线2C 的标准方程；（2）若直线2l 过点C ，且倾斜角和直线1l 的倾斜角互补，交椭圆1C 于M ，N 两点． （i ）证明：点C 的横坐标是定值，并求出该定值； （ii ）当BMN 的面积最大时，求p 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()21xf x ae x =+-，（其中常数 2.71828e =，是自然对数的底数）（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ，当0x >时， ()()f x x ae x +．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．2．D 【解析】由题134z i =-，223z i =-+，则121z z i +=-，对应点为(1,1)-．3．B 【解析】当去4个人时，安排方法有4254C C 30=种，当去5个人时，安排方法有3152C C 20=种．综上，不同的安排方法共有50种．故选B ．4．A 【解析】到2035年底对应的年份代号为23，由回归方程ˆ 6.6050.36yx =+得，我国国内生产总值约为6.602350.36202.16⨯+=（万亿元），又202.1614.0414.4≈，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为14.04万元．故选A ．5．B 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++．因为()0.45P A =，()0.15P AB =，所以()0.4P B =．故选B ．6．C 【解析】根据题意有：1015525(8525)102hh ⎛⎫-=-⇒=⎪⎝⎭， ∴101211lg30.47714525(8525)log 101015.852103lg 20.3010t t t ⎛⎫-=-⇒=⇒=⨯=⨯≈⎪⎝⎭，故选C ． 7．B 【解析】以A 为坐标原点，以AB ，AC 方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则(2,0)B ，(0,4)C ，中点(1,2)D ，设(,2)P x x ，所以(,2)AP x x =，(1,22)PD x x =--，()2()(2)2[(1)2(22)]10AP PB PC AP PD x x x x x x ⋅+=⋅=-+-=--， 12x =时，最大值为52．故选B ． 8．D 【解析】令0x =，得(2)(2)4(2)f f f =+，即(2)0f =，(2)(2)f x f x +=-， 因为函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称， 所以函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称， 即()()f x f x -=-，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-=--，即(4)()f x f x +=-，(8)()f x f x +=，则(2021)(25383)(3)(1)3f f f f =⨯-=-=-=-，故选D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．由,0c b ca ab a <⎧⇒<⎨>⎩，所以A 选项正确． 当0b =时，22cb ab =，所以B 选项错误．0,()00b a c b a c -<⎧⇒->⎨<⎩，所以C 选项正确． 0,()00a c ac a c ac ->⎧⇒-<⎨<⎩，所以D 选项正确．故选ACD ． 10．AB 【解析】因为方程22253102x y ax ay a a +++++-=表示圆， 所以2225(3)4102a a a a ⎛⎫+-+-> ⎪⎝⎭， 解得1a <，所以满足条件的只有2-与0． 故选AB ．11．ABD 【解析】连接1BC ，易知11BC B C ⊥，又正方体中11C D ⊥平面11BCC B ， 从而有111C D B C ⊥，1111C D BC C ⋂=，1B C ⊥平面11BD C ，从而得11B C BD ⊥，异面直线1BD 与1B C 所成的角大小为90°，A 正确； 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，则1DD BD ⊥，1DD CD ⊥， 同理BC CD ⊥，1BC CD ⊥，∴四面体1D DBC 的四个面都是直角三角形，B 正确；由1BC CD ⊥，1BC CC ⊥，知11D CC ∠是二面角11D BC B --的平面角， 为45°，即二面角11D BC B --为45°，C 错误； 易知1BD 的中点是正方体外接球和内切球的球心，12，，D 正确． 故选ABD ．12．BCD 【解析】∵sin3sin5sin7()sin 357x x xf x x =+++， sin[3()]sin[5()]sin[7()]()sin()357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()()357x x xx f x f x =----=-≠， 所以，π不是函数()y f x =的最小正周期，A 选项错误； ∵sin(3)sin(5)sin(7)sin3sin5sin7()sin()sin 357357x x x x x xf x x x ----=-+++=----， sin[3(4)]sin[5(4)]sin[7(4)](4)sin(4)357x x x f x x πππππ++++=++++sin3sin5sin7sin ()357x x xx f x =+++=， 所以，函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称，C 选项正确； ()cos cos3cos5cos7f x x x x x '=+++，∵1cos 1x -，1cos31x -，1cos51x -，1cos71x -，则()cos cos3cos5cos74f x x x x x '=+++，又 (0)4f '=，所以函数()y f x '=的最大值为4，D 选项确．故选BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2【解析】法1：由题意知，直线:2l y x b =+，即 22b y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点， ∴22b p-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22,2,y x p y px =-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由韦达定理得1232px x +=，又||5AB =， ∴12552x x p p ++==，则2p =． 法2：设直线的倾斜角为θ，则tan 2k θ==，得sin θ=，∴2222||5sin p pAB θ===，得2p =． 14．64【解析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为(1)6364202163201622n n n +⨯⇒⇒=，前2021项共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项， 故2021项为第64组第5个数字，由奇偶项正负交替规律，其为64． 15．72【解析】根据题意可得，8分钟后盛水桶所转过的角为8833ππ⨯=，而除去一圈，82233πππ-=，所以转8分钟之后0P 所转到的位置P 满足25366POA πππ∠=+=， 所以点P 到水面的距离5723sinm 62d π=+=． 16．98【解析】如图，连接1AD ，则11////EF BC AD ， ∴等腰梯形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得截面图形， 由正方体棱长为1，得1AD =，EF =，AE ==，则E 到1AD 的距离为4=，∴1192248AEFD S ⎛=+⨯= ⎝． ∵平面11AA C C ⊥平面ABCD ，且平面11AA C C ⋂平面ABCD AC =， 过E 作EH AC ⊥于H ，则EH ⊥平面11ACC A ，∵E 为BC 中点，∴144EH AC ==，以点E 11ACC A 的交线为圆弧，2=，由4CH =， 2HN =，得 3NHC π∠=，∴23MHN π∠=，所求交线为劣弧MN ，长度为2323π⨯=．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】选①：由sin 2B B +=得：sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又 (0,)B π∈， 所以6B π=． 3分选②：由cos220B B +-=得：22cos 30B B +-=，解得cos B =，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分选③：由222b ac -=-得：222c a b +-=，得222cos 2a c b B ac +-===，又 (0,)B π∈，所以6B π=． 3分又因为sin sin C cB b==1sin 2C B ===由(0,)C π∈，所以3C π=或23C π=． 6分 当3C π=时，2A π=，又因为4a =，所以2b =，c =．所以面积122S =⨯⨯=． 8分当23C π=时，6A π=，所以A B =． 又因为4a =，所以4b =．所以面积1442S =⨯⨯= 10分 18．【解析】（1）由()2*12323n a a a na n n N ++++=∈，可得2123123(1)(1)n a a a n a n -++++-=-，所以22(1)21n na n n n =--=-， 3分 即()*122,n a n n N n=-∈，当1n =，11a =也满足， 所以()*12n a n N n=-∈． 6分 （2）2020122020S b b b =+++111111112222222212232019202020202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-+-+--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12020120212021=-=． 12分 19．【解析】（1）由PA ⊥平面ABCD ，得PA AB ⊥， 由2ADC π∠=，得AD CD ⊥， 2分 ∵//AB CD ，∴AD AB ⊥， 3分∵AD PA A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴PDAB ⊥． 5分（2）以射线AB ,AD ,AP 为x ,y ,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，D ，(0,0,1)P ，C ，AC =，(1,0,1)PB =-，1)PC =-． 7分设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =．则由0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.x z x z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 9分取31,n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则||3|cos ,|7||||AC n AC n AC n ⋅〈〉==⋅． 11分故直线AC与平面PBC12分20．【解析】（1）甲队最后贏得整场比赛的情况为第四局贏或第四局输第五局赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为11132224+⨯=．4分（2）根据比赛规则，x的取值只能为2,4或6，对应比分为16:14,17:15,18:16.两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为224(2)5525p=⨯=；6分两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为2332332272 (4)55555555625p=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．8分两队打了6个球后甲赢得整场比赛，6个球的胜负情况如图（胜者用√表示），(6)55555555555555555555555515625 p=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=．12分21．【解析】（1）由题意得(1,0)A-，1分点A在抛物线2C的准线上，则12p=，即2p =， 2分 所以抛物线2C 的标准方程为24y x =． 3分 （2）（i ）证明：因为过A 的直线1l 和抛物线交于两点， 所以1l 的斜率存在且不为0，设1l 的方程为1x my =-，其中m 是斜率的倒数， 4分 设()11,B x y ，()22,C x y ， 联立方程组21,2,x my y px =-⎧⎨=⎩ 整理得2220y pmy p -+=，0∆>且12122,2,y y pm y y p +=⎧⎨=⎩ 5分因为C 是AB 的中点，所以122y y =， 所以223pm y =，294m p =，2222111332pm p x m m =⋅-=-=， 所以点C 的橫坐标为定值． 6分（ⅱ）因为直线2l 的倾斜角和直线1l 的倾斜角互补， 所以2l 的斜率和1l 的斜率互为相反数． 设直线2l 的方程为2132pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,(),M M M x y ，(),N N N x y ， 即2x my =-+， 联立方程组222,210,x my x y =-+⎧⎨+-=⎩整理得()222430m y my +-+=， ()222(4)1224240m m m ∆=-+=->，所以26m >，242M N m y y m +=+，232M Ny y m =+． 8分 因为点C 是AB 中点，所以BMNAMNS S=，因为(1,0)A -到MN的距离d =，M N MN y =-，所以1||2AMNSMN d =⋅= 10分令26t m =-，则13288AMNS===⨯+，当且仅当8t =，214m =时等号成立， 所以9144p=， 956p =． 12分 22．【解析】（1）()2xf x ae '=+．①当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增； 2分 ②当0a <时，由()0f x '>解得2ln x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()0f x '<解得2ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．故()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减． 4分 综上所述，当0a 时，()f x 在R 上单调递增； 当0a <时，()f x 在2,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在2ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减． （2）证法一：原不等式等价于120x e x e x a ax a--+-． 6分 令12()x e x g x e x a ax a =--+-，则()2(1)e 1()xx a x g x ax'---=． 当1a 时，11x x ae x e x ----， 8分令()1xh x e x =--，则当0x >时，()10xh x e '=->， ∴当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， 9分∴当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴()(1)0g x g =． 11分即120x e x e x a ax a--+-，故()()f x x ae x +． 12分 证法二：原不等式等价于()2(1)xa e exx --．令()x g x e ex =-，则()xg x e e '=-．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g =，即0x e ex -，当且仅当1x =时等号成立． 6分 当1x =时，()2(1)xa e exx --显然成立；当0x >且1x ≠时，0x e ex -． 欲证对任意的1a ，()2(1)xa e exx --成立，只需证2(1)x e ex x --． 8分思路1：∵0x >，∴不等式2(1)xe ex x --可化为120x e x e x x---+， 令1()2x e h x x e x x =---+，则()2(1)1()xx e x h x x'---=， 10分 易证当0x >时，10xe x -->，∴当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>， ∴函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ∴min ()(1)0h x h ==，∴()0h x ，即120x e x e x x---+， 从而，对任意的1a ，当0x >时，()(e)f x x a x +． 12分思路2：令2(1)()x x ex x e ϕ-+=，则(1)(3)()xx x e x e ϕ'--+-=．()031x e x ϕ'>⇒-<<，()01x x ϕ'<⇒>或03x e <<-， 10分∴()x ϕ在(0,3)e -上单调递减，在(3,1)e -上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ∵(0)(1)1ϕϕ==，∴2(1)()1xx ex x eϕ-+=，即2 (1)xx e ex --． 从而，对任意的1a ，当0x >时，()()f x x ae x +． 12分 证法三：原不等式等价于2210x ae x x aex +---．令2()(2)1xg x ae x ae x =----，()2(2)xg x ae x ae '=---． 令()2(2)xh x ae x ae =---，则()2xh x ae '=-，其中0x >． 6分 ①当2a 时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增．注意到(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>．∴()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∴min ()(1)0g x g ==，即 ()()f x x ae x +． 8分 ②当12a <时，20ln 1a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭． 当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．（i ）若221a e <-，则(0)(1e)20h a =-+．∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴当(0,1)x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>． 与①同，不等式成立． 10分 （ⅱ）若211a e <-，则(0)(1)20h a e =-+>， ∵2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()()0g x h x '=>； 当()0,1x x ∈时，()()0g x h x '=<；当(1,)x ∈+∞时，()()0g x h x '=>． ∴()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ∵(0)10g a =-，(1)0g =， 此时，()0g x ，即()()f x x ae x +． 综上所述，结论得证． 12分。
湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三下学期月考卷(六)生物试题含答案
雅礼中学2023届高三月考试卷（六）生物学本试题卷包括选择题、非选择题两部分，共10页。
时量75分钟，满分100分。
一、单项选择题（本题共 12小题，每小题2分，共24分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
）1.3NO -和NH 4+是植物利用的主要无机氮源，转运机制如下图所示，图中AMTs 、NRT1.1、SLAH3为根细胞膜上的三种转运蛋白。
过量施用NH 4+会加剧土壤的酸化，引起植物生长受到严重抑制，这一现象被称为铵毒。
研究发现当3NO -存在时，植物可以通过减轻土壤酸化来缓解铵毒症状，NRT1.1和SLAH3参与缓解铵毒的过程。
以下分析错误的是A ．根细胞膜对物质的吸收具有选择透过性，这与细胞膜上的蛋白质种类不同有关B ． AMTs 运输NH 4+的方式与NRT1.1运输3NO -的方式均为协助扩散C ．推测植物通过调用NRT1. 1来加速对胞外3NO -/H +的同向转运从而降低了胞外H +浓度，缓解了铵毒D ．外源施加3NO -或者由SLAH3外排3NO -均可能缓解植物的铵毒症状2.生物学实验设计中应遵循单一变量原则和对照原则，在对照实验中可以采用加法原理或减法原理实现对自变量的控制。
下列有关实验的叙述中正确的是A ．在“比较过氧化氢在不同条件下的分解”实验中利用了减法原理来控制自变量B ．在探索生长素类调节剂促进插条生根的最适浓度”实验中，预实验和正式实验均需要设置空白对照C ．在“观察紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞质璧分离与复原”的实验中不存在对照D ．在“探究唾液淀粉酶的最适pH ”的实验中，先将每一组温度控制在37°C 属于对无关变量的控制3.细胞中几乎所有的化学反应都是由酶催化的，酶的活性受到多种因素的影响。
酶的作用原理如图一所示，酶促反应速率与影响因素的关系如图二所示。
下列叙述错误的是A．图一中有酶催化时反应进行所需要的活化能是BC段B．如果将酶催化改为无机催化剂催化，则图一的纵坐标轴上B点对应的虚线应上移C．图二中曲线②和③分别表示pH和温度对酶促反应速率的影响D．图二中若横轴表示反应物浓度，曲线①的BC段对应数值保持不变的原因主要是酶的数量有限4.某昆虫体色有灰体和黄体，分别由等位基因B、b控制，腿型有粗腿和细腿，分别由等位基因D、d控制，其中B、b基因位于常染色体上（D、d基因不位于Y染色体上）。
长沙市雅礼中学2022-2023学年高三下学期月考试卷(八)数学试题(原卷版)
雅礼中学2023届高三月考试卷（八）数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}²4120A x x x =∈--<Z ，{}sin B y y e x x ==∈R ，，则A B =（ ） A.{2,1,0,1,2}-- B.{}1|2x x -<< C.{1,0,1,2}-D.{2|x x ≥或}1x ≤-2.下列说法正确的是（ ）A.“a b ≥”是“22am bm ≥”的充要条件B.“4k x π=，k ∈Z ”是“tan 1x =”的必要不充分条件 C.命题“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定形式是“x ∀∈R ，12x x +>”D.“1xy =”是“lg lg 0x y +=”的充分不必要条件3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图，矩形ABCD 是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中16AB =，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）A.11πB.12πC.15πD.16π4.在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P 为角α终边上一点，若1cos()3αβ+=，(0,)βπ∈，则cos β=（ ）A.315+B.315-C.415+D.415- 5.已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，2AB =，4AC =，点P 在以A 为圆心且与边BC相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）C.165D.5656.已知0.75a =，52log 2b =，sin 5c π=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b <<7.若函数33()ln x e f x e x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是（ ）A.2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,0]-∞C.(]3,09e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭D.23,49e e ⎛⎤⎧⎫-∞⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭8.已知双曲线22122:1x y C a b==(0,0)a b >>与抛物线22:2C y px =(0)p >有公共焦点F ，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线2C 相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线1C 的离心率为e ，则2e =（ ）二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.上级某部门为了对全市36000名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本（数学水平分数）数据进行整理分析，全部的分数可0.040按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是（ ）A.图中x 的值为0.025B.估计样本数据的80%分位数为84C.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于60分的人数约为360D.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数80分及以上的人数占比为3%10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第一次向下的数字为偶数”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A.1()2P A =B.1()2P B A =C.事件A 和事件B 互为对立事件D.事件A 和事件B 相互独立11.如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）A.BPB.PA PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 1AB C 12.对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足：12,D x x ∀∈且12x x <，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且(2)2f =，()(2)2f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(1)f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（ ） A.(1)1f =B.03,22x ⎡⎤∃⎢⎣∈⎥⎦，0()1f x <C.12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， (())()2f f x f x ≤-+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.51(21)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为__________.14.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一个动点，直线:1l x =-，点Q 为圆22:(3)(31)M x y +-=+上的动点，则点P 到直线l 的距离与PQ 之和的最小值为__________.15.已知三棱锥P ABC -满足1PA =，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若23P ABC V -=，则其外接球体积的最小值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1，0，1”，A 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列A ：1，0，则数列()f A ：0，1，0，1，0，1.已知数列1A ：1，0，1，0，1，且数列1()k k A f A +=，1k =，2，3，…，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且22n n S s a t n n =⋅+⋅-，*n ∈N .（1）当3s =，0t =时，求证：数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）当0s =，3t =时，不等式1n na a λλ++≥对于任意2n ≥，*n ∈N 都成立，求实数λ的取值范围.18.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin 2cos 2B CB b +=. （1）求角A 的大小；（2）若BC 边上的中线1AD =，求ABC △面积的最大值.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ⊥，AB DC ∥，222AB AD CD ===，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若直线PB 与平面PAC ，求二面角P AC E --的余弦值. 20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：（2）在人工智能中常用(|)(|)(|)P B A L B A P B A =表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计(|)L B A 的值；（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，反射后必经过另一个焦点.若从椭圆2222:1(0)x y T a b a b+>>=的左焦点1F 发出的光线，经过两次反射之后回到点1F ，光线经过的路程为8，椭圆T 的离心率2. （1）求椭圆T 的标准方程；（2）设0(),D D x ，且D x a >，过点D 的直线l 与椭圆T 交于不同的两点M ，N ，点2F 是椭圆T 的右焦点，且2DF M ∠与2DF N ∠互补，求2MNF △面积的最大值. 22.已知函数31()6x f x e ax =-（a 为非零常数），记1()()n n f x f x +'=（n ∈N ）0()()f x f x =，.（1）当0x >时，0f x ≥（）恒成立，求实数a 的最大值； （2）当1a =时，设2()()nn i i g x f x ==∑，对任意的3n ≥，当nx t=时，()n y g x =取得最小值，证明：()0n n g t >且所有点(,())n n n t g t 在一条定直线上.。
2024届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考数学试卷(三)及答案
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z的值为A ．1BC ．12D2．设全集U R =，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()U A B =ðA ．{}x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >3．已知向量a ，b满足7a b += ，3a = ，4b = ，则a b -=A ．5B ．3C ．2D ．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723=+，633=+，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A ．14B ．13C ．29D ．385．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，则实数a 的取值范围是A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<7．已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=A ．6-B ．32-C ．6D ．48．已知函数()()32sin 4x f x x x x π=-+的零点分别为1x ，2x ，…，n x ，*n N ∈），则22212n x x x +++= A ．12B ．14C ．0D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤，()220.9545P μσξμσ-+≈≤≤，()330.9973P μσξμσ-+≈≤≤）A ．()100E X =B ．()10D X =C ．()900.84135P X ≈≥D ．()()12090P X P X =≤≥10．下列说法正确的是A ．若不等式220ax x c ++<的解集为{}12x x x <->或，则2a c +=B ．若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -<C ．在△ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--11．已知函数()()sin 4f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，08πϕ<<）的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()g x 的解析式为()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 图象的一条对称轴是3x π=-D ．函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知三棱锥P -ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，8PA =，AB ⊥AC ，4AB AC ==，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P -ABC 表面上运动，且4PQ =，已知在弧度制下锐角α，β满足：4cos 5α=，cos β=A ．过点D 作球的截面，截面的面积最小为4πB ．过点D 作球的截面，截面的面积最大为24πC ．点Q 的轨迹长为44αβ+D ．点Q 的轨迹长为48αβ+第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为 ．14．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的一动点，则PF PA +的最小值为 ．15．若1nx ⎫-⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则7n除以9的余数为 ．16．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为i x （1i =，2，3，…，n ）．若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）半径为R 的圆内接△ABC，AB =，∠ACB 为锐角．（1）求∠ACB 的大小；（2若∠ACB 的平分线交AB 于点D ，2CD =，2AD DB =，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图①，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 的中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中，图①图②（1）证明：EF ⊥MC ；（2）求平面MAB 与平面DAB 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数()2ln x xf x =+．（1）讨论函数()y f x x =-零点的个数；（2）是否存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立．21．（本小题满分12分）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n 级的概率为n P ．（1）求他上到第10级的概率10P （结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X 的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且1234OP PF PF =⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标和△MAB 面积的最大值；若不存在，说明理由．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2．D【解析】易知{}02A x x =≤≤，{}0B y y =>，∴{}02U A x x x =<>或ð，故(){}2U A B x x => ð．故选D ．3．D【解析】由条件a b a b +=+ 知a ，b 同向共线，所以1a b a b -=-=，故选D ．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l 的概率为182982369C p C ===，故选C ．5．C【解析】由题意()2'1f x x ax =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，∴1a x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1023a <≤，又当2a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 单调，不符合，∴2a ≠，∴1023a <<，故选C．6．B【解析】∵2333332log 3log log log 23c a ===>==，∴c a >，又23442log 4log 3c ===<44ln 3log log 3ln 4b ===，∴c b <，∴a c b <<．故选B ．7．A【解析】由条件知cos cos 0αβ≠，sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ⇒+=，两边同除以cos cos αβ得：tan tan 2tan tan αβαβ+=，∴3tan tan 2αβ=，从而()tan tan tan 61tan tan αβαβαβ++==--，故选A ．8．A【解析】由()()210sin 04f x x x x x π⎡⎤=⇒-⋅+=⎢⎥⎣⎦，0x =为其中一个零点，令()()21sin 4g x x x x π=-+，∵()00g ≠，∴令()()2140sin x g x x xπ+=⇒=，∵()1sin 1x π-≤≤∴2141x x +≤，∴214x x +≤，∴2102x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴12x =±，所以()f x ）共有三个零点12-，0，12，∴2221212n x x x +++=，故选A ．9．AC【解析】∵随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，正态曲线关于直线100X =对称，且()100E X =，()210100D X ==，从而A 正确，B 错误，根据题意可得，()901100.6827P X ≈≤≤，()801200.9545P X ≈≤≤，∴()1900.50.68270.841352P X ≈+⨯=≥，故C 正确；()120P X ≤与()90P X ≥不关于直线100X =对称，故D 错误．故选AC ．10．AD【解析】对于A ，不等式220ax x c ++<解集为{}12x x x <->或，则方程220ax x c ++=的两根为1-，2，故212a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2a =-，4c =，所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B 不正确；对于C ，sin cos sin cos 2sin A A B B A+=+⇒cos 2sin cos sin 2sin 2A B B A B ⋅=⋅⇒=，又0222A B π<+<，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对于D ，令()()223f m x m x =++，则()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则()()20301320f x f x x =<⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得21x -<<-，故D 正确，故选AD ．11．ABD【解析】由图知，2A =，4T π=，∴24T ππω==，得12ω=．故()12sin 42f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵点()0,1在函数图象上，∴2sin 41ϕ=，即1sin 42ϕ=．又∵08πϕ<<，∴042πϕ<<，∴46πϕ=．故函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 正确；将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，可得2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；当3x π=-时，2sin 003f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，不是最值，故直线3x π=-不是()f x 图象的一条对称轴，故C 不正确；当4,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,2662x πππππ⎡⎤-∈-+⎢⎥⎣⎦，则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦还上单调递增，故D 正确，故选ABD ．12．ABD【解析】三棱锥P -ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球，∴2R ==，∴R =，取BC 的中点1O ，∴1O 为△ABC 的外接圆圆心，∴1OO ⊥平面ABC ，如图．当OD ⊥截面时，截面的面积最小，∵OD ===，此时截面圆的半径为2r ==，∴最小截面面积为24r ππ=，A 对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为224R ππ=，B 对；由条件可得BPC α∠=，BPA CPA β∠=∠=，则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为α，两段弧圆心角为β，弧长为()2448αβαβ+⨯=+，D 对．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14【解析】因为70107100⨯=为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．14．9【解析】因为F 是双曲线221412x y -=的左焦点，所以()4,0F -，设其右焦点为()4,0H ，则由双曲线定义得224459PF PA a PH PA a AH +=+++=+=+=≥．15．1【解析】由题知，()5111rn rn rr r rr r nn T C C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因第4项为常数项，所以当3r =时，3305n --=，所以18n =，则()1818792=-，而()61862891==-，1除9的余数为1，所以7n 被9除余1．16．[)7,9【解析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为()y f x =与122x y -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和122x y -=（0x >）的图象可知，11x =，23x =，35x =，47x =，…，若116nii x==∑，则4n =，所以实数a 的取值范围为[)7,9．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由正弦定理2sin sin AB R C C =⇒=C 为锐角，所以3C π=．（2）∵CD 为∠ACB 的平分线，2AD DB =，∴2b a =，又∵ACD BCD ABC S S S ∆∆∆+=，∴1112sin 2sin sin 262623b a a b πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，则有232a =，∴a =，∴1sin 23ABC S ab π∆==18．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．①令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．②解①②得11a =，2d =，所以21n a n =-．（2）由（1）知21224n n n b n n -=⋅=⋅，所以1214244nn T n =⨯+⨯++⨯ ，所以231414244n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得12134444nn n T n +-=+++-⋅ ()11414134441433n n n n n ++--=-⋅=⨯--．所以()1143143144999n n n n n T +++--=⨯+=．19．【解析】（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF ⊥CD ．∴折叠后，EF ⊥DF ，EF ⊥CF ．∵DF CF F = ，DF ，CF ⊂平面DCF ，∴EF ⊥平面DCF ．又MC ⊂平面DCF ，∴EF ⊥MC ．（2）∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC 平面AEFD EF =，且平面DF ⊥EF ，DF ⊂平面AEFD ，∴DF ⊥平面BEFC ，又CF ⊂平面BEFC ，∴DF ⊥CF ，∴DF ，CF ，EF 两两垂直．以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，EF 所在直线为．x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ．由题意知1DM FM ==．∴()1,0,0M ，()2,0,0D ，()1,0,2A ，()0,1,2B ．∴()0,0,2MA = ，()1,1,0AB =- ，()1,0,2DA =-．设平面MAB ，平面ABD 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =，由00MA m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111200z x y =⎧⎨-+=⎩，取11x =，则()1,1,0m =为平面MAB 的一个法向量．由00DA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取22x =，则()2,2,1n =为平面ABD 的一个法向量．∴cos ,m n m n m n⋅<>===，平面MAB 与平面DAB．20．【解析】（1）设()()g x f x x =-，则()222171224'10x g x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--=-<，可知()g x 在()0,+∞上单调递减，又()110g =>，()2ln 210g =-<，所以方程()0g x =有且仅有一个根，即函数()y f x x =-有且只有1个零点．（2）令()f x kx >得2ln x kx x +>（0x >），即22ln x k x x+>（0x >）．设()22ln x h x x x =+，()0,x ∈+∞，则()()32341ln 1'ln 4x h x x x x x x x -=-+=--，设()ln 4H x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()()3'H x h x x =，因为()'1ln 1ln H x x x =--=-，当01x <<时，()'ln 0H x x =->，当1x >时，()'ln 0H x x =-<，所以函数()H x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110430H x H ==--=-<，则()()3'0H x h x x=<恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，又x →+∞，()0h x →，所以不可能存在正实数k ，使得()22ln x h x k x x=+>恒成立．21．【解析】（1）由条件知113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且121233n n n P P P --=+（2n ≥）．所以112212221333n n n n P P P P P P ---+=+==+= ，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又134515P -=-，∴13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，∴223535nn P ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭．∴1010223535P ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知此人上到第5级的概率为55223133535243P ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，X 的可能取值为3，4，5()21312108333133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()3142124334133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()15133P X ==所以X 的分布列为X345P 108133241331133所以()108241425345133133133133E X =⨯+⨯+⨯=．22．【解析】（1）设()00,P xy ，()1,0F c -，()2,0F c ，则由OP =220074x y +=，由1234PF PF ⋅= 得()()00003,,4c x y c x y ---⋅--=，即2220034x y c +-=．所以1c =．又因为c a =，所以22a =，21b =．因此所求椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2241621039k x kx +--=．设()11,A x y ，()22,B x y ．则()1224321k x x k +=+，()12216921x x k =-+．假设在y 上存在定点()0,M m ，满足题设，则()11,MA x y m =- ，()22,MB x y m =- ．()()()21212121212MA MB x x y m y m x x y y m y y m ⋅=+--=+-++。